專題2.5 應(yīng)用一元二次方程【十大題型】-2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三系列（北師大版）

PAGE1專題2.5應(yīng)用一元二次方程【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1數(shù)字問題】 1【題型2增長率問題】 3【題型3利潤問題】 6【題型4圖形的面積問題】 9【題型5傳播問題】 12【題型6工程問題】 15【題型7行程問題】 18【題型8圖表信息問題】 22【題型9古文問題】 26【題型10動點問題】 29知識點1：解一元二次方程的一般步驟（1）審：就是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些就是已知量，哪些就是未知量以及它們之間得等量關(guān)系。（2）設(shè)：就是指設(shè)元，也就就是設(shè)出未知數(shù)。（3）列：就就是列方程，這就是關(guān)鍵步驟,一般先找出能夠表達應(yīng)用題全部含義得一個相等含義，然后列代數(shù)式表示這個相等關(guān)系中得各個量，就得到含有未知數(shù)得等式，即方程。（4）解：就就是解方程，求出未知數(shù)得值。（5）驗：就是指檢驗方程得解就是否保證實際問題有意義，符合題意。（6）答：寫出答案?！绢}型1數(shù)字問題】方法總結(jié)：三個連續(xù)整數(shù)：若設(shè)中間得一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-1，x+1.三個連續(xù)偶數(shù)（奇數(shù)）：若中間得一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-2,x+2.三位數(shù)得表示方法：設(shè)百位、十位、個位上得數(shù)字分別為a,b,c，則這個三位數(shù)就是100a+10b+c.【例1】（23-24九年級·江蘇連云港·期中）小明同學(xué)是一位古詩文的愛好者，在學(xué)習(xí)了一元二次方程這一章后，改編了蘇軾詩詞《念奴嬌·赤壁懷古》：“大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流人物．而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)．十位恰小個位三，個位平方與壽同．哪位學(xué)子算得快，多少年華數(shù)周瑜？”假設(shè)周瑜去世時年齡的十位數(shù)字是x，則可列方程為．【答案】10x+(x+3)=【分析】本題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，準(zhǔn)確列式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得個位數(shù)為x+3，根據(jù)個位數(shù)字平方與這個兩位數(shù)相等列出方程即可．【詳解】設(shè)設(shè)周瑜去世時年齡的十位數(shù)字是x，則個位數(shù)上的數(shù)字是x+3，由題意可得：10x+(x+3)=(x+3)故答案為：10x+(x+3)=(x+3)【變式1-1】（23-24九年級·江蘇蘇州·期中）兩個連續(xù)正整數(shù)的平方和為113，則這兩個數(shù)的積是．【答案】56【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)較小的一個數(shù)為x，則另外一個數(shù)為(x+1)，根據(jù)兩個數(shù)的平方和是113，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)較小的一個數(shù)為x，則另外一個數(shù)為(x+1)，依題意，得：x2整理，得：x2解得：x1∴x+1=8∴這兩個數(shù)的積為7×8=56，故答案為：56．【變式1-2】（23-24九年級·江蘇·期中）已知3個連續(xù)整數(shù)的和是m，它們的平方和是n，且n=7【答案】這3個連續(xù)整數(shù)為4，5，6【分析】本題考查有理數(shù)的加法和二元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程再進行計算即可．【詳解】設(shè)這3個連續(xù)整數(shù)為x，x+1，x+2，由題意可得，x+x+1+x+2=3x+3=m，x2又知n=7即3x解得x=4或?4故x=4，x+1=5，x+2=6．故這3個連續(xù)整數(shù)為4，5，6．【變式1-3】（23-24九年級·全國·專題練習(xí)）一個三位數(shù)，十位數(shù)字比百位數(shù)字大3，個位數(shù)字等于百位數(shù)字與十位數(shù)字的和．已知這個三位數(shù)比個位數(shù)字的平方的5倍大12，求這個三位數(shù)．【答案】257【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．正確理解數(shù)字與每個位上的數(shù)字的關(guān)系是關(guān)鍵．設(shè)該三位數(shù)的百位數(shù)字是x，則十位數(shù)字是x+3，個位數(shù)字是2x+3．所以根據(jù)“這個三位數(shù)比個位數(shù)字的平方的5倍大12”列出方程．【詳解】解：設(shè)該三位數(shù)的百位數(shù)字是x(x為正整數(shù)），則十位數(shù)字是x+3，個位數(shù)字是2x+3．則：100x+10x+3整理，得：5x所以x?25x?3所以x?2=0或5x?3=0，解得，x=2或x=3則x+3=5，2x+3=7，則該三位數(shù)是257．答：這個數(shù)是257．【題型2增長率問題】方法總結(jié)：設(shè)初始量為a，終止量為b，平均增長率或平均降低率為x，則經(jīng)過兩次得增長或降低后得等量關(guān)系為a（1±x）2=b.【例2】（23-24九年級·安徽安慶·期中）為了美化環(huán)境，2021年某市的綠化投資額為a萬元，2023年的綠化投資額為2.25a萬元，則這兩年該市綠化投資額的年平均增長率為（

