《自動控制原理及其應(yīng)用》第4章 習題及參考答案

4-1已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試繪制出相應(yīng)的閉環(huán)根軌跡圖。1）2）圖4-1（1）解：（1）①由G(s)知，n=3，m=0，p1=0，p2=–1，p3=–3。②實軸上[0，–1]、[–3，]是根軌跡段。③有n–m=3條漸近線,交點，夾角、180°。④實軸上[0、–1]根軌跡段上有分離點d。由求d：解得（分離點）（舍去）⑤求根軌跡與虛軸交點，令代入，得解得根軌跡圖見圖4-1（1）圖4-1（2）（2）①由G(s)知，n=3，m=1，p1=0，p2=–2，p3=–3，p4=–5②實軸上[-2、0]，[-5、-3]是根軌跡段③有n-m=2條漸近線：，夾角a=±90°④實軸上[-2、0]根軌跡段上有分離點d，由求d：，試湊得s1=-0.88是其解，且是分離點。根軌跡圖見圖4-1（2）。4-2已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試繪制出相應(yīng)的閉環(huán)根軌跡圖。1）2）解：（1）根軌跡圖見圖4-2（1）圖4-2（1）（2）①n=4，m=0，p1=0，p2=–4，p3、4=–2±j4②p1、p2連線中點正好是p3、p4實部，開環(huán)極點分布對稱于垂線s=–2，根軌跡也將對稱于該垂線。圖4-2(2)∴實軸上[0、–4]復平面內(nèi)[p3、p4]間是根軌跡③有n-m=4條漸近線：a=±45°、±135°漸近線如圖4-2(2)中虛線示。④[0、–4]間、[P3、P4]間根軌跡上有分離點，由分離點方程可解得，均為分離點⑤由中，求根軌與虛軸交點：令代入，得，解得與虛軸交點及臨界值：（此即根軌跡起點p1，不是K*增大時與虛軸交點，舍去）系統(tǒng)根軌跡如圖4-2(2)所示.4-3單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為1）繪制根軌跡，分析系統(tǒng)穩(wěn)定性；2）若增加一個零點試問根軌跡有何變化，對穩(wěn)定性有何影響。圖4-3解：(1)繪制系統(tǒng)根軌跡：①n=3，m=0，p=0，p1=p2=0，p3=–2；②實軸上[0,0]、[–2，–∞]是根軌跡段；③有n-m=3條漸近線，、180°漸近線如圖4-3點劃線示，根軌跡如圖中虛線示，由p1=p2=0出發(fā)的分支在右半s平面，任何K1下系統(tǒng)均不穩(wěn)定。（2）①增加z=–1，實軸上[0，0]、[–1，–2]為根軌跡段。②現(xiàn)有n-m=2漸近線，，，漸近線如圖4-3中細虛線示；根軌跡如圖中實線示，可見加進Z=-1后，系統(tǒng)在任何K1下均穩(wěn)定。這說明給系統(tǒng)加進一個位置適當?shù)拈_環(huán)左實零點，可使n-m變?yōu)閚-m+1，漸近線條數(shù)減少一條，傾角增大，根軌跡向左移動，可使系統(tǒng)穩(wěn)定性、平穩(wěn)性得到改善。4-4設(shè)單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試繪制系統(tǒng)在下列條件下的根軌跡。1）2）3）4）解：該系統(tǒng)n=3，m=1，開環(huán)極點p1、2=0，p3=–a，開環(huán)零點z=–1；隨a不同取值，在[–1，P3]實軸段上可能存在分離點與會合點。但G(s)H(s)為三階且有零點，求分離點、會合點d時用分離點方程更方便。將值代入分離點方程，有化簡整理得∴該系統(tǒng)分離點會合點可能相等或不等，但只能是同時出現(xiàn)在實軸段[–1，P3]上，否則其解應(yīng)舍去。(1)a=10圖4-4(1)圖4-4(2)①系統(tǒng)開環(huán)零極點分布如圖4-4(1)所示；②實軸上[0，0]、[–1，–10]是根軌跡段；③有n–m=2條漸近線，，，漸近線如圖中4-4（1）虛線所示；④可求得[–1、–10]段上有分離點和會合點：系統(tǒng)根軌跡如圖4-4(1)中實線所示。(2)a=9①系統(tǒng)開環(huán)零、極點分布如圖4-4(2)所示；②實軸上[0，0]、[–1，–9]是根軌跡段；③有n–m=2條漸近線，，，根軌跡漸近線如圖4-4（2）中虛線所示；④可求得[-1,-9]段上的分離點、會合點：，系統(tǒng)根軌跡如圖4-4(2)中實線所示。