2025屆湖南省湘西高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆湖南省湘西高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知,則()A.2 B. C. D.32.已知集合,則()A. B.C. D.3.一個幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是一個正三角形,則這個幾何體的體積為()A. B. C. D.4.函數(shù)在上單調(diào)遞減,且是偶函數(shù),若,則的取值范圍是()A.(2,+∞) B.(﹣∞,1)∪(2,+∞)C.(1,2) D.(﹣∞,1)5.在“一帶一路”知識測驗后,甲、乙、丙三人對成績進(jìn)行預(yù)測.甲:我的成績比乙高.乙:丙的成績比我和甲的都高.丙:我的成績比乙高.成績公布后,三人成績互不相同且只有一個人預(yù)測正確,那么三人按成績由高到低的次序為A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙6.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增,則()A. B.C. D.7.已知函數(shù)(,)的一個零點(diǎn)是,函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線,則當(dāng)取得最小值時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.() B.()C.() D.()8.在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù),使直線與圓相交的概率為()A. B. C. D.9.某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖所示,圓柱表面上的點(diǎn)在正視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為,圓柱表面上的點(diǎn)在左視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為,則在此圓柱側(cè)面上,從到的路徑中,最短路徑的長度為()A. B. C. D.210.設(shè)、是兩條不同的直線,、是兩個不同的平面,則的一個充分條件是()A.且 B.且 C.且 D.且11.使得的展開式中含有常數(shù)項的最小的n為()A. B. C. D.12.已知,是兩條不重合的直線,,是兩個不重合的平面,則下列命題中錯誤的是()A.若,,則或B.若,,,則C.若,,,則D.若,,則二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在某批次的某種燈泡中,隨機(jī)抽取200個樣品.并對其壽命進(jìn)行追蹤調(diào)查,將結(jié)果列成頻率分布表如下:壽命(天)頻數(shù)頻率40600.30.4200.1合計2001某人從燈泡樣品中隨機(jī)地購買了個,如果這個燈泡的壽命情況恰好與按四個組分層抽樣所得的結(jié)果相同,則的最小值為______.14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若圓C1:x2+(y-1)2=r2(r>0)上存在點(diǎn)P,且點(diǎn)P關(guān)于直線x-y=0的對稱點(diǎn)Q在圓C2:(x-2)2+(y-1)2=1上,則r的取值范圍是________.15.若x,y滿足,且y≥?1,則3x+y的最大值_____16.已知函數(shù)若關(guān)于的不等式的解集是,則的值為_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求直線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程;(Ⅱ)已知點(diǎn)設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn),求的值.18.(12分)設(shè)函數(shù).(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)如果對所有的≥0,都有≤,求的最小值;(Ⅲ)已知數(shù)列中,,且,若數(shù)列的前n項和為,求證:.19.(12分)如圖,在四棱錐中,平面,四邊形為正方形,點(diǎn)為線段上的點(diǎn),過三點(diǎn)的平面與交于點(diǎn).將①,②,③中的兩個補(bǔ)充到已知條件中,解答下列問題:(1)求平面將四棱錐分成兩部分的體積比;(2)求直線與平面所成角的正弦值.20.(12分)已知函數(shù).(1)證明:當(dāng)時,;(2)若函數(shù)只有一個零點(diǎn),求正實數(shù)的值.21.(12分)已知橢圓,上頂點(diǎn)為,離心率為,直線交軸于點(diǎn),交橢圓于,兩點(diǎn),直線,分別交軸于點(diǎn),.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)求證:為定值.22.(10分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間;(2)已知,若,,,求的面積.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

利用分段函數(shù)的性質(zhì)逐步求解即可得答案.【詳解】,;;故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)值的求法,考查對數(shù)的運(yùn)算和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),是基礎(chǔ)題,解題時注意函數(shù)性質(zhì)的合理應(yīng)用.2、B【解析】

先由得或,再計算即可.【詳解】由得或,,,又,.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集,補(bǔ)集的運(yùn)算,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.3、C【解析】

由已知中的三視圖,可知該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐,求出底面面積,代入錐體體積公式,可得答案.【詳解】由已知中的三視圖,可知該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐,其底面面積,高,故體積,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是由三視圖求幾何體的體積,解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形狀.4、B【解析】

根據(jù)題意分析的圖像關(guān)于直線對稱,即可得到的單調(diào)區(qū)間,利用對稱性以及單調(diào)性即可得到的取值范圍。【詳解】根據(jù)題意,函數(shù)滿足是偶函數(shù),則函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱,若函數(shù)在上單調(diào)遞減,則在上遞增,所以要使,則有,變形可得,解可得:或,即的取值范圍為;故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查偶函數(shù)的性質(zhì),以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,有一定綜合性,屬于中檔題。5、A【解析】