）A．30% B．40% C．50%【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)這兩年該市綠化投資額的年平均增長率為x，利用2023年該市的綠化投資額=2021年該市的綠化投資×（1+額這兩年該市綠化投資額的年平均增長率），可得出關(guān)于x的一元二次方程求解，取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)這兩年該市綠化投資額的年平均增長率為x，根據(jù)題意得：a1+x1+x2=2.25，解得：x1∵0.5=50%∴這兩年該市綠化投資額的年平均增長率為50%故選：C．【變式2-1】（23-24九年級·江蘇鎮(zhèn)江·期中）鎮(zhèn)江香醋甲天下，為開拓醋的養(yǎng)生功能，某醋廠開發(fā)出櫻桃醋．為打開市場，該櫻桃醋經(jīng)過兩次降價，售價由原來的每瓶25元降至每瓶16元，已知兩次降價的百分率相同，若設(shè)每次降價的百分率為x，則可列方程．【答案】25【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，設(shè)每次降價的百分率為x，根據(jù)經(jīng)過兩次降價后的價格=原價×（1?每次降價的百分率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得：251?x故答案為：251?x【變式2-2】（23-24九年級·四川綿陽·期中）習(xí)近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣．”某校為響應(yīng)我市全民閱讀活動，利用節(jié)假日面向社會開放學(xué)校圖書館．據(jù)統(tǒng)計，第一個月進館128人次，進館人次逐月增加，到第三個月末累計進館608人次，若進館人次的月平均增長率相同．進館人次的月平均增長率是．【答案】50【分析】本題主要考查二次函數(shù)中的增長率問題，注意題目中的要求是到第三個月末累計進館608人次，求和的方式覺得方程的結(jié)構(gòu)，不要受思維定勢，列錯方程是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)進館人次的月平均增長率為x，則由題意得：128+128(1+x)+128化簡得：4∴(2x?1)(2x+7)=0；∴x1=0.5=50%答：進館人次的月平均增長率為50%故答案為：50%【變式2-3】（23-24九年級·浙江杭州·期中）某商場以每件280元的價格購進一批商品，當(dāng)每件商品售價為360元時，每月可售出60件．為了擴大銷售，商場決定采取適當(dāng)降價的方式促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件商品降價1元，那么商場每月就可以多售出5件．(1)降價前商場每月銷售該商品的利潤是多少元？(2)要使商場每月銷售這種商品的利潤達到7200元，且更有利于減少庫存，則每件商品應(yīng)降價多少元？(3)該商場1月份銷售量為60件，2月和3月的月平均增長率為x，若前三個月的總銷量為285件，求該季度的總利潤．【答案】(1)4800元(2)60元(3)20235元【分析】本題考查了銷售問題的數(shù)量關(guān)系利潤=售價-進價的運用，列一元二次方程解實際問題的運用，解答時根據(jù)銷售問題的數(shù)量關(guān)系建列方程是關(guān)鍵．（1）先求出每件的利潤，再乘以每月銷售的數(shù)量就可以得出每月的總利潤；（2）設(shè)要使商場每月銷售這種商品的利潤達到7200元，且更有利于減少庫存，則每件商品應(yīng)降價x元，由銷售問題的數(shù)量關(guān)系建立方程求出其解即可．（3）列出方程判斷其根的判別式即可得到其利潤能否達到8000元．【詳解】（1）解：由題意，得60(360?280)=4800元．答：降價前商場每月銷售該商品的利潤是4800元；（2）解：設(shè)每件商品應(yīng)降價x元，由題意，得(360?x?280)(5x+60)=7200，化簡為x解得x1∵要更有利于減少庫存，∴x=60.答：要使商場每月銷售這種商品的利潤達到7200元，且更有利于減少庫存，則每件商品應(yīng)降價60元（3）解：由題意，得60+60(1+x)+60化簡為(x+解得x1=12,x2=∴1月60件，每件利潤80元；2月90件，每件利潤74元；3月135件，每件利潤65元60×80+90×74+135×65=20235∴總利潤為20235元．【題型3利潤問題】方法總結(jié)：利潤問題常用得相等關(guān)系式有：①總利潤=總銷售價-總成本；②總利潤=單位利潤×總銷售量；③利潤=成本×利潤率.【例3】（23-24九年級·山東菏澤·期中）某旅游景點的門票價格是20元/人，每天接待游客500人，已知該景點每天要支出100元衛(wèi)生費，每售出一張門票要上繳10元其它費用．(1)景點每天獲利潤多少元？(2)進入旅游旺季時，景點想提高門票價格增加盈利．經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，門票價格每提高5元，每天接待游客人數(shù)就會減少50人．當(dāng)門票價格為多少時，可獲利潤8900元？【答案】(1)景點每天獲利潤4900元(2)門票價格為40元時，可獲利潤8900元【分析】本題主要考查有理數(shù)四則運算的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用：（1）根據(jù)“總利潤=總收入-總支出”列式計算即可；（2）根據(jù)“總利潤=總收入-總支出”列出方程即可解決問題．【詳解】（1）解：利潤==10×500?100=5000?100=4900（元）答：景點每天獲利潤4900元（2）解：設(shè)門票價格為x元時，可獲利潤8900元，根據(jù)題意得，x?10解得，x1答：門票價格為40元時，可獲利潤8900元【變式3-1】（23-24九年級·安徽合肥·期中）某商店從廠家以每件18元的價格購進一批商品．該商品可以自行定價．據(jù)市場調(diào)查，該商品的售價與銷售量的關(guān)系是：若每件售價a元，則可賣出320?10a件，但物價部門限定每件商品加價不能超過進貨價的25%，如果商店計劃要獲利400元．則每件商品的售價應(yīng)定為（

