函數(shù)單調(diào)性的證明

§3.函數(shù)的單調(diào)性（2）

——函數(shù)單調(diào)性的證明2021/6/271學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握定義法證明函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟；2.體會數(shù)形結(jié)合思想在解決函數(shù)問題中的作用。2021/6/272復(fù)習(xí)回顧1、函數(shù)單調(diào)性的概念2、判斷函數(shù)單調(diào)性的一般方法3、常見的幾類函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性2021/6/2731.單調(diào)性概念在函數(shù)y=f(x)的定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間A上,如果對于任意兩個(gè)數(shù)x1,x2∈A,

圖像特征：從左往右看圖像上升當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)<f(x2),那么,就稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間A上是增加的,有時(shí)也稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間A上是遞增的.區(qū)間A為函數(shù)的增區(qū)間

當(dāng)x1<x2時(shí),

都有f(x1)>f(x2),那么,就稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間A上是減少的,有時(shí)也稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間A上是遞減的.區(qū)間A為函數(shù)的減區(qū)間從左往右看圖像下降2021/6/2742.判斷函數(shù)單調(diào)性的一般方法根據(jù)函數(shù)圖象的上升和下降，找出單調(diào)區(qū)間[-6,-5],

[-2,1],[3,4.5],

[7,8]上是增加的[-5,-2],

[1,3],

[4.5,7],

[8,9]上是減少的2021/6/2753.常見的幾類函數(shù)的單調(diào)性思路：（1）分類討論：系數(shù)（a、k）大于0和小于0；（2）借助函數(shù)圖像來分析。2021/6/276思考：如何從邏輯推理的角度來證明函數(shù)的單調(diào)性？從定義（概念）出發(fā)2021/6/277例1判斷函數(shù)f(x)=3x+2的單調(diào)性,并加以證明.解作出f(x)=3x+2的圖像.由圖看出,函數(shù)的圖在R上是上升的,函數(shù)是R上的增函數(shù).所以f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2),O12x21543yy=3x+2任取x1,x2∈R,設(shè)x1<x2,取值作差變形定號即f(x1)<f(x2)所以，函數(shù)f(x)=3x+2是R上的增函數(shù).證明:下結(jié)論2021/6/278用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟:(1).任取某個(gè)單調(diào)區(qū)間上任意二值，并設(shè)x1＜x2;(2).作差

f(x1)－f(x2);(3).判斷

f(x1)－f(x2)的符號:(4).作結(jié)論.方法小結(jié)2021/6/279例2說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并指明在該區(qū)間上的單調(diào)性.函數(shù)是減函數(shù)嗎?解(-∞,0)和(0,+∞)都是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,在這兩個(gè)區(qū)間上函數(shù)減少.不是,當(dāng)x1=-1,x2=1時(shí)，有f(x1)<f(x2)2021/6/2710例3：證明函數(shù)f(x)=x3在R上是增函數(shù).證明：設(shè)x1,x2是R上任意兩個(gè)

實(shí)數(shù)，且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=x13-x23

=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)=(x1-x2)[(x1+x2)2+x22]因?yàn)閤1<x2，則x1-x2<0又(x1+x2)2+x22>0所以f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<f(x2)所以f(x)=x3在R上是增函數(shù).2021/6/27112021/6/2712判斷f(x1)－f(x2)的符號的一般方法方法小結(jié)將和（差）的形式轉(zhuǎn)化為積（商）的形式具體方法：因式分解、配方、提取公因式、分子有理化2021/6/27132021/6/2714抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷2021/6/2715用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟:(1).任取某個(gè)單調(diào)區(qū)間上任意二值，并設(shè)x1＜x2;(2).作差

f(x1)－f(x2)