【高考數(shù)學(xué) 特色題型匯編】第63講 雙空題-立體幾何與空間向量（基礎(chǔ)、中檔、壓軸）（原卷及答案）（新高考地區(qū)專用）高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

雙空題——立體幾何與空間向量（基礎(chǔ)、中檔、壓軸）

1.如圖，在水平放置的直徑與高相等的圓柱內(nèi)，放入兩個半徑相等的小球（球A和球B）,

圓柱的底面直徑為2+g，向圓柱內(nèi)注滿水，水面剛好淹沒小球8.則球A的體積為

，圓柱的側(cè)面積與球B的表面積之比為.

2.在長方體A8CO—A4GA中，48=2,AO=3,44=1,P為線段CQ的中點,

一質(zhì)點從A點出發(fā)，沿長方體表面運動到達P點處，則質(zhì)點從A到P的最短距離為

;若沿質(zhì)點A的最短運動路線截長方體，則所得截面的面積為.

3.某同學(xué)的通用技術(shù)作品如圖所示，該作品由兩個相同的正四棱柱制作而成.已知正四

棱柱的底面邊長為3cm；這兩個正四棱柱的公共部分構(gòu)成的多面體的面數(shù)為

，體積為cm3.

4.如圖，在矩形A8C7）中，八4=4,BC=3,將$48。沿AC折疊，在折疊過程中三

棱錐*-八8體積的最大值為,此時異面直線A*與C。所成角的余弦值為

5.如圖，將由六個邊長為3的正三角形構(gòu)成的平行匹邊形形狀的紙片沿虛線折起，制

作了一個粽子形狀的六面體模型，則該六面體的體積為;若該六面體內(nèi)有一

球，則該球體積的最大道為.

6.四棱錐尸-ABC。各頂點都在球心為。的球面上，且PA_L平面A8CQ,底面48CQ為

矩形，PA=AB=2,A0=4,則球。的體積是:設(shè)E、尸分別是M、中

點，則平面A樣被球。所截得的截面面積為.

7.在通用技術(shù)課上，老師給同學(xué)們提供了一個如圖所示的木質(zhì)正四楂錐模型P—ABCD,

設(shè)底邊和側(cè)棱長均為4,則該正四棱錐的外接球表面積為;過點A作一個

平面分別交尸8、PC、PD于點E、F、G進行切割，得到四棱錐P-AEFG,若

PE3PF1PG

——=—,---=—,則nil---的值為

PB5PC2PD

E

8.某學(xué)校開展手工藝品展示活動，小明同學(xué)用塑料制作了如圖所示的手工藝品，其外

部為一個底面邊長為6的正三棱柱，內(nèi)部為一個球，球的表面與三棱柱的各面均相切,

則該內(nèi)切球的表面積為,三棱柱的頂點到球的表面的最短距離為

9.在三棱錐-一A8C中，平面PBC,PB工PC,PA=PC=2PB=4,則三棱錐

P-A8C外接球的表面積為；若動點M在該三棱錐外接球上，且

/MPB=NMPC,則點M的軌跡長為.

10.阿基米德多面體也稱為半正多面體，是以邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面

體.如圖，已知阿基米德多面體的所有頂點均是一個棱長為2的正方體各條棱的中點,

則該阿基米德多面體的體積為；若/，N是該阿基米德多面體表面上任意兩點，

則M,N兩點間距離的最大值為.

11.某中學(xué)課外活動小組開展勞動實習(xí)，活動中需制造一個零件模型，該零件模型為四

面體，設(shè)為A8CO,要求A8=3C=8=AO=ldm.當(dāng)AC=8O=巫時，此四面體外

2

接球的表面積為dm2;當(dāng)AC=BD時，此四面體體積的最大值為dm3.

12.已知TF方體A8CO-A6cA的棱長為1.空間一動點〃滿足AP,AA,月

/APB】=NAD%，則ian/APB|=,點P的軌跡圍成的封閉圖形的面積為.

7T，冗

13.已知三棱錐O—ABC中，AB=AC=AD=2^DAB=^DAC=-^BAC=一,則

23

點A到平面8c。的距離為，該三棱錐的外接球的體積為.

14.如圖，已知4〃為圓。的直徑，C為圓上一動點，A4_L圓。所在平面，且Q4=/W=2,

過點A作平面交PBJC分別于E,F,則三棱錐P-心外接球的表面積為

；當(dāng)三棱錐尸-AE/”本積最大時，tanN4AC=.