）A．22元 B．24元 C．26元 D．28元【答案】A【分析】根據(jù)利潤和售價建立一元二次方程組，得到a2【詳解】設(shè)商店的獲利為x元，得x=320?10a當(dāng)x=400時，320?10aa?18得a2a?22a?28解方程得a=22元或a=28元，當(dāng)a=28元，28?1818∴a=28元舍去，∴a=22元，故選：A．【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的相關(guān)知識．【變式3-2】（23-24九年級·安徽六安·期中）《安徽省電動自行車管理條例》自2023年3月1日起施行．《條例》規(guī)定，駕駛?cè)撕痛钶d人應(yīng)當(dāng)規(guī)范佩戴安全頭盔，同時，針對不規(guī)范佩戴安全頭盔提出具體的處罰標(biāo)準(zhǔn)．某商店以每件80元的價格購進一批安全頭盔，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該頭盔每周銷售量y（件）與銷售單價x（元/件）滿足一次函數(shù)y=30?0.2x，物價部門規(guī)定每件頭盔的利潤不能超過進價的30%．若商店計劃每周銷售該頭盔獲利200元，則每件頭盔的售價應(yīng)為【答案】100【分析】根據(jù)題意，列方程表示每周利潤x?80y=200【詳解】解：由題意，得x?80y=200即x?8030?0.2x解得，x1=100，∵每件頭盔的利潤不能超過進價的30%，∴每件頭盔的售價不能超過80×1+30%所以x=130舍去，所以售價應(yīng)為100元，故答案為：100．【點睛】本題考查了一元二次方程的營銷問題，理解題意列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（23-24九年級·浙江溫州·期中）根據(jù)以下素材，解決生活問題【素材背景】某超市購進200箱的A款牛奶，進價為每箱40元．若每箱售價為60元，每天可銷售50箱．超市也可采取降價促銷措施來提高利潤，經(jīng)過營銷部的市場調(diào)研反饋：若A款牛奶單價每降1元，每天可多售出5箱．【問題解決】思考1：第一天超市決定按原價每箱60元出售，則第一天售出A款牛奶所獲利潤為______元．思考2：第二天超市采取降價促銷措施，為了使第二天的利潤比第一天增加12%，又要讓顧客實現(xiàn)最優(yōu)惠，問第二天A思考3：第三天超市仍采取降價促銷措施，既要銷售完這批剩余的A款牛奶，又要使超市利益最大化，問銷售完200箱的A款牛奶所獲的總利潤為多少元？【答案】思考1：1000；思考2：54元；思考3：3240元【分析】本題主要考查一元二次方程的實際應(yīng)用：思考1：售價與進價之差為每箱利潤，乘以銷量即為總利潤；思考2：設(shè)第二天A款牛奶的每箱售價為x元，則銷量為560?x+50箱，每箱利潤為x?40元，根據(jù)第二天的利潤比第一天增加思考3：先求出剩余牛奶的箱數(shù)，降價后的銷量剛好等于該數(shù)時，可以使超市利益最大化，由此可解．【詳解】解：思考1：60?40×50=1000即第一天售出A款牛奶所獲利潤為1000元，故答案為：1000；思考2：設(shè)第二天A款牛奶的每箱售價為x元，由題意得：560?x整理得x2解得x1=54，∵要讓顧客實現(xiàn)最優(yōu)惠，∴第二天A款牛奶的每箱售價為54元．思考3：∵第一天銷量為：50箱，第二天銷量為：5×60?54∴第三天銷量為：200?50?80=70（箱），設(shè)第三天A款牛奶的每箱售價為y元，則560?y解得y=56，第三天售出A款牛奶所獲利潤為：70×56?401000+1120+1120=3240（元），即銷售完200箱的A款牛奶所獲的總利潤為3240元．【題型4圖形的面積問題】方法總結(jié)：根據(jù)圖形的面積與圖形得邊、高等相關(guān)元素得關(guān)系，將圖形的面積用含有未知數(shù)得代數(shù)式表示出來，建立一元二次方程.【例4】（23-24九年級·安徽合肥·期中）如圖，要建一個面積為150m2的長方形花園ABCD，為了節(jié)省材料，花園的一邊利用原有的一道墻，另三邊用柵欄圍成，BC邊留有2m的門EF(1)若墻足夠長，則花園的長和寬各為多少？(2)若給定墻長為am，請直接寫出圍成的花園只有一種圍法時，a的取值范圍是【答案】(1)花園的長20m或15m，寬為7.5(2)15≤a<20【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)垂直于墻的邊長為xm，則平行于墻的邊長為(33?2x+2)m，根據(jù)長方形的面積公式結(jié)合養(yǎng)雞場的面積為150（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可分a<15、15≤a<20及a≥20三種情況，找出題目解的個數(shù)，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)垂直于墻的邊長為xm，則平行于墻的邊長為(33?2x+2)m依題意得：x(33?2x+2)=150，整理得：2x解得：x1=7.5，∴35?2x=20或35?2x=15．答：花園的長為20m或15m，寬為7.5m（2）當(dāng)a<15時，不能圍成花園，題目無解；當(dāng)15≤a<20時，圍成的花園只有一種圍法，題目只有一個解；當(dāng)a≥20時，圍成的花園有二種圍法，題目有兩個解；綜上所述，當(dāng)15≤a<20時，圍成的花園只有一種圍法，即a的取值范圍是15≤a<20，故答案為：15≤a<20．【變式4-1】（23-24九年級·山東淄博·期中）利用圖形的分、和、移、補探索圖形關(guān)系是我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一種重要方法．如圖1，BD是矩形ABCD的對角線，將△BCD分割成兩對全等的直角三角形和一個正方形，然后按圖2重新擺放，觀察兩圖，若a=7，b=3，則矩形A．42 B．363 C．253【答案】A【分析】本題考查了一元二次方應(yīng)用，設(shè)小正方形的邊長為x，則矩形的長為a+x，寬為b+x，根據(jù)圖1的面積列出關(guān)于a、b、x的關(guān)系式，代入a=7，b=3求出【詳解】解：設(shè)小正方形的邊長為x，則矩形的長為a+x，寬為b+x，由圖1可得：12整理得：x2∵a=7，∴x2∴x2∴矩形的面積為a+xb+x故選：A．【變式4-2】（23-24九年級·浙江·期中）如圖是一塊長方形菜地ABCD，AB=am，AD=bm，面積為Sm2．現(xiàn)將邊AB增加1m，邊AD增加2m，若有且只有一個a的值，使得到的長方形面積為

【答案】6+4【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，一元二次方程的知識，根據(jù)已知條件，用a和S表示出矩形的面積，根據(jù)一元二次方程的解法解答即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得起始矩形的面積S=ab，變化后矩形的面積為(a+1)(b+2)，∴2S=(a+1)(b+2)，b=S∴2S=a+1∴2a∵有且只有一個a的值，∴△=2?S整理得：S2解得：S1=6+42∴S的值是6+42故答案為：6+42【變式4-3】（23-24九年級·安徽六安·期中）如圖，若將圖1所示的正方形剪成四塊，恰能拼成圖2所示的長方形，設(shè)a=1，則這個正方形的面積為（

）

A．7+352 B．5+12 C．【答案】A【分析】從圖中可以看出，正方形的邊長=a+b，所以面積=a+b2，矩形的長和寬分別是a+2b，b，面積=ba+2b，兩圖形面積相等，列出方程得=a+b2【詳解】解：根據(jù)圖形和題意可得：正方形的邊長=a+b，∴正方形面積=a+b矩形的長和寬分別是a+2b，b，∴矩形面積=ba+2ba+b2=ba+2b，其中解得：b1=5所以正方形的面積為1+5故選：A．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從兩圖形中，找到兩圖形的邊長的值，然后利用面積相等列出等式求方程，解得b的值，從而求出邊長，求面積．【題型5傳播問題】【例5】（23-24九年級·遼寧鞍山·期中）某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)為43，則每個支干長出（

