直線與圓專題復(fù)習(xí)第18講 曼哈頓距離、切比雪夫距離問題、直角距離問題 訓(xùn)練題集【學(xué)生版】

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2第18講曼哈頓距離、切比雪夫距離問題、直角距離問題一.選擇題(共7小題)1.(2021?濟寧二模)“曼哈頓距離”是由赫爾曼閔可夫斯基所創(chuàng)的詞匯,是一種使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語,例如在平面直角坐標(biāo)系中,點,、,的曼哈頓距離為：.若點,點為圓上一動點,則的最大值為A. B. C. D.2.(2021?萬州區(qū)校級月考)在平面直角坐標(biāo)系中,定義,為兩點,、,的“切比雪夫距離”,又設(shè)點及上任意一點,稱的最小值為點到直線的“切比雪夫距離”記作,給出下列四個命題：①對任意三點,,,都有,,,；②已知點和直線,則；③到原點的“切比雪夫距離”等于1的點的軌跡是正方形.其中真命題的是A.①② B.②③ C.①③ D.①②③3.(2021?金山區(qū)校級期中)在平面直角坐標(biāo)系中,定義,為兩點,、,的“切比雪夫距離”,又設(shè)點及上任意一點,稱的最小值為點到直線的“切比雪夫距離”,記作,給出下列三個命題：①對任意三點、、,都有,,,；②已知點和直線,則；③定點、,動點滿足,,,則點的軌跡與直線為常數(shù))有且僅有2個公共點.其中真命題的個數(shù)是A.0 B.1 C.2 D.34.(2021?浦東新區(qū)校級期中)在平面直角坐標(biāo)系中,定義為兩點,、,的“切比雪夫距離”,又設(shè)點及直線上任意一點,稱的最小值為點到直線的“切比雪夫距離”,記作,給出下列三個命題：①對任意三點、、,都有,,,；②已知點和直線,則③定義,動點滿足,則動點的軌跡圍成平面圖形的面積是4.其中真命題的個數(shù)A.0 B.1 C.2 D.35.(2021?重慶模擬)在平面直角坐標(biāo)系中,定義,為兩點,,,的“切比雪夫距離”,又設(shè)點及上任意一點,稱的最小值為點到直線的“切比雪夫距離”,記作,給出下列三個命題：①對任意三點、、,都有,,,；②已知點和直線,則；③到定點的距離和到的“切比雪夫距離”相等的點的軌跡是正方形.其中正確的命題有A.0個 B.1個 C.2個 D.3個6.(2021?浦東新區(qū)校級月考)在平面直線坐標(biāo)系中,定義,為兩點,、,的“切比雪夫距離”,又設(shè)點及上任意一點,稱的最小值為點到直線的“切比雪夫距離”記作,給出下列四個命題：①對任意三點、、,都有,,,；②已知點和直線,則；③到定點的距離和到的“切比雪夫距離”相等點的軌跡是正方形；④定點、,動點滿足,,,則點的軌跡與直線為常數(shù))有且僅有2個公共點.其中真命題的個數(shù)是A.4 B.3 C.2 D.17.(2021?崇明縣二模)在平面直角坐標(biāo)系中,定義,為兩點、,的“切比雪夫距離”,又設(shè)點及上任意一點,稱的最小值為點到直線的“切比雪夫距離”,記作,給出下列三個命題：①對任意三點、、,都有,,,；②已知點和直線,則；③定點、,動點滿足,,,則點的軌跡與直線為常數(shù))有且僅有2個公共點；其中真命題的個數(shù)是A.0 B.1 C.2 D.3二.多選題(共2小題)8.(2021?沙坪壩區(qū)校級模擬)曼哈頓距離(或出租車幾何)是由十九世紀(jì)的赫爾曼.閔可夫斯基所創(chuàng)的詞匯,是一種使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語.例如,在平面上,點,和點,的曼哈頓距離為：.若點,為圓上一動點,,為直線上一動點,設(shè)為,兩點的曼哈頓距離的最小值,則的可能取值有A.1 B.2 C.3 D.49.(2021?鼓樓區(qū)校級期中)“曼哈頓距離”是十九世紀(jì)的赫爾曼閔可夫斯基所創(chuàng)辭匯,定義如下：在直角坐標(biāo)平面上任意兩點,,的曼哈頓距離為：.在此定義下以下結(jié)論正確的是A.已知點,滿足的點軌跡圍成的圖形面積為2 B.已知點,,滿足,,的點軌跡的形狀為六邊形C.已知點,,不存在動點滿足方程：,, D.已知點在圓上,點在直線上,則、的最小值為三.填空題(共7小題)10.(2021?浦東新區(qū)校級期末)定義兩點,,,的曼哈頓距離為,若表示到點、的曼哈頓距離相等的所有點的集合,其中,,,則點集與坐標(biāo)軸及直線所圍成的圖形的面積為.11.(2013?