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文檔簡介
2025屆湖北省天門市三校高三第二次調(diào)研數(shù)學試卷注意事項1.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在中,角的對邊分別為,若.則角的大小為()A. B. C. D.2.ΔABC中,如果lgcosA=lgsinA.等邊三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形3.設a,b都是不等于1的正數(shù),則“”是“”的()A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件4.定義:表示不等式的解集中的整數(shù)解之和.若,,,則實數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.5.連接雙曲線及的4個頂點的四邊形面積為,連接4個焦點的四邊形的面積為,則當取得最大值時,雙曲線的離心率為()A. B. C. D.6.給出個數(shù),,,,,,其規(guī)律是:第個數(shù)是,第個數(shù)比第個數(shù)大,第個數(shù)比第個數(shù)大,第個數(shù)比第個數(shù)大,以此類推,要計算這個數(shù)的和.現(xiàn)已給出了該問題算法的程序框圖如圖,請在圖中判斷框中的①處和執(zhí)行框中的②處填上合適的語句,使之能完成該題算法功能()A.; B.;C.; D.;7.在中,點D是線段BC上任意一點,,,則()A. B.-2 C. D.28.已知直線:()與拋物線:交于(坐標原點),兩點,直線:與拋物線交于,兩點.若,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.9.已知函數(shù),若關于的方程恰好有3個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.10.記為等差數(shù)列的前項和.若,,則()A.5 B.3 C.-12 D.-1311.已知命題:,,則為()A., B.,C., D.,12.在中,,則=()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在正四棱柱中,P是側棱上一點,且.設三棱錐的體積為,正四棱柱的體積為V,則的值為________.14.已知正實數(shù)滿足,則的最小值為.15.已知F為拋物線C:x2=8y的焦點,P為C上一點,M(﹣4,3),則△PMF周長的最小值是_____.16.已知復數(shù)(為虛數(shù)單位),則的模為____.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)若是的極值點,求的極大值;(2)求實數(shù)的范圍,使得恒成立.18.(12分)如圖,在正四棱柱中,已知,.(1)求異面直線與直線所成的角的大??;(2)求點到平面的距離.19.(12分)已知數(shù)列,,數(shù)列滿足,n.(1)若,,求數(shù)列的前2n項和;(2)若數(shù)列為等差數(shù)列,且對任意n,恒成立.①當數(shù)列為等差數(shù)列時,求證:數(shù)列,的公差相等;②數(shù)列能否為等比數(shù)列?若能,請寫出所有滿足條件的數(shù)列;若不能,請說明理由.20.(12分)設首項為1的正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn,數(shù)列的前n項和為Tn,且,其中p為常數(shù).(1)求p的值;(2)求證:數(shù)列{an}為等比數(shù)列;(3)證明:“數(shù)列an,2xan+1,2yan+2成等差數(shù)列,其中x、y均為整數(shù)”的充要條件是“x=1,且y=2”.21.(12分)已知拋物線的焦點為,準線與軸交于點,點在拋物線上,直線與拋物線交于另一點.(1)設直線,的斜率分別為,,求證:常數(shù);(2)①設的內(nèi)切圓圓心為的半徑為,試用表示點的橫坐標;②當?shù)膬?nèi)切圓的面積為時,求直線的方程.22.(10分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)若函數(shù)最小值為,且,求的最小值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
由正弦定理化簡已知等式可得,結合,可得,結合范圍,可得,可得,即可得解的值.【詳解】解:∵,∴由正弦定理可得:,∵,∴,∵,,∴,∴.故選A.【點睛】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應用,考查了計算能力和轉化思想,屬于基礎題.2、B【解析】
化簡得lgcosA=lgsinCsinB=﹣lg2,即cosA=sinCsinB=12,結合0<A<π,可求A=π【詳解】由lgcosA=lgsinC-lgsinB=-lg2,可得lgcosA=∵0<A<π,∴A=π3,B+C=2π3,∴sinC=12sinB=12sin2π3-C=34cosC+故選:B【點睛】本題主要考查了對數(shù)的運算性質的應用,兩角差的正弦公式的應用,解題的關鍵是靈活利用基本公式,屬于基礎題.3、C【解析】
根據(jù)對數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質求解a,b的范圍,再利用充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由“”,得,得或或,即或或,由,得,故“”是“”的必要不充分條件,故選C.【點睛】本題考查必要條件、充分條件及充分必要條件的判斷方法,考查指數(shù),對數(shù)不等式的解法,是基礎題.4、D【解析】
