上海市普陀區(qū)2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題含答案及解析

2023學(xué)年度第一學(xué)期期末八年級(jí)自適應(yīng)練習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)科（時(shí)間90分鐘，滿分100分）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共6題，每題2分，滿分12分）1.下列二次根式中，如果與是同類二次根式，那么這個(gè)根式是（）A. B. C. D.2.的有理化因式是（）A. B. C. D.3.下列函數(shù)中，的值隨的值增大而減小的是（）A. B. C. D.4.在下列關(guān)于的一元二次方程中，一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根是（）A B. C. D.5.下列命題的逆命題是假命題的是（）A.如果一個(gè)三角形是軸對(duì)稱圖形，那么這個(gè)三角形是等邊三角形B.如果兩個(gè)三角形關(guān)于某個(gè)點(diǎn)成中心對(duì)稱，那么這兩個(gè)三角形全等C.如果一個(gè)三角形的兩個(gè)銳角的和為，那么這個(gè)三角形是直角三角形D.如果兩個(gè)三角形能夠互相重合，那么這兩個(gè)三角形是全等三角形6.如圖，在中，是鈍角，以點(diǎn)C為圓心、的長(zhǎng)為半徑畫弧，再以點(diǎn)A為圓心、的長(zhǎng)為半徑畫弧，這兩條弧相交于點(diǎn)D，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E．下列結(jié)論中一定正確的是（）A B.C. D.二、填空題（本大題共12題，每題3分，滿分36分）7.化簡(jiǎn)：________．8.方程2x2-x=0的根是______.9.函數(shù)的定義域是________．10.已知函數(shù)，那么________．11.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：________．12.如果反比例函數(shù)（是常數(shù)，）的圖像位于第二、四象限，那么________．（只需寫一個(gè)數(shù)值）13.某種商品原價(jià)為100元，經(jīng)過連續(xù)兩次的降價(jià)后，價(jià)格變?yōu)?1元，如果每次降價(jià)的百分率是一樣的，那么每次降價(jià)的百分率是_____14.已知、是兩個(gè)定點(diǎn)，那么經(jīng)過這兩個(gè)定點(diǎn)的圓的圓心軌跡是________．15.如圖，為了測(cè)量塔的高度，現(xiàn)選取兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)A和B（點(diǎn)A、B、C在一條直線上），測(cè)得，．如果，那么塔高_(dá)_______（結(jié)果用含字母的代數(shù)式表示）．16.如圖，在四邊形ABCD中，，，垂足為點(diǎn)E．如果，，那么________．17.小明求代數(shù)式的最小值時(shí)，采用如下方法：如圖，在同一直角坐標(biāo)平面內(nèi)，設(shè)為軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，選取點(diǎn)和，根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式得，，通過構(gòu)造，將求代數(shù)式的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值，由此小明求出的最小值等于________．18.如圖，在中，，，，點(diǎn)D在邊BC上，且．現(xiàn)將繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)、、分別與點(diǎn)A、B、C對(duì)應(yīng)，連接．如果點(diǎn)在線段AD的延長(zhǎng)線上，那么________．三、簡(jiǎn)答題（本大題共4題，每題6分，滿分24分）19計(jì)算：．20.解方程：．21.現(xiàn)有兩段長(zhǎng)度相等的路面需要攤鋪，分別交給甲乙兩隊(duì)完成．甲隊(duì)攤鋪路面的長(zhǎng)度（米）與攤鋪時(shí)間（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示；乙隊(duì)攤鋪路面的長(zhǎng)度（米）與攤鋪時(shí)間（小時(shí)）的函數(shù)解析式是．結(jié)合圖象提供的信息，回答下列問題：（1）甲隊(duì)攤鋪的路面總長(zhǎng)是________米；（2）在圖中畫出乙隊(duì)攤鋪路面的長(zhǎng)度（米）與攤鋪時(shí)間（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系的圖象；（3）當(dāng)甲隊(duì)的工作效率發(fā)生變化的這個(gè)時(shí)刻，乙隊(duì)攤鋪路面的長(zhǎng)度是________米；（4）甲隊(duì)的平均工作效率是每小時(shí)________米．22.如圖，在中，，直線，垂足為點(diǎn)．（1）如果點(diǎn)在直線上，且點(diǎn)到兩邊的距離相等，試用直尺和圓規(guī)作出滿足上述條件的點(diǎn)（不寫作法，僅保留作圖痕跡，在圖中清楚地標(biāo)注出點(diǎn)）；（2）在第（1）題的條件下，連接接和，如果，請(qǐng)判斷的形狀，并說明理由．四、解答題（本大題共3題，第23、24題每題8分，第25題12分，滿分28分）23.已知：如圖，在中，點(diǎn)A在邊的垂直平分線上，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，、分別垂直于直線l，垂足分別為點(diǎn)D、E，且．