新教材2025版高中數(shù)學第四章概率與統(tǒng)計4.1條件概率與事件的獨立性4.1.3獨立性與條件概率的關(guān)系學生用書新人教B版選擇性必修第二冊

4．1.3獨立性與條件概率的關(guān)系[課標解讀]1.結(jié)合古典概型，了解條件概率與獨立性的關(guān)系.2.能夠結(jié)合詳細實例，理解隨機事務的獨立性和條件概率的關(guān)系．【教材要點】學問點一兩個事務獨立的直觀理解若事務A是否發(fā)生對事務B發(fā)生的概率沒有影響，事務B是否發(fā)生對事務A發(fā)生的概率也沒有影響，則稱兩個事務A，B相互獨立，并把這兩個事務叫做____________．且A，B為兩個事務獨立的充要條件是P(AB)＝P(A)·P(B).學問點二獨立性與條件概率的關(guān)系設A，B為兩個事務，A，B獨立的充要條件是P(B|A)＝P(B)，(P(A|B)＝P(A))即若事務B發(fā)生的概率與已知事務A發(fā)生時事務B發(fā)生的概率相等，即事務A發(fā)生，不會影響事務B發(fā)生的概率，則稱兩個事務A，B相互獨立，并把這兩個事務叫做____________．學問點三相互獨立事務的概率的乘法公式若事務A，B相互獨立，則P(B|A)＝P(B),P(A|B)＝P(A)，此時概率的乘法公式可簡化為：P(AB)＝P(A)·P(B).學問點四n個事務相互獨立也可借助條件概率來理解對于n個事務A1，A2，…，An，假如其中任一個事務發(fā)生的概率不受________________的影響，則稱n個事務A1，A2，…，An相互獨立．學問點五n個相互獨立事務的概率公式假如事務A1，A2，…，An相互獨立，那么這n個事務都發(fā)生的概率，等于______________________，即P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)，并且上式中隨意多個事務Ai換成其對立事務后等式仍成立．【基礎自測】1．下列說法不正確的有()A．對事務A和B，若P(B|A)＝P(B)，則事務A與B相互獨立B．若事務A，B相互獨立，則P(A∩B)＝P(A)×P(B)C．假如事務A與事務B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)D．若事務A與B相互獨立，則B與B相互獨立2．拋擲3枚質(zhì)地勻稱的硬幣，A＝{既有正面對上又有反面對上}，B＝{至多有一個反面對上}，則A與B的關(guān)系是()A．互斥事務 B．對立事務C．相互獨立事務 D．不相互獨立事務3．袋內(nèi)有大小相同的3個白球和2個黑球，從中不放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，用B表示“其次次摸到白球”，則A與B是()A．互斥事務 B．相互獨立事務C．對立事務 D．非相互獨立事務4．明天上午李明要參與“青年文明號”活動，為了準時起床，他用甲、乙兩個鬧鐘叫醒自己，假設甲鬧鐘準時響的概率為0.80，乙鬧鐘準時響的概率為0.90，則兩個鬧鐘至少有一個準時響的概率是________.題型1相互獨立事務的推斷例1推斷下列各對事務是否是相互獨立事務．(1)甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學參與演講競賽，“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”；(2)容器內(nèi)盛有5個白乒乓球和3個黃乒乓球，“從8個球中隨意取出1個，取出的是白球”與“從剩下的7個球中隨意取出1個，取出的還是白球”；(3)擲一顆骰子一次，“出現(xiàn)偶數(shù)點”與“出現(xiàn)3點或6點”．狀元隨筆(1)利用獨立性概念的直觀說明進行推斷.(2)計算“從8個球中任取一球是白球”發(fā)生與否，事務“從剩下的7個球中隨意取出一球還是白球”的概率是否相同進行推斷.(3)利用事務的獨立性定義式推斷．方法歸納推斷事務是否相互獨立的方法1．定義法：事務A，B相互獨立?P(A∩B)＝P(A)·P(B).2．由事務本身的性質(zhì)干脆判定兩個事務發(fā)生是否相互影響．3．條件概率法：當P(A)>0時，可用P(B|A)＝P(B)推斷．跟蹤訓練1(1)下列事務中，A，B是相互獨立事務的是()A．一枚硬幣擲兩次，A＝“第一次為正面”，B＝“其次次為反面”B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸兩球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“其次次摸到白球”C．