15.已知四棱錐P-A8CZ）的底面為邊長為2的正方形，/%_!_底面A4C2/X=2,過點

A作平面夕與。。垂直，則以與。所成角的正切值為；。截此四棱錐的截面

面積為.

16.如圖，己知四面體A8CD中，△A8O和△BC。都是等腰直角三角形，

AB=&NBAD=NCBD*.若四面體A8C。外接球的表面積為8尤，則此時二面角

A-8O—C的大小為；若二面角A—8O—C為亨時，點M為線段C￡＞上一點,

則AM的最小值為.

17.如圖，三棱柱ABC—AAG中，M-LBC,A3_L他，AB=1,AC=6BC=B

問AA=討，三棱柱ABC-A^G體積最大，最大值為.

18.《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其

中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.在塹堵ABC-A&G中，48_LAC,M是AG的

中點，AB=7,MG分別在棱叫，AC上，且=；陰，AG=：AC,平面MNG

JD

人〃

與AB交于點H,W0—=,HM-AB=?

19.如圖所示，A是平面夕內(nèi)一定點，8是平面夕外一定點，直線AA與平面0所成角

為45。.設(shè)平面a內(nèi)的動點C到A點、"點距離分別為4、4(44>0)，且加吟?若點C

的軌跡是一條直線，〃?=:若點C的軌跡是圓，則加的取值范圍是

20.將邊長為2的正方形沿對角線AC折起.他得/?。=2,則四面體的外

接球的半徑為,四面體A8C力的內(nèi)切球與外接球的球心距為.

21.如圖為某企業(yè)的產(chǎn)品包裝盒的設(shè)計圖，其設(shè)計方案為：將圓錐SO截去一小圓錐SO'

作包裝盒的蓋子，再將剩下的圓臺挖去以。為頂點，以圓0,為底面的圓錐OO'.若圓0

半徑為3,SO=36，不計損耗,當(dāng)圓錐00'的體積最大時，圓0'的半徑為，

此時，去掉蓋子的幾何體的表面積為.

22.已知點A仇C。在同一個球的上，AB=2x/3,AC=4,ABAC=30,則過A&C三

點的截面圓的面積為；若四面體A-8C。體積的最大值為4,則這個球的表

面積為.

23.在梯形AAC。中，AB//CD,AB=2,AD=CD=CB=\f將AAC。沿AC折起，連

接8。，得到三棱錐O-A8C,則三棱錐O-A8C體積的最大值為.此時該

三棱錐的外接球的表面積為.

24.已知長方體ABCAA//C/。/中，AD=9,/U/=IO,過點A且與直線CD平行的平面

。將長方體分成兩部分.日分別與棱。。/，CC交干點從"

(1)若DH=DC=9,則三棱柱ADH-BCM外接球的表面積為；

(2)現(xiàn)同時將兩個球分別放入被平面。分成的兩部分幾何體內(nèi).在平面。變化過程中,

這兩個球半徑之和的最大值為.

25.在三棱錐P-A8C中，已知.A8C是邊長為2的正三角形，PA_L平面48C,M、

3

N分別是A4、PC的中點，若異面直線MN、心所成角的余弦值為:，則%的長為

4

,三棱錐P-A8C的外接球表面積為.

26.,.48。的三條邊分別為Ac,若該三角形繞著三條邊旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的

體積分別為匕MM.若匕則8sA的值為___________；若N84C=g,

4326

匕匕=1,則U+匕的值為.

d

27.將正方形ABC。沿對角線B。折成直二面角4一6。一。，設(shè)三棱錐4一8。。的外

接球和內(nèi)切球的半徑分別為7m球心分別為0/,。2.若正方形48CO的邊長為1,則

~=；0102=.

28.已知正方體A8CQ-A/8/G。/的棱長為2,4C/_L平面a,當(dāng)平面a過點8/時，平

面〃截此IF方體所得截而多邊形的面積為：當(dāng)平面〃過線段AC中點時,平面

a截此正方體所得截面多邊形的周長為.

29.如圖，將正四面體每條棱三等分，截去頂角所在的小正四面體，余下的多面體就成

為一個半正多面體，亦稱“阿基米德體點A,B,M是該多面體的三個頂點，點N是

該多面體表面上的動點,且總滿足MNJ_A8,若人4=4,則該多面體的表面枳為,

30.如圖，在矩形A8CD中，BC=2AB=4fE為AD中點,沿直線8E將△ABE翻折成

ABE，使平面A8E_L平面8cOE.點M,N分別在線段8COE上，若沿直線MN將四邊

形MNDC向上翻折，使。與4重合，則,四棱錐A-8WNE的體積為

31.已知正方體ABC。-AgCQ的棱長為1,點M,N分別是棱CZXOR的中點，則異

面直線BN與CD所成角的余弦值為：若動點P在正方形CDDC（包括邊界）

內(nèi)運動，且用尸，平面8MN,則線段向尸的長度范圍是___________.