）支小分支．A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用；設(shè)每個支干長出個小分支，根據(jù)“每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是43”得出一元二次方程，解方程可得答案．【詳解】解：設(shè)每個支干長出個小分支，由題意得：1+x+x解得：x1故每個支干長出6個小分支，故選A．【變式5-1】（23-24九年級·寧夏銀川·期中）在一次酒會上，每兩人都只碰一次杯，如果一共碰杯45次，則參加酒會的人數(shù)為人.【答案】10【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)參加酒會的人數(shù)為x人，利用碰杯的總次數(shù)=參加酒會的人數(shù)×(參加酒會的人數(shù)?1)÷2，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)參加酒會的人數(shù)為x人，根據(jù)題意得：12整理得：x2解得：x1=10，x2∴參加酒會的人數(shù)為10人．故答案為：10【變式5-2】（23-24·陜西渭南·模擬預(yù)測）九年級（1）班在畢業(yè)之際，每一名學(xué)生都互相寫了一條祝福留言，全班一共寫了1640條祝福，則九年級（1）班共有多少名學(xué)生?【答案】九年級（1）班共有41名學(xué)生．【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)設(shè)九年級（1）班共有x名學(xué)生，每個同學(xué)要寫x?1條祝福，結(jié)合全班一共寫了1640條祝福，列式xx?1【詳解】解：設(shè)九年級（1）班共有x名學(xué)生，則xx?1整理得x2解得x1∴九年級（1）班共有41名學(xué)生．【變式5-3】（23-24九年級·浙江湖州·期末）一次圍棋比賽采用單循環(huán)賽制（即每位選手與其他選手各比賽1局），且參賽者少于15人．小珺和小哲對比賽的總局數(shù)進行的統(tǒng)計：(1)若參賽者共5人，按賽制應(yīng)該進行幾局比賽？(2)小哲說的有道理嗎？請通過計算說明；(3)他們經(jīng)過查詢，小珺的統(tǒng)計無誤，是有一人中途退出比賽，請直接寫出報名本次比賽的人數(shù)．【答案】(1)10；(2)小哲說的有道理，理由見解析；(3)13．【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用．（1）由題意，得5個人需比賽的局數(shù)為5(5?1)2（2）小哲說的有道理，理由見詳解；（3）設(shè)有一人比賽了n場后退出比賽，由題意x?1x?2【詳解】（1）解：由題意，得5個人需比賽的局數(shù)為5(5?1)2（2）小哲說的有道理，理由如下：設(shè)有x人報名參賽，由題意得x(x?1)2=70，整理得解得x=1±∴方程的解不符合實際，小哲說的有道理；（3）設(shè)有一人比賽了n場后退出比賽，由題意，得x?1x?22+n=70解得x=3±當(dāng)n=4時，x=13，符合題意，∴共有13名參賽者報名本次比賽．【題型6工程問題】【例6】（23-24九年級·重慶北碚·期中）甲、乙兩工程隊合作完成某修路工程，該工程總長為4800米，原計劃32小時完成．甲工程隊每小時修路里程比乙工程隊的2倍多30米，剛好按時完成任務(wù)．(1)求甲工程隊每小時修的路面長度；(2)通過勘察，地下發(fā)現(xiàn)大型溶洞，此工程的實際施工里程比最初的4800米多了1000米，在實際施工中，乙工程隊修路效率保持不變的情況下，時間比原計劃增加了(m+25)小時；甲工程隊的修路速度比原計劃每小時下降了3m米，而修路時間比原計劃增加m小時，求m的值．【答案】(1)甲工程隊每小時鋪設(shè)的路面長度為110米(2)m的值為18【分析】（1）設(shè)乙兩工程隊每小時鋪設(shè)路面x米，則甲工程隊每小時鋪設(shè)路面2x+30米，根據(jù)題意列出方程求解即可；（2）根據(jù)“甲工程隊鋪設(shè)的路面長度+乙兩工程隊鋪設(shè)的路面長度=5800”列出方程，求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)乙兩工程隊每小時鋪設(shè)路面x米，則甲工程隊每小時鋪設(shè)路面2x+30米，根據(jù)題意得，32x+322x+30解得：x=40，則2x+30=110，∴甲工程隊每小時鋪設(shè)的路面長度為110米；（2）解：根據(jù)題意得，4032+m+25整理得，m2解得：m1∴m的值為18．【點睛】本題主要考查一元一次方程、一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是讀懂題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系并列出方程．【變式6-1】（23-24·重慶·二模）甲、乙兩工程隊共同承建某高速路隧道工程，隧道總長2000米，甲、乙分別從隧道兩端向中間施工，計劃每天各施工6米．因地質(zhì)情況不同，兩支隊伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一樣．甲每合格完成1米，隧道施工成本為6萬元；乙每合格完成1米，隧道施工成本為8萬元．（1）若工程結(jié)算時乙總施工成本不低于甲總施工成本的43（2）實際施工開始后因地質(zhì)情況比預(yù)估更復(fù)雜，甲乙兩隊每日完成量和成本都發(fā)生變化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m萬元時，則每天可多挖12m米，乙因特殊地質(zhì)，在施工成本不變的情況下，比計劃每天少挖14m米，若最終每天實際總成本比計劃多（11m-8）萬元，求【答案】（1）1000米；（2）4【分析】（1）設(shè)甲工程隊施工x米，則乙工程隊施工（2000-x）米，由工程結(jié)算時乙總施工成本不低于甲總施工成本的43，即可得出關(guān)于x（2）根據(jù)總成本=每米施工成本×每天施工的長度結(jié)合每天實際總成本比計劃多（11m-8）萬元，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)甲工程隊施工x米，則乙工程隊施工（2000-x）米，依題意，得：8（2000-x）≥43×6x解得：x≤1000．答：甲最多施工1000米．（2）依題意，得：（6+m）（6+12m）+8（6-14m）=6×（6+8）+11整理，得：m2-8m+16=0，解得：m1=m2=4．答：m的值為4．【點睛】考查了一元一次不等式的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．【變式6-2】（23-24·重慶·中考真題）隨著鐵路運量的不斷增長，重慶火車北站越來越擁擠，為了滿足鐵路交通的快速發(fā)展，該火車站從去年開始啟動了擴建工程，其中某項工程，甲隊單獨完成所需時間比乙隊單獨完成所需時間多5個月，并且兩隊單獨完成所需時間的乘積恰好等于兩隊單獨完成所需時間之和的6倍．