初中數學復習幾何模型專題講解16-三角形內外角平分線的交角

1/43初中數學復習幾何模型專題講解專題16三角形內外角平分線的交角一、填空題1．如圖在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE為外角∠ACD的平分線，交BO的延長線于點E，記，，則以下結論①，②，③，④，正確的是________．（把所有正確的結論的序號寫在橫線上）【答案】①④【分析】依據角平分線的性質以及三角形外角性質，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°＋∠1，∠BOC＝90°＋∠2，再分析判斷．【詳解】∵CE為外角∠ACD的平分線，BE平分∠ABC，∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2＝∠DCE?∠DBE＝（∠ACD?∠ABC）＝∠1，故①正確；∵BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°?（∠OBC＋∠OCB）＝180°?（∠ABC＋∠ACB）＝180°?（180°?∠1）＝90°＋∠1，故②、③錯誤；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝∠ACD，∴∠OCE＝（∠ACB＋∠ACD）＝×180°＝90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE＋∠2＝90°＋∠2，故④正確；故答案為：①④．【點睛】本題考查了三角形的內角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，以及角平分線的定義．2．如圖，在△中，，如果與的平分線交于點，那么＝_________度．【答案】125【分析】先利用三角形內角和定理求出的度數，進而可求的度數，最后再利用三角形內角和定理即可求出答案．【詳解】，．∵BD平分，CD平分，，．故答案為：125．【點睛】本題主要考查與角平分線有關的三角形內角和問題，掌握角平分線的定義和三角形內角和定理是解題的關鍵．3．（2018育才單元考）如圖，在△ABC中，和的角平分線交于點，得，和的角平分線交于點，得，……，和的角平分線交于點，得（1）若，則_______，________，________（2）若，則________．【答案】40°20°10°【分析】（1）利用角平分線的定義和三角形外角性質，易證∠A1=∠A，進而可求∠A1，同理易證∠A2=∠A1，∠A3=∠A2，進而可求∠A2和∠A3；（2）利用角平分線的定義和三角形外角性質，易證∠A1=∠A，進而可求∠A1，同理易證∠A2=∠A1，∠A3=∠A2，…，以此類推可知∠A2015即可求得．【詳解】解：（1）∵∠A=∠ACD－∠ABC，∠A1=∠A1CD－∠A1BC∵和的角平分線交于點，∴∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC∴∠A1=∠A1CD－∠A1BC=∠ACD－∠ABC=（∠ACD－∠ABC）=∠A=40°同理可證：∠A2=∠A1=20°，∠A3=∠A2=10°故答案為：40°；20°；10°．（2）∵∠A=∠ACD－∠ABC，∠A1=∠A1CD－∠A1BC∵和的角平分線交于點，∴∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC∴∠A1=∠A1CD－∠A1BC=∠ACD－∠ABC=（∠ACD－∠ABC）=∠A=°同理可證：∠A2=∠A1=°，∠A3=∠A2=°∴∠A2015=°故答案為：°．【點睛】本題考查了角平分線定義和三角形外角性質，解題的關鍵是推導出∠A1=∠A，并依此找出規(guī)律．4．如圖，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分別在DB、DC、BC的延長線上，BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ，則∠F=________．【答案】15°【分析】先由BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB得到∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，在△ABC中根據三角形內角和定理得∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=60°，則根據平角定理得到∠MBC+∠NCB=300°；再由BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN得∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，兩式相加得到∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，在△BCE中，根據三角形內角和定理可計算出∠E=30°；再由BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ得到∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，根據三角形外角性質得到∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，利用等量代換得到∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，再進行等量代換可得到∠F=∠E．