利用逐一驗證的方法進(jìn)行求解.【詳解】若甲預(yù)測正確,則乙、丙預(yù)測錯誤,則甲比乙成績高,丙比乙成績低,故3人成績由高到低依次為甲,乙,丙;若乙預(yù)測正確,則丙預(yù)測也正確,不符合題意;若丙預(yù)測正確,則甲必預(yù)測錯誤,丙比乙的成績高,乙比甲成績高,即丙比甲,乙成績都高,即乙預(yù)測正確,不符合題意,故選A.【點(diǎn)睛】本題將數(shù)學(xué)知識與時政結(jié)合,主要考查推理判斷能力.題目有一定難度,注重了基礎(chǔ)知識、邏輯推理能力的考查.6、C【解析】

根據(jù)題意,由函數(shù)的奇偶性可得,,又由,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案.【詳解】根據(jù)題意,函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),則,,有,又由在上單調(diào)遞增,則有,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用,注意函數(shù)奇偶性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的一個零點(diǎn)是,得出,再根據(jù)是對稱軸,得出,求出的最小值與對應(yīng)的,寫出即可求出其單調(diào)增區(qū)間.【詳解】依題意得,,即,解得或(其中,).①又,即(其中).②由①②得或,即或(其中,,),因此的最小值為.因為,所以().又,所以,所以,令(),則().因此,當(dāng)取得最小值時,的單調(diào)遞增區(qū)間是().故選:B【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)的對稱軸和對稱點(diǎn),在對稱軸處取得最值,對稱點(diǎn)處函數(shù)值為零,屬于較易題目.8、C【解析】

根據(jù)直線與圓相交,可求出k的取值范圍,根據(jù)幾何概型可求出相交的概率.【詳解】因為圓心,半徑,直線與圓相交,所以,解得所以相交的概率,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系,幾何概型,屬于中檔題.9、B【解析】

首先根據(jù)題中所給的三視圖,得到點(diǎn)M和點(diǎn)N在圓柱上所處的位置,將圓柱的側(cè)面展開圖平鋪,點(diǎn)M、N在其四分之一的矩形的對角線的端點(diǎn)處,根據(jù)平面上兩點(diǎn)間直線段最短,利用勾股定理,求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征,將圓柱的側(cè)面展開圖平鋪,可以確定點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在以圓柱的高為長方形的寬,圓柱底面圓周長的四分之一為長的長方形的對角線的端點(diǎn)處,所以所求的最短路徑的長度為,故選B.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)幾何體的表面上兩點(diǎn)之間的最短距離的求解問題,在解題的過程中,需要明確兩個點(diǎn)在幾何體上所處的位置,再利用平面上兩點(diǎn)間直線段最短,所以處理方法就是將面切開平鋪,利用平面圖形的相關(guān)特征求得結(jié)果.10、B【解析】由且可得,故選B.11、B【解析】二項式展開式的通項公式為,若展開式中有常數(shù)項,則,解得,當(dāng)r取2時,n的最小值為5,故選B【考點(diǎn)定位】本題考查二項式定理的應(yīng)用.12、D【解析】

根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì),可判定A;由線面平行的判定定理,可判斷B;C中可判斷,所成的二面角為;D中有可能,即得解.【詳解】選項A:若,,根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì),有或,故A正確;選項B:若,,,由線面平行的判定定理,有,故B正確;選項C:若,,,故,所成的二面角為,則,故C正確;選項D,若,,有可能,故D不正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了空間中的平行垂直關(guān)系判斷,考查了學(xué)生邏輯推理,空間想象能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、10【解析】

先求出a,b,根據(jù)分層抽樣的比例引入正整數(shù)k表示n,從而得出的最小值.【詳解】由題意得,a=0.2,b=80,由表可知,燈泡樣品第一組有40個,第二組有60個,第三組有80個,第四組有20個,所以四個組的比例為2:3:4:1,所以按分層抽樣法,購買的燈泡數(shù)為n=2k+3k+4k+k=10k(),所以的最小值為10.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣基本原理的應(yīng)用,涉及抽樣比、總體數(shù)量、每層樣本數(shù)量的計算,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

設(shè)圓C1上存在點(diǎn)P(x0,y0),則Q(y0,x0),分別滿足兩個圓的方程,列出方程組,轉(zhuǎn)化成兩個新圓有公共點(diǎn)求參數(shù)范圍.【詳解】設(shè)圓C1上存在點(diǎn)P(x0,y0)滿足題意,點(diǎn)P關(guān)于直線x-y=0的對稱點(diǎn)Q(y0,x0),則,故只需圓x2+(y-1)2=r2與圓(x-1)2+(y-2)2=1有交點(diǎn)即可,所以|r-1|≤≤r+1,解得.故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查圓與圓的位置關(guān)系,其中涉及點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)問題,兩個圓有公共點(diǎn)的判定方式.15、5.【解析】

由約束條件作出可行域,令z=3x+y,化為直線方程的斜截式,數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.【詳解】由題意作出可行域如圖陰影部分所示.設(shè),當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時,取最大值5.故答案為:5【點(diǎn)睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃,考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,是中檔題.16、【解析】

根據(jù)題意可知的兩根為,再根據(jù)解集的區(qū)間端點(diǎn)得出參數(shù)的關(guān)系,再求解即可.【詳解】解:因為函數(shù),關(guān)于的不等式的解集是的兩根為:和;所以有:且;且;;故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的解集與參數(shù)之間的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)直線的直角坐標(biāo)方程為;曲線的普通方程為;(Ⅱ).【解析】