（1）求甲、乙隊單獨完成這項工程各需幾個月？（2）若甲隊每月的施工費為100萬元，乙隊每月的施工費比甲隊多50萬元，在保證工程質(zhì)量的前提下，為了縮短工期，擬安排甲、乙兩隊分工合作完成這項工程．在完成這項工程中，甲隊施工時間是乙隊施工時間的2倍，那么，甲隊最多施工幾個月才能使工程款不超過1500萬元？（甲、乙兩隊的施工時間按月取整數(shù)）【答案】（1）甲隊單獨完成這項工程需15個月，乙隊單獨完成這項工程需10個月．（2）甲隊最多施工8個月才能使工程款不超過1500萬元．【分析】（1）若乙隊單獨完成這項工程需x個月，則甲隊單獨完成這項工程需（x+5）個月，等量關(guān)系為：“兩隊單獨完成所需時間的乘積恰好等于兩隊單獨完成所需時間之和的6倍”，據(jù)此列方程求解即可．（2）設(shè)甲隊施工m個月，求出乙施工的時間，根據(jù)工程款不超過1500萬元，列不等式求解．【詳解】解：（1）設(shè)乙隊單獨完成這項工程需x個月，則甲隊單獨完成這項工程需（x+5）個月，根據(jù)題意，得xx+5即x2解得x1∴x+5=15．答：甲隊單獨完成這項工程需15個月，乙隊單獨完成這項工程需10個月．（2）設(shè)甲隊施工m個月，則乙施工的時間為12m由題意得，100m+（100+50）12m解得：m≤84∵施工時間為整數(shù)，∴m≤8，答：完成這項工程，甲隊最多施工8個月才能使工程款不超過1500萬元．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，難度一般，解本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)列出方程及不等式求解．【變式6-3】（23-24九年級·云南·期末）公安部交管局部署“一盔一帶”安全守護行動，帶動了市場頭盔的銷量．某頭盔經(jīng)銷商5至7月份統(tǒng)計，某品牌頭盔5月份銷售2250個，7月份銷售3240個，且從5月份到7月份銷售量的月增長率相同．請解決下列問題．(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率；(2)為了達到市場需求，某工廠建了一條頭盔生產(chǎn)線生產(chǎn)頭盔，經(jīng)過一段時間后，發(fā)現(xiàn)一條生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是900個/天，但如果每增加一條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能將減少30個/天，現(xiàn)該廠要保證每天生產(chǎn)頭盔3900個，在增加產(chǎn)能同時又要節(jié)省投入的條件下（生產(chǎn)線越多，投入越大），應(yīng)該增加幾條生產(chǎn)線？【答案】(1)該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%(2)在增加產(chǎn)能同時又要節(jié)省投入的條件下，增加4條生產(chǎn)線【分析】（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，根據(jù)題意列出一元二次方程進行求解；（2）設(shè)增加x條生產(chǎn)線，根據(jù)條件列出一元二次方程求解，再根據(jù)要節(jié)省投入的條件下，確定解．【詳解】（1）解：設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x．依題意，得：2250(1+x)解得：x1=0.2=20%答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%．（2）解：設(shè)增加x條生產(chǎn)線．(900?30x)(x+1)=3900，解得x1=4，答：在增加產(chǎn)能同時又要節(jié)省投入的條件下，增加4條生產(chǎn)線．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出相應(yīng)的一元二次方程求解即可．【題型7行程問題】【例7】（23-24九年級·重慶萬州·期中）“鐵路建設(shè)助推經(jīng)濟發(fā)展”，近年來我國政府十分重視鐵路建設(shè)．渝利鐵路通車后，從重慶到上海比原鐵路全程縮短了320千米，列車設(shè)計運行時速比原鐵路設(shè)計運行時速提高了120千米/小時，全程設(shè)計運行時間只需8小時，比原鐵路設(shè)計運行時間少用16小時．（1）渝利鐵路通車后，重慶到上海的列車設(shè)計運行里程是多少千米？（2）專家建議：從安全的角度考慮，實際運行時速要比設(shè)計時速減少m%，以便于有充分時間應(yīng)對突發(fā)事件，這樣，從重慶到上海的實際運行時間將增加110m小時，求【答案】（1）1600；（2）20．【分析】（1）利用“從重慶到上海比原鐵路全程縮短了320千米，列車設(shè)計運行時速比原鐵路設(shè)計運行時速提高了l20千米/小時，全程設(shè)計運行時間只需8小時，比原鐵路設(shè)計運行時間少用16小時”，分別得出等式組成方程組求出即可；（2）根據(jù)題意得出：(80+120)(1?m%【詳解】（1）設(shè)原時速為xkm/h，通車后里程為ykm，則有：{8(120+x)=y解得：{x=80答：渝利鐵路通車后，重慶到上海的列車設(shè)計運行里程是1600千米；（2）由題意可得出：(80+120)(1?m%解得：m1=20，答：m的值為20．【變式7-1】（23-24九年級·江蘇無錫·階段練習(xí)）小明鍛煉健身，從A地勻速步行到B地用時25分鐘．若返回時，發(fā)現(xiàn)走一小路可使A、B兩地間路程縮短200米，便抄小路以原速返回，結(jié)果比去時少用2.5分鐘．（1）求返回時A、B兩地間的路程；（2）若小明從A地步行到B地后，以跑步形式繼續(xù)前進到C地（整個鍛煉過程不休息）．據(jù)測試，在他整個鍛煉過程的前30分鐘（含第30分鐘），步行平均每分鐘消耗熱量6卡路里，跑步平均每分鐘消耗熱量10卡路里；鍛煉超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，多跑的總時間內(nèi)平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里．測試結(jié)果，在整個鍛煉過程中小明共消耗904卡路里熱量．問：小明從A地到C地共鍛煉多少分鐘．【答案】（1）1800米；（2）52分鐘．【分析】（1）可設(shè)AB兩地之間的距離為x米，根據(jù)兩種步行方案的速度相等，列出方程即可求解；（2）可設(shè)從A地到C地一共鍛煉時間為y分鐘，根據(jù)在整個鍛煉過程中小明共消耗900卡路里熱量，列出方程即可求解．【詳解】解：（1）設(shè)返回時A，B兩地間的路程為x米，由題意得：x+20025解得x=1800．答：A、B兩地間的路程為1800米；

