動態(tài)因子模型

動態(tài)因子模型DFMs2010年1月；2010年5月7日修訂JamesH.Stock；MarkW.Watson*2021/6/271目錄二因子的估計三因子數(shù)量的決定一引言四被估計因子的應用五選擇性拓展2021/6/272：宏觀計量經(jīng)濟學家面臨一個特有的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：一方面，可靠和相關(guān)數(shù)據(jù)的年份數(shù)量是有限制的，且不能很容易地增長。另一方面，戰(zhàn)后很長時間內(nèi)，統(tǒng)計局收集了很多相關(guān)數(shù)據(jù)，包括宏觀經(jīng)濟，金融，有關(guān)經(jīng)濟領(lǐng)域內(nèi)變量的月度和季度數(shù)據(jù)。

因此，宏觀經(jīng)濟學家面臨的數(shù)據(jù)集：成百上千個序列，但每個序列觀察的數(shù)量相當少（例如20至40年的季度數(shù)據(jù)）。2021/6/273DFMs：背景：最初由Geweke(1977)提出，作為以前由橫截面數(shù)據(jù)發(fā)展而來的因子模型的一個時間序列擴展。早期影響力作品中，SargentandSims(1977)，有兩個動態(tài)因子能夠解釋大部分美國重要的宏觀經(jīng)濟季度變量的方差，例如產(chǎn)量，就業(yè)和價格。

Giannone,Reichlin,andSala(2004)andWatson(2004),一個因子能夠解釋宏觀經(jīng)濟序列的大部分方差，這一主要的經(jīng)驗主義發(fā)現(xiàn)已被許多研究所證實。在過去幾十年得到很大注意力，因為它能夠模擬序列數(shù)量大于時間觀測數(shù)量的數(shù)據(jù)集的同時性和一致性。目的：在現(xiàn)有的DFMs著作中，所描述的在某種程度上具體足以用于使研究者創(chuàng)新于此領(lǐng)域，關(guān)鍵的理論結(jié)果，應用和經(jīng)驗主義的發(fā)現(xiàn)。

BaiandNg(2008)和StockandWatson(2006)對這個作品提供了補充性的調(diào)查。BaiandNg(2008)比這個更有技術(shù)性，并且更專注于計量經(jīng)濟學的理論和條件；StockandWatson(2006)關(guān)注在DFM基礎上的預測，它是在許多預測者使用的其他方法背景下進行的。2021/6/274DFMs：前提：

一些潛在的動態(tài)因子，聯(lián)動于一個時間序列變量構(gòu)成的高維向量，也被一個均值為零的特殊干擾向量所影響。這些特殊干擾是由測量誤差和特定于單個序列的特殊性質(zhì)所引起的（例如，沙門氏菌恐慌對餐廳就業(yè)的影響）。這些潛在的因子，遵循一定的時間序列過程，一般認為是一個向量自回歸過程（VAR）。2021/6/275DFMs：動態(tài)因子模型用方程式表示為：這里有N個序列，所以和

為N×1階；有q個動態(tài)因子，所以和

為q×1階；L為滯后算子，且滯后多項式矩陣λ(L)和Ψ(L)分別為N×q階和q×q階。第i個滯后多項式

是第i個序列所加載的動態(tài)因子，

和

是第i個序列的主成分。我們假定(1)和(2)中所有的過程都是固定的（不固定的情況在本章最后部分討論）。特殊干擾被假定與前后的創(chuàng)新因素是不相關(guān)的，即，對于所有的k，

。在所謂精確的動態(tài)因子模型中，特殊干擾被假定為在前后步中是不相關(guān)的，即，對于所有的s，，

,如果i≠j。2021/6/276DFMs：考慮DFMs的一個重要的動機是：如果已知因子，且是高斯的，我們就能對一個單獨的變量做出有效的預測，運用到滯后因素和變量滯后性的總體回歸。于是，預測者只運用q個因子就能從所有N變量中得到好處，這里q遠遠小于N。特別地，在方差損失下，第i個變量的最理想的向前一步預測為：