32.如圖，已如平面四邊形A8CD,AB=BC=3,CD=1,AD=6ZAZX7=9O°.沿

直線AC將△D4C翻折成△DAC,則408。=：當(dāng)平面￡>AC_L平面A8C

時，則異面直線AC與8〃所成角余弦值是.

B

33.如圖，在三棱錐A-88中，AD=CD=2,AB=BC=AC=2五,平面ACDJL平

面ABC,則三棱錐A-BCO的體積為,其外接球的表面積為,

34.如圖，將正四面體每條棱三等分，截去頂角所在的小正四面體，余下的多面體就成

為一個半正多面體，亦稱“阿基米德體點A,B,M是該多面體的三個頂點，點N是

該多面體外接球表面上的動點，且總滿足MN_LA3,若A8=4,則該多面體的表面積

35.已知等邊..A8C的邊長為2,將其繞著8c邊旋轉(zhuǎn)角度。，使點A旋轉(zhuǎn)到A位置.記

四面體HA8c的內(nèi)切球半徑和外接球半徑依次為r,R,當(dāng)四面體AA8C的表面積最大

時，AA=?—=.

A

36.在長方體ABC?！狝8CQ中，|AB|=|AQ|=G,=點P為線段4班上的一

個動點，當(dāng)P為人石中點時，三棱錐尸-AAA的外接球表面積為；當(dāng)

IM+IAH取最小值時，黑=.

37.三棱錐P-A8C的底面是以4c為底邊的等腰直角三角形，且人C=2應(yīng)，各側(cè)棱

長均為3,點石為棱處的中點，點。是線段CE上的動點，則E到平面A8C的距離為

；設(shè)。到平面尸8C的距離為4,Q到直線A3的距離為4,則4+4的最小

值為?

38.已知A,B,C,。是半徑為4的球面上四點，E,尸分別為人民?！辏镜闹悬c，48=4",

CD=2幣,則以E戶為直徑的球的最小表面枳為：若A,B,C,D

不共面，則四面體A8CD的體積的最大值為.

39.如圖.DE是邊長為2小的正二角形八水?的一條中位線,將沿7)E翻折至

△A。"，當(dāng)三棱錐c-ABE的體積最大時，四棱錐A-BCOE外接球。的表面積為

;過￡。的中點“作球。的截面，則所得截面圓面積的最小值是__________

40.在惻棱長為2的正三棱錐。-A5C中，D4,DB,0c兩兩垂直，M、E分別為AC

、人B的中點，則三棱錐O-HCE的外接球的表面積為,若尸為0M上的動

點，。是平面反力上的動點，則AP+PQ的最小值是.

D

41.如圖，在三棱錐S-ABC中，SB上AB，SB上BC，AB工BC,SB=AB=BC=2,PQ

分別為棱AB，BC的中點，。為三棱錐S-ABC外接球的球心，則球0的體積為

平面SPQ截球()所得截面的周長為.

42.在四棱錐P-A8C。中，底面ABC。是矩形，側(cè)面內(nèi)8是等邊三角形，側(cè)面B48JL

底面A8CQ,八8=26,若四棱錐P-A8CD存在內(nèi)切球，則內(nèi)切球的體積為,

此時四棱錐P-ABCQ的體積為.

43.《綴術(shù)》是中國南北朝時期的一部算經(jīng)，匯集了祖沖之和祖唯父子的數(shù)學(xué)研究成果.

《綴術(shù)》中提出的“緣事勢既同，則積不容異”被稱為祖咂原理，其意思是：如果兩等高

的幾何體在同高處被截得的兩截面面積均相等，那么這兩個幾何體的體積相等，該原理

常應(yīng)用于計算某些幾何體的體積.如圖，某個西晉越窯臥足杯的上下底為互相平行的圓

面，側(cè)面為球面的一部分，上底直徑為4#cm,下底直徑為6c7〃，上下底面間的距離

為3cm,則該臥足杯側(cè)面所在的球面的半徑是cm,臥足杯的容積是

cm，（杯的厚度忽略不計）.

