專(zhuān)題2.5 應(yīng)用一元二次方程【十大題型】-2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三系列（北師大版）

PAGE1專(zhuān)題2.5應(yīng)用一元二次方程【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1數(shù)字問(wèn)題】 1【題型2增長(zhǎng)率問(wèn)題】 3【題型3利潤(rùn)問(wèn)題】 6【題型4圖形的面積問(wèn)題】 9【題型5傳播問(wèn)題】 12【題型6工程問(wèn)題】 15【題型7行程問(wèn)題】 18【題型8圖表信息問(wèn)題】 22【題型9古文問(wèn)題】 26【題型10動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】 29知識(shí)點(diǎn)1：解一元二次方程的一般步驟（1）審：就是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些就是已知量，哪些就是未知量以及它們之間得等量關(guān)系。（2）設(shè)：就是指設(shè)元，也就就是設(shè)出未知數(shù)。（3）列：就就是列方程，這就是關(guān)鍵步驟,一般先找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義得一個(gè)相等含義，然后列代數(shù)式表示這個(gè)相等關(guān)系中得各個(gè)量，就得到含有未知數(shù)得等式，即方程。（4）解：就就是解方程，求出未知數(shù)得值。（5）驗(yàn)：就是指檢驗(yàn)方程得解就是否保證實(shí)際問(wèn)題有意義，符合題意。（6）答：寫(xiě)出答案?！绢}型1數(shù)字問(wèn)題】方法總結(jié)：三個(gè)連續(xù)整數(shù)：若設(shè)中間得一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x-1，x+1.三個(gè)連續(xù)偶數(shù)（奇數(shù)）：若中間得一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x-2,x+2.三位數(shù)得表示方法：設(shè)百位、十位、個(gè)位上得數(shù)字分別為a,b,c，則這個(gè)三位數(shù)就是100a+10b+c.【例1】（23-24九年級(jí)·江蘇連云港·期中）小明同學(xué)是一位古詩(shī)文的愛(ài)好者，在學(xué)習(xí)了一元二次方程這一章后，改編了蘇軾詩(shī)詞《念奴嬌·赤壁懷古》：“大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流人物．而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)．十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽同．哪位學(xué)子算得快，多少年華數(shù)周瑜？”假設(shè)周瑜去世時(shí)年齡的十位數(shù)字是x，則可列方程為．【答案】10x+(x+3)=【分析】本題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，準(zhǔn)確列式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得個(gè)位數(shù)為x+3，根據(jù)個(gè)位數(shù)字平方與這個(gè)兩位數(shù)相等列出方程即可．【詳解】設(shè)設(shè)周瑜去世時(shí)年齡的十位數(shù)字是x，則個(gè)位數(shù)上的數(shù)字是x+3，由題意可得：10x+(x+3)=(x+3)故答案為：10x+(x+3)=(x+3)【變式1-1】（23-24九年級(jí)·江蘇蘇州·期中）兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的平方和為113，則這兩個(gè)數(shù)的積是．【答案】56【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)較小的一個(gè)數(shù)為x，則另外一個(gè)數(shù)為(x+1)，根據(jù)兩個(gè)數(shù)的平方和是113，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)較小的一個(gè)數(shù)為x，則另外一個(gè)數(shù)為(x+1)，依題意，得：x2整理，得：x2解得：x1∴x+1=8∴這兩個(gè)數(shù)的積為7×8=56，故答案為：56．【變式1-2】（23-24九年級(jí)·江蘇·期中）已知3個(gè)連續(xù)整數(shù)的和是m，它們的平方和是n，且n=7【答案】這3個(gè)連續(xù)整數(shù)為4，5，6【分析】本題考查有理數(shù)的加法和二元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程再進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】設(shè)這3個(gè)連續(xù)整數(shù)為x，x+1，x+2，由題意可得，x+x+1+x+2=3x+3=m，x2又知n=7即3x解得x=4或?4故x=4，x+1=5，x+2=6．故這3個(gè)連續(xù)整數(shù)為4，5，6．【變式1-3】（23-24九年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）一個(gè)三位數(shù)，十位數(shù)字比百位數(shù)字大3，個(gè)位數(shù)字等于百位數(shù)字與十位數(shù)字的和．已知這個(gè)三位數(shù)比個(gè)位數(shù)字的平方的5倍大12，求這個(gè)三位數(shù)．【答案】257【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．正確理解數(shù)字與每個(gè)位上的數(shù)字的關(guān)系是關(guān)鍵．設(shè)該三位數(shù)的百位數(shù)字是x，則十位數(shù)字是x+3，個(gè)位數(shù)字是2x+3．所以根據(jù)“這個(gè)三位數(shù)比個(gè)位數(shù)字的平方的5倍大12”列出方程．【詳解】解：設(shè)該三位數(shù)的百位數(shù)字是x(x為正整數(shù)），則十位數(shù)字是x+3，個(gè)位數(shù)字是2x+3．則：100x+10x+3整理，得：5x所以x?25x?3所以x?2=0或5x?3=0，解得，x=2或x=3則x+3=5，2x+3=7，則該三位數(shù)是257．答：這個(gè)數(shù)是257．【題型2增長(zhǎng)率問(wèn)題】方法總結(jié)：設(shè)初始量為a，終止量為b，平均增長(zhǎng)率或平均降低率為x，則經(jīng)過(guò)兩次得增長(zhǎng)或降低后得等量關(guān)系為a（1±x）2=b.【例2】（23-24九年級(jí)·安徽安慶·期中）為了美化環(huán)境，2021年某市的綠化投資額為a萬(wàn)元，2023年的綠化投資額為2.25a萬(wàn)元，則這兩年該市綠化投資額的年平均增長(zhǎng)率為（