【詳解】解：∵BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°，∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=×（180°-60°）=60°，

∴∠MBC+∠NCB=360°-60°=300°，∵BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN，∴∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，∴∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，∴∠E=180°-（∠5+∠6+∠1）=180°-150°=30°，∵BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ，∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，∵∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，即∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，∴2∠F=∠E，∴∠F=∠E=×30°=15°．故答案為：15°．【點睛】本題考查了三角形內角和定理：三角形內角和是180°．也考查了三角形外角性質．二、解答題5．（1）如圖1所示，BD，CD分別是△ABC的內角∠ABC，∠ACB的平分線，試說明：∠D=90°+∠A．（2）探究，請直接寫出下列兩種情況的結果，并任選一種情況說明理由：①如圖2所示，BD，CD分別是△ABC兩個外角∠EBC和∠FCB的平分線，試探究∠A與∠D之間的等量關系；②如圖3所示，BD，CD分別是△ABC一個內角∠ABC和一個外角∠ACE的平分線，試探究∠A與∠D之間的等量關系．【答案】（1）證明見解析；（2）①∠A=180°?2∠D，理由見解析；②∠A=2∠D，理由見解析【分析】（1）首先利用角平分線性質得出∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，再利用三角形內角和定理得出∠A+∠ABC+∠ACB=180°以及∠DBC+∠DCB+∠D=180°，據此進一步加以變形求證即可；（2）①首先理由角平分線性質得出∠EBC=2∠DBC，∠FCB=2∠DCB，然后再利用三角形內角和性質進一步整理得出∠A?2(∠DBC+∠DCB)=-180°，據此進一步加以分析證明即可；②利用三角形外角性質可知∠DCE=∠DBC+∠D，然后再利用角平分線性質得出2∠DBC=∠ABC，2∠DCE=∠ACE，最后再結合∠A+∠ABC=∠ACE進一步證明即可.【詳解】（1）∵BD，CD分別是∠ABC，∠ACB的平分線，∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A，又∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，∴∠D=180°?(∠DBC+∠DCB)=180°?(∠ABC+∠ACB)=180°?(180°?∠A)=180°?90°+∠A=90°+∠A，即：∠D=90°+∠A；（2）①∠A=180°?2∠D，理由如下：∵BD，CD分別是∠EBC和∠FCB的平分線，∴∠EBC=2∠DBC，∠FCB=2∠DCB，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC=180°?(∠A+∠ACB)=180°?2∠DBC，∠ACB=180°?(∠A+∠ABC)=180°?2∠DCB，∴∠A+180°?2∠DBC+180°?2∠DCB=180°，∴∠A?2(∠DBC+∠DCB)=?180°，又∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，∴∠DBC+∠DCB=180°?∠D，∴∠A?2(∠DBC+∠DCB)=∠A?2(180°?∠D)=?180°，即：∠A?360°+2∠D=?180°，∴2∠D=180°?