44.已知菱形A3CO的各邊長為2,/。=60.如圖所示，將△46沿人。折起，使得點。

到達點S的位置，連接得到三棱錐S-ABC,此時S/3=3.則三棱錐S-A4c的體積

為,E是線段SA的中點，點尸在三棱錐S-A3c的外接球上運動，且始終

保持所_LAC,則點尸的軌跡的周長為

45.正方體ABC。-A8C'。的棱長為2,動點尸在對角線加7上，過點尸作垂直于E/7

的平面夕，記平面。截正方體得到的截面多邊形（含三角形）的周長為y=/（x）,設(shè)

BP=x,xe（0,2^）.

（1）下列說法中，正確的編號為.

①截面多邊形可能為四邊形；②/y=3夜；③函數(shù)/（"的圖象關(guān)于x=G對稱.

（2）當(dāng)犬=石時，三棱錐P-A8C的外接球的表面積為.

參考答案:

1,如

3

3+2應(yīng)

—

【分析】根據(jù)圓柱與球的性質(zhì)以及球的體積公式可求出球A的體積；根據(jù)球的表面積和圓柱

的側(cè)面積公式可求出|員I柱的側(cè)面積與球B的表面積之比.

【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為R,小球的半徑為r,且,YH,

由圓柱與球的性質(zhì)知AB2=(2r)2=(2R-2r)2+(2R-2r)2,

BPr2-4/?r+2/?2=0,'.'r<R,

.?.r=(2-V2)/?=(2-V2)x24^=l.

4、4

二球4的體積為v=§"=-n.

(2)球8的表面積S,=4nr2=4n,

圓柱的側(cè)面積邑=2欣?2R=4成2=(6+44)九,

???圓柱的側(cè)面積與球B的表面積之比為小維.

故答案為：］冗；過芋.

J一

2.屈

4

【分析】根據(jù)長方體的側(cè)面展開圖可得最短距離，進而可得截面與截面面積.

如圖所示，當(dāng)質(zhì)點經(jīng)過棱。。時，”=W+A尸=在+(3+1)2=加

如圖所示,當(dāng)質(zhì)點經(jīng)過棱A2時,AP=JAD2+DP2=^32+(1+1)2=VB,

如圖所示，當(dāng)質(zhì)點經(jīng)過棱4用時，AP=jAD：+D尸=41+3)2+12=如,

所以最短距離為JB,

此時質(zhì)點從A點出發(fā)，經(jīng)過AA的中點E,再到達尸點，則平面的截長方體所得的截面

為梯形ACPE,如下圖所示，

由已知得=EP=—,AE=—,BP=五,

22

過點E,〃分別作A4的垂線，垂足為M,N,

設(shè)EM=NP=h,RMN=EP=—

2t

故JAE，-EM?+MN+4PB'-PN?=A歷

解得h=

故答案為：屈,土絲.

4

3.八18&

【分析】先判斷出公共部分是兩個底面重疊的正四棱錐，再計算體積即可.

【詳解】公共部分是兩個正四棱錐且底面重疊的空間幾何體，共八面.

底面是3行為邊長的正方形，5=18,其中一個正四棱錐的高為速.

2

...V」xi8x邁x2=18及.

32

故答案為：八，18忘.

2416

4.——

525

【分析】若三棱錐9-NCD體積的最大，則。點到底面AC。的距離最大，即平面8/。_1平

面ACD,

從而可得體積的最大值；過A點在平面ACO內(nèi)，引AE〃0C,得到異面直線所成角，結(jié)合

最小角定理可得結(jié)果.

【詳解】三棱錐e-ACD的底面積SAC/)=6,

若三棱錐8一人8體積的最大，則。點到底面AC。的距離最大，即平面次4CJ_平面ACO,

1?

此時，力點到直線AC的距離即三棱錐的高，

???三楂錐體枳的最大值為gIx6xI??=g24；

過A點在平面ACO內(nèi)，引AE〃OC,

則N3XE為異面直線八房與C。所成角，

又平面B'AC±平面ACD,

根據(jù)最小角定理可得COSNB'AE=cosZB'AC-cosZ.ACE=cosAB'AC-cosZACD吧V

遼公生“2416

故答案為：—?—.

J4J

【分析】六面體為兩個正四面體的組合體，易得其體積，用體積法求得內(nèi)切球的半徑后可得

球體積，即為所求最大值..

【詳解?】易得該六面體為兩個正四面體的組合體’所以體積為〃=21?"[3苧=竽;

設(shè)該六面體的內(nèi)切球的半徑為J則V=gS?r（S為該六面體的表面積），

S=6x立x3?=生叵，所以r=則該六面體的內(nèi)切球的體積為"，=蜒乃；

42V3327

故答案為：辿；學(xué)乃.