）A．30% B．40% C．50%【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)這兩年該市綠化投資額的年平均增長(zhǎng)率為x，利用2023年該市的綠化投資額=2021年該市的綠化投資×（1+額這兩年該市綠化投資額的年平均增長(zhǎng)率），可得出關(guān)于x的一元二次方程求解，取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)這兩年該市綠化投資額的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得：a1+x1+x2=2.25，解得：x1∵0.5=50%∴這兩年該市綠化投資額的年平均增長(zhǎng)率為50%故選：C．【變式2-1】（23-24九年級(jí)·江蘇鎮(zhèn)江·期中）鎮(zhèn)江香醋甲天下，為開(kāi)拓醋的養(yǎng)生功能，某醋廠開(kāi)發(fā)出櫻桃醋．為打開(kāi)市場(chǎng)，該櫻桃醋經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，售價(jià)由原來(lái)的每瓶25元降至每瓶16元，已知兩次降價(jià)的百分率相同，若設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，則可列方程．【答案】25【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后的價(jià)格=原價(jià)×（1?每次降價(jià)的百分率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得：251?x故答案為：251?x【變式2-2】（23-24九年級(jí)·四川綿陽(yáng)·期中）習(xí)近平總書(shū)記說(shuō)：“讀書(shū)可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣．”某校為響應(yīng)我市全民閱讀活動(dòng)，利用節(jié)假日面向社會(huì)開(kāi)放學(xué)校圖書(shū)館．據(jù)統(tǒng)計(jì)，第一個(gè)月進(jìn)館128人次，進(jìn)館人次逐月增加，到第三個(gè)月末累計(jì)進(jìn)館608人次，若進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率相同．進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率是．【答案】50【分析】本題主要考查二次函數(shù)中的增長(zhǎng)率問(wèn)題，注意題目中的要求是到第三個(gè)月末累計(jì)進(jìn)館608人次，求和的方式覺(jué)得方程的結(jié)構(gòu)，不要受思維定勢(shì)，列錯(cuò)方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率為x，則由題意得：128+128(1+x)+128化簡(jiǎn)得：4∴(2x?1)(2x+7)=0；∴x1=0.5=50%答：進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率為50%故答案為：50%【變式2-3】（23-24九年級(jí)·浙江杭州·期中）某商場(chǎng)以每件280元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品，當(dāng)每件商品售價(jià)為360元時(shí)，每月可售出60件．為了擴(kuò)大銷(xiāo)售，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)降價(jià)的方式促銷(xiāo)，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件商品降價(jià)1元，那么商場(chǎng)每月就可以多售出5件．(1)降價(jià)前商場(chǎng)每月銷(xiāo)售該商品的利潤(rùn)是多少元？(2)要使商場(chǎng)每月銷(xiāo)售這種商品的利潤(rùn)達(dá)到7200元，且更有利于減少庫(kù)存，則每件商品應(yīng)降價(jià)多少元？(3)該商場(chǎng)1月份銷(xiāo)售量為60件，2月和3月的月平均增長(zhǎng)率為x，若前三個(gè)月的總銷(xiāo)量為285件，求該季度的總利潤(rùn)．【答案】(1)4800元(2)60元(3)20235元【分析】本題考查了銷(xiāo)售問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)的運(yùn)用，列一元二次方程解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)銷(xiāo)售問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系建列方程是關(guān)鍵．（1）先求出每件的利潤(rùn)，再乘以每月銷(xiāo)售的數(shù)量就可以得出每月的總利潤(rùn)；（2）設(shè)要使商場(chǎng)每月銷(xiāo)售這種商品的利潤(rùn)達(dá)到7200元，且更有利于減少庫(kù)存，則每件商品應(yīng)降價(jià)x元，由銷(xiāo)售問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系建立方程求出其解即可．（3）列出方程判斷其根的判別式即可得到其利潤(rùn)能否達(dá)到8000元．【詳解】（1）解：由題意，得60(360?280)=4800元．答：降價(jià)前商場(chǎng)每月銷(xiāo)售該商品的利潤(rùn)是4800元；（2）解：設(shè)每件商品應(yīng)降價(jià)x元，由題意，得(360?x?280)(5x+60)=7200，化簡(jiǎn)為x解得x1∵要更有利于減少庫(kù)存，∴x=60.答：要使商場(chǎng)每月銷(xiāo)售這種商品的利潤(rùn)達(dá)到7200元，且更有利于減少庫(kù)存，則每件商品應(yīng)降價(jià)60元（3）解：由題意，得60+60(1+x)+60化簡(jiǎn)為(x+解得x1=12,x2=∴1月60件，每件利潤(rùn)80元；2月90件，每件利潤(rùn)74元；3月135件，每件利潤(rùn)65元60×80+90×74+135×65=20235∴總利潤(rùn)為20235元．【題型3利潤(rùn)問(wèn)題】方法總結(jié)：利潤(rùn)問(wèn)題常用得相等關(guān)系式有：①總利潤(rùn)=總銷(xiāo)售價(jià)-總成本；②總利潤(rùn)=單位利潤(rùn)×總銷(xiāo)售量；③利潤(rùn)=成本×利潤(rùn)率.【例3】（23-24九年級(jí)·山東菏澤·期中）某旅游景點(diǎn)的門(mén)票價(jià)格是20元/人，每天接待游客500人，已知該景點(diǎn)每天要支出100元衛(wèi)生費(fèi)，每售出一張門(mén)票要上繳10元其它費(fèi)用．(1)景點(diǎn)每天獲利潤(rùn)多少元？(2)進(jìn)入旅游旺季時(shí)，景點(diǎn)想提高門(mén)票價(jià)格增加盈利．經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，門(mén)票價(jià)格每提高5元，每天接待游客人數(shù)就會(huì)減少50人．當(dāng)門(mén)票價(jià)格為多少時(shí)，可獲利潤(rùn)8900元？【答案】(1)景點(diǎn)每天獲利潤(rùn)4900元(2)門(mén)票價(jià)格為40元時(shí)，可獲利潤(rùn)8900元【分析】本題主要考查有理數(shù)四則運(yùn)算的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用：（1）根據(jù)“總利潤(rùn)=總收入-總支出”列式計(jì)算即可；（2）根據(jù)“總利潤(rùn)=總收入-總支出”列出方程即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：利潤(rùn)==10×500?100=5000?100=4900（元）答：景點(diǎn)每天獲利潤(rùn)4900元（2）解：設(shè)門(mén)票價(jià)格為x元時(shí)，可獲利潤(rùn)8900元，根據(jù)題意得，x?10解得，x1答：門(mén)票價(jià)格為40元時(shí)，可獲利潤(rùn)8900元【變式3-1】（23-24九年級(jí)·安徽合肥·期中）某商店從廠家以每件18元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品．該商品可以自行定價(jià)．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，該商品的售價(jià)與銷(xiāo)售量的關(guān)系是：若每件售價(jià)a元，則可賣(mài)出320?10a件，但物價(jià)部門(mén)限定每件商品加價(jià)不能超過(guò)進(jìn)貨價(jià)的25%，如果商店計(jì)劃要獲利400元．則每件商品的售價(jià)應(yīng)定為（