∠A，即：∠A=180°?2∠D；②∠A=2∠D，理由如下：∵∠DCE是△ABC的一個外角，∴∠DCE=∠DBC+∠D，∵BD，CD分別是∠ABC和∠ACE的平分線，∴2∠DBC=∠ABC，2∠DCE=∠ACE，∵∠A+∠ABC=∠ACE，∴∠A+2∠DBC=2∠DCE，∴∠A+2∠DBC=2∠DBC+2∠D，∴∠A=2∠D.【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理與三角形外角性質及角平分線性質的綜合運用，熟練掌握相關方法是解題關鍵.6．在△ABC中，若存在一個內角角度是另外一個內角角度的n倍（n為大于1的正整數），則稱△ABC為n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝25°，可知∠B＝3∠C，所以△ABC為3倍角三角形．（1）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，則△ABC為倍角三角形；（2）若銳角三角形MNP是3倍角三角形，且最小內角為α，請直接寫出α的取值范圍為．（3）如圖，直線MN與直線PQ垂直相交于點O，點A在射線OP上運動（點A不與點O重合），點B在射線OM上運動（點B不與點O重合）．延長BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線所在的直線分別相交于E、F，若△AEF為4倍角三角形，求∠ABO的度數．【答案】（1）2；（2）22.5°＜α＜30°；（3）45°或36°【分析】（1）由∠A＝80°，∠B＝60°，可求∠C的度數，發(fā)現內角之間的倍數關系，得出答案，（2）△DEF是3倍角三角形，必定有一個內角是另一個內角的3倍，然后根據這兩個角之間的關系，分情況進行解答，（3）首先證明∠EAF＝90°，分兩種情形分別求出即可．【詳解】解：（1）∵∠A＝80°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°，∴∠A＝2∠C，∴△ABC為2倍角三角形，故答案為：2；（2）∵最小內角為α，∴3倍角為3α，由題意可得：3α＜90°，且180°﹣4α＜90°，∴最小內角的取值范圍是22.5°＜α＜30°．故答案為22.5°＜α＜30°．（3）∵AE平分∠BAO，AF平分∠AOG，∴∠EAB＝∠EAO，∠OAF＝∠FAG，∴∠EAF＝∠EAO+∠OAF＝（∠BAO+∠OAG）＝90°，∵△EAF是4倍角三角形，∴∠E＝×90°或×90°，∵AE平分∠BAO，OE平分∠BOQ，∴∠E＝∠ABO，∴∠ABO＝2∠E，∴∠ABO＝45°或36°．【點睛】本題考查了三角形的內角和定理，余角的意義，不等式組的解法和應用等知識，讀懂新定義n倍角三角形的意義和分類討論是解題的基礎和關鍵．7．在△ABC中，已知∠A＝α．（1）如圖1，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點D．求∠BDC的大?。ㄓ煤恋拇鷶凳奖硎荆?；（2）如圖2，若∠ABC的平分線與∠ACE的平分線交于點F，求∠BFC的大小（用含α的代數式表示）；（3）在（2）的條件下，將△FBC以直線BC為對稱軸翻折得到△GBC，∠GBC的平分線與∠GCB的平分線交于點M（如圖3），求∠BMC的度數（用含α的代數式表示）．【答案】（1）∠BDC＝90°+；（2）∠BFC＝；（3）∠BMC＝90°+．【分析】（1）由三角形內角和可求∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，由角平分線的性質可求∠DBC+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣，由三角形的內角和定理可求解；（2）由角平分線的性質可得∠FBC＝∠ABC，∠FCE＝∠ACE，由三角形的外角性質可求解；（3）由折疊的性質可得∠G＝∠BFC＝，方法同（1）可求∠BMC＝90°+，即可求解.【詳解】解：（1）∵∠A＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠DBC＝∠ABC，∠BCD＝∠ACB，∴∠DBC+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣，∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠BCD）＝90°+；（2）∵∠ABC的平分線與∠ACE的平分線交于點F，∴∠FBC＝∠ABC，∠FCE＝∠ACE，∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠FCE＝∠BFC+∠FBC，∴∠BFC＝∠A＝；（3）∵∠GBC的平分線與∠GCB的平分線交于點M，∴方法同（1）可得∠BMC＝90°+，∵將△FBC以直線BC為對稱軸翻折得到△GBC，∴∠G＝∠BFC＝，∴∠BMC＝90°+.【點睛】此題考查三角形的內角和定理，三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，角平分線的性質定理，折疊的性質.8．