(I)利用參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化公式即可;(II)將直線參數(shù)方程代入拋物線的普通方程,可得,而根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義,知,代入即可解決.【詳解】由可得直線的直角坐標(biāo)方程為由曲線的參數(shù)方程,消去參數(shù)可得曲線的普通方程為.易知點(diǎn)在直線上,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程,并整理得.設(shè)是方程的兩根,則有.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化,直線參數(shù)方程的幾何意義,是一道容易題.18、(Ⅰ)函數(shù)在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;(Ⅱ);(Ⅲ)證明見解析.【解析】

(Ⅰ)先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),通過解關(guān)于導(dǎo)數(shù)的不等式,從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)設(shè)g(x)=f(x)﹣ax,先求出函數(shù)g(x)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,得到函數(shù)的單調(diào)性,從而求出a的最小值;(Ⅲ)先求出數(shù)列是以為首項,1為公差的等差數(shù)列,,,問題轉(zhuǎn)化為證明:,通過換元法或數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可.【詳解】解:(Ⅰ)f(x)的定義域為(﹣1,+∞),,當(dāng)時,f′(x)<2,當(dāng)時,f′(x)>2,所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.(Ⅱ)設(shè),則,因為x≥2,故,(?。┊?dāng)a≥1時,1﹣a≤2,g′(x)≤2,所以g(x)在[2,+∞)單調(diào)遞減,而g(2)=2,所以對所有的x≥2,g(x)≤2,即f(x)≤ax;(ⅱ)當(dāng)1<a<1時,2<1﹣a<1,若,則g′(x)>2,g(x)單調(diào)遞增,而g(2)=2,所以當(dāng)時,g(x)>2,即f(x)>ax;(ⅲ)當(dāng)a≤1時,1﹣a≥1,g′(x)>2,所以g(x)在[2,+∞)單調(diào)遞增,而g(2)=2,所以對所有的x>2,g(x)>2,即f(x)>ax;綜上,a的最小值為1.(Ⅲ)由(1﹣an+1)(1+an)=1得,an﹣an+1=an?an+1,由a1=1得,an≠2,所以,數(shù)列是以為首項,1為公差的等差數(shù)列,故,,,?,由(Ⅱ)知a=1時,,x>2,即,x>2.法一:令,得,即因為,所以,故.法二:?下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.(1)當(dāng)n=1時,令x=1代入,即得,不等式成立(1)假設(shè)n=k(k∈N*,k≥1)時,不等式成立,即,則n=k+1時,,令代入,得,即:,由(1)(1)可知不等式對任何n∈N*都成立.故.考點(diǎn):1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值;3、數(shù)列的通項公式;4、數(shù)列的前項和;5、不等式的證明.19、(1);(2).【解析】

若補(bǔ)充②③根據(jù)已知可得平面,從而有,結(jié)合,可得平面,故有,而,得到,②③成立與①②相同,①③成立,可得,所以任意補(bǔ)充兩個條件,結(jié)果都一樣,以①②作為條件分析;(1)設(shè),可得,進(jìn)而求出梯形的面積,可求出,即可求出結(jié)論;(2),以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間坐標(biāo)系,求出坐標(biāo),由(1)得為平面的法向量,根據(jù)空間向量的線面角公式即可求解.【詳解】第一種情況:若將①,②作為已知條件,解答如下:(1)設(shè)平面為平面.∵,∴平面,而平面平面,∴,又為中點(diǎn).設(shè),則.在三角形中,,由知平面,∴,∴梯形的面積,,,平面,,,∴,故,.(2)如圖,分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,由(1)得為平面的一個法向量,因為,所以直線與平面所成角的正弦值為.第二種情況:若將①,③作為已知條件,則由知平面,,又,所以平面,,又,故為中點(diǎn),即,解答如上不變.第三種情況:若將②,③作為已知條件,由及第二種情況知,又,易知,解答仍如上不變.【點(diǎn)睛】本題考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系,以及體積、直線與平面所成的角,考查計算求解能力,屬于中檔題.20、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)把轉(zhuǎn)化成,令,由題意得,即證明恒成立,通過導(dǎo)數(shù)求證即可(2)直接求導(dǎo)可得,,令,得或,故根據(jù)0與的大小關(guān)系來進(jìn)行分類討論即可【詳解】證明:(1)令,則.分析知,函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為.所以當(dāng)時,.所以,即,所以.所以當(dāng)時,.解:(2)因為,所以.討論:①當(dāng)時,,此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.又,故此時函數(shù)僅有一個零點(diǎn)為0;②當(dāng)時,令,得,故函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為,.又極大值,所以極小值.當(dāng)時,有.又,此時,故當(dāng)時,函數(shù)還有一個零點(diǎn),不符合題意;③當(dāng)時,令得,故函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為,.又極小值,所以極大值.若,則,得,所以,所以當(dāng)且時,,故此時函數(shù)還有一個零點(diǎn),不符合題意.綜上

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