227

「r~14萬

6.8j64-^―

【解析】利用題意知R="，利用球的體積公式可得結(jié)果；設(shè)球心。到平面AE”得距離為

d,截面圓半徑為，由等體積法即可得1=生5,利莊勾股定理即可得到產(chǎn)，即可得出結(jié)

3

果.

【詳解】

由題設(shè)知球心。為PC中點,

AE=O、AF=2厄EF=瓜

則AE2+EF2=AF2，

???球。直徑=方K=2而=R="，

%—8\/6/r,

設(shè)球心0到平面AEF得距離為d,截面圓半徑為「,

由題設(shè)球心0到平面AEF的距離等于點B到平面AEF的距離,

由等體積法得,

^O-AEF~VE-ABF，

—x—x>/2X>/6X6Z=—X—x2x2xl,

3232

求得〃岑

->打，j2/414

r'—R~-d~—6—=—

33

故截面面積為手

147r

故答案為：8后,

【點睛】本題主要考查了球的表面積和體積公式，屬于發(fā)易題.

3

7.327r-##0.75

4

【分析】笫一空，作輔助線作出四棱錐的高，并求出其攵，確定外接球的球心，可得半往,

求得答案;

第二空，用向量表示必=PO+P8-PC，結(jié)合已知可得必=/PG+qPE—2刊"根據(jù)空間

四點共面的結(jié)論可得/+g-2=l,求得3繼而求得答案.

【詳解】第一空，設(shè)AC,8。交于點O,連接P0,

由于尸-A8CO為正四棱錐，故尸。為四棱錐的高，

由底邊和側(cè)棱長均為4可得，OA=OB=OC=OD=2y/2,

PO7PA2-OA，=也12&)2=2叵,

即點。到點力的距離相等，故。即為該正四樓錐的外接球球心,

則外接球半徑為2灰，故外接球表面積為4兀X(2&)2=32TT；

第二空，PA=PD+DA=PD+CB=PD+PB—PC,

——5—

設(shè)PO=tPGMPA=iPG+yPF,

J

54

由于點A￡EG四點共面，故，+]-2=1,解得/=；,

故PD=

*噓=4

3

故答案為：32兀；—

4

8.12兀后-6

【分析】過側(cè)棱的中點作止三棱柱的截面，即口J得到球心為例NG的中心，在止cA/NG中

求出內(nèi)切圓的半徑即內(nèi)切球的半徑，從而求出球的表面積，再求出三棱柱的頂點到球心的距

離，即可求出球面上的點到頂點的距離的最小值；

【詳解】解：依題意如圖過側(cè)棱的中點作正三棱柱的截面，則球心為的中心，

因為MN=6,所以一MNG內(nèi)切圓的半徑廠=；JMN’-H#=,

即內(nèi)切球的半徑R=石，所以內(nèi)切球的表面積S=4^=12^-,

又正三棱柱的高A4,=2/?=26，

所以0M=：。"=2石，所以A0=JOM，+4M2=42可+（可=屈,

所以A到球面上的點的距離最小值為40-R=JF-6：

故答案為：12打；y/l5-y/3

9.36nx/34n

【分析】由題，先得出三棱錐P-A8C為直三楂錐，則其外接球相當(dāng)于以E4、PB、PC為梭

的長方體的外接球，則直徑為長方體的體對角線，則可求外接球表面積;

要使=尸C,則他在N8PC的角平分面上，則M的軌跡為圓，利用長方體的性質(zhì)，

求出球心到角平分面的距離，即可求出M的軌跡圓的半徑，即可求M的軌跡長

【詳解】由AQ_L平面P8C,PBJ.PC得,三棱錐尸-A8c為直三棱錐，其外接球相當(dāng)于以

PA.PB、PC為棱的長方體的外接球，故外接球半徑為^歷丁麗I記'=3,故三棱錐

P-/WC外接球的表面積為47rx3?=36兀；

如圖，PC中點為F,則易得以小、PB、PF為棱的正方體PAGF-BDHE,由正方體的對

稱性，要使NMFB=/MFC,則M在N8PC的角平分面上，即面RV7E,故M的軌跡為面

PAHE與外接球相交出的圓.

取AP、HE中點」、J,由正方體的對稱性易得面?畝外腔，且

22

OJ=-PB=\>IJ=yl2+2=2>/2,0/=倉+產(chǎn)=石,故

2

cos/〃0=l+（2后）T、E）=叵,故〃上的高力=OJ-sinN〃O=l-Jl一（變］=—，故

2x1x2無2VV272

M的軌跡圓的半徑/=卜（孝=與，故軌跡長為2口=師.