寶山區(qū)一模)設(shè),,,是平面直角坐標(biāo)系上的兩點,定義點到點的曼哈頓距離.若點,在上,則的最小值為.12.(2017秋?浦東新區(qū)校級期中)在平面直角坐標(biāo)系中,定義,為兩點,、,的“切比雪夫距離”,又設(shè)點及上任意一點,稱的最小值為點到直線的“切比雪夫距離”,記作,給出四個命題,正確的是①對任意三點、、,都有,,,；②到原點的“切比雪夫距離”等于1的點的軌跡是正方形；③已知點和直線,則；④定點、,動點滿足,,,則點的軌跡與直線為常數(shù))有且僅有2個公共點.13.(2015秋?九江校級月考)在平面直角坐標(biāo)系中,定義,,為兩點,,,的“切比雪夫距離”,則點到直線上一點的“切比雪夫距離”的最小值為.14.(2021?南平模擬)在平面直角坐標(biāo)系中,定義,、,兩點間的直角距離為,如圖是圓當(dāng)時的一段弧,是與軸的交點,將依次以原點為中心逆時針旋轉(zhuǎn)五次,得到由六段圓弧構(gòu)成的曲線.則.若點為曲線上任一點,則的最大值為.15.(2021?碑林區(qū)校級模擬)在直角坐標(biāo)系中,定義兩點,與,之間的“直角距離”為.若,是橢圓上任意兩點,則的最大值是.16.(2021?鏡湖區(qū)校級期中)定義點,,,之間的“直角距離”為,若點到點的“直角距離”等于2,其中,滿足,,則所有滿足條件的點的軌跡的長度之和為.四.解答題(共7小題)17.(2021春?寶山區(qū)校級期末)在平面直角坐標(biāo)系中,兩點,、,的“曼哈頓距離”定義為,記為,如點、的“曼哈頓距離”為9,記為.(1)點,是滿足的動點的集合,求點集所占區(qū)域的面積；(2)動點在直線上,動點在函數(shù)圖象上,求的最小值；(3)動點在函數(shù)的圖象上,點,的最大值記為,請選擇下列二問中的一問,做出解答：①求證：不存在實數(shù)、,使；②求的最小值.18.(2021?嘉定區(qū)期中)設(shè)在二維平面上有兩個點,,,,它們之間的距離有一個新的定義為,這樣的距離在數(shù)學(xué)上稱為曼哈頓距離或絕對值距離；在初中時我們學(xué)過的兩點之間的距離公式是,這樣的距離稱為是歐幾里得距離(簡稱歐式距離)或直線距離.(1)已知,兩個點的坐標(biāo)為,,如果它們之間的曼哈頓距離不大于3,那么的取值范圍是多少？(2)已知,兩個點的坐標(biāo)為,,如果它們之間的曼哈頓距離要恒大于2,那么的取值范圍是多少？(3)已知三個點,,,,,,在平面幾何的知識中,很容易的能夠證明與,與的歐氏距離之和不小于和的歐氏距離,那么這三個點之間的曼哈頓距離是否有類似的共同的結(jié)論？如果有,請給出證明；若果沒有,請說明理由.19.(2021?楊浦區(qū)校級月考)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),對于任意兩點,,,,定義它們之間的“曼哈頓距離”為.(1)求線段上一點到原點的“曼哈頓距離”；(2)求所有到定點的“曼哈頓距離”均為2的動點圍成的圖形的周長；(3)眾所周知,對于“歐幾里得距離”,有如下三個正確的結(jié)論：①對于平面上任意三點,,,都有；②對于平面上不在同一直線上的任意三點,,,若,則是以為直角的直角三角形；③對于平面上兩個不同的定點,,若動點滿足,則動點的軌跡是線段的垂直平分線；上述結(jié)論對于“曼哈頓距離”是否依然正確？說明理由.20.(2021?東莞市期末)對于一個具有正南正北、正東正西方向規(guī)則布局的城鎮(zhèn)街道,從一點到另一點的距離是在南北方向上行進的距離加上在東西方向上行進的距離,這種距離即“曼哈頓距離”,也叫“出租車距離”.對于平面直角坐標(biāo)系中的點,和,,兩點間的“曼哈頓距離”,.(1)如圖6,若為坐標(biāo)原點,,兩點坐標(biāo)分別為和,求,,；(2)若點滿足,試在圖中畫出點的軌跡,并求該軌跡所圍成圖形的面積；(3)已知函數(shù),,,試在圖象上找一點,使得最小,并求出此時點的坐標(biāo).21.(2021春?西城區(qū)校級期末)在平面直角坐標(biāo)系中,定義,為兩點,,,的“切比雪夫距離”,又設(shè)點及直線上任一點,稱的最小值為點到直線的“切比雪夫距離”,記作.(1)已知點和直線,求；(2)求證：對任意三點,,,都有,,,；(3)定點,,動點滿足,,請求出點所在的曲線所圍成圖形的面積.22.(2021?浦東新區(qū)校級期中)在平面直角坐標(biāo)系中,定義,為兩點,、,的“切比雪夫距離”,又設(shè)點及直線上任一點稱,稱的最小值為點到直線的“切比雪夫距離”,記作.(