這里第三行根據(jù)等式(2)，最后一行根據(jù)(1)和精確的DFM假設。

于是，有效總體預測回歸的維數(shù)不會隨著系統(tǒng)變量的增加而增加。2021/6/277計量經(jīng)濟學家將會考慮的第一個問題：估計因子（或更精確的說，判斷因子的跨越空間）和確定有多少因子。

——第2和第3部分一旦有了這些因子的可靠估計量，不僅僅是用來預測，而且把它們作為工具變量，估計因子增廣向量自回歸（FAVARs）和估計動態(tài)隨機一般均衡模型（DSGEs）。

——第4部分第5部分會討論一些拓展。

2021/6/278二因子估計Geweke(1977)和SargentandSims(1977)開創(chuàng)性的工作是用頻域分析方法來尋找動態(tài)因子結(jié)構(gòu)的跡象和預測因子的重要程度。然而，那些方法不能夠直接估計，因此也不能用于預測。后來的DFMs工作針對時域分析方法，這時能夠直接被估計。2021/6/279DFMs的時域估計研究分為三個階段第一階段：低維（N很小）參數(shù)模型

運用高斯最大似然估計法（MLE）和卡爾曼濾波。這種方法提供了在模型假設和參數(shù)下f的最佳估計量（和最佳預測值）。然而，那些參數(shù)的估計必須包括非線性的優(yōu)化，這種優(yōu)化有限制參數(shù)數(shù)量的作用，從而限制能夠被處理，運用的序列數(shù)量。2021/6/2710第二階段：大N的非參數(shù)估計

運用橫截面平均方法，主要是主成分和相關(guān)分析方法。第二階段的關(guān)鍵結(jié)果是因子拓展空間的主成分估計量是一致的，此外，如果N充分大，因子被精確的估計其精確度足以使其作為后面回歸的數(shù)據(jù)。2021/6/2711第三階段：運用因子的一致非參數(shù)估計量來估計第一階段中狀態(tài)空間模型的參數(shù)，從而解決第一階段模型中相關(guān)的維度問題。在狀態(tài)空間模型中，許多參數(shù)未知的問題解決辦法是運用貝葉斯方法，即，用優(yōu)先和整合取代最大化，一小部分論文用到這種解決方法，它同時還用到第二和第三階段的（傳統(tǒng)的）估計量。2021/6/2712注意：

這一部分中所有方法都假設數(shù)據(jù)已消除單位根和其趨勢。代表性地，通過區(qū)分所需的序列，然后標準化不同的序列來完成；例如，一個典型的元素X可能為一個真實活動預測量的某一階段增長率，它被標準化為零均值和單位標準偏差。2021/6/27132.1第一階段：時域最大似然法，通過卡爾曼濾波Engleand

Watson(1981,1983),StockandWatson(1989),Sargent(1989),andQuahandSargent(1993)：早期的動態(tài)因子模型的時間域估計用卡爾曼濾波來估算高斯似然，用最大似然法來估計參數(shù)，然后用卡爾曼濾波和濾波器得到因子有效估計。2021/6/2714把DFM寫成一個線性狀態(tài)空間模型。令p作為滯后多項式矩陣λ(L)的維度，表示一個r×1維向量，令,這里為第i個滯后矩陣λ(L)的N×q維系數(shù)矩陣。令Φ(L)為只包含1，0和Ψ(L)中元素的矩陣。DFM(1)和(2)被改寫為：這里，G為一個只有1和0的矩陣，因此(5)和(2)是等價的。等式(4)和(5)被稱為DFM的靜態(tài)形式，因為這些因子只能同時出現(xiàn)。2021/6/2715線性狀態(tài)空間模型通過詳細說明對于和誤差的過程而完成。典型地，誤差項被假定為遵循單變量的自回歸：