故答案為：36兀；y/34ji

00o

10.##6-2V2^2^

【分析】第一空，將該多面體置于正方體中，由此可知該阿基米德多面體是由正方體切掉8

個全等的三棱錐形成，由此可求得其體枳；

第二空，結(jié)合阿基米德多面體的外接球剛好是補形后正方體的棱切球，再求例，N兩點間

距離的最大值即可.

【詳解】依題意，可將該多面體補成一個棱長為2的正方體，如圖，

所以該阿基米德多面體是由正方體切掉8個全等的三棱錐形成,

其體積V=8-8x』xLxlxlxl="

323

該阿基米德多面體的外接球剛好是正方體的校切球，即與正方體的各條校相切于棱的中點的

球，

該球直徑為2&，而M，N兩點間距離的最大值為外接球的直徑，

則”=2&,

故答案為：§;2\J1.

”52G

11.—n-

427

【分析】將四面體補成長方體，再根據(jù)長方體體對角線即為球的直徑計算球的表面積即可,

將四面體體積表示成關(guān)于c的函數(shù)表達式，利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)區(qū)間從而確定其最大值

【詳解】如圖將四面體ABCO補成一個長方體

a2+/r=—

2、_

則+c2=1,/.2a2+2從+2c2=-,/.a2+b2+c2=-,

,2->24

b-+c~=tI

工外接球直經(jīng)2r=S=4nr2=n(6z2+/?2+c2)=|n.

a2+c2=\匕一se=abc-；〃bcx4=-c2)c=；(c-c)

則a=b,

b2+c2=1

=/'(c)=；(l-3c2)=0,c=g

JJD

〃c）在（吟『凈卜,《）一惇卜曝

?2.O苧〃

【分析】利用乙4尸瓦=乙4。4，轉(zhuǎn)化為求乙4。名的正切值；先確定點。的軌跡圍成的封閉

圖形為圓，在用面積公式計算.

ADL

【詳解】tan/.APR,=tanZ.ADB,=—^=V2.

AD

由正方體ABC。-A冏GR知人用1平面ABCR,

又點尸滿足APIABit所以點P在平面A8C。內(nèi)運動，

如圖，連接A8,AB1交于點。，連接PO,PB、,PA

由對稱性，ZAPO=ZB“,

所以tanZA/當(dāng)=2tan,,,9=a,解得tanNAPO=近一亞

1-tan-ZAPO2

AOx/3+1

所以PO

tanZAPO2

所以點尸的軌跡圍成的封閉圖形是以點。為圓心，叵比為半徑的圓,

2

所以面積5=〃？

口2石2()&乃

13.----------------

53

【分析】取8c的中點E,連接人E和。E,得到。E_L8C,DE=0設(shè)A到平面8CQ的距

離為〃，根據(jù)％即可求得點A到平面8CO的距離，再結(jié)合球的截面圓的性質(zhì)，

求得外接球的半徑，利用體積公式，即可求解.

7T

【詳解】如圖所示，因為/D48=ND4C=X,可得D4_LA8,D4J.AC,

2

又因為A8cAC=A,所以人。_1_平面ABC,

由A6=AC=AD=2,可得BD=CD=2VI,8C=26，

取4c的中點E,連接AE和OE,

在直角.8DE中，可得DE=ylB!f-BE?=亞，旦DE_L8C,

設(shè)A到平面BCD的距離為力，

又由％-ACO=匕一seo，即！x[x2x2sinyX2=！X[X2&XG〃，

解得力=乎，即點A到平面8co的距離為乎.

在AACD中，BC=2區(qū)/BAC=Z,

3

o——

設(shè)△人BC外接圓的圓心為。|,半徑為，可得外接圓的直徑為「￡一

sin——

3

可得r=2,即4Q=2,

設(shè)外接球的球心為。，半徑為因為八OJ_平面A8C,且人力=2,可得。&=1

在直角中，可得叱=4。：+。。：=22+12=5,可得R=6，

所以外接球的體積為邛/

故答案為：空

5

14.4兀五

【分析】由線面垂直的性質(zhì)可確定E為P3中點，利用線面垂直的判定可證得A/_L平面P8C,

從而得到由此可得、AE尸外接圓半徑，則外接球半徑R=J(；AE、+(gPE)，

由球的表面積公式可求得三棱錐P-A律外接球的表面積；利用基本不等式可求得從「四

的最大值，并確定取等條件為A￡=E/=1,可知此時三棱錐P-AEF體積最大；由

..FEPBCP可求得BC,勾股定理可得AC,由tan/BAC=箓可得結(jié)果.