）A．22元 B．24元 C．26元 D．28元【答案】A【分析】根據(jù)利潤(rùn)和售價(jià)建立一元二次方程組，得到a2【詳解】設(shè)商店的獲利為x元，得x=320?10a當(dāng)x=400時(shí)，320?10aa?18得a2a?22a?28解方程得a=22元或a=28元，當(dāng)a=28元，28?1818∴a=28元舍去，∴a=22元，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的相關(guān)知識(shí)．【變式3-2】（23-24九年級(jí)·安徽六安·期中）《安徽省電動(dòng)自行車(chē)管理?xiàng)l例》自2023年3月1日起施行．《條例》規(guī)定，駕駛?cè)撕痛钶d人應(yīng)當(dāng)規(guī)范佩戴安全頭盔，同時(shí)，針對(duì)不規(guī)范佩戴安全頭盔提出具體的處罰標(biāo)準(zhǔn)．某商店以每件80元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批安全頭盔，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該頭盔每周銷(xiāo)售量y（件）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元/件）滿(mǎn)足一次函數(shù)y=30?0.2x，物價(jià)部門(mén)規(guī)定每件頭盔的利潤(rùn)不能超過(guò)進(jìn)價(jià)的30%．若商店計(jì)劃每周銷(xiāo)售該頭盔獲利200元，則每件頭盔的售價(jià)應(yīng)為【答案】100【分析】根據(jù)題意，列方程表示每周利潤(rùn)x?80y=200【詳解】解：由題意，得x?80y=200即x?8030?0.2x解得，x1=100，∵每件頭盔的利潤(rùn)不能超過(guò)進(jìn)價(jià)的30%，∴每件頭盔的售價(jià)不能超過(guò)80×1+30%所以x=130舍去，所以售價(jià)應(yīng)為100元，故答案為：100．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的營(yíng)銷(xiāo)問(wèn)題，理解題意列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（23-24九年級(jí)·浙江溫州·期中）根據(jù)以下素材，解決生活問(wèn)題【素材背景】某超市購(gòu)進(jìn)200箱的A款牛奶，進(jìn)價(jià)為每箱40元．若每箱售價(jià)為60元，每天可銷(xiāo)售50箱．超市也可采取降價(jià)促銷(xiāo)措施來(lái)提高利潤(rùn)，經(jīng)過(guò)營(yíng)銷(xiāo)部的市場(chǎng)調(diào)研反饋：若A款牛奶單價(jià)每降1元，每天可多售出5箱．【問(wèn)題解決】思考1：第一天超市決定按原價(jià)每箱60元出售，則第一天售出A款牛奶所獲利潤(rùn)為_(kāi)_____元．思考2：第二天超市采取降價(jià)促銷(xiāo)措施，為了使第二天的利潤(rùn)比第一天增加12%，又要讓顧客實(shí)現(xiàn)最優(yōu)惠，問(wèn)第二天A思考3：第三天超市仍采取降價(jià)促銷(xiāo)措施，既要銷(xiāo)售完這批剩余的A款牛奶，又要使超市利益最大化，問(wèn)銷(xiāo)售完200箱的A款牛奶所獲的總利潤(rùn)為多少元？【答案】思考1：1000；思考2：54元；思考3：3240元【分析】本題主要考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用：思考1：售價(jià)與進(jìn)價(jià)之差為每箱利潤(rùn)，乘以銷(xiāo)量即為總利潤(rùn)；思考2：設(shè)第二天A款牛奶的每箱售價(jià)為x元，則銷(xiāo)量為560?x+50箱，每箱利潤(rùn)為x?40元，根據(jù)第二天的利潤(rùn)比第一天增加思考3：先求出剩余牛奶的箱數(shù)，降價(jià)后的銷(xiāo)量剛好等于該數(shù)時(shí)，可以使超市利益最大化，由此可解．【詳解】解：思考1：60?40×50=1000即第一天售出A款牛奶所獲利潤(rùn)為1000元，故答案為：1000；思考2：設(shè)第二天A款牛奶的每箱售價(jià)為x元，由題意得：560?x整理得x2解得x1=54，∵要讓顧客實(shí)現(xiàn)最優(yōu)惠，∴第二天A款牛奶的每箱售價(jià)為54元．思考3：∵第一天銷(xiāo)量為：50箱，第二天銷(xiāo)量為：5×60?54∴第三天銷(xiāo)量為：200?50?80=70（箱），設(shè)第三天A款牛奶的每箱售價(jià)為y元，則560?y解得y=56，第三天售出A款牛奶所獲利潤(rùn)為：70×56?401000+1120+1120=3240（元），即銷(xiāo)售完200箱的A款牛奶所獲的總利潤(rùn)為3240元．【題型4圖形的面積問(wèn)題】方法總結(jié)：根據(jù)圖形的面積與圖形得邊、高等相關(guān)元素得關(guān)系，將圖形的面積用含有未知數(shù)得代數(shù)式表示出來(lái)，建立一元二次方程.【例4】（23-24九年級(jí)·安徽合肥·期中）如圖，要建一個(gè)面積為150m2的長(zhǎng)方形花園ABCD，為了節(jié)省材料，花園的一邊利用原有的一道墻，另三邊用柵欄圍成，BC邊留有2m的門(mén)EF(1)若墻足夠長(zhǎng)，則花園的長(zhǎng)和寬各為多少？(2)若給定墻長(zhǎng)為am，請(qǐng)直接寫(xiě)出圍成的花園只有一種圍法時(shí)，a的取值范圍是【答案】(1)花園的長(zhǎng)20m或15m，寬為7.5(2)15≤a<20【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)垂直于墻的邊長(zhǎng)為xm，則平行于墻的邊長(zhǎng)為(33?2x+2)m，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式結(jié)合養(yǎng)雞場(chǎng)的面積為150（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可分a<15、15≤a<20及a≥20三種情況，找出題目解的個(gè)數(shù)，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)垂直于墻的邊長(zhǎng)為xm，則平行于墻的邊長(zhǎng)為(33?2x+2)m依題意得：x(33?2x+2)=150，整理得：2x解得：x1=7.5，∴35?2x=20或35?2x=15．答：花園的長(zhǎng)為20m或15m，寬為7.5m（2）當(dāng)a<15時(shí)，不能?chē)苫▓@，題目無(wú)解；當(dāng)15≤a<20時(shí)，圍成的花園只有一種圍法，題目只有一個(gè)解；當(dāng)a≥20時(shí)，圍成的花園有二種圍法，題目有兩個(gè)解；綜上所述，當(dāng)15≤a<20時(shí)，圍成的花園只有一種圍法，即a的取值范圍是15≤a<20，故答案為：15≤a<20．【變式4-1】（23-24九年級(jí)·山東淄博·期中）利用圖形的分、和、移、補(bǔ)探索圖形關(guān)系是我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一種重要方法．如圖1，BD是矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，將△BCD分割成兩對(duì)全等的直角三角形和一個(gè)正方形，然后按圖2重新擺放，觀察兩圖，若a=7，b=3，則矩形A．42 B．363 C．253【答案】A【分析】本題考查了一元二次方應(yīng)用，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x，則矩形的長(zhǎng)為a+x，寬為b+x，根據(jù)圖1的面積列出關(guān)于a、b、x的關(guān)系式，代入a=7，b=3求出【詳解】解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x，則矩形的長(zhǎng)為a+x，寬為b+x，由圖1可得：12整理得：x2∵a=7，∴x2∴x2∴矩形的面積為a+xb+x故選：A．【變式4-2】（23-24九年級(jí)·浙江·期中）如圖是一塊長(zhǎng)方形菜地ABCD，AB=am，AD=bm，面積為Sm2．現(xiàn)將邊AB增加1m，邊AD增加2m，若有且只有一個(gè)a的值，使得到的長(zhǎng)方形面積為

【答案】6+4【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，一元二次方程的知識(shí)，根據(jù)已知條件，用a和S表示出矩形的面積，根據(jù)一元二次方程的解法解答即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得起始矩形的面積S=ab，變化后矩形的面積為(a+1)(b+2)，∴2S=(a+1)(b+2)，b=S∴2S=a+1∴2a∵有且只有一個(gè)a的值，∴△=2?S整理得：S2解得：S1=6+42∴S的值是6+42故答案為：6+42【變式4-3】（23-24九年級(jí)·安徽六安·期中）如圖，若將圖1所示的正方形剪成四塊，恰能拼成圖2所示的長(zhǎng)方形，設(shè)a=1，則這個(gè)正方形的面積為（

）

A．7+352 B．5+12 C．【答案】A【分析】從圖中可以看出，正方形的邊長(zhǎng)=a+b，所以面積=a+b2，矩形的長(zhǎng)和寬分別是a+2b，b，面積=ba+2b，兩圖形面積相等，列出方程得=a+b2【詳解】解：根據(jù)圖形和題意可得：正方形的邊長(zhǎng)=a+b，∴正方形面積=a+b矩形的長(zhǎng)和寬分別是a+2b，b，∴矩形面積=ba+2ba+b2=ba+2b，其中解得：b1=5所以正方形的面積為1+5故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從兩圖形中，找到兩圖形的邊長(zhǎng)的值，然后利用面積相等列出等式求方程，解得b的值，從而求出邊長(zhǎng)，求面積．【題型5傳播問(wèn)題】【例5】（23-24九年級(jí)·遼寧鞍山·期中）某種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)為43，則每個(gè)支干長(zhǎng)出（