隨著更進一步的假設為服從獨立同分布，,i=1,...,N,服從獨立同分布，,j=1,...,q,和是獨立的,等式(4)到(6)構(gòu)成一個完全線性狀態(tài)空間模型。給出了這些參數(shù)，卡爾曼濾波能夠用作計算可能性和估計的過濾值，進而估計。(6)2021/6/2716這個參數(shù)的狀態(tài)空間模型的好處是，它能夠處理數(shù)據(jù)的不規(guī)則性。EM算法會用來估計參數(shù)的最大似然估計(MLEs)。不過，參數(shù)的數(shù)量要與N成比例，所以MLE系數(shù)的直接估計是難處理的。2021/6/27172.2第二階段：非參數(shù)平均方法1橫截面平均法為什么起作用2主成分估計3廣義主成分估計4動態(tài)主成分2021/6/27181橫截面平均法為什么起作用

考慮的橫截面平均因子估計的動機為，特殊干擾的加權(quán)平均數(shù)將根據(jù)弱大數(shù)定理收斂到0，以至于只有因子的線性組合依然存在。橫截面平均估計量是在DFM(4)的靜態(tài)表示基礎上的。橫截面平均估計量是非參數(shù)的，在某種意義上他們不需要這樣一個參數(shù)模型，正如(5)中的因子F或者(6)中的特殊動態(tài)。所取代的是，被認為是一個由一N維數(shù)據(jù)向量所估計的r維參數(shù)。取代參數(shù)假設，按照ChamberlainandRothschild(1983)的近似因子模型的較弱的假設是關(guān)于因子結(jié)構(gòu)的。尤其是，考慮到以下條件，2021/6/2719把構(gòu)造的的估計量看作X的加權(quán)平均數(shù)，用到了一個權(quán)重為W的非隨機N×r矩陣，這里W被標準化以至于W’W/N=:(9)一般來說，對于Λ將會有不足的結(jié)構(gòu)去假定一個權(quán)重矩陣W，W不依靠這些主成分分析所到達的數(shù)據(jù)。2021/6/27202主成分估計F的主成分估計量是加權(quán)平均估計(9)，并且W=

，這里的

是

的樣本方差矩陣的特征向量矩陣，

,關(guān)聯(lián)于

的r個最大的特征向量。主成分估計量能夠?qū)С鲎钚《藛栴}的解決辦法：服從于其標準化

。為了解決(11),首次最小化Λ提供的

，從而得到

,然后集中于目標函數(shù)，因此(11)變成

。這個最小化問題等價于

,它依次等價于

服從于

。這個最后的問題的解決辦法是使

等價于

擴展的特征向量，它與它的r個最大的特征向量相對應。因為

,這意味著F的最小二乘估計量是

,即X的擴展的前r個主成分。2021/6/2721

的主成分估計量的一致性首次被顯示為固定的T和N→∞,被ConnorandKorajczyk(1986)在確切的靜態(tài)因素模型中表示。StockandWatson(2002s)在更弱的條件下證明了因子的統(tǒng)一一致性，允許特殊誤差的弱連續(xù)和互相關(guān)。也提供了N和T的率條件，在

被當作是第二階段最小二乘回歸的數(shù)據(jù)的條件下（即，

的估計誤差不能夠影響

作為回歸量的OLS的系數(shù)的漸進分布）。Bai(2003)提供了估計因子和一般成分的極限分布。BaiandNg(2006a)提供了增長率，尤其是N→∞，T→∞和N2/T→∞，在

是一致的且在后來的回歸中作為數(shù)據(jù)的條件下；他們也提供了用

估計的一般成分的置信區(qū)間結(jié)構(gòu)的結(jié)果。2021/6/27223廣義主成分估計廣義主成分對于主成分相當于廣義最小二乘法對于最小平方。如果干擾誤差變量矩陣Σ與單位矩陣不成比例，那么最小二乘回歸的類比表明

和Λ解決了(11)的加權(quán)版本，這里的權(quán)重矩陣為

:2021/6/2723至少有三個可行的廣義主成分估計的版本被提名為DFM。首先，F(xiàn)orni,Hallin,Lippi,andReichlin(2005)重新整理了這個分解，