（1）求證：．（2）取邊的中點(diǎn)F，連接，求證：平分．24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，且點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上．（1）求的值和反比例函數(shù)的解析式；（2）設(shè)是直線上的一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)線段最短時(shí)，求的面積．25.【圖形新發(fā)現(xiàn)】小普同學(xué)發(fā)現(xiàn)：如果一個(gè)三角形的一條角平分線與一條中線互相垂直，那么這個(gè)三角形的某兩條邊必有倍半關(guān)系．如圖1，已知在中，BD是的角平分線，是的中線，，垂足為點(diǎn)F．（1）根據(jù)圖1，寫出中小普同學(xué)所發(fā)現(xiàn)結(jié)論，并給出證明；【圖形再探究】現(xiàn)將小普同學(xué)所研究的三角形稱為“線垂”三角形，并將被這條內(nèi)角平分線所平分的內(nèi)角叫做“分角”．下面我們跟著小普同學(xué)再探究：（2）在如圖1中，“線垂”三角形是否可以是直角三角形？如果可以，求的度數(shù)；如果不可以，請(qǐng)說明理由；（3）已知線段，是否存在一點(diǎn)P，使得以為一邊“線垂”三角形PMN為等腰三角形？如果存在，請(qǐng)?jiān)趫D2中用直尺和圓規(guī)做出為“分角”的“線垂”等腰三角形（不寫作法，僅保留作圖痕跡，在圖中清楚地標(biāo)注出點(diǎn)P），并用文字語(yǔ)言歸納表述成一條與“線垂”等腰三角形的邊或角有關(guān)的真命題；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

2023學(xué)年度第一學(xué)期期末八年級(jí)自適應(yīng)練習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)科（時(shí)間90分鐘，滿分100分）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共6題，每題2分，滿分12分）1.下列二次根式中，如果與是同類二次根式，那么這個(gè)根式是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查的是同類二次根式，“把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式”．先把各個(gè)二次根式化簡(jiǎn)，根據(jù)同類二次根式的概念判斷即可．【詳解】解：A、與不是同類二次根式，故A錯(cuò)誤；B、與不是同類二次根式，故B錯(cuò)誤；C、與不是同類二次根式，故C錯(cuò)誤；D、與是同類二次根式，故D正確；故選：D．2.的有理化因式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了有理化因式，熟練掌握有理化因式的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)有理化因式的定義“兩個(gè)根式相乘的積不含根號(hào)”即可解答．【詳解】解：∵，∴的有理化因式是．故選：B．3.下列函數(shù)中，的值隨的值增大而減小的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)．由正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)知，，時(shí)，隨的增大而增大，反之隨的增大而減??；中應(yīng)在每個(gè)象限內(nèi)討論增減性．【詳解】解：A、中，，隨的增大而增大；C、，，隨增大而減??；B、和D、，應(yīng)在每個(gè)象限內(nèi)討論，在整個(gè)實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無法判斷其增減性．故選：C．4.在下列關(guān)于的一元二次方程中，一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，掌握根的判別式與方程根的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．用根的判別式判斷即可，若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則需．【詳解】解：A、，∵，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

B、，∵，∴方程無實(shí)數(shù)根；

C、，∵，∴方程無實(shí)數(shù)根；

D、，∵，∴方程實(shí)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

故選：A．5.下列命題的逆命題是假命題的是（）A.如果一個(gè)三角形是軸對(duì)稱圖形，那么這個(gè)三角形是等邊三角形B.如果兩個(gè)三角形關(guān)于某個(gè)點(diǎn)成中心對(duì)稱，那么這兩個(gè)三角形全等C.如果一個(gè)三角形的兩個(gè)銳角的和為，那么這個(gè)三角形是直角三角形D.如果兩個(gè)三角形能夠互相重合，那么這兩個(gè)三角形是全等三角形【答案】B【解析】【分析】本題考查了互逆命題及真假命題的判斷，熟練掌握直角三角形，等邊三角形及全等三角形等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．把一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題，再分析逆命題是否為真命題，即可求解．