幾種特殊類型函數(shù)的積分

章二、三角函數(shù)有理式的積分三、簡(jiǎn)單無(wú)理式的積分一、有理函數(shù)的積分節(jié)

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束幾種特殊類型函數(shù)的積分2021/6/271定義：兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱為有理函數(shù).一、有理函數(shù)的積分即稱此有理函數(shù)是真分式；稱此有理函數(shù)是假分式；機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/272利用多項(xiàng)式除法,假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和。例多項(xiàng)式的不定積分是容易求的，因此，下面我們只討論真分式的不定積分。說(shuō)明：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/273機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/274（1）分母中若有因式，則分解后含有下列項(xiàng):則分解后含有下列項(xiàng)：（2）分母中若有因式,其中具體步驟如下：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/275四種典型部分分式的積分:

變分子為再分項(xiàng)積分機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/276整理得例1

求積分

解機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/277機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/278代入特殊值來(lái)確定系數(shù)取取取并將值代入例2：求積分

解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/279機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2710解1:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解得：2021/6/2711機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2712解2:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2713機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解:

說(shuō)明:

將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一定簡(jiǎn)便,因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求簡(jiǎn)便的方法.2021/6/2714解:

原式例5：求積分

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2715解:

原式注意本題技巧按常規(guī)方法較繁例6：求積分

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2716三角函數(shù)的有理式的定義：由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)．一般記為二、三角函數(shù)有理式的積分（萬(wàn)能置換公式）機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2717機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束萬(wàn)能置換公式2021/6/2718例7：求積分解：由萬(wàn)能置換公式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束令2021/6/2719機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2720例8：求積分解1：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束用萬(wàn)能公式較繁2021/6/2721機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2722例8：求積分解2：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束同解12021/6/2723機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明：一般來(lái)說(shuō)，用萬(wàn)能置換的計(jì)算量會(huì)比較大，故在計(jì)算三角函數(shù)有理式的積分時(shí)，通常先考慮其它方法，不得已再用萬(wàn)能置換。2021/6/2724三角函數(shù)有理式的主要積分類型及代換機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2725解1:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例9：求積分2021/6/2726機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2727解2：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束（同解法1）例9：求積分2021/6/2728解3：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例9：求積分2021/6/2729例10：求解：令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分2021/6/2730解：令則原式例11：求積分機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2731例12：求積分解：令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2732例13：求積分解：令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2733簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)積分小結(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1、當(dāng)被積函數(shù)含有根式，且根式中含有三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)，可先令整個(gè)根式為t，去掉根式后再作。2021/6/2734機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解1:例14：求積分2021/6/2735機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解2：例14：求積分2021/6/2736故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2737四、內(nèi)容小結(jié)1.可積函數(shù)的特殊類型有理函數(shù)分解多項(xiàng)式及部分分式之和三角函數(shù)有理式萬(wàn)能代換簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)三角代換根式代換2.特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出,但不一定要注意綜合使用基本積分法,簡(jiǎn)便計(jì)算.簡(jiǎn)便,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2738作業(yè)習(xí)題4-4(P280)2(雙)；3(雙)；4(雙)；機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2739機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解:

備用題2021/6/27402、求積分

解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/27413、求積分解1機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2742解2修改萬(wàn)能置換公式,令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3、求積分2021/6/2743解3可以不用萬(wàn)能置換公式.說(shuō)明：比較以上三種解法便知，萬(wàn)能置換不一定是最佳方法,故三角有理式的計(jì)算中先考慮其它手段,不得已才用萬(wàn)能置換.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3、求積分2021/6/2744解:說(shuō)明:

通常求含的積分時(shí),往往更方便.的有理式用代換4、求積分機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2745解法1令原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束5、求積分解法2原式2021/6/27466、求積分解1機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/27476、求積分解2機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2748解3機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束6、求積分2021/6/2749解1機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束7、求積分2021/6/2750解2機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束7、求積分2021/6/2751解3機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束7、求積分2021/6/2752解1機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束8、求積分2021/6/2753解2機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束8、求積分2021/6/2754解3機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束8、求積分2021/6/2755解機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束9、求積分2021/6/2756解1機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束10、求積分2021/6/2757解2機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束10、求積分2021/6/2758解3機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束10、求積分2021/6/2759解4：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束10、求積分2021/6/2760機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束