由題意得,表示不等式的解集中整數(shù)解之和為6.當時,數(shù)形結合(如圖)得的解集中的整數(shù)解有無數(shù)多個,解集中的整數(shù)解之和一定大于6.當時,,數(shù)形結合(如圖),由解得.在內(nèi)有3個整數(shù)解,為1,2,3,滿足,所以符合題意.當時,作出函數(shù)和的圖象,如圖所示.若,即的整數(shù)解只有1,2,3.只需滿足,即,解得,所以.綜上,當時,實數(shù)的取值范圍是.故選D.5、D【解析】
先求出四個頂點、四個焦點的坐標,四個頂點構成一個菱形,求出菱形的面積,四個焦點構成正方形,求出其面積,利用重要不等式求得取得最大值時有,從而求得其離心率.【詳解】雙曲線與互為共軛雙曲線,四個頂點的坐標為,四個焦點的坐標為,四個頂點形成的四邊形的面積,四個焦點連線形成的四邊形的面積,所以,當取得最大值時有,,離心率,故選:D.【點睛】該題考查的是有關雙曲線的離心率的問題,涉及到的知識點有共軛雙曲線的頂點,焦點,菱形面積公式,重要不等式求最值,等軸雙曲線的離心率,屬于簡單題目.6、A【解析】
要計算這個數(shù)的和,這就需要循環(huán)50次,這樣可以確定判斷語句①,根據(jù)累加最的變化規(guī)律可以確定語句②.【詳解】因為計算這個數(shù)的和,循環(huán)變量的初值為1,所以步長應該為1,故判斷語句①應為,第個數(shù)是,第個數(shù)比第個數(shù)大,第個數(shù)比第個數(shù)大,第個數(shù)比第個數(shù)大,這樣可以確定語句②為,故本題選A.【點睛】本題考查了補充循環(huán)結構,正確讀懂題意是解本題的關鍵.7、A【解析】
設,用表示出,求出的值即可得出答案.【詳解】設由,,.故選:A【點睛】本題考查了向量加法、減法以及數(shù)乘運算,需掌握向量加法的三角形法則以及向量減法的幾何意義,屬于基礎題.8、D【解析】
設,,聯(lián)立直線與拋物線方程,消去、列出韋達定理,再由直線與拋物線的交點求出點坐標,最后根據(jù),得到方程,即可求出參數(shù)的值;【詳解】解:設,,由,得,∵,解得或,∴,.又由,得,∴或,∴,∵,∴,又∵,∴代入解得.故選:D【點睛】本題考查直線與拋物線的綜合應用,弦長公式的應用,屬于中檔題.9、D【解析】
討論,,三種情況,求導得到單調(diào)區(qū)間,畫出函數(shù)圖像,根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當時,,故,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,且;當時,;當時,,,函數(shù)單調(diào)遞減;如圖所示畫出函數(shù)圖像,則,故.故選:.【點睛】本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的零點問題,意在考查學生的計算能力和應用能力.10、B【解析】
由題得,,解得,,計算可得.【詳解】,,,,解得,,.故選:B【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式,前項和公式,考查了學生運算求解能力.11、C【解析】
根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,即得答案.【詳解】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,且命題:,,.故選:.【點睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定,屬于基礎題.12、B【解析】
在上分別取點,使得,可知為平行四邊形,從而可得到,即可得到答案.【詳解】如下圖,,在上分別取點,使得,則為平行四邊形,故,故答案為B.【點睛】本題考查了平面向量的線性運算,考查了學生邏輯推理能力,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
設正四棱柱的底面邊長,高,再根據(jù)柱體、錐體的體積公式計算可得.【詳解】解:設正四棱柱的底面邊長,高,則,即故答案為:【點睛】本題考查柱體、錐體的體積計算,屬于基礎題.14、4【解析】
由題意結合代數(shù)式的特點和均值不等式的結論整理計算即可求得最終結果.【詳解】.當且僅當時等號成立.據(jù)此可知:的最小值為4.【點睛】條件最值的求解通常有兩種方法:一是消元法,即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關系,然后代入代數(shù)式轉化為函數(shù)的最值求解;二是將條件靈活變形,利用常數(shù)代換的方法構造和或積為常數(shù)的式子,然后利用基本不等式求解最值.15、5【解析】
△PMF的周長最小,即求最小,過做拋物線準線的垂線,垂足為,轉化為求最小,數(shù)形結合即可求解.【詳解】如圖,F(xiàn)為拋物線C:x2=8y的焦點,P為C上一點,M(﹣4,3),拋物線C:x2=8y的焦點為F(0,2),準線方程為y=﹣2.過作準線的垂線,垂足為,則有,當且僅當三點共線時,等號成立,所以△PMF的周長最小值為55.故答案為:5.【點睛】本題考查拋物線定義的應用,考查數(shù)形結合與數(shù)學轉化思想方法,屬于中檔題.16、【解析】,所以.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2)【解析】