【詳解】A、逆命題：如果一個(gè)三角形是等邊三角形，那么這個(gè)三角形是軸對(duì)稱圖形，正確，為真命題；B、逆命題：如果兩個(gè)三角形全等，那么這兩個(gè)三角形關(guān)于某個(gè)點(diǎn)成中心對(duì)稱，錯(cuò)誤，為假命題；C、逆命題：如果一個(gè)三角形是直角三角形，那么這個(gè)三角形的兩個(gè)銳角的和為，正確，為真命題；D、逆命題：如果兩個(gè)三角形是全等三角形，那么這兩個(gè)三角形能夠互相重合，正確，為真命題．故選：B．6.如圖，在中，是鈍角，以點(diǎn)C為圓心、的長(zhǎng)為半徑畫弧，再以點(diǎn)A為圓心、的長(zhǎng)為半徑畫弧，這兩條弧相交于點(diǎn)D，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E．下列結(jié)論中一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了尺規(guī)作圖、垂直平分線的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)作圖過程可得，則根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理可判斷垂直平分，進(jìn)而即可得到答案【詳解】解：由作法得，∴垂直平分，∴．故選：C．二、填空題（本大題共12題，每題3分，滿分36分）7.化簡(jiǎn)：________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意知，然后根據(jù)平方根的性質(zhì)化簡(jiǎn)．本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)，熟練掌握二次根式性質(zhì)，是解答此題的關(guān)鍵．【詳解】由知，，∴，∴．故答案為：．8.方程2x2-x=0的根是______.【答案】x1=,x2=0【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可.【詳解】2x2-x=0，x（2x-1）=0，x=0或2x-1=0，∴x1=，x2=0.故答案為x1=，x2=0.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法-因式分解法，熟練運(yùn)用因式分解法將方程化為x（2x-1）=0是解決問題的關(guān)鍵.9.函數(shù)的定義域是________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查自變量的取值范圍，函數(shù)自變量的范圍一般從三個(gè)方面考慮：當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時(shí)，自變量可取全體實(shí)數(shù)；當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時(shí)，考慮分式的分母不能為0；當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時(shí)，被開方數(shù)為非負(fù)；根據(jù)二次根式的意義，被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，得出，求解即可，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得：，解得：，函數(shù)的定義域是，故答案為：．10.已知函數(shù)，那么________．【答案】2【解析】【分析】本題考查了求函數(shù)值，將代入進(jìn)行計(jì)算即可，準(zhǔn)確計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，故答案為：．11.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，解題的關(guān)鍵是利用求根公式因式分解．時(shí)，，根據(jù)求根公式的分解方法和特點(diǎn)即可求解．【詳解】解：時(shí)，，，故答案：．12.如果反比例函數(shù)（是常數(shù)，）的圖像位于第二、四象限，那么________．（只需寫一個(gè)數(shù)值）【答案】【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)“反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)過一、三象限，當(dāng)時(shí)，函數(shù)過二、四象限”，即可解答．【詳解】解：反比例函數(shù)（是常數(shù)，）的圖像位于第二、四象限，，，故答案為：．13.某種商品原價(jià)為100元，經(jīng)過連續(xù)兩次的降價(jià)后，價(jià)格變?yōu)?1元，如果每次降價(jià)的百分率是一樣的，那么每次降價(jià)的百分率是_____【答案】10%【解析】【分析】此題可設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，第一次降價(jià)后價(jià)格變?yōu)?00（1-x）元，第二次在第一次降價(jià)后的基礎(chǔ)上再降，變?yōu)?00（1-x）（1-x），即100（1-x）2元，從而列出方程，求出答案．【詳解】設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，第二次降價(jià)后價(jià)格變?yōu)?00（1-x）2元．根據(jù)題意，得100（1-x）2=81，即（1-x）2=0.81，解得x1=1.9，x2=0.1．因?yàn)閤=1.9不合題意，故舍去，所以x=0.1．即每次降價(jià)的百分率為0.1，即10%．故答案為10%．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，此題的關(guān)鍵在于分析降價(jià)后的價(jià)格，要注意降價(jià)的基礎(chǔ)，另外還要注意解的取舍．