擲一枚骰子，A＝“出現(xiàn)點數(shù)為奇數(shù)”，B＝“出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)”D．A＝“人能活到20歲”，B＝“人能活到50歲”(2)甲、乙兩名射手同時向一目標射擊，設事務A：“甲擊中目標”，事務B：“乙擊中目標”，則事務A與事務B()A．相互獨立但不互斥B．互斥但不相互獨立C．相互獨立且互斥D．既不相互獨立也不互斥題型2相互獨立事務發(fā)生的概率例2面對某種流感病毒，各國醫(yī)療科研機構(gòu)都在探討疫苗，現(xiàn)有A，B，C三個獨立的探討機構(gòu)在肯定的時期內(nèi)能研制出疫苗的概率分別是15，14，(1)他們都研制出疫苗的概率；(2)他們都失敗的概率；(3)他們能夠研制出疫苗的概率．狀元隨筆eq\x(明確已知事務的概率及其關(guān)系)→eq\x(把待求事務的概率表示成已知事務的概率)→eq\x(選擇公式計算求值)方法歸納1．求相互獨立事務同時發(fā)生的概率的步驟(1)首先確定各事務之間是相互獨立的；(2)確定這些事務可以同時發(fā)生；(3)求出每個事務的概率，再求積．2．運用相互獨立事務同時發(fā)生的概率計算公式時，要駕馭公式的適用條件，即各個事務是相互獨立的，而且它們能同時發(fā)生．跟蹤訓練2一個袋子中有3個白球，2個紅球，每次從中任取2個球，取出后再放回，求：(1)第1次取出的2個球都是白球，第2次取出的2個球都是紅球的概率；(2)第1次取出的2個球1個是白球、1個是紅球，第2次取出的2個球都是白球的概率．題型3事務的相互獨立性與互斥性【思索探究】1．甲、乙二人各進行一次射擊競賽，記A＝“甲擊中目標”，B＝“乙擊中目標”，試問事務A與B是相互獨立事務，還是互斥事務？事務A∩B與A∩B呢？[提示]事務A與B，A與B，A與B均是相互獨立事務，而A∩B與A∩B是互斥事務．2．在1中，若甲、乙二人擊中目標的概率均是0.6，如何求甲、乙二人恰有一人擊中目標的概率？[提示]“甲、乙二人恰有1人擊中目標”記為事務C，則C＝A∩B＋A∩B.所以P(C)＝P(A∩B＋A∩B)＝P(A∩B)＋P(A∩B)＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＝(1－0.6)×0.6＋0.6×(1－0.6)＝0.48.3．由1、2，你能歸納出相互獨立事務與互斥事務的區(qū)分嗎？[提示]相互獨立事務與互斥事務的區(qū)分相互獨立事務互斥事務條件事務A(或B)是否發(fā)生對事務B(或A)發(fā)生的概率沒有影響不行能同時發(fā)生的兩個事務符號相互獨立事務A，B同時發(fā)生，記作：AB互斥事務A，B中有一個發(fā)生，記作：A∪B(或A＋B)計算公式P(A∩B)＝P(A)P(B)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)例3紅隊隊員甲、乙、丙與藍隊隊員A，B，C進行圍棋競賽，甲對A、乙對B、丙對C各一盤．已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6，0.5，0.5.假設各盤競賽結(jié)果相互獨立．求：(1)紅隊中有且只有一名隊員獲勝的概率；(2)求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率．狀元隨筆弄清事務“紅隊有且只有一名隊員獲勝”與事務“紅隊至少兩名隊員獲勝”是由哪些基本領件組成的，及這些事務間的關(guān)系，然后選擇相應概率公式求值．方法歸納1．本題(2)中用到干脆法和間接法．當遇到“至少”“至多”問題可以考慮間接法．2．求困難事務的概率一般可分三步進行：(1)列出題中涉及的各個事務，并用適當?shù)姆柋硎舅鼈儯?2)理清各事務之間的關(guān)系，恰當?shù)赜檬聞臻g的“并”“交”表示所求事務；(3)依據(jù)事務之間的關(guān)系精確地運用概率公式進行計算．跟蹤訓練3[2024·北京豐臺區(qū)高二月考]拋擲兩枚質(zhì)地勻稱的硬幣，設事務A＝“第一枚硬幣正面朝上”，事務B＝“其次枚硬幣反面朝上”，則A與B的關(guān)系為()A．互斥 B．相互對立C．相互獨立 D．相等4．1.3獨立性與條件概率的關(guān)系新知初探·自主學習[教材要點]學問點一相互獨立事務學問點二相互獨立事務學問點四其他事務是否發(fā)生學問點五每個事務發(fā)生的概率的積[基礎自測]1．