高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題13 參變分離法解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題解析版

專題13參變分離法解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題一、單選題1．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】函數(shù)，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，令，則，即，令，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單測(cè)遞增，故，解得，故選：A.2．若關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】依題意：，令，則，令，則，易知單調(diào)遞增，，所以單調(diào)遞增，故，故，則在上單調(diào)遞增，故，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：B.3．若函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】由題意可得，沒(méi)有零點(diǎn)，或者有唯一解（但導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)的兩側(cè)符號(hào)相同），即沒(méi)有交點(diǎn)，或者只有一個(gè)交點(diǎn)但交點(diǎn)的兩側(cè)符號(hào)相同.令，，則，令則在上單調(diào)遞減且，所以當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，又時(shí)，，時(shí)，，結(jié)合圖象可知，即.故選：C.4．已知函數(shù)，．對(duì)于任意，且，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】因?yàn)?，所以同?hào)，因此與的單調(diào)性相同，因?yàn)椋院瘮?shù)單調(diào)遞增，因此也單調(diào)遞增，，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，故恒成立．即恒成立．，則，設(shè)因?yàn)?，故單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時(shí)，，即，因此單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，因此單調(diào)遞增，故最小值為．故．故選：D5．已知函數(shù)（）有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【解析】令，顯然，所以，令（），則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“若圖象與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍”.，令，解得，當(dāng)或時(shí)，，在，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，在處取極小值，作出的簡(jiǎn)圖，由圖可知，要使直線與曲線有三個(gè)交點(diǎn)，則，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.6．已知函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的最大值為（）A． B．1 C． D．【解析】由得，即，.令，，則，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，又，則當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；所以，又，，且，作出，的簡(jiǎn)圖，由圖可知，要使的圖象與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則，所以，當(dāng)函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的最大值為.故選：A.7．已知對(duì)任意正數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A． B．1 C．2 D．【解析】由對(duì)任意正數(shù)恒成立，得，令，則，由得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).）所以，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以的最大值為2.故選：C．8．已知函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．【解析】由，得，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在處的切線與直線垂直，所以，則，所以，對(duì)，即,①當(dāng)時(shí)，顯然.②當(dāng)時(shí)，恒成立.令，則.時(shí)，恒成立.所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在內(nèi)的最小值為，故.③當(dāng)時(shí)，恒成立.當(dāng)時(shí)，顯然，由②知，因?yàn)?，所以由?令，顯然在單調(diào)遞增，又，，所以存在使得，即.當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，所以在內(nèi)的最大值為，故.綜合①②③可知，故實(shí)數(shù)的最大值為3.故選：C二、多選題9．已知函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)可取的值有（）A． B． C． D．【解析】由題意可知，在區(qū)間上只有一個(gè)根，等價(jià)于在區(qū)間上只有一個(gè)根，等價(jià)于與的圖像有唯一一個(gè)公共點(diǎn)，由得，令得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，∴在區(qū)間內(nèi)，當(dāng)時(shí)取極小值也是最小值，∴當(dāng)，又，，且，則滿足條件的的取值范圍是，所以可取的值為、.故選:CD.10．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，則下列選項(xiàng)正確的是（）A． B．在上單調(diào)遞增C． D．若，則【解析】令得，記，，令得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；且時(shí)，，，時(shí)，據(jù)題意知的圖象與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，所以，故A選項(xiàng)正確；因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，，遞增，因?yàn)?，所以，故B選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)樵谶f增，在遞減，且，所以，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，故D選項(xiàng)正確故選：ABD.11．已知定義在R上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，則“對(duì)于任意的，不等式恒成立”的充分不必要條件可以是（）A． B．C． D．【解析】奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上也單調(diào)遞增，即是R上的單增函數(shù)；，則，，即在上恒成立；令，則，，記，恒成立，即單減，又，，則必有，使，故，，，，因此，，單增，，，單減，因此，由代入得，故若使在上恒成立，則，根據(jù)充分不必要條件的定義可以判斷C、D正確，A、B錯(cuò)誤；故選：CD.12．