如圖，在平面直角坐標系中，是直角三角形，，斜邊AB與y軸交于點C．（1）若，求證：；（2）如圖（2），延長AB，交x軸于點E，過點O作，且，求度數；（3）如圖（3），OF平分，的平分線交FO的延長線于點P，當繞O點旋轉時，斜邊AB與y軸正半軸始終相交于點C，在（2）的條件下，試問的度數是否發(fā)生改變？若不變，請求其度數；若改變，請說明理由．【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）的度數不變，．【分析】（1）易證∠B與∠BOC分別是∠A與∠AOC的余角，等角的余角相等，就可以證出；（2）易證∠DOB＋∠EOB＋∠OEA＝90°，且∠DOB＝∠EOB＝∠OEA就可以得到；（3）∠P＝180°?（∠PCO＋∠FOM＋90°）根據角平分線的定義，就可以求出．【詳解】（1）是直角三角形，．，．（2），，即．，，；（3）的度數不變，．，．，OF平分，CP平分，，．．由（2）知，∴．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義和直角三角形的性質，關鍵是根據三角形的內角和和角平分線的定義解答．9．如圖1，△ABC的外角平分線交于點F．（1）若∠A＝40°，則∠F的度數為；（2）如圖2，過點F作直線MN∥BC，交AB，AC延長線于點M，N，若設∠MFB＝α，∠NFC＝β，則∠A與α+β的數量關系是；（3）在（2）的條件下，將直線MN繞點F轉動．①如圖3，當直線MN與線段BC沒有交點時，試探索∠A與α，β之間的數量關系，并說明理由；②當直線MN與線段BC有交點時，試問①中∠A與α，β之間的數量關系是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請給出三者之間的數量關系．【答案】（1）70°（2）（3）①見解析②不成立；或【分析】（1）根據三角形內角和定理以及角平分線的定義，即可得到∠F的度數；（2）根據三角形內角和定理以及角平分線的定義，即可得到∠BFC的度數，再根據平行線的性質，即可得到∠A與α+β的數量關系；（3）①根據（2）中的結論∠BFC＝90°﹣∠A，以及平角的定義，即可得到∠A與α，β之間的數量關系；②分兩種情況進行討論，根據（2）中的結論∠BFC＝90°﹣∠A，以及平角的定義，即可得到∠A與α，β之間的數量關系．【詳解】解：（1）如圖1，∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝140°，∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣140°＝220°，又∵△ABC的外角平分線交于點F，∴∠FBC+∠FCB＝（∠DBC+∠ECB）＝×220°＝110°，∴△BCF中，∠F＝180°﹣110°＝70°，故答案為：70°；（2）如圖2，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，又∵△ABC的外角平分線交于點F，∴∠FBC+∠FCB＝（∠DBC+∠ECB）＝×（180°+∠A）＝90°+∠A，∴△BCF中，∠BFC＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A，又∵∠MFB＝α，∠NFC＝β，MN∥BC，∴∠FBC＝α，∠FCB＝β，∵△BCF中，∠FBC+∠FCB+∠BFC＝180°，∴α+β+90°﹣∠A＝180°，即α+β﹣∠A＝90°，故答案為：α+β﹣∠A＝90°；（3）①α+β﹣∠A＝90°，理由如下：如圖3，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，∵∠MFB+∠NFC+∠BFC＝180°，∴α+β+90°﹣∠A＝180°，即α+β﹣∠A＝90°，②當直線MN與線段BC有交點時，①中∠A與α，β之間的數量關系不成立．分兩種情況：如圖4，當M在線段AB上，N在AC延長線上時，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，∵∠BFC﹣∠MFB+∠NFC＝180°，∴90°﹣∠A﹣α+β＝180°，即β﹣α﹣∠A＝90°；如圖5，當M在AB的延長線上，N在線段AC上時，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，∵∠BFC﹣∠NFC+∠MFB＝180°，∴90°﹣∠A﹣β+α＝180°，即α﹣β﹣∠A＝90°；綜上所述，∠A與α，β之間的數量關系為β﹣α﹣∠A＝90°或α﹣β﹣∠A＝90°．【點睛】此題主要考查三角形的角度求解與證明，解題的關鍵是根據題意分情況作圖．10．如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度數；（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分線交于點Q，試探索∠Q、∠A之間的數量關系．