）支小分支．A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用；設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出個(gè)小分支，根據(jù)“每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是43”得出一元二次方程，解方程可得答案．【詳解】解：設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出個(gè)小分支，由題意得：1+x+x解得：x1故每個(gè)支干長(zhǎng)出6個(gè)小分支，故選A．【變式5-1】（23-24九年級(jí)·寧夏銀川·期中）在一次酒會(huì)上，每?jī)扇硕贾慌鲆淮伪?，如果一共碰?5次，則參加酒會(huì)的人數(shù)為人.【答案】10【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)參加酒會(huì)的人數(shù)為x人，利用碰杯的總次數(shù)=參加酒會(huì)的人數(shù)×(參加酒會(huì)的人數(shù)?1)÷2，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)參加酒會(huì)的人數(shù)為x人，根據(jù)題意得：12整理得：x2解得：x1=10，x2∴參加酒會(huì)的人數(shù)為10人．故答案為：10【變式5-2】（23-24·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）九年級(jí)（1）班在畢業(yè)之際，每一名學(xué)生都互相寫(xiě)了一條祝福留言，全班一共寫(xiě)了1640條祝福，則九年級(jí)（1）班共有多少名學(xué)生?【答案】九年級(jí)（1）班共有41名學(xué)生．【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)設(shè)九年級(jí)（1）班共有x名學(xué)生，每個(gè)同學(xué)要寫(xiě)x?1條祝福，結(jié)合全班一共寫(xiě)了1640條祝福，列式xx?1【詳解】解：設(shè)九年級(jí)（1）班共有x名學(xué)生，則xx?1整理得x2解得x1∴九年級(jí)（1）班共有41名學(xué)生．【變式5-3】（23-24九年級(jí)·浙江湖州·期末）一次圍棋比賽采用單循環(huán)賽制（即每位選手與其他選手各比賽1局），且參賽者少于15人．小珺和小哲對(duì)比賽的總局?jǐn)?shù)進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)：(1)若參賽者共5人，按賽制應(yīng)該進(jìn)行幾局比賽？(2)小哲說(shuō)的有道理嗎？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明；(3)他們經(jīng)過(guò)查詢(xún)，小珺的統(tǒng)計(jì)無(wú)誤，是有一人中途退出比賽，請(qǐng)直接寫(xiě)出報(bào)名本次比賽的人數(shù)．【答案】(1)10；(2)小哲說(shuō)的有道理，理由見(jiàn)解析；(3)13．【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用．（1）由題意，得5個(gè)人需比賽的局?jǐn)?shù)為5(5?1)2（2）小哲說(shuō)的有道理，理由見(jiàn)詳解；（3）設(shè)有一人比賽了n場(chǎng)后退出比賽，由題意x?1x?2【詳解】（1）解：由題意，得5個(gè)人需比賽的局?jǐn)?shù)為5(5?1)2（2）小哲說(shuō)的有道理，理由如下：設(shè)有x人報(bào)名參賽，由題意得x(x?1)2=70，整理得解得x=1±∴方程的解不符合實(shí)際，小哲說(shuō)的有道理；（3）設(shè)有一人比賽了n場(chǎng)后退出比賽，由題意，得x?1x?22+n=70解得x=3±當(dāng)n=4時(shí)，x=13，符合題意，∴共有13名參賽者報(bào)名本次比賽．【題型6工程問(wèn)題】【例6】（23-24九年級(jí)·重慶北碚·期中）甲、乙兩工程隊(duì)合作完成某修路工程，該工程總長(zhǎng)為4800米，原計(jì)劃32小時(shí)完成．甲工程隊(duì)每小時(shí)修路里程比乙工程隊(duì)的2倍多30米，剛好按時(shí)完成任務(wù)．(1)求甲工程隊(duì)每小時(shí)修的路面長(zhǎng)度；(2)通過(guò)勘察，地下發(fā)現(xiàn)大型溶洞，此工程的實(shí)際施工里程比最初的4800米多了1000米，在實(shí)際施工中，乙工程隊(duì)修路效率保持不變的情況下，時(shí)間比原計(jì)劃增加了(m+25)小時(shí)；甲工程隊(duì)的修路速度比原計(jì)劃每小時(shí)下降了3m米，而修路時(shí)間比原計(jì)劃增加m小時(shí)，求m的值．【答案】(1)甲工程隊(duì)每小時(shí)鋪設(shè)的路面長(zhǎng)度為110米(2)m的值為18【分析】（1）設(shè)乙兩工程隊(duì)每小時(shí)鋪設(shè)路面x米，則甲工程隊(duì)每小時(shí)鋪設(shè)路面2x+30米，根據(jù)題意列出方程求解即可；（2）根據(jù)“甲工程隊(duì)鋪設(shè)的路面長(zhǎng)度+乙兩工程隊(duì)鋪設(shè)的路面長(zhǎng)度=5800”列出方程，求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)乙兩工程隊(duì)每小時(shí)鋪設(shè)路面x米，則甲工程隊(duì)每小時(shí)鋪設(shè)路面2x+30米，根據(jù)題意得，32x+322x+30解得：x=40，則2x+30=110，∴甲工程隊(duì)每小時(shí)鋪設(shè)的路面長(zhǎng)度為110米；（2）解：根據(jù)題意得，4032+m+25整理得，m2解得：m1∴m的值為18．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程、一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是讀懂題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系并列出方程．【變式6-1】（23-24·重慶·二模）甲、乙兩工程隊(duì)共同承建某高速路隧道工程，隧道總長(zhǎng)2000米，甲、乙分別從隧道兩端向中間施工，計(jì)劃每天各施工6米．因地質(zhì)情況不同，兩支隊(duì)伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一樣．甲每合格完成1米，隧道施工成本為6萬(wàn)元；乙每合格完成1米，隧道施工成本為8萬(wàn)元．（1）若工程結(jié)算時(shí)乙總施工成本不低于甲總施工成本的43（2）實(shí)際施工開(kāi)始后因地質(zhì)情況比預(yù)估更復(fù)雜，甲乙兩隊(duì)每日完成量和成本都發(fā)生變化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m萬(wàn)元時(shí)，則每天可多挖12m米，乙因特殊地質(zhì)，在施工成本不變的情況下，比計(jì)劃每天少挖14m米，若最終每天實(shí)際總成本比計(jì)劃多（11m-8）萬(wàn)元，求【答案】（1）1000米；（2）4【分析】（1）設(shè)甲工程隊(duì)施工x米，則乙工程隊(duì)施工（2000-x）米，由工程結(jié)算時(shí)乙總施工成本不低于甲總施工成本的43，即可得出關(guān)于x（2）根據(jù)總成本=每米施工成本×每天施工的長(zhǎng)度結(jié)合每天實(shí)際總成本比計(jì)劃多（11m-8）萬(wàn)元，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)甲工程隊(duì)施工x米，則乙工程隊(duì)施工（2000-x）米，依題意，得：8（2000-x）≥43×6x解得：x≤1000．答：甲最多施工1000米．（2）依題意，得：（6+m）（6+12m）+8（6-14m）=6×（6+8）+11整理，得：m2-8m+16=0，解得：m1=m2=4．答：m的值為4．【點(diǎn)睛】考查了一元一次不等式的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．【變式6-2】（23-24·重慶·中考真題）隨著鐵路運(yùn)量的不斷增長(zhǎng)，重慶火車(chē)北站越來(lái)越擁擠，為了滿(mǎn)足鐵路交通的快速發(fā)展，該火車(chē)站從去年開(kāi)始啟動(dòng)了擴(kuò)建工程，其中某項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)完成所需時(shí)間比乙隊(duì)單獨(dú)完成所需時(shí)間多5個(gè)月，并且兩隊(duì)單獨(dú)完成所需時(shí)間的乘積恰好等于兩隊(duì)單獨(dú)完成所需時(shí)間之和的6倍．（1）求甲、乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需幾個(gè)月？