關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，在處的切線方程為B．若函數(shù)在上恰有一個(gè)極值，則C．對(duì)任意，恒成立D．當(dāng)時(shí)，在上恰有2個(gè)零點(diǎn)【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，，所以，故切點(diǎn)為（0，0），則，所以，故切線斜率為1，所以在處的切線方程為：，即，故A正確；對(duì)于B，，，則，若函數(shù)在上恰有一個(gè)極值，即在上恰有一個(gè)解，令，即在上恰有一個(gè)解，則在上恰有一個(gè)解，即與的圖象在上恰有一個(gè)交點(diǎn)，，，令，解得：，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以極大值為，極小值為，而，作出，的大致圖象，如下：由圖可知，當(dāng)時(shí)，與的圖象在上恰有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)在上恰有一個(gè)極值，則，故B正確；對(duì)于C，要使得恒成立，即在上，恒成立，即在上，恒成立，即，設(shè)，，則，，令，解得：，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以極大值為，，所以在上的最大值為，所以時(shí)，在上，恒成立，即當(dāng)時(shí)，才恒成立，所以對(duì)任意，不恒成立，故C不正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，令，則，即，作出函數(shù)和的圖象，可知在內(nèi)，兩個(gè)圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選：ABD.三、填空題13．設(shè)函數(shù)，其中，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．若在定義域內(nèi)有兩個(gè)極值，求a的取值范圍___________．【解析】因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)零點(diǎn)，令，則，因?yàn)楹愠闪?，所以?dǎo)數(shù)的正負(fù)取決于分子，令，顯然在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，且，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，且，，，函數(shù)圖象如下圖所示，所以若有兩個(gè)交點(diǎn)，則14．已知，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【解析】依題意，知，即對(duì)任意恒成立，從而，因此由原不等式，得恒成立．令，則．令，得．當(dāng)時(shí)，．函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．15．不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．【解析】由不等式對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立令，其中，則，，故在上單調(diào)遞減，，故在上單調(diào)遞減，所以，，可得，.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.16．已知不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為_(kāi)_________．【解析】原不等式變形為，設(shè)，，由可知，函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．設(shè)，顯然函數(shù)為增函數(shù)，，，所以存在唯一的，使得．因?yàn)椴坏仁綄?duì)任意的恒成立，所以，即，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以．故的取值范圍為，即?shí)數(shù)a的最大值為1．四、解答題17．已知函數(shù)，.（1）若的圖像在處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）由題知的定義域?yàn)?又，則.又因?yàn)?，所以切點(diǎn)為.所以，解得.（2）當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，不等式恒成立即不等式，恒成立.設(shè)，，則.因?yàn)?，所?所以在上單調(diào)遞減，從而.要使原不等式恒成立，即恒成立，故.即的取值范圍為.18．已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)在處的切線方程；（2）已知，若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）若時(shí)，，，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，所以在處的切線方程為，即，所以切線方程為．（2）不等式在上恒成立，所以，在上恒成立，所以，在上恒成立，令，，所以在上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增，所以，所以，所以的取值范圍為．19．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)，若在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，所以，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程，即.（2）由題意知：在上有兩個(gè)零點(diǎn)，顯然，由，得，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最大值為，又，時(shí)，，故當(dāng)在上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.20．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在處取得極值，求的值并確定在處是取得極大值還是極小值﹔（2）若對(duì)恒成立，求的取值范圍．【解析】，解得，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．在處取得極小值．由，得，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，對(duì)恒成立，原問(wèn)題等價(jià)于對(duì)恒成立，令，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；，.21．已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)在處的切線恰好與直線垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）討論的單調(diào)性；（3）若函數(shù)存在極值，在上恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，因?yàn)樵谔幍那芯€與直線垂直，則，解得.（2）由（1）可知，，令，對(duì)稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，令，得恒成立，所以，，所以在上恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（3）由（2）可知，函數(shù)存在極值，則.對(duì)于，不等式恒成立，等價(jià)于恒成立.令，則恒成立.令，，則.令，則，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以，即，解得.22．