（圖中劃線與實軸夾角為根軌跡的分離角會合角）(3)a=8圖4-4(3)①開環(huán)零極點分布如圖4-4(3)；②實軸上[0，0]、[–1，–8]是根軌跡段；③有n–m=2條漸近線，，，漸近線如圖中4-4（3）虛線示；④由計算可知，d1、2不在[–1、–8]段上應(yīng)舍去，[–8，–1]段上無分離點、會合點；系統(tǒng)根軌跡如圖4-4(3)中實線所示。此題說明，開環(huán)極點在s平面實軸上位置移動，會導致根軌跡圖發(fā)生大的變化。(4)a=3圖4-4(4)①開環(huán)零、極點分布如圖4-4(4)中所示；②實軸上[0，0]、[–1，–3]是根軌跡段；③有n–m=2條漸近線，，，漸近線如圖中虛線示；④由計算可知應(yīng)舍去，實軸[–3、–1]段上既無分離點，也無會合點，系統(tǒng)根軌跡如圖實線所示。4-5設(shè)系統(tǒng)的方框圖如圖4-5所示，圖4-5繪制以a為變量的根軌跡，并：1）求無局部反饋時系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差、阻尼比及調(diào)節(jié)時間；2）討論a=2時局部反饋對系統(tǒng)性能的影響；3）求臨界阻尼的a值。解：本題求作系統(tǒng)參量根軌跡，首先寫出系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)由閉環(huán)特征方程中求出以為參數(shù)變量時的等效開環(huán)傳遞函數(shù)等效開環(huán)傳遞函數(shù)的零、極點分布為：，由此可知實軸上[0、–]是根軌跡段，復平面內(nèi)的根軌跡是以z為圓心、為半徑、由P1、2出發(fā)的圓弧段，交實軸于–1點，即根軌跡會合點d=–1，系統(tǒng)參量根軌跡如圖4-5（1）示。圖4-5（1）(1)無局部反饋即時，閉環(huán)極點s1、2與等效開環(huán)傳遞函數(shù)極點P1-2相等，由題圖可知，該系統(tǒng)=1，，。該系統(tǒng)比較典型二階系統(tǒng)，可知：(，=0.5，。(2)當時，已有，閉環(huán)極點均在實軸上，過阻尼狀態(tài)，系統(tǒng)階躍響應(yīng)不振蕩。求解時，essv=3，，，∴由可得閉環(huán)極點，∴系統(tǒng)性能可按一階近似計算秒。(3)由幅值條件，臨界阻尼比時，。4-6根據(jù)下列正反饋回路的開環(huán)傳遞函數(shù)，繪出其根軌跡的大致形狀。1）2）3）解：(1)該系統(tǒng)正反饋根軌跡如圖4-6(1)所示，僅實軸上[，–1]、[–2、-]是根軌跡段。圖4-6(2)①n=3、m==0、P1=0、P2=–1、P3=–2；②實軸上（，0、[–1、–2]是根軌跡段；③有n–m=3條漸近線，，、0°；漸近線如圖4-6（2）中虛線示；圖4-6④[–1、–2]間有分離點d，由可得d=1.575(3)①n=4，m=1，開環(huán)零、極點分布如圖4-6(3)示；圖4-6②實軸上（，0）、[–1，–2]、[–3，–4]為根軌跡段；③有n–m=3條漸近線，、0°漸近線如圖4-6(3)中虛線示。④在[–3，–4]段上有分離點，在兩開環(huán)極點間的根軌跡段上，分離點處對應(yīng)，當n≥4時可由K*-d曲線法試解求d：由D（s）=0可得：，列表計算，其中對應(yīng)的s值即為分離點坐標d。s=d –3.48 –3.49 –3.50 –3.505 –3.51 –3.52 –3.58K1 1.4575 1.4575 1.4583 1.45833 1.4580 1.4566 1.424解得：系統(tǒng)根軌跡如圖4-6(3)所示。4-7設(shè)單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試繪制系統(tǒng)的根軌跡。解：單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)中有非最小相位環(huán)節(jié)（1-s），由于s項系數(shù)為負，因此系統(tǒng)根軌跡遵循零度根軌跡繪制法則①n=2，m=1，系統(tǒng)開環(huán)零極點分布如圖4-10；②實軸上（，1]、[0，-2]為根軌跡段；③有n-m=1條漸近線，；漸近線與實軸重合④（、1）間有會合點，[0、–2]段上有分離點。會合點、分離點由，解得：分離點，會合點d2=2.732；⑤復平面內(nèi)的根軌跡為圓心z=1、半徑的圓，該圓與實軸交點即分離點d1、會合點d2；⑥