14.已知、是兩個(gè)定點(diǎn)，那么經(jīng)過這兩個(gè)定點(diǎn)圓的圓心軌跡是________．【答案】線段的垂直平分線【解析】【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，即“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等”．利用圓的性質(zhì)可以得到圓上所有點(diǎn)到圓心的距離相等，從而得到所有圓心到、兩點(diǎn)的距離相等，從而得出結(jié)論．【詳解】解：圓上所有點(diǎn)到圓心的距離相等，無論圓心在哪里，所有圓心到、兩點(diǎn)的距離相等，到、兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，故答案為：線段的垂直平分線．15.如圖，為了測(cè)量塔的高度，現(xiàn)選取兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)A和B（點(diǎn)A、B、C在一條直線上），測(cè)得，．如果，那么塔高_(dá)_______（結(jié)果用含字母的代數(shù)式表示）．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，掌握直角三角形中所對(duì)的直角邊為斜邊的一半成為解題的關(guān)鍵．先根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到，由等腰三角形的判定可得，最后根據(jù)直角三角形中所對(duì)的直角邊為斜邊的一半即可解答．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，∵，，∴．故答案為．16.如圖，在四邊形ABCD中，，，垂足為點(diǎn)E．如果，，那么________．【答案】【解析】【分析】本題考查等腰三角形性質(zhì)，角平分線判定及性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)題意過點(diǎn)作，再利用已知條件得到平分，再利用等腰三角形性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可得到本題答案．【詳解】解：過點(diǎn)作，，∵，∴，∵，∴，∵，∴平分，∴，∵，∴為等腰三角形，∴平分，∵，∴，∴，故答案為：．17.小明求代數(shù)式的最小值時(shí)，采用如下方法：如圖，在同一直角坐標(biāo)平面內(nèi)，設(shè)為軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，選取點(diǎn)和，根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式得，，通過構(gòu)造，將求代數(shù)式的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值，由此小明求出的最小值等于________．【答案】5【解析】【分析】本題主要考查了利用軸對(duì)稱求最值問題以及兩點(diǎn)之間距離公式，根據(jù)原式表示的幾何意義是是點(diǎn)M到點(diǎn)的距離之和的最小值，利用軸對(duì)稱作出圖形求出的長(zhǎng)即可，正確轉(zhuǎn)化代數(shù)式為兩點(diǎn)之間距離問題是解題關(guān)鍵．【詳解】如圖所示，根據(jù)原式表示的幾何意義是點(diǎn)M到點(diǎn)的距離之和的最小值，可作B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，此時(shí)的長(zhǎng)即為所求代數(shù)式的最小值，∵，∴，∵∴，∴的最小值等于5，故答案為：5．18.如圖，在中，，，，點(diǎn)D在邊BC上，且．現(xiàn)將繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)、、分別與點(diǎn)A、B、C對(duì)應(yīng)，連接．如果點(diǎn)在線段AD的延長(zhǎng)線上，那么________．【答案】【解析】【分析】本題考查勾股定理，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)．根據(jù)題意先畫出旋轉(zhuǎn)后的簡(jiǎn)圖，先利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再求出，再利用勾股定理求出，繼而得到，再利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及勾股定理即可得到本題答案．【詳解】解：根據(jù)題意畫出如下圖：∵在中，，，，∴，∵，∴，∴，∵現(xiàn)將繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，∴，∴，故答案為：．三、簡(jiǎn)答題（本大題共4題，每題6分，滿分24分）19.計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算、分母有理化，根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得出答案，熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：．20.解方程：．【答案】，【解析】【分析】本題主要考查了解一元二次方程，先把原方程化為一般式，再利用因式分解法解方程即可．【詳解】解：∵∴，∴，∴，∴，∴或，解得，．21.現(xiàn)有兩段長(zhǎng)度相等的路面需要攤鋪，分別交給甲乙兩隊(duì)完成．