（2）若甲隊(duì)每月的施工費(fèi)為100萬(wàn)元，乙隊(duì)每月的施工費(fèi)比甲隊(duì)多50萬(wàn)元，在保證工程質(zhì)量的前提下，為了縮短工期，擬安排甲、乙兩隊(duì)分工合作完成這項(xiàng)工程．在完成這項(xiàng)工程中，甲隊(duì)施工時(shí)間是乙隊(duì)施工時(shí)間的2倍，那么，甲隊(duì)最多施工幾個(gè)月才能使工程款不超過(guò)1500萬(wàn)元？（甲、乙兩隊(duì)的施工時(shí)間按月取整數(shù)）【答案】（1）甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需15個(gè)月，乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需10個(gè)月．（2）甲隊(duì)最多施工8個(gè)月才能使工程款不超過(guò)1500萬(wàn)元．【分析】（1）若乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需x個(gè)月，則甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需（x+5）個(gè)月，等量關(guān)系為：“兩隊(duì)單獨(dú)完成所需時(shí)間的乘積恰好等于兩隊(duì)單獨(dú)完成所需時(shí)間之和的6倍”，據(jù)此列方程求解即可．（2）設(shè)甲隊(duì)施工m個(gè)月，求出乙施工的時(shí)間，根據(jù)工程款不超過(guò)1500萬(wàn)元，列不等式求解．【詳解】解：（1）設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需x個(gè)月，則甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需（x+5）個(gè)月，根據(jù)題意，得xx+5即x2解得x1∴x+5=15．答：甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需15個(gè)月，乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需10個(gè)月．（2）設(shè)甲隊(duì)施工m個(gè)月，則乙施工的時(shí)間為12m由題意得，100m+（100+50）12m解得：m≤84∵施工時(shí)間為整數(shù)，∴m≤8，答：完成這項(xiàng)工程，甲隊(duì)最多施工8個(gè)月才能使工程款不超過(guò)1500萬(wàn)元．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，難度一般，解本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)列出方程及不等式求解．【變式6-3】（23-24九年級(jí)·云南·期末）公安部交管局部署“一盔一帶”安全守護(hù)行動(dòng)，帶動(dòng)了市場(chǎng)頭盔的銷(xiāo)量．某頭盔經(jīng)銷(xiāo)商5至7月份統(tǒng)計(jì)，某品牌頭盔5月份銷(xiāo)售2250個(gè)，7月份銷(xiāo)售3240個(gè)，且從5月份到7月份銷(xiāo)售量的月增長(zhǎng)率相同．請(qǐng)解決下列問(wèn)題．(1)求該品牌頭盔銷(xiāo)售量的月增長(zhǎng)率；(2)為了達(dá)到市場(chǎng)需求，某工廠建了一條頭盔生產(chǎn)線(xiàn)生產(chǎn)頭盔，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，發(fā)現(xiàn)一條生產(chǎn)線(xiàn)最大產(chǎn)能是900個(gè)/天，但如果每增加一條生產(chǎn)線(xiàn)，每條生產(chǎn)線(xiàn)的最大產(chǎn)能將減少30個(gè)/天，現(xiàn)該廠要保證每天生產(chǎn)頭盔3900個(gè)，在增加產(chǎn)能同時(shí)又要節(jié)省投入的條件下（生產(chǎn)線(xiàn)越多，投入越大），應(yīng)該增加幾條生產(chǎn)線(xiàn)？【答案】(1)該品牌頭盔銷(xiāo)售量的月增長(zhǎng)率為20%(2)在增加產(chǎn)能同時(shí)又要節(jié)省投入的條件下，增加4條生產(chǎn)線(xiàn)【分析】（1）設(shè)該品牌頭盔銷(xiāo)售量的月增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意列出一元二次方程進(jìn)行求解；（2）設(shè)增加x條生產(chǎn)線(xiàn)，根據(jù)條件列出一元二次方程求解，再根據(jù)要節(jié)省投入的條件下，確定解．【詳解】（1）解：設(shè)該品牌頭盔銷(xiāo)售量的月增長(zhǎng)率為x．依題意，得：2250(1+x)解得：x1=0.2=20%答：該品牌頭盔銷(xiāo)售量的月增長(zhǎng)率為20%．（2）解：設(shè)增加x條生產(chǎn)線(xiàn)．(900?30x)(x+1)=3900，解得x1=4，答：在增加產(chǎn)能同時(shí)又要節(jié)省投入的條件下，增加4條生產(chǎn)線(xiàn)．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出相應(yīng)的一元二次方程求解即可．【題型7行程問(wèn)題】【例7】（23-24九年級(jí)·重慶萬(wàn)州·期中）“鐵路建設(shè)助推經(jīng)濟(jì)發(fā)展”，近年來(lái)我國(guó)政府十分重視鐵路建設(shè)．渝利鐵路通車(chē)后，從重慶到上海比原鐵路全程縮短了320千米，列車(chē)設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)速比原鐵路設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)速提高了120千米/小時(shí)，全程設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)間只需8小時(shí)，比原鐵路設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)間少用16小時(shí)．（1）渝利鐵路通車(chē)后，重慶到上海的列車(chē)設(shè)計(jì)運(yùn)行里程是多少千米？（2）專(zhuān)家建議：從安全的角度考慮，實(shí)際運(yùn)行時(shí)速要比設(shè)計(jì)時(shí)速減少m%，以便于有充分時(shí)間應(yīng)對(duì)突發(fā)事件，這樣，從重慶到上海的實(shí)際運(yùn)行時(shí)間將增加110m小時(shí)，求【答案】（1）1600；（2）20．【分析】（1）利用“從重慶到上海比原鐵路全程縮短了320千米，列車(chē)設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)速比原鐵路設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)速提高了l20千米/小時(shí)，全程設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)間只需8小時(shí)，比原鐵路設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)間少用16小時(shí)”，分別得出等式組成方程組求出即可；（2）根據(jù)題意得出：(80+120)(1?m%【詳解】（1）設(shè)原時(shí)速為xkm/h，通車(chē)后里程為ykm，則有：{8(120+x)=y解得：{x=80答：渝利鐵路通車(chē)后，重慶到上海的列車(chē)設(shè)計(jì)運(yùn)行里程是1600千米；（2）由題意可得出：(80+120)(1?m%解得：m1=20，答：m的值為20．【變式7-1】（23-24九年級(jí)·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）小明鍛煉健身，從A地勻速步行到B地用時(shí)25分鐘．若返回時(shí)，發(fā)現(xiàn)走一小路可使A、B兩地間路程縮短200米，便抄小路以原速返回，結(jié)果比去時(shí)少用2.5分鐘．（1）求返回時(shí)A、B兩地間的路程；（2）若小明從A地步行到B地后，以跑步形式繼續(xù)前進(jìn)到C地（整個(gè)鍛煉過(guò)程不休息）．據(jù)測(cè)試，在他整個(gè)鍛煉過(guò)程的前30分鐘（含第30分鐘），步行平均每分鐘消耗熱量6卡路里，跑步平均每分鐘消耗熱量10卡路里；鍛煉超過(guò)30分鐘后，每多跑步1分鐘，多跑的總時(shí)間內(nèi)平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里．測(cè)試結(jié)果，在整個(gè)鍛煉過(guò)程中小明共消耗904卡路里熱量．問(wèn)：小明從A地到C地共鍛煉多少分鐘．【答案】（1）1800米；（2）52分鐘．【分析】（1）可設(shè)AB兩地之間的距離為x米，根據(jù)兩種步行方案的速度相等，列出方程即可求解；（2）可設(shè)從A地到C地一共鍛煉時(shí)間為y分鐘，根據(jù)在整個(gè)鍛煉過(guò)程中小明共消耗900卡路里熱量，列出方程即可求解．【詳解】解：（1）設(shè)返回時(shí)A，B兩地間的路程為x米，由題意得：x+20025解得x=1800．答：A、B兩地間的路程為1800米；