（3）如圖③，延長線段BP、QC交于點E，△BQE中，存在一個內角等于另一個內角的3倍，請直接寫出∠A的度數．【答案】（1）130°；（2）；（3）60°或120°或45°或135°【分析】（1）運用三角形的內角和定理及角平分線的定義，首先求出∠ABC+∠ACB，進而求出∠BPC即可解決問題；（2）根據三角形的外角性質分別表示出∠MBC與∠BCN，再根據角平分線的性質可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根據三角形內角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣∠A，求出∠E＝∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一個內角等于另一個內角的3倍，那么分四種情況進行討論：①∠EBQ＝3∠E＝90°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°；③∠Q＝3∠E；④∠E＝3∠Q；分別列出方程，求解即可．【詳解】（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵點P是∠ABC和∠ACB的平分線的交點，∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點Q，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；（3）延長BC至F，∵CQ為△ABC的外角∠NCB的角平分線，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分線，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+∠MBC＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一個內角等于另一個內角的3倍，那么分四種情況：①∠EBQ＝3∠E＝90°，則∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°，則∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；③∠Q＝3∠E，則∠E＝22.5°，解得∠A＝45°；④∠E＝3∠Q，則∠E＝67.5°，解得∠A＝135°．綜上所述，∠A的度數是60°或120°或45°或135°．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了三角形內角和定理、外角的性質，角平分線定義等知識；靈活運用三角形的內角和定理、外角的性質進行分類討論是解題的關鍵．11．如圖，在△ABD中，∠ABD的平分線與∠ACD的外角平分線交于點E，∠A=80°，求∠E的度數【答案】40°【分析】由題意：設∠ABE=∠EBC=x，∠ACE=∠ECD=y，利用三角形的外角的性質構建方程組解決問題即可．【詳解】由題意：設∠ABE=∠EBC=x，∠ACE=∠ECD=y，

則有，

①-2×②可得∠A=2∠E，

∴∠E=∠A=40°．【點睛】本題考查三角形的外角的性質，角平分線的定義等知識，解題的關鍵是學會利用參數構建方程組解決問題．12．如圖，AC∥DE，BD平分∠ABC交AC于F，∠ABC=70°，∠E=50°，求∠D，∠A的度數．【答案】【分析】根據BD平分∠ABC，∠ABC=70°得出,再根據得出,從而計算．【詳解】∵根據BD平分∠ABC交AC于F，∠ABC=70°∴又∵∴∴∴綜上所述：【點睛】本題考查了三角形的內角和定理以及平行線的性質，轉化相關的角度是解題關鍵．13．如圖1，AB∥CD，P為AB、CD之間一點（1）若AP平分∠CAB，CP平分∠ACD．求證：AP⊥CP；（2）如圖（2），若∠BAP∠BAC，∠DCP∠ACD，且AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，猜想∠E+∠F的結果并且證明你的結論；（3）在（1）的條件下，當∠BAQ∠BAP，∠DCQ∠DCP，H為AB上一動點，連HQ并延長至K，使∠QKA＝∠QAK，再過點Q作∠CQH的平分線交直線AK于M，問當點H在射線AB上移動時，∠QMK的大小是否變化？若不變，求其值；若變化，求其取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）∠E+∠F＝108°，證明見解析；（3）不變，是定值，值為15°【分析】（1）依據平行線的性質，以及角平分線的定義，即可得到∠P＝180°﹣90°＝90°，進而得到AP⊥CP；（2）過E作EG∥AB，過F作FH∥CD，依據平行線的性質即可得到∠AEC＝∠BAE＋∠DCE，∠AFC＝∠BAF＋∠DCF，再根據∠BAP∠BAC，∠DCP∠ACD，AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，即可得到∠E＋∠F＝108°；（3）過Q作QE∥AB，依據平行線的性質可得∠AQC＝∠AQE＋∠CQE＝∠BAQ＋∠DCQ，依據∠BAQ∠BAP，∠DCQ∠DCP，即可得出∠AQC＝30°，再根據∠M＝∠MQH﹣∠K進行計算，即可得出∠QMK的大小不變，是定值15°．