甲隊(duì)攤鋪路面的長(zhǎng)度（米）與攤鋪時(shí)間（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示；乙隊(duì)攤鋪路面的長(zhǎng)度（米）與攤鋪時(shí)間（小時(shí)）的函數(shù)解析式是．結(jié)合圖象提供的信息，回答下列問題：（1）甲隊(duì)攤鋪的路面總長(zhǎng)是________米；（2）在圖中畫出乙隊(duì)攤鋪路面的長(zhǎng)度（米）與攤鋪時(shí)間（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系的圖象；（3）當(dāng)甲隊(duì)的工作效率發(fā)生變化的這個(gè)時(shí)刻，乙隊(duì)攤鋪路面的長(zhǎng)度是________米；（4）甲隊(duì)的平均工作效率是每小時(shí)________米．【答案】（1）100（2）見解析（3）50（4）【解析】【分析】本題考查了從函數(shù)圖象中獲取信息、一次函數(shù)的應(yīng)用，讀懂函數(shù)圖象，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．（1）由函數(shù)圖象即可得出答案；（2）根據(jù)乙隊(duì)攤鋪路面長(zhǎng)度（米）與攤鋪時(shí)間（小時(shí)）的函數(shù)解析式是畫出圖象即可；（3）由圖可得，當(dāng)時(shí)，甲隊(duì)的工作效率發(fā)生變化，將代入進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；（4）由圖可得：甲隊(duì)攤鋪的路面總長(zhǎng)是米，所花費(fèi)的時(shí)間為小時(shí)，由此進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【小問1詳解】解：由圖可得：甲隊(duì)攤鋪的路面總長(zhǎng)是米，故答案為：；【小問2詳解】解：畫出乙隊(duì)攤鋪路面的長(zhǎng)度（米）與攤鋪時(shí)間（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示：【小問3詳解】解：由圖可得，當(dāng)時(shí)，甲隊(duì)的工作效率發(fā)生變化，此時(shí)乙隊(duì)攤鋪路面的長(zhǎng)度是（米），故答案為：；【小問4詳解】解：由圖可得：甲隊(duì)攤鋪的路面總長(zhǎng)是米，所花費(fèi)的時(shí)間為小時(shí)，故甲隊(duì)的平均工作效率是每小時(shí)（米），故答案為：．22.如圖，在中，，直線，垂足為點(diǎn)．（1）如果點(diǎn)在直線上，且點(diǎn)到兩邊的距離相等，試用直尺和圓規(guī)作出滿足上述條件的點(diǎn)（不寫作法，僅保留作圖痕跡，在圖中清楚地標(biāo)注出點(diǎn)）；（2）在第（1）題的條件下，連接接和，如果，請(qǐng)判斷的形狀，并說明理由．【答案】（1）見解析（2）為直角三角形．理由見解析【解析】【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，尺規(guī)作圖，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)．（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，尺規(guī)作的平分線，與直線交于點(diǎn)；（2）過點(diǎn)作于，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出，根據(jù)三角形面積公式求出，結(jié)合，可得，即可解答．【小問1詳解】解：如圖，點(diǎn)即為所求，【小問2詳解】為直角三角形，理由如下：過點(diǎn)作于．平分，，，，，，，，，，，為直角三角形．四、解答題（本大題共3題，第23、24題每題8分，第25題12分，滿分28分）23.已知：如圖，在中，點(diǎn)A在邊的垂直平分線上，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，、分別垂直于直線l，垂足分別為點(diǎn)D、E，且．（1）求證：．（2）取邊的中點(diǎn)F，連接，求證：平分．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，結(jié)合已知條件可證；（2）設(shè)l交于點(diǎn)Q，連接，過作于，于，根據(jù)（1）結(jié)論可得，推出，可得為等腰直角三角形，推出，證，可得，得到，即得．【小問1詳解】∵，，∴，與為直角三角形，∵點(diǎn)A在邊垂直平分線上，∴，也中，，∴，即；【小問2詳解】設(shè)l交于點(diǎn)Q，連接，過作于，作于，∴由（1）知，∴，∵，∴，即，∵，∴為等腰直角三角形，∵為中點(diǎn)，∴，∵，，∴，在與中，，∴，∴，又∵，，∴平分．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線，全等三角形，等腰直角三角形，角平分線等，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定，是解決問題的關(guān)鍵．24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，且點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上．（1）求的值和反比例函數(shù)的解析式；（2）設(shè)是直線上的一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)線段最短時(shí)，求的面積．【答案】（1）1；（2）【解析】【分析】本題考查正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì)以及直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，（1）將將代入得到的值，與