幾種特殊類型函數(shù)的積分

章二、三角函數(shù)有理式的積分三、簡單無理式的積分一、有理函數(shù)的積分節(jié)

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束幾種特殊類型函數(shù)的積分2021/6/271定義：兩個多項式的商表示的函數(shù)稱為有理函數(shù).一、有理函數(shù)的積分即稱此有理函數(shù)是真分式；稱此有理函數(shù)是假分式；機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/6/272利用多項式除法,假分式可以化成一個多項式和一個真分式之和。例多項式的不定積分是容易求的，因此，下面我們只討論真分式的不定積分。說明：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/6/273機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/6/274（1）分母中若有因式，則分解后含有下列項:則分解后含有下列項：（2）分母中若有因式,其中具體步驟如下：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/6/275四種典型部分分式的積分:

變分子為再分項積分機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/6/276整理得例1

求積分

解機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/6/277機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/6/278代入特殊值來確定系數(shù)取取取并將值代入例2：求積分

解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/6/279機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/6/2710解1:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解得：2021/6/2711機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/6/2712解2:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/6/2713機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:

說明:

將有理函數(shù)分解為部分分式進行積分雖可行,但不一定簡便,因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求簡便的方法.2021/6/2714解:

原式例5：求積分

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/6/2715解:

原式注意本題技巧按常規(guī)方法較繁例6：求積分

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/6/2716三角函數(shù)的有理式的定義：由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)成的函數(shù)．一般記為二、三角函數(shù)有理式的積分（萬能置換公式）機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/6/2717機動目錄上頁下頁返回結(jié)束萬能置換公式2021/6/2718例7：求積分解：由萬能置換公式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束令2021/6/2719機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/6/2720例8：求積分解1：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束用萬能公式較繁2021/6/2721機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/6/2722例8：求積分解2：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束同解12021/6/2723機動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明：一般來說，用萬能置換的計算量會比較大，故在計算三角函數(shù)有理式的積分時，通常先考慮其它方法，不得已再用萬能置換。2021/6/2724三角函數(shù)有理式的主要積分類型及代換機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/6/2725解1:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例9：求積分2021/6/2726機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/6/2727解2：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束（同解法1）例9：求積分2021/6/2728解3：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例9：求積分2021/6/2729例10：求解：令機動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、簡單無理函數(shù)的積分2021/6/2730解：令則原式例11：求積分機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/6/2731例12：求積分解：令機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/6/2732例13：求積分解：令機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/6/2733簡單無理函數(shù)積分小結(jié)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1、當(dāng)被積函數(shù)含有根式，且根式中含有三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)時，可先令整個根式為t，去掉根式后再作。2021/6/2734機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解1:例14：求積分2021/6/2735機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解2：例14：求積分2021/6/2736故機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/6/2737四、內(nèi)容小結(jié)1.可積函數(shù)的特殊類型有理函數(shù)分解多項式及部分分式之和三角函數(shù)有理式萬能代換簡單無理函數(shù)三角代換根式代換2.特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出,但不一定要注意綜合使用基本積分法,簡便計算.簡便,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/6/2738作業(yè)習(xí)題4-4(P280)2(雙)；3(雙)；4(雙)；機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/6/2739機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:

備用題2021/6/27402、求積分

解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/6/27413、求積分解1機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/6/2742解2修改萬能置換公式,令機動目錄上頁下頁返回結(jié)束3、求積分2021/6/2743解3可以不用萬能置換公式.說明：比較以上三種解法便知，萬能置換不一定是最佳方法,故三角有理式的計算中先考慮其它手段,不得已才用萬能置換.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束3、求積分2021/6/2744解:說明:

通常求含的積分時,往往更方便.的有理式用代換4、求積分機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/6/2745解法1令原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束5、求積分解法2原式2021/6/27466、求積分解1機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/6/27476、求積分解2機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/6/2748解3機動目錄上頁下頁返回結(jié)束6、求積分2021/6/2749解1機動目錄上頁下頁返回結(jié)束7、求積分2021/6/2750解2機動目錄上頁下頁返回結(jié)束7、求積分2021/6/2751解3機動目錄上頁下頁返回結(jié)束7、求積分2021/6/2752解1機動目錄上頁下頁返回結(jié)束8、求積分2021/6/2753解2機動目錄上頁下頁返回結(jié)束8、求積分2021/6/2754解3機動目錄上頁下頁返回結(jié)束8、求積分2021/6/2755解機動目錄上頁下頁返回結(jié)束9、求積分2021/6/2756解1機動目錄上頁下頁返回結(jié)束10、求積分2021/6/2757解2機動目錄上頁下頁返回結(jié)束10、求積分2021/6/2758解3機動目錄上頁下頁返回結(jié)束10、求積分2021/6/2759解4：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束10、求積分2021/6/2760機動目錄上頁下頁返回結(jié)束