【詳解】平面a_L〃8,平面a,.?.P8J.AE,PBA.AF,PB工EF；

\-PA=AB=2,.?/為PB中點,PB=2叵，:.PE=AE=y/i;

(5八8為|員|0的直徑，「.47_1_8。；

小JL平面A8C,〃。€=平面48。，..幺_1_8。；

又PAC|AC=A,口4,4。仁平面抬。，」.8。_1_平面24。，又A/u平面PAC,

.?.AF上BC,又P8,BCu平面PAC,P4c8C=B,.5歹，平面PAC,

又Mu平面PBC,「.A尸JL￡F,尸的外接圓半徑為,4￡：=巫，

22

???三棱錐尸-A放的外接球半徑R=J(g4E)+(3尸/=J；+g=l,

二?三棱錐P-AEF的外接球表面積S=4/rR2=4萬.

AF1EF,:.AF2+EF2=AE2=2>2AFEF(當(dāng)且僅當(dāng)4"=￡F=1時取等號),

:.AFEF<\,

???當(dāng)A產(chǎn)=￡F=1時，..A￡F面積取得最大值，

又PEJL平面AM,=...當(dāng)4尸=石尸=1時，三棱錐P-AEF體積最大;

???%=2，/.PF=yjp^-AF2=y/3?

PEPFEF

-PBA.EF,BC工CP,:uFEP一BCP,~PC~~BP~~BC

“PEBPV2x2x/245/3“EFBPlx2及2任

-.1C=-------=------7==-----9BC=-------=----7==-----9

PFg3PF想3

2x/6

22

/.AC=>JAI3-BC=—,又ACJL3C,??.tan/ZMC=^=VT=&.

3AC2V3

3

故答案為：4/r；y/2.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查三棱錐外接球表面枳的求解、三棱錐體積最值的求解等知識;

求解三棱錐外接球表面積的關(guān)鍵是能夠利用線面垂直的性質(zhì)確定三棱錐底面為直角三角形,

且一條側(cè)棱垂直于底面，可知三棱錐外接球半徑氏=，,+(9)一,其中「為底面直角三角形

外接圓半徑，〃為垂直于底面的側(cè)棱的長.

內(nèi)&2x/3

23

【分析】作A例_LPC，垂足為M,作MH工PC,MhPC,連接■、AH,即可得到

平面八砧"即為平面。，再根據(jù)線面角的定義NPAM即為以與。所成角，求出線段的長

度，即可求出所成角的止切值，再求出截面面積即可;

【詳解】解：作AMJLPC，垂足為M,作MFI.PC,連接AT、AH,則平

面/t&l"/即為平面。，

因為尸CJL平面ARWH,所以NQ4M即為Q4與a所成角,

底面A3CO是邊長為2的正方形，所以AC=2立，尸人，底面/WC。，PA=2,所以

PC=^22+（2V2）r=26

由等面積法可得S.=〈x2&x2=：x26.4M,解得4M=冬區(qū),

223

PMPA所以吟霜事

由對稱性可得到FH//RD,在△中.

"PA~~PC

2出

所以tanZPAM=—=-^==—,

AM2限2

丁

又PC=20P/）=2&，CD=2,所以尸02=7^2+82,故/汽心=90。，

在中，器=等所以加喘二日

所以H為尸。的中點，同理可得廣為心的中點，

在APBD中,粵二，所以FH=；BD=g,

BD22

所以棱錐Q-AAC/)截平面。所得截面的面積為5"卬,='人知/”=\婭*&=述

AhMH2233

故答案為：#-￥-

16.

2244

【分析】①首先找到四面體ABC。外接球的球心，再作H二面角A-8￡>-C的平面角，即可

求得二面角A-BQ-C的大小：②首先確定AA7的最小值即為產(chǎn)的邊。尸上的高，再利

用余弦定理解三角形即可求得AM的最小值.

【詳解】分別取8。、C。中點E、F,連接ERAE,AF

由△A3。和△8CO都是等腰直角三角形，ZBAD=ZCBD=；.

可得AE_L8DEFA.BD,則NA律為二面角A—8O—C的的平面角

又由△A8。和ABCD都是等腰直角三角形，AB=O,/BAD=ZCBD=:.