【詳解】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠ACD＝180°，又∵AP平分∠CAB，CP平分∠ACD，∴∠CAP∠CAB，∠ACP∠ACD，∴∠CAP＋∠ACP（∠BAC＋∠ACD）180°＝90°，∴△ACP中，∠P＝180°﹣90°＝90°，即AP⊥CP；（2）∠E＋∠F＝108°．證明：如圖2，過E作EG∥AB，過F作FH∥CD，∵AB∥CD，∴EG∥AB∥FH∥CD，∠BAC＋∠DCA＝180°，∴∠BAE＝∠AEG，∠DCE＝∠CEG，∠BAF＝∠AFH，∠DCF＝∠CFH，∴∠AEC＝∠BAE＋∠DCE，∠AFC＝∠BAF＋∠DCF，∵∠BAP∠BAC，∠DCP∠ACD，AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，∴∠BAE∠BAC，∠DCF∠DCA，∴∠AEC∠BAC∠ACD，∠AFC∠BAC∠DCA，∴∠AEC＋∠AFC∠BAC∠ACD∠BAC∠DCA∠ACD∠BAC（∠BAC＋∠DCA）180°＝108°；（3）如圖，過Q作QE∥AB，∵AB∥CD，QE∥CD，∴∠BAQ＝∠AQE，∠DCQ＝∠CQE，∴∠AQC＝∠AQE＋∠CQE＝∠BAQ＋∠DCQ，由（1）可得∠BAP＋∠DCP＝180°﹣90°＝90°，又∵∠BAQ∠BAP，∠DCQ∠DCP，∴∠AQC＝∠BAQ＋∠DCQ∠BAP∠DCP（∠BAP＋∠DCP）＝30°，∵∠AQH是△AQK的外角，QA＝QK，∴∠K∠AQH，∵QM是∠CQH的平分線，∴∠MQH∠CQH，∵∠MQH是△MQK的外角，∴∠M＝∠MQH﹣∠K∠CQH∠AQH（∠CQH﹣∠AQH）∠AQC30°＝15°，即∠QMK的大小不變，是定值15°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質、三角形外角性質以及角平分線的定義的綜合運用，解題時注意：兩直線平行，同旁內角互補；兩直線平行，內錯角相等．解決問題的關鍵是過拐點作平行線．14．（1）在銳角中，邊上的高所在直線和邊上的高所在直線的交點為，，求的度數．（2）如圖，和分別平分和，當點在直線上時，，則_________．（3）在（2）的基礎上，當點在直線外時，如下圖：，，求的度數．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根據對頂角相等以及四邊形的內角和進行判斷即可；（2）根據以及和分別平分和，算出和,從而算出【詳解】如圖邊上的高所在直線和邊上的高所在直線的交點為∴又∵∴∵在四邊形中，內角和為∴（2）∵和分別平分和∴又∵∴∴∴（3）如圖：連接AC∵，∴∴又∵和分別平分和∴∴∴【點睛】三角形的內角和定理以及角平分線的定義是解決本題的關鍵．15．圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數量關系：；（2）仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數：個；（3）圖2中，當∠D＝50度，∠B＝40度時，求∠P的度數．（4）圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數量關系．（直接寫出結果，不必證明）．【答案】（1）∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）6；（3）∠P＝45°；（4）2∠P＝∠D+∠B．【分析】（1）根據三角形內角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）根據“8字形”的定義，仔細觀察圖形即可得出“8字形”共有6個；（3）先根據“8字形”中的角的規(guī)律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②，再根據角平分線的定義，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，將①+②，可得2∠P＝∠D+∠B，進而求出∠P的度數；（4）同（3），根據“8字形”中的角的規(guī)律及角平分線的定義，即可得出2∠P＝∠D+∠B．