（2）設(shè)小明從A地到B地共鍛煉了y分鐘，由題意得：25×6+5×10+[10+（y﹣30）×1]（y﹣30）=904，整理得y2﹣50y﹣104=0，解得y1=52，y2=﹣2（舍去）．答：小明從A地到C地共鍛煉52分鐘．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程，一元二次方程．【變式7-2】（23-24九年級(jí)·重慶北碚·階段練習(xí)）1月21日，重慶在除夕夜舉行了首屆重慶都市藝術(shù)節(jié)跨年焰火表演，以跨年整點(diǎn)焰火的形式辭舊迎新，為感受喜慶、熱烈的現(xiàn)場(chǎng)氛圍，甲、乙兩人從各自家前往朝天門(mén)廣場(chǎng)觀看焰火表演、由于當(dāng)晚觀看焰火表演的人較多，甲先將車(chē)開(kāi)到距離自己家50千米的A停車(chē)場(chǎng)后，再步行1千米到達(dá)目的地，共花了1.5小時(shí)，此期間，已知甲開(kāi)車(chē)的平均速度是甲步行平均速度的25倍．(1)求甲開(kāi)車(chē)的平均速度及步行的平均速度分別是多少？(2)乙先將車(chē)開(kāi)到B停車(chē)場(chǎng)后，再步行前往目的地，總路程為46千米，此期間，已知乙開(kāi)車(chē)的平均速度比甲開(kāi)車(chē)的平均速度快m千米/小時(shí)(m>0)，乙開(kāi)車(chē)時(shí)間比甲開(kāi)車(chē)時(shí)間少124m小時(shí)；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快14m千米/小時(shí)，乙步行了【答案】(1)甲開(kāi)車(chē)的平均速度是50千米/小時(shí)，步行的平均速度是2千米/小時(shí)；(2)4．【分析】（1）設(shè)甲步行的平均速度是x千米/小時(shí)，則甲開(kāi)車(chē)的平均速度是25x千米/小時(shí)，根據(jù)甲先將車(chē)開(kāi)到距離自己家50千米的A停車(chē)場(chǎng)后，再步行1千米到達(dá)目的地，共花了1.5小時(shí)．列出分式方程，解方程即可；（2）根據(jù)乙先將車(chē)開(kāi)到B停車(chē)場(chǎng)后，再步行前往目的地，總路程為46千米．列出一元二次方程，解之取其正值即可．本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程和一元二次方程．【詳解】（1）設(shè)甲步行的平均速度是x千米/小時(shí)，則甲開(kāi)車(chē)的平均速度是25x千米/小時(shí)，由題意得：5025x解得：x=2，經(jīng)檢驗(yàn)，x=2是原方程的解，且符合題意，∴25x=25×2=50，答：甲開(kāi)車(chē)的平均速度是50千米/小時(shí)，步行的平均速度是2千米/小時(shí)；（2）由（1）可知，甲開(kāi)車(chē)的時(shí)間為50÷50=1小時(shí))，則乙開(kāi)車(chē)的時(shí)間為1?1由題意可知，乙開(kāi)車(chē)的速度為50+m千米/小時(shí)，乙步行的速度為2+14m由題意得：50+m1?整理得：m2解得：m1=4，m2答：m的值為4．【變式7-3】（23-24九年級(jí)·重慶豐都·階段練習(xí)）周末，小明和小紅約著一起去公園跑步鍛煉身體若兩人同時(shí)從A地出發(fā)，勻速跑向距離12000m處的B地，小明的跑步速度是小紅跑步速度的1.2倍，那么小明比小紅早5分鐘到達(dá)B地．(1)求小明、小紅的跑步速度；(2)若從A地到達(dá)B地后，小明以跑步形式繼續(xù)前進(jìn)到C地（整個(gè)過(guò)程不休息），據(jù)了解，在他從跑步開(kāi)始前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過(guò)30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個(gè)鍛煉過(guò)程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從A地到C地鍛煉共用多少分鐘．【答案】(1)480m/(2)70【分析】（1）分別設(shè)小紅和小明的速度，根據(jù)等量關(guān)系（小明比小紅早5分鐘到達(dá)B地）列出等量關(guān)系式，按照分式方程即可求解，求解后檢驗(yàn)所求解是不是方程解．（2）先求出小明前30分鐘中的5分鐘是從B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的熱量列方程，最后求解．【詳解】（1）解：設(shè)小紅的速度為xm/min依據(jù)題意列方程得，12000x∴12000×1.2?12000=5×1.2x，∴x=400，經(jīng)檢驗(yàn)，x=400是原式方程的解．∴1.2×400=480m∴小紅的速度為400m/min故答案為：480m/min（2）解：∵小明的速度為480m∴小明從A地道B地需要的時(shí)間為：12000÷480=25min∵小明在他從跑步開(kāi)始前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，∴30?25=5min設(shè)B地到C地的距離為xm30×10+∴300+x∴x∴x∴x∴x=21600或x=?21600（舍去）．∴A地到C地所需要時(shí)間為：21600+12000480故答案為：70min【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用和一元二次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于是否能根據(jù)題意列出等量關(guān)系式，解題的重點(diǎn)在于是否能了解小明的前30分鐘內(nèi)的最后5分鐘是屬于B地到C地時(shí)間．【題型8圖表信息問(wèn)題】【例8】（23-24九年級(jí)·江蘇南京·階段練習(xí)）某商店購(gòu)進(jìn)800個(gè)旅游紀(jì)念品，進(jìn)價(jià)為每個(gè)50元，第一周以每個(gè)80元的價(jià)格售出200個(gè)，第二周若按每個(gè)80元的價(jià)格銷(xiāo)售仍可售出200個(gè)，但商店為了適當(dāng)增加銷(xiāo)量，決定降價(jià)銷(xiāo)售（根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，單價(jià)每降低1元，可多售出10個(gè)，但售價(jià)不得低于進(jìn)價(jià)），單價(jià)降低x元銷(xiāo)售銷(xiāo)售一周后，商店對(duì)剩余旅游紀(jì)念品以及清倉(cāng)處理，以每個(gè)40元的價(jià)格全部售出，如果這批旅游紀(jì)念品共獲利9000元．（1）填表（結(jié)果需化簡(jiǎn)）