解析：若P(B|A)＝P(B)，則P(A∩B)＝P(A)·P(B)，故A，B相互獨立，所以A正確；若事務A，B相互獨立，則A，B也相互獨立，故B正確；若事務A，B相互獨立，則A發(fā)生與否不影響B(tài)的發(fā)生，故C正確；B與B相互對立，不是相互獨立，故答案：D2．解析：由已知，有P(A)＝1－28＝34，P(B)＝1－48＝12，P(AB)＝答案：C3．解析：依據(jù)互斥事務、對立事務及相互獨立事務的概念可知，A與B不是相互獨立事務．答案：D4．解析：設兩個鬧鐘至少有一個準時響的事務為A，則P(A)＝1－(1－0.80)(1－0.90)＝1－0.20×0.10＝0.98.答案：0.98課堂探究·素養(yǎng)提升例1解析：(1)“從甲組中選出1名男生”這一事務是否發(fā)生，對“從乙組中選出1名女生”這一事務發(fā)生的概率沒有影響，所以它們是相互獨立事務．(2)“從8個球中隨意取出1個，取出的是白球”的概率為58，若這一事務發(fā)生了，則“從剩下的7個球中隨意取出1個，取出的仍是白球”的概率為47；若前一事務沒有發(fā)生，則后一事務發(fā)生的概率為5(3)記A：出現(xiàn)偶數(shù)點，B：出現(xiàn)3點或6點，則A＝{2，4，6}，B＝{3，6}，AB＝{6}，∴P(A)＝36＝12，P(B)＝26＝1∴P(AB)＝P(A)·P(B)，∴事務A與B相互獨立．跟蹤訓練1解析：(1)把一枚硬幣擲兩次，對于每次而言是相互獨立的，其結(jié)果不受先后影響，故A項是相互獨立事務；B中是不放回地摸球，明顯A事務與B事務不相互獨立；對于C，A，B應為互斥事務，不相互獨立；D是條件概率，事務B受事務A的影響．故選A.(2)對同一目標射擊，甲、乙兩射手是否擊中目標是互不影響的，所以事務A與B相互獨立；對同一目標射擊，甲、乙兩射手可能同時擊中目標，也就是說事務A與B可能同時發(fā)生，所以事務A與B不是互斥事務．故選A.答案：(1)A(2)A例2解析：令事務A，B，C分別表示A，B，C三個獨立的探討機構(gòu)在肯定時期內(nèi)勝利研制出該疫苗，依題意可知，事務A，B，C相互獨立，且P(A)＝15，P(B)＝14，P(C)＝(1)他們都研制出疫苗，即事務A，B，C同時發(fā)生，故P(A∩B∩C)＝P(A)×P(B)×P(C)＝15×1(2)他們都失敗即事務A，故P(A∩B∩C)＝P(A)×P(B)×P(C)＝(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C))＝1＝45×3(3)“他們能研制出疫苗”的對立事務為“他們都失敗”，結(jié)合對立事務間的概率關(guān)系可得所求事務的概率P＝1－P(A∩B∩C)＝1－25＝3跟蹤訓練2解析：記“第1次取出的2個球都是白球”的事務為A，“第2次取出的2個球都是紅球”的事務為B，“第1次取出的2個球中1個是白球、1個是紅球”的事務為C，很明顯，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互獨立事務．(1)P(A∩B)＝P(A)P(B)＝C32C52故第1次取出的2個球都是白球，第2次取出的2個球都是紅球的概率是3100(2)P(C∩A)＝P(C)P(A)＝C31C21C5故第1次取出的2個球中1個是白球、1個是紅球，第2次取出的2個球都是白球的概率是950例3解析：設甲勝A的事務為D，乙勝B的事務為E，丙勝C的事務為F，則D，因為P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由對立事務的概率公式知P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5.(1)紅隊有且只有一名隊員獲勝的事務有D∩E∩F，D∩E∩F，D∩E∩F，以上3個事務彼此互斥且獨立．∴紅隊有且只有一名隊員獲勝的概率P1＝P[(D∩E∩F)∪D∩E∩F)∪D∩E＝P(D∩E∩F)＋P(D∩E∩F)＋PD∩E∩F)＝0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.35.(2)方法一：紅隊至少兩人獲勝的事務有：D∩E∩F，D∩E∩F，D∩E由于以上四個事務兩兩互斥且各盤競賽的結(jié)果相互獨立，因此紅隊至少兩人獲勝的概率為P＝P(D∩E∩F)＋P(D∩E∩F)+PD∩E∩F)+P(D∩E∩F)＝0.6×0.5×