【詳解】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B，故答案為：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）①線段AB、CD相交于點O，形成“8字形”；②線段AN、CM相交于點O，形成“8字形”；③線段AB、CP相交于點N，形成“8字形”；④線段AB、CM相交于點O，形成“8字形”；⑤線段AP、CD相交于點M，形成“8字形”；⑥線段AN、CD相交于點O，形成“8字形”；故“8字形”共有6個，故答案為：6；（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；（4）關系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+∠1＝∠P+∠3①∠B+∠4＝∠P+∠2②①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，∵∠DAB和∠DCB的平分線AP和CP相交于點P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∴2∠P＝∠D+∠B．【點睛】此題也是屬于規(guī)律的題型，但也涉及到已經學過的知識，讀懂題目是關鍵，融合已學知識，進行運用.16．中，．（1）如圖①，若點是與平分線的交點，求的度數；（2）如圖②，若點是與平分線的交點，求的度數；（3）如圖③，若點是與平分線的交點，求的度數；（4）若.請直接寫出圖①，②，③中的度數，(用含的代數式表示)【答案】（1）115°；（2）65°；（3）25°；（4）分別為：①；②；③【分析】（1）根據三角形內角和定理和角平分線定義得出∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=65°，根據三角形的內角和定理得出∠P的度數；

（2）由三角形內角和定理和鄰補角關系得出∠CBD+∠BCE=360°-130°=230°，由角平分線得出∠PBC+∠PCB=（∠CBD+∠BCE）=115°，再由三角形內角和定理即可求出結果；（3）由三角形的外角性質和角平分線的定義證出∠P=∠A，即可得出結果；

（4）由（1）（2）（3），容易得出結果．【詳解】解:（1），，點是與平分線的交點，，，，；（2），，點是與平分線的交點，，；（3）點是與平分線的交點，，，，，，；（4）若，在（1）中，；在（2）中，同理得：；在（3）中，同理得：．【點睛】本題考查了三角形的內角和定理、三角形的角平分線、三角形的外角性質、鄰補角關系等知識點；熟練掌握三角形內角和定理，弄清各個角之間的數量關系是解決問題的關鍵．17．（1）如圖1所示，在中，和的平分線將于點O，則有，請說明理由．（2）如圖2所示，在中，內角的平分線和外角的平分線交于點O，請直接寫出與之間的關系，不必說明理由．（3）如圖3所示，AP，BP分別平分，，則有，請說明理由．（4）如圖4所示，AP，BP分別平分，，請直接寫出與，之間的關系，不必說明理由．【答案】(1)理由見解析；(2)∠BAC=2∠BOC；(3)理由見解析；(4)【分析】(1)根據OB是∠ABC的角平分線，OC是∠ACB的角平分線，利用三角形的內角和等于180°即可得出結果；(2)根據OB是∠ABC的角平分線，OC是∠ACD的角平分線，利用三角形的外角性質即可得出結果；(3)根據AP是∠DAC的角平分線，BP是∠DBC的角平分線，利用三角形的外角性質列出等式∠D+∠DAP=∠P+∠DBP，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C，分析等式即可得出結果；(4)AP是∠MAC的角平分線，BP是∠DBC的角平分線，設∠DBP=∠PBC=x，∠MAP=∠PAC=y，利用三角形外角性質和內角和性質即可得出結果．【詳解】解：(1)∵OB是∠ABC的角平分線，OC是∠ACB的角平分線∴∠ABO=OBC，∠ACO=∠OCB∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴∠OCB+∠OBC=∴∠BOC=(2)∵OB是∠ABC的角平分線，OC是∠ACD的角平分線∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCD∵∠BAC+∠ABC=∠ACD，∠OBC+∠BOC=∠OCD∴2∠OBC+2∠BOC=2∠OCD∴∠ABC+2∠BOC=∠ACD∴∠BAC=2∠BOC(3)∵AP是∠DAC的角平分線，BP是∠DBC的角平分線∴∠DAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC∵∠D+∠DAP=∠P+∠DBP，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C∴∠D-∠P=∠P-∠C∴(4)∵AP是∠MAC的角平分線，BP是∠DBC的角平分線∴∠MAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC設∠DBP=∠PBC=x，∠MAP=∠PAC=y∴∠AGB=∠C+2x∴∠BEP=∠AEG=180°-（∠C+2x）-y∴∠P=180°-∠BEP-∠DBP=∠C+x+y∵∠D+∠AEG=∠MAP∴∠D+180°-（∠C+2x）-y=y∴x+y=∴∴【點睛】本題主要考查的是角平分線性質的綜合運用，正確的掌握角平分線的性質以及運用是解題的關鍵．18．如圖1