時(shí)間

第一周

第二周

清倉(cāng)時(shí)單價(jià)（元）

80

40銷(xiāo)售量（件）

200（2）求第二周每個(gè)旅游紀(jì)念品的銷(xiāo)售價(jià)格為多少元？【答案】（1）填表見(jiàn)解析；（2）第二周每個(gè)旅游紀(jì)念品的銷(xiāo)售價(jià)格為70元．【分析】（1）第二周的單價(jià)=第一周的單價(jià)-降低的價(jià)格，銷(xiāo)售量=200+10×降低的單價(jià)；清倉(cāng)時(shí)的銷(xiāo)售量為：800-第一周的銷(xiāo)售量-第二周的銷(xiāo)售量；（2）等量關(guān)系為：總售價(jià)-總進(jìn)價(jià)=9000．把相關(guān)數(shù)值代入計(jì)算即可．【詳解】解：（1）填表（結(jié)果需化簡(jiǎn)）

時(shí)間

第一周

第二周

清倉(cāng)時(shí)單價(jià)（元）

80

80-x

40銷(xiāo)售量（件）

200

200+10x

400-10x故答案為：80-x，200+10x，400-10x；（2）80×200+（80-x）（200+10x）+40×(400-10x）-800×50=9000，x2-20x+100=0，解得：x1=x2=10，當(dāng)x=10時(shí)，80-x=70．答：第二周每個(gè)旅游紀(jì)念品的銷(xiāo)售價(jià)格為70元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了列代數(shù)式以及一元二次方程的應(yīng)用，找出相等關(guān)系列一元二次方程求解是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（23-24九年級(jí)·湖北·單元測(cè)試）近年來(lái)，隨著城市居民入住率的增加，污水處理問(wèn)題成為城市的難題．某城市環(huán)境保護(hù)局協(xié)同自來(lái)水公司為鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，減少污水排放，規(guī)定：居民用水量每月不超過(guò)a噸時(shí)，只需交納10元水費(fèi)，如果超過(guò)a噸，除按10元收費(fèi)外，超過(guò)部分，另按每噸5a元收取水費(fèi)（水費(fèi)+污水處理費(fèi)）．（1）某市區(qū)居民2018年3月份用水量為8噸，超過(guò)規(guī)定水量，用a的代數(shù)式表示該用戶(hù)應(yīng)交水費(fèi)多少元；（2）下表是這戶(hù)居民4月份和5月份的用水量和繳費(fèi)情況；月份用水量（噸）交水費(fèi)總金額（元）47705540根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求規(guī)定用水量a的值．（3）結(jié)合當(dāng)?shù)厮Y源狀況，談?wù)勅绾伍_(kāi)展水資源環(huán)境保護(hù)？如何節(jié)約用水？【答案】（1）10+40a-5a2元；（2）3噸；（3）見(jiàn)解析;【分析】（1）根據(jù)總費(fèi)用=10+超出費(fèi)用列出代數(shù)式即可；（2）根據(jù)題意分別列出5a（7-a）+10=70，5a（5-a）+10=40，取滿(mǎn)足兩個(gè)方程的a的值即為本題答案；（3）結(jié)合當(dāng)?shù)厮Y源狀況，敘述合理即可；【詳解】（1）3月份應(yīng)交水費(fèi)10+5a（8-a）=10+40a-5a2元；（2）由題意得：5a（7-a）+10=70，解得：a=3或a=45a（5-a）+10=40解得：a=3或a=2，綜上，規(guī)定用水量為3噸；（3）既然我們的水資源比較缺乏，就要提高節(jié)水技術(shù)、防治水污染、植樹(shù)造林．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是了解本題的水費(fèi)收取標(biāo)準(zhǔn)．【變式8-2】（23-24九年級(jí)·廣東陽(yáng)江·期末）烏克蘭危機(jī)發(fā)生之后，外交戰(zhàn)線(xiàn)按照黨中央的部署緊急行動(dòng)，在戰(zhàn)火粉飛中已將5200多名同胞安全從烏克蘭撤離，電影《萬(wàn)里歸途》正是“外交為民”的真實(shí)寫(xiě)照，如表是該影片票房的部分?jǐn)?shù)據(jù)，（注：票房是指截止發(fā)布日期的所有售票累計(jì)收入）影片《萬(wàn)里歸途》的部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)發(fā)布日期10月8日10月11日10月12日發(fā)布次數(shù)第1次第2次第3次票房10億元12.1億元(1)平均每次累計(jì)票房增長(zhǎng)的百分率是多少？(2)在（1）的條件下，若票價(jià)每張40元，求10月11日賣(mài)出多少?gòu)堧娪捌薄敬鸢浮?1)10%(2)2500000張【分析】（1）設(shè)平均每次累計(jì)票房增長(zhǎng)的百分率是x，利用第3次累計(jì)票房=第1次累計(jì)票房×（1+平均每次累計(jì)票房增長(zhǎng)的百分率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）利用數(shù)量=總結(jié)÷單價(jià)，即可求出結(jié)論；【詳解】（1）解：設(shè)平均每次累計(jì)票房增長(zhǎng)的百分率是x，依題意得：101+x解得：x1=0.1=10%答：平均每次累計(jì)票房增長(zhǎng)的百分率是10%．（2）解：1000000000×==100000000÷40=2500000（張）．答：10月11日賣(mài)出2500000張電影票．（或1000000000×10%【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及統(tǒng)計(jì)表，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（23-24九年級(jí)·江蘇蘇州·期中）某旅行社一則旅游消息如下：旅游人數(shù)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)不超過(guò)10人人均收費(fèi)2400元超過(guò)10人每增加一人，人均收費(fèi)減少60元，但人均收費(fèi)不低于1500元(1)甲公司員工分兩批參加該項(xiàng)旅游，分別支付給旅行社12000元和24000元，甲公司員工有__________人．(2)乙公司員工一起參加該項(xiàng)旅游，支付給旅行社36000元，乙公司員工多少人？【答案】(1)15；(2)乙公司20人．【分析】（1）設(shè)甲公司員工有x人，根據(jù)第一次、第二次支付的費(fèi)用和人均收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，判斷出兩次都不超過(guò)10人，直接用總費(fèi)用除以人均收費(fèi)，即可得出答案；（2）設(shè)乙公司員工x人，根據(jù)支付的費(fèi)用先判斷出公司去的人數(shù)超過(guò)了10人，再根據(jù)每增加一人，人均收費(fèi)減少60元，列出方程，求出x的值，再根據(jù)人均收費(fèi)不低于1500元，即可得出乙公司去的人數(shù)．【詳解】（1）解：設(shè)甲公司有x人，12000÷2400+24000÷2400，=10+5，=15（人）．故答案為：15（2）設(shè)乙公司x人，2400?60x?10x1=20，若x=30，每人費(fèi)用：2400?60×20=1200<1500，不符舍去，若x=20，每人費(fèi)用：2400?60×10=1800>1500，符合，答：乙公司20人．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意正確列式和列方程是解題的關(guān)鍵．【題型9古文問(wèn)題】【例9】（23-24九年級(jí)·湖南懷化·期中）古算趣題：“笨人執(zhí)竿要進(jìn)屋，無(wú)奈門(mén)框攔住竹，橫多四尺豎多二，沒(méi)法急得放聲哭．有個(gè)鄰居聰明者，教他斜竿對(duì)兩角，笨伯依言試一試，不多不少剛抵足．借問(wèn)竿長(zhǎng)多少數(shù)，誰(shuí)人算出我佩服．”聰明的你認(rèn)為竿長(zhǎng)為（）A．2尺 B．10尺 C．2尺或10尺 D．無(wú)法確定【答案】B【分析】設(shè)竿長(zhǎng)為x尺，根據(jù)題意可得，則房門(mén)的寬為(x?4)尺，高為(x?2)尺，對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為x尺，然后根據(jù)勾股定理列出方程．本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意表示出各個(gè)邊的長(zhǎng)度以及勾股定理的應(yīng)用．【詳解】解：設(shè)竿長(zhǎng)為x尺，由題意得，(x?2)2解這個(gè)方程，得x1=2，當(dāng)x=2時(shí)，x?2=0，x?4=?2（舍去）∴x=10．答：竹竿有10尺．故選：B【變式9-1】（23-24九年級(jí)·北京西城·期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何．（1丈＝10尺）大意是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面．水的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是多少？將這個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，根據(jù)題意畫(huà)出圖形（如圖所示），其中水面寬AB＝10尺，線(xiàn)段CD，CB表示蘆葦，CD⊥AB于點(diǎn)E．（1）圖中DE＝尺，EB＝尺；（2）求水的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度．【答案】（1）1，5；（2）蘆葦長(zhǎng)13尺，則水的深度為12尺．【分析】（1）根據(jù)DE是蘆葦高出水面部分，EB是水面邊長(zhǎng)的一半，直接寫(xiě)出答案即可；（2）設(shè)蘆葦長(zhǎng)x尺，則水的深度為（x-1）尺，根據(jù)等量關(guān)系，列出方程，即可求解．【詳解】解：（1）根據(jù)題意：DE是蘆葦高出水面部分，即DE=1尺，EB是水面邊長(zhǎng)的一半，即：EB=5尺，故答案是：1，5；（2）設(shè)蘆葦長(zhǎng)x尺，則水的深度為（x-1）尺，根據(jù)題意得：x?12+513-1=12（尺），答：蘆葦長(zhǎng)13尺，則水的深度為12尺．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理以及一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)勾股定理，列出方程，是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（23-24九年級(jí)·安徽六安·期末）《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會(huì)，問(wèn)甲乙各行幾何？”大意是說(shuō)：“甲、乙二人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為6，乙的速度為4，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇，甲、乙各走了多少步？”請(qǐng)問(wèn)甲走的步數(shù)是．【答案】36【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及勾股定理，設(shè)甲、乙兩人相遇的時(shí)間為t，則乙走了4t步，甲斜向北偏東方向走了(6t?10)步，利用勾股定理即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之即可得出t值，將其正值代入4t中即可求出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)甲、乙兩人相遇的時(shí)間為t，則乙走了4t步，甲斜向北偏東方向走了(6t?10)步，則依題意得：102整理得：20t解得：t1∴4t=4×6=24．故甲走的步數(shù)是36．故答案為：36．【變式9-3】（23-24九年級(jí)·北京海淀·期中）閱讀下面的材料并完成解答．《田畝比類(lèi)乘除捷法》是我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝的著作，其中記載了這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：“直田積八百六十四步，只云長(zhǎng)闊共六十步，欲先求闊步，得幾何？”意思是：一塊矩形田地的面積為864平方步，只知道它的長(zhǎng)與寬之和為60步，問(wèn)它的寬是多少步？書(shū)中記載了這個(gè)問(wèn)題的幾何解法：