，這里

是一般成分

(這個分解由(4)而來)的方差來獲得

。他們提出通過動態(tài)主成分來估計

(在下面會提到)。第二，BoivinandNg(2003)提出運用估計量

,這里

是

在主成分估計量

上回歸的誤差變量的通常估計量；令

的非對角線位置為0,則它們的權(quán)重矩陣只含有N個估計元素。這些解決辦法都沒有提出

有可能序列相關(guān)。把這個考慮在內(nèi)的話，StockandWatson(2005)提出了一個三步的解決辦法，近似于Cochrane-Orcutt估計量，當

通過主成分被首次估計時，N個獨立自回歸適合在

上

回歸的殘差，X運用第i個自回歸的系數(shù)是擬差分的，然后Boivin-Ng(2003)的Σ的對角線方法也應用于這些擬差分中。2021/6/27244動態(tài)主成分動態(tài)主成分是由Brillinger(1964,1981)發(fā)展而來的主成分的頻域模擬。Forni,Hallin,Lippi,andReichlin(2000,2004)證明了一般成分的一致性并且提供了其收斂率，這些一般成分是被動態(tài)主成分估計的。通過動態(tài)主成分估計f的方法需要兩邊平滑，所以樣本最后f的估計量是不可得的。結(jié)果是，動態(tài)主成分不能夠直接用于預測，工具變量回歸，F(xiàn)AVAR或者其他需要用到f的估計量的應用，對于所有樣本來說。在這個調(diào)查中我們不再進一步討論這個方法。2021/6/27252.3第三階段：混合主成分和狀態(tài)空間方法估計因子方法的第三個階段是融合狀態(tài)空間方法的統(tǒng)計效率和主成分方法的便利性及平穩(wěn)性。這個合并的估計過程發(fā)生在兩步：首先，這些因子通過主成分或者一般主成分所估計；第二步，這些被估計因子用來估計狀態(tài)空間表示的未知參數(shù)。2021/6/2726靜態(tài)因子的狀態(tài)空間模型：模型由(4)-(6)給出。動態(tài)因子的狀態(tài)空間模型模型由式(1)(2)和(6)給出。2021/6/2727這些被估計參數(shù)完全地填充于狀態(tài)空間模型中，以至于或能夠運用卡爾曼平滑來更好地估計其估計量，這個估計量能引起時間序列平均。運用這些被估計的系數(shù)作為系數(shù)最大可能估計的一致開始值也是可能的。EngleandWatson(1983),QuanandSargent(1993)andDoz,Giannone,andReichlin(2006):最大似然估計能夠運用EM算法來估計；JungbackerandKoopman(2008):解決了如何加快在DFM中卡爾曼透視的估值，通過把轉(zhuǎn)換為一個r×1階向量；Jungbacker，Koopman，andvanderWel(2009):提供了額外的計算設備，當存在缺失數(shù)據(jù)時也能夠使用。2021/6/27282.4估計量的比較一些研究把各種估計量與真實數(shù)據(jù)作比較，得到了某種程度上不同的結(jié)論。當因子和特殊干擾是一致時，一般主成分估計量實質(zhì)上更精確與共同成分的主成分估計量，雖然當N和T非常大時，這種不同會消失。并且在一個標準化數(shù)據(jù)下，只有很小的不同存在。把主成分估計量的預測性與各種可行的一般主成分估計量作比較：雖然存在細微差別，總體結(jié)論是運用各種因子估計量產(chǎn)生的預測值是高度共線的。2021/6/27292.5貝葉斯估計DFM參數(shù)和因子也能用貝葉斯方法來估計。主要是由于三點：首先，當存在很多未知參數(shù)時，綜合估算后面的部分能夠在數(shù)字上更簡單，更穩(wěn)定；第二，在非線性或非高斯?jié)撛谧兞磕Ｐ椭?，直接估算的可能性是非常小的；第三，一些分析人員可能希望以一個先驗分布的形式在模型的開頭強加一些信息。2021/6/2730貝葉斯方法在模型中包括非線性，非高斯元素時特別有用。eg：一四變量的DFM，這個模型的自然分層有助于Gibbs抽樣和模型參數(shù)和動態(tài)因子后部貢獻的估計；非線性或非高斯狀態(tài)空間模型的一般MCMC解決辦法。另外一個優(yōu)點是貝葉斯估計比第二三階段方法產(chǎn)生更好的預測。2021/6/2731三因子數(shù)量的決定對于估計靜態(tài)因子r和動態(tài)因子q的數(shù)量的一些方法是可得的。3.1估計靜態(tài)因子r的數(shù)量3.2估計動態(tài)因子q的數(shù)量2021/6/27323.1估計靜態(tài)因子r的數(shù)量BaiandNg(2002):靜態(tài)因子r的數(shù)量能夠被先驗信息，因子碎石圖的視覺檢驗和信息標準的運用所決定。作為視覺診斷法的因子碎石圖