（2）設(shè)小明從A地到B地共鍛煉了y分鐘，由題意得：25×6+5×10+[10+（y﹣30）×1]（y﹣30）=904，整理得y2﹣50y﹣104=0，解得y1=52，y2=﹣2（舍去）．答：小明從A地到C地共鍛煉52分鐘．【點睛】本題考查一元一次方程，一元二次方程．【變式7-2】（23-24九年級·重慶北碚·階段練習(xí)）1月21日，重慶在除夕夜舉行了首屆重慶都市藝術(shù)節(jié)跨年焰火表演，以跨年整點焰火的形式辭舊迎新，為感受喜慶、熱烈的現(xiàn)場氛圍，甲、乙兩人從各自家前往朝天門廣場觀看焰火表演、由于當(dāng)晚觀看焰火表演的人較多，甲先將車開到距離自己家50千米的A停車場后，再步行1千米到達目的地，共花了1.5小時，此期間，已知甲開車的平均速度是甲步行平均速度的25倍．(1)求甲開車的平均速度及步行的平均速度分別是多少？(2)乙先將車開到B停車場后，再步行前往目的地，總路程為46千米，此期間，已知乙開車的平均速度比甲開車的平均速度快m千米/小時(m>0)，乙開車時間比甲開車時間少124m小時；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快14m千米/小時，乙步行了【答案】(1)甲開車的平均速度是50千米/小時，步行的平均速度是2千米/小時；(2)4．【分析】（1）設(shè)甲步行的平均速度是x千米/小時，則甲開車的平均速度是25x千米/小時，根據(jù)甲先將車開到距離自己家50千米的A停車場后，再步行1千米到達目的地，共花了1.5小時．列出分式方程，解方程即可；（2）根據(jù)乙先將車開到B停車場后，再步行前往目的地，總路程為46千米．列出一元二次方程，解之取其正值即可．本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程和一元二次方程．【詳解】（1）設(shè)甲步行的平均速度是x千米/小時，則甲開車的平均速度是25x千米/小時，由題意得：5025x解得：x=2，經(jīng)檢驗，x=2是原方程的解，且符合題意，∴25x=25×2=50，答：甲開車的平均速度是50千米/小時，步行的平均速度是2千米/小時；（2）由（1）可知，甲開車的時間為50÷50=1小時)，則乙開車的時間為1?1由題意可知，乙開車的速度為50+m千米/小時，乙步行的速度為2+14m由題意得：50+m1?整理得：m2解得：m1=4，m2答：m的值為4．【變式7-3】（23-24九年級·重慶豐都·階段練習(xí)）周末，小明和小紅約著一起去公園跑步鍛煉身體若兩人同時從A地出發(fā)，勻速跑向距離12000m處的B地，小明的跑步速度是小紅跑步速度的1.2倍，那么小明比小紅早5分鐘到達B地．(1)求小明、小紅的跑步速度；(2)若從A地到達B地后，小明以跑步形式繼續(xù)前進到C地（整個過程不休息），據(jù)了解，在他從跑步開始前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個鍛煉過程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從A地到C地鍛煉共用多少分鐘．【答案】(1)480m/(2)70【分析】（1）分別設(shè)小紅和小明的速度，根據(jù)等量關(guān)系（小明比小紅早5分鐘到達B地）列出等量關(guān)系式，按照分式方程即可求解，求解后檢驗所求解是不是方程解．（2）先求出小明前30分鐘中的5分鐘是從B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的熱量列方程，最后求解．【詳解】（1）解：設(shè)小紅的速度為xm/min依據(jù)題意列方程得，12000x∴12000×1.2?12000=5×1.2x，∴x=400，經(jīng)檢驗，x=400是原式方程的解．∴1.2×400=480m∴小紅的速度為400m/min故答案為：480m/min（2）解：∵小明的速度為480m∴小明從A地道B地需要的時間為：12000÷480=25min∵小明在他從跑步開始前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，∴30?25=5min設(shè)B地到C地的距離為xm30×10+∴300+x∴x∴x∴x∴x=21600或x=?21600（舍去）．∴A地到C地所需要時間為：21600+12000480故答案為：70min【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用和一元二次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于是否能根據(jù)題意列出等量關(guān)系式，解題的重點在于是否能了解小明的前30分鐘內(nèi)的最后5分鐘是屬于B地到C地時間．【題型8圖表信息問題】【例8】（23-24九年級·江蘇南京·階段練習(xí)）某商店購進800個旅游紀念品，進價為每個50元，第一周以每個80元的價格售出200個，第二周若按每個80元的價格銷售仍可售出200個，但商店為了適當(dāng)增加銷量，決定降價銷售（根據(jù)市場調(diào)查，單價每降低1元，可多售出10個，但售價不得低于進價），單價降低x元銷售銷售一周后，商店對剩余旅游紀念品以及清倉處理，以每個40元的價格全部售出，如果這批旅游紀念品共獲利9000元．（1）填表（結(jié)果需化簡）