可得8。=BC=2,4E=EF=1,BF=CF=DF=0，

①若四面體A8CO外接球的表面積為8叫可得四面體ABC。外接球的半徑為血

由6=2應(yīng)和NCBD=p可知LBCD在四面體ABCD外接球的大圓上,

則尸為四面體A8C。外接球的球心，貝汁4/=血

-AE尸中，AE=EF=1.AF=4i，則有AE?+￡F?=人產(chǎn)？

則NA律即此時二面角A—AO—C的大小為:

22

②若二面角4一8。一。為與時，則乙位二三,

又AE=EF=1,貝IJA/=1

點M為線段CO上一點，則/W的最小值即為尸的邊。廠上的高

八八「2+2-13

ADF中cosZADF=--T=-大=-

A2xV2x5/24

又0<NA￡*<?t,則sin/A。/=41一3?=V7

4；4

則一ADF邊。尸上的高為A。sinZADF=>/2x^=—

44

則AM的最小值為當(dāng)

故答案為:3f

苴

由11

一-

3##36##6x/3

【分析】推導(dǎo)出4A，平面A6C,設(shè)A4,=x,可求出4乃、A。的長，計算出5—,可求

得匕相/。=3匕?c，結(jié)合基本不等式可求得三棱柱MC—A/G體積的最大值及其對應(yīng)的

工值.

【詳解】在三棱柱44C—Age中，BBJ/A*因為人"_18與，則4A_L,

因為4A_L4C,A"BC=B,AA,平面A/C,

因為AB=1,AC=6,BC=y/3,則4夕+人。2=8。2,,.AB±AC,

CCJ/A4t且CC]=AA],所以，％-A/C=匕-AHC,

所以，KS-BCC,^=2^\-BCC,=2%一48(7=2匕一”c,

故匕8C-A8C=匕-A8C+匕…gB,=3匕Y8C，

222

設(shè)AA=X,!|I|JAiB=^AB--AA；=Vl-x,A,C=^AC-AA；=j2-x,

所以c°s4AC=綸*C*=-—^_.

加以'2A&ACJ(12)(2_.[

2-3x2>0

1~~JV?>02

由已知可得二2A，可得。</<彳，

2-x*>03

>0

?/)"

所以，=-A?-ACsinZBA.C=

xV2^37_>2(2-3-r)

所以‘^.=3V^=S./U

CW1CMBC2~2x/3

3f+2-3/￡

--截―一不‘

當(dāng)且僅當(dāng)3f=2-3/時，即當(dāng)x=3時，三棱柱ABC-ABG體積最大，且最大值為正.

36

故答案為：立；史.

36

18.6-42

【分析】延長MG與AA延長線交于點K,連接KN確定點〃，再利用塹堵ABC-A,4c的

結(jié)構(gòu)特征列式計算即得；利用空間向量加法及數(shù)量積計算作答.

【詳解】如圖，延長MG,交4A的延長線于K,連接KN,顯然KNu平面MNG,KNu平

面A3A，

因此，平面MNG與AB的交點”，即為KN與AB交點,

I

3-2

KAAG--

在塹堵43。-446中，，46//42，則13-

2-

又揚V=』AA，則必=64N,而必〃4N,于是得必=必=6,所以AH=9AB=6,

33BHNB7

因AA_LAB,AM_LAB,所以“M?AB=(HA+A4,+A“)?A8=AB=-6x7=-42.

故答案為:6；-42

【點睛】結(jié)論點睛：首尾相接的若干個向量的和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終

點的向量.

19.1(O.1)J(1,回

【分析】如圖建立空間直角坐標系，設(shè)跖=AE=p(〃〉0)、C(x,y,0),根據(jù)空間中兩點的

距離公式得到軌跡方程，再根據(jù)軌跡的特征求出參數(shù)的值；

【詳解】解：如圖所示，作點8在平面。上的投影點E,連接4七和CE,顯然3E1平面a.

以E為坐標原點，EA*￡8分別為1，z軸的正方向，作EylEA,

以Ey為軸正方向，建立空間直角坐標系七一冷2.

B

由于直線A8與平面儀所成角為45。，所以BE=AE.

設(shè)8E=AE=p(〃>0),則A(p,O,O),8(0,0,p)；

設(shè)。(MFO),則4=M=而_〃)，廣&=。。|="』+)，2十〃2

故

2222222222

4=md2<=>^(x-p)+y=myjx+y+p'<=>(in-1)x+(//z-1)>'+2pj+(z??-1)p=0

(*)

顯然，m>0.

(1)當(dāng)帆=1時，(*)式=x=O,即點C的軌跡為直線4.

若上式表示圓的方程，則1-(蘇_])2>(),