因子碎石圖是的有序特征值構(gòu)成的圖，它允許視覺評定第i個主成分的邊際貢獻，來描繪而不是前i個主成分回歸的R的平方。在此基礎上的正式測驗將在下面討論。

2021/6/2733以信息標準為基礎的r的估計：因子碎石圖基礎上的正式檢驗(13)2021/6/27343.2估計動態(tài)因子q的數(shù)量三種方法：HallinandLiska(2007)提出一個頻域過程，它基于觀察到的一般成分頻譜的秩是q;BaiandNg(2007)提出了這樣一個估計量，它基于觀察到總體向量自回歸(5)中的創(chuàng)新方差矩陣有秩q；

AmengualandWatson(2007)的估計量是基于：在過去值的回歸中，其剩余值有一個秩為q的因子結(jié)構(gòu)，這里表明基于樣本方差矩陣的BaiandNg(2007)的信息標準不滿足動態(tài)因子數(shù)量的一致估計。2021/6/2735我們自己有限的MonteCarlo實驗表明，BaiandNg(2007)有著某種程度上更好的有限樣本性能，相對于AmengualandWatson(2007)的估計量。2021/6/2736四被估計因子的應用被估計因子能夠作為數(shù)據(jù)應用于第二階段的回歸和估計結(jié)構(gòu)性模型（FAVAR和DSGE）。4.1在第二階段回歸中的因子應用預測作為工具變量2021/6/27374.2增廣向量自回歸(FAVAR)FAVAR作為一種解決VAR模型構(gòu)造中兩個相關(guān)問題的方式：第一，在一常見的N個變量的VAR中，參數(shù)數(shù)量會隨著N的平方增長，因此當N/T很大時，無限制的VAR是不可實行的，這一問題的解決辦法是強加先驗分布的形式結(jié)構(gòu)到參數(shù)上，但這時需要一個先驗分布；第二，SVARs的可逆性或非根本性問題。2021/6/2738Bernanke,Boivin,andEliasz(2005)提出維數(shù)問題可以通過強加來自DFM中的限制條件來解決。參考這個，以VAR形式來寫靜態(tài)的DFM(4)-(6)是可行的。結(jié)果是：(14)中所有的參數(shù)都能被估計。eg2021/6/2739至于SVARs的問題，需要強加足夠的識別限制：運用通常SVAR識別工具包的延伸，包括強加短期內(nèi)的限制；長期內(nèi)限制；通過最大化一個或更多變量的主成分方差來識別沖擊；強加對符號的限制等。2021/6/27404.3運用DFMs的DSGE估計Sargent(1989)指出，DFM可被理解為一個潛在的地位經(jīng)濟模型中的相關(guān)的多個指標。BovinandGiannoni(2006)通過聯(lián)結(jié)動態(tài)因子發(fā)展等式(2)和一個滯后線性的DSGE來延伸上個觀點。通過引進潛在