(1)將四個(gè)完全相同的面積為864平方步的矩形，按如圖所示的方式拼成一個(gè)大正方形，則大正方形的邊長(zhǎng)為步；(2)中間小正方形的面積為平方步；(3)若設(shè)矩形田地的寬為x步，則小正方形的面積可用含x的代數(shù)式表示為；(4)你依據(jù)（2）（3）列出關(guān)于x的方程，并求矩形田地的寬．【答案】(1)60(2)144(3)60?2x(4)60?2x2【分析】本題主要考查了列代數(shù)式，一元二次方程的應(yīng)用：（1）根據(jù)圖形可得，大正方形的邊長(zhǎng)是由一個(gè)矩形的寬和長(zhǎng)組成即可求解；（2）先求得大正方形的面積，再減去四個(gè)矩形的面積即可求解；（3）設(shè)矩形田地的寬為x步，則長(zhǎng)為60?x步，，從而可得小正方形的邊長(zhǎng)，再利用正方形的面積公式即可求解；（4）由②③求得小正方形的面積相等即可得出方程．【詳解】（1）解：∵矩形田地的面積為864平方步，它的長(zhǎng)與寬之和為60步，∴大正方形的邊長(zhǎng)為60步；故答案為：60（2）解：中間小正方形的面積為602故答案為：144（3）解：設(shè)矩形田地的寬為x步，則長(zhǎng)為60?x步，∴小正方形的邊長(zhǎng)為60?x?x=60?2x∴小正方形的面積為60?2x2（4）解：由②③可得關(guān)于x的方程：60?2x2∴x1∴x=24

答：矩形田地的寬為24步．【題型10動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】【例10】（23-24九年級(jí)·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=2cm，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以2厘米/秒的速度向終點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)Q以1厘米秒的速度向D移動(dòng)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為(1)當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q距離是3cm？(2)當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)P、Q、D為頂點(diǎn)的三角形是以PQ為腰的等腰三角形．【答案】(1)t1=6?(2)t=3+72，3?【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，勾股定理，矩形的性質(zhì)；（1）作QE⊥AB于E，則四邊形BCQE是矩形，在Rt△PQE中，由勾股定理，得6?3t（2）當(dāng)PQ=DQ時(shí)，作QE⊥AB于E，在Rt△PQE中，由勾股定理，得6?3t2+4=6?t2，解方程，即可求解．當(dāng)PD=PQ時(shí)，作PE⊥DQ【詳解】（1）解：如圖1，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ=90°，∵∠B=∠C=90°,∴四邊形BCQE是矩形，∴QE=BC=2，BE=CQ=t，∵AP=2t，PE=6?2t?t=6?3t，在Rt△PQE中，由勾股定理，得6?3t解得：t1=6?當(dāng)t1當(dāng)t2綜上所述：t1=6?（2）如圖3，當(dāng)PQ=DQ時(shí)，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ=90°,∵∠B=∠C=90°，∴四邊形BCQE是矩形，∴QE=BC=2，BE=CQ=t，∵AP=2t，PE=6?2t?t=6?3t，DQ=6?t，∵PQ=DQ，∴PQ=6?t，在Rt△PQE中，由勾股定理，得6?3t解得：t1=3+如圖4，當(dāng)PD=PQ時(shí)，作PE⊥DQ于E，∴DE=QE=12QD∵∠A=∠ADE=90°，∴四邊形ADEP是矩形，∴AP=DE,∵DQ=6?t，∴DE=1∴2t=126?t綜上所述：t=3+72，3?【變式10-1】（23-24九年級(jí)·湖南永州·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=5cm，BC=6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AB向終點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊BC向終點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．如果P，Q分別從A，(1)填空：BQ=_____cm，PB=_____cm；（用含t的代數(shù)式表示）(2)當(dāng)t為何值時(shí)，PQ的長(zhǎng)度等于5cm？(3)是否存在t的值，使得四邊形APQC的面積等于9cm2？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t【答案】(1)2t，5?t(2)t1=0，(3)當(dāng)t=2時(shí)，四邊形APQC的面積等于9cm2【分析】本題考查了行程問(wèn)題的運(yùn)用，一元二次方程的解法，勾股定理的運(yùn)用，三角形面積