時間

第一周

第二周

清倉時單價（元）

80

40銷售量（件）

200（2）求第二周每個旅游紀念品的銷售價格為多少元？【答案】（1）填表見解析；（2）第二周每個旅游紀念品的銷售價格為70元．【分析】（1）第二周的單價=第一周的單價-降低的價格，銷售量=200+10×降低的單價；清倉時的銷售量為：800-第一周的銷售量-第二周的銷售量；（2）等量關(guān)系為：總售價-總進價=9000．把相關(guān)數(shù)值代入計算即可．【詳解】解：（1）填表（結(jié)果需化簡）

時間

第一周

第二周

清倉時單價（元）

80

80-x

40銷售量（件）

200

200+10x

400-10x故答案為：80-x，200+10x，400-10x；（2）80×200+（80-x）（200+10x）+40×(400-10x）-800×50=9000，x2-20x+100=0，解得：x1=x2=10，當(dāng)x=10時，80-x=70．答：第二周每個旅游紀念品的銷售價格為70元．【點睛】本題主要考查了列代數(shù)式以及一元二次方程的應(yīng)用，找出相等關(guān)系列一元二次方程求解是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（23-24九年級·湖北·單元測試）近年來，隨著城市居民入住率的增加，污水處理問題成為城市的難題．某城市環(huán)境保護局協(xié)同自來水公司為鼓勵居民節(jié)約用水，減少污水排放，規(guī)定：居民用水量每月不超過a噸時，只需交納10元水費，如果超過a噸，除按10元收費外，超過部分，另按每噸5a元收取水費（水費+污水處理費）．（1）某市區(qū)居民2018年3月份用水量為8噸，超過規(guī)定水量，用a的代數(shù)式表示該用戶應(yīng)交水費多少元；（2）下表是這戶居民4月份和5月份的用水量和繳費情況；月份用水量（噸）交水費總金額（元）47705540根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求規(guī)定用水量a的值．（3）結(jié)合當(dāng)?shù)厮Y源狀況，談?wù)勅绾伍_展水資源環(huán)境保護？如何節(jié)約用水？【答案】（1）10+40a-5a2元；（2）3噸；（3）見解析;【分析】（1）根據(jù)總費用=10+超出費用列出代數(shù)式即可；（2）根據(jù)題意分別列出5a（7-a）+10=70，5a（5-a）+10=40，取滿足兩個方程的a的值即為本題答案；（3）結(jié)合當(dāng)?shù)厮Y源狀況，敘述合理即可；【詳解】（1）3月份應(yīng)交水費10+5a（8-a）=10+40a-5a2元；（2）由題意得：5a（7-a）+10=70，解得：a=3或a=45a（5-a）+10=40解得：a=3或a=2，綜上，規(guī)定用水量為3噸；（3）既然我們的水資源比較缺乏，就要提高節(jié)水技術(shù)、防治水污染、植樹造林．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是了解本題的水費收取標(biāo)準(zhǔn)．【變式8-2】（23-24九年級·廣東陽江·期末）烏克蘭危機發(fā)生之后，外交戰(zhàn)線按照黨中央的部署緊急行動，在戰(zhàn)火粉飛中已將5200多名同胞安全從烏克蘭撤離，電影《萬里歸途》正是“外交為民”的真實寫照，如表是該影片票房的部分數(shù)據(jù)，（注：票房是指截止發(fā)布日期的所有售票累計收入）影片《萬里歸途》的部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)發(fā)布日期10月8日10月11日10月12日發(fā)布次數(shù)第1次第2次第3次票房10億元12.1億元(1)平均每次累計票房增長的百分率是多少？(2)在（1）的條件下，若票價每張40元，求10月11日賣出多少張電影票【答案】(1)10%(2)2500000張【分析】（1）設(shè)平均每次累計票房增長的百分率是x，利用第3次累計票房=第1次累計票房×（1+平均每次累計票房增長的百分率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）利用數(shù)量=總結(jié)÷單價，即可求出結(jié)論；【詳解】（1）解：設(shè)平均每次累計票房增長的百分率是x，依題意得：101+x解得：x1=0.1=10%答：平均每次累計票房增長的百分率是10%．（2）解：1000000000×==100000000÷40=2500000（張）．答：10月11日賣出2500000張電影票．（或1000000000×10%【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及統(tǒng)計表，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（23-24九年級·江蘇蘇州·期中）某旅行社一則旅游消息如下：旅游人數(shù)收費標(biāo)準(zhǔn)不超過10人人均收費2400元超過10人每增加一人，人均收費減少60元，但人均收費不低于1500元(1)甲公司員工分兩批參加該項旅游，分別支付給旅行社12000元和24000元，甲公司員工有__________人．(2)乙公司員工一起參加該項旅游，支付給旅行社36000元，乙公司員工多少人？【答案】(1)15；(2)乙公司20人．【分析】（1）設(shè)甲公司員工有x人，根據(jù)第一次、第二次支付的費用和人均收費標(biāo)準(zhǔn)，判斷出兩次都不超過10人，直接用總費用除以人均收費，即可得出答案；（2）設(shè)乙公司員工x人，根據(jù)支付的費用先判斷出公司去的人數(shù)超過了10人，再根據(jù)每增加一人，人均收費減少60元，列出方程，求出x的值，再根據(jù)人均收費不低于1500元，即可得出乙公司去的人數(shù)．【詳解】（1）解：設(shè)甲公司有x人，12000÷2400+24000÷2400，=10+5，=15（人）．故答案為：15（2）設(shè)乙公司x人，2400?60x?10x1=20，若x=30，每人費用：2400?60×20=1200<1500，不符舍去，若x=20，每人費用：2400?60×10=1800>1500，符合，答：乙公司20人．【點睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意正確列式和列方程是解題的關(guān)鍵．【題型9古文問題】【例9】（23-24九年級·湖南懷化·期中）古算趣題：“笨人執(zhí)竿要進屋，無奈門框攔住竹，橫多四尺豎多二，沒法急得放聲哭．有個鄰居聰明者，教他斜竿對兩角，笨伯依言試一試，不多不少剛抵足．借問竿長多少數(shù)，誰人算出我佩服．”聰明的你認為竿長為（）A．2尺 B．10尺 C．2尺或10尺 D．無法確定【答案】B【分析】設(shè)竿長為x尺，根據(jù)題意可得，則房門的寬為(x?4)尺，高為(x?2)尺，對角線長為x尺，然后根據(jù)勾股定理列出方程．本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意表示出各個邊的長度以及勾股定理的應(yīng)用．【詳解】解：設(shè)竿長為x尺，由題意得，(x?2)2解這個方程，得x1=2，當(dāng)x=2時，x?2=0，x?4=?2（舍去）∴x=10．答：竹竿有10尺．故選：B【變式9-1】（23-24九年級·北京西城·期末）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何．（1丈＝10尺）大意是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面．水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？將這個實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，根據(jù)題意畫出圖形（如圖所示），其中水面寬AB＝10尺，線段CD，CB表示蘆葦，CD⊥AB于點E．（1）圖中DE＝尺，EB＝尺；（2）求水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度．【答案】（1）1，5；（2）蘆葦長13尺，則水的深度為12尺．【分析】（1）根據(jù)DE是蘆葦高出水面部分，EB是水面邊長的一半，直接寫出答案即可；（2）設(shè)蘆葦長x尺，則水的深度為（x-1）尺，根據(jù)等量關(guān)系，列出方程，即可求解．【詳解】解：（1）根據(jù)題意：DE是蘆葦高出水面部分，即DE=1尺，EB是水面邊長的一半，即：EB=5尺，故答案是：1，5；（2）設(shè)蘆葦長x尺，則水的深度為（x-1）尺，根據(jù)題意得：x?12+513-1=12（尺），答：蘆葦長13尺，則水的深度為12尺．【點睛】本題主要考查勾股定理以及一元二次方程的實際應(yīng)用，根據(jù)勾股定理，列出方程，是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（23-24九年級·安徽六安·期末）《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？”大意是說：“甲、乙二人同時從同一地點出發(fā)，甲的速度為6，乙的速度為4，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇，甲、乙各走了多少步？”請問甲走的步數(shù)是．【答案】36【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及勾股定理，設(shè)甲、乙兩人相遇的時間為t，則乙走了4t步，甲斜向北偏東方向走了(6t?10)步，利用勾股定理即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之即可得出t值，將其正值代入4t中即可求出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)甲、乙兩人相遇的時間為t，則乙走了4t步，甲斜向北偏東方向走了(6t?10)步，則依題意得：102整理得：20t解得：t1∴4t=4×6=24．故甲走的步數(shù)是36．故答案為：36．【變式9-3】（23-24九年級·北京海淀·期中）閱讀下面的材料并完成解答．《田畝比類乘除捷法》是我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝的著作，其中記載了這樣一個數(shù)學(xué)問題：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，欲先求闊步，得幾何？”意思是：一塊矩形田地的面積為864平方步，只知道它的長與寬之和為60步，問它的寬是多少步？書中記載了這個問題的幾何解法：