(1)先對函數(shù)求導,結合極值存在的條件可求t,然后結合導數(shù)可研究函數(shù)的單調(diào)性,進而可求極大值;(2)由已知代入可得,x2+(t﹣2)x﹣tlnx≥0在x>0時恒成立,構造函數(shù)g(x)=x2+(t﹣2)x﹣tlnx,結合導數(shù)及函數(shù)的性質可求.【詳解】(1),x>0,由題意可得,0,解可得t=﹣4,∴,易得,當x>2,0<x<1時,f′(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增,當1<x<2時,f′(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減,故當x=1時,函數(shù)取得極大值f(1)=﹣3;(2)由f(x)=x2+(t﹣2)x﹣tlnx+2≥2在x>0時恒成立可得,x2+(t﹣2)x﹣tlnx≥0在x>0時恒成立,令g(x)=x2+(t﹣2)x﹣tlnx,則,(i)當t≥0時,g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)min=g(1)=t﹣1≥0,解可得t≥1,(ii)當﹣2<t<0時,g(x)在()上單調(diào)遞減,在(0,),(1,+∞)上單調(diào)遞增,此時g(1)=t﹣1<﹣1不合題意,舍去;(iii)當t=﹣2時,g′(x)0,即g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,此時g(1)=﹣3不合題意;(iv)當t<﹣2時,g(x)在(1,)上單調(diào)遞減,在(0,1),()上單調(diào)遞增,此時g(1)=t﹣1<﹣3不合題意,綜上,t≥1時,f(x)≥2恒成立.【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性及極值,利用導數(shù)與函數(shù)的性質處理不等式的恒成立問題,分類討論思想,屬于中檔題.18、(1);(2).【解析】
(1)建立空間坐標系,通過求向量與向量的夾角,轉化為異面直線與直線所成的角的大??;(2)先求出面的一個法向量,再用點到面的距離公式算出即可.【詳解】以為原點,所在直線分別為軸建系,設所以,,所以異面直線與直線所成的角的余弦值為,異面直線與直線所成的角的大小為.(2)因為,,設是面的一個法向量,所以有即,令,,故,又,所以點到平面的距離為.【點睛】本題主要考查向量法求異面直線所成角的大小和點到面的距離,意在考查學生的數(shù)學建模以及數(shù)學運算能力.19、(1)(2)①見解析②數(shù)列不能為等比數(shù)列,見解析【解析】
(1)根據(jù)數(shù)列通項公式的特點,奇數(shù)項為等差數(shù)列,偶數(shù)項為等比數(shù)列,選用分組求和的方法進行求解;(2)①設數(shù)列的公差為,數(shù)列的公差為,當n為奇數(shù)時,得出;當n為偶數(shù)時,得出,從而可證數(shù)列,的公差相等;②利用反證法,先假設可以為等比數(shù)列,結合題意得出矛盾,進而得出數(shù)列不能為等比數(shù)列.【詳解】(1)因為,,所以,且,由題意可知,數(shù)列是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列,數(shù)列是首項和公比均為4的等比數(shù)列,所以;(2)①證明:設數(shù)列的公差為,數(shù)列的公差為,當n為奇數(shù)時,,若,則當時,,即,與題意不符,所以,當n為偶數(shù)時,,,若,則當時,,即,與題意不符,所以,綜上,,原命題得證;②假設可以為等比數(shù)列,設公比為q,因為,所以,所以,,因為當時,,所以當n為偶數(shù),且時,,即當n為偶數(shù),且時,不成立,與題意矛盾,所以數(shù)列不能為等比數(shù)列.【點睛】本題主要考查數(shù)列的求和及數(shù)列的綜合,數(shù)列求和時一般是結合通項公式的特征選取合適的求和方法,數(shù)列綜合題要回歸基本量,充分挖掘題目已知信息,細思細算,本題綜合性較強,難度較大,側重考查邏輯推理和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).20、(1)p=2;(2)見解析(3)見解析【解析】
(1)取n=1時,由得p=0或2,計算排除p=0的情況得到答案.(2),則,相減得到3an+1=4﹣Sn+1﹣Sn,再化簡得到,得到證明.(3)分別證明充分性和必要性,假設an,2xan+1,2yan+2成等差數(shù)列,其中x、y均為整數(shù),計算化簡得2x﹣2y﹣2=1,設k=x﹣(y﹣2),計算得到k=1,得到答案.【詳解】(1)n=1時,由得p=0或2,若p=0時,,當n=2時,,解得a2=0或,而an>0,所以p=0不符合題意,故p=2;(2)當p=2時,①,則②,②﹣①并化簡得3an+1=4﹣Sn+1﹣Sn③,則3an+2=4﹣Sn+2﹣Sn+1④,④﹣③得(n∈N*),又因為,所以數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且;(3)充分性:若x=1,y=2,由知an,2xan+1,2yan+2依次為,,,滿足,即an,2xan+1,2yan+2成等差數(shù)列;必要性:假設an,2xan+1,2yan+2成等差數(shù)列,其中x、y均為整數(shù),又,所以,化簡得2x﹣2y﹣2=1,顯然x>y﹣2,設k=x﹣(y﹣2),因為x、y均為
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