(1)將四個完全相同的面積為864平方步的矩形，按如圖所示的方式拼成一個大正方形，則大正方形的邊長為步；(2)中間小正方形的面積為平方步；(3)若設(shè)矩形田地的寬為x步，則小正方形的面積可用含x的代數(shù)式表示為；(4)你依據(jù)（2）（3）列出關(guān)于x的方程，并求矩形田地的寬．【答案】(1)60(2)144(3)60?2x(4)60?2x2【分析】本題主要考查了列代數(shù)式，一元二次方程的應(yīng)用：（1）根據(jù)圖形可得，大正方形的邊長是由一個矩形的寬和長組成即可求解；（2）先求得大正方形的面積，再減去四個矩形的面積即可求解；（3）設(shè)矩形田地的寬為x步，則長為60?x步，，從而可得小正方形的邊長，再利用正方形的面積公式即可求解；（4）由②③求得小正方形的面積相等即可得出方程．【詳解】（1）解：∵矩形田地的面積為864平方步，它的長與寬之和為60步，∴大正方形的邊長為60步；故答案為：60（2）解：中間小正方形的面積為602故答案為：144（3）解：設(shè)矩形田地的寬為x步，則長為60?x步，∴小正方形的邊長為60?x?x=60?2x∴小正方形的面積為60?2x2（4）解：由②③可得關(guān)于x的方程：60?2x2∴x1∴x=24

答：矩形田地的寬為24步．【題型10動點問題】【例10】（23-24九年級·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=2cm，動點P，Q分別從點A、C同時出發(fā)，點P以2厘米/秒的速度向終點B移動，點Q以1厘米秒的速度向D移動，當(dāng)有一點到達終點時，另一點也停止運動，設(shè)運動的時間為(1)當(dāng)t為何值時，點P和點Q距離是3cm？(2)當(dāng)t為何值時，以點P、Q、D為頂點的三角形是以PQ為腰的等腰三角形．【答案】(1)t1=6?(2)t=3+72，3?【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，勾股定理，矩形的性質(zhì)；（1）作QE⊥AB于E，則四邊形BCQE是矩形，在Rt△PQE中，由勾股定理，得6?3t（2）當(dāng)PQ=DQ時，作QE⊥AB于E，在Rt△PQE中，由勾股定理，得6?3t2+4=6?t2，解方程，即可求解．當(dāng)PD=PQ時，作PE⊥DQ【詳解】（1）解：如圖1，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ=90°，∵∠B=∠C=90°,∴四邊形BCQE是矩形，∴QE=BC=2，BE=CQ=t，∵AP=2t，PE=6?2t?t=6?3t，在Rt△PQE中，由勾股定理，得6?3t解得：t1=6?當(dāng)t1當(dāng)t2綜上所述：t1=6?（2）如圖3，當(dāng)PQ=DQ時，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ=90°,∵∠B=∠C=90°，∴四邊形BCQE是矩形，∴QE=BC=2，BE=CQ=t，∵AP=2t，PE=6?2t?t=6?3t，DQ=6?t，∵PQ=DQ，∴PQ=6?t，在Rt△PQE中，由勾股定理，得6?3t解得：t1=3+如圖4，當(dāng)PD=PQ時，作PE⊥DQ于E，∴DE=QE=12QD∵∠A=∠ADE=90°，∴四邊形ADEP是矩形，∴AP=DE,∵DQ=6?t，∴DE=1∴2t=126?t綜上所述：t=3+72，3?【變式10-1】（23-24九年級·湖南永州·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=5cm，BC=6cm，點P從點A開始沿邊AB向終點B以1cm/s的速度移動，與此同時，點Q從點B開始沿邊BC向終點C以2cm/s的速度移動．如果P，Q分別從A，(1)填空：BQ=_____cm，PB=_____cm；（用含t的代數(shù)式表示）(2)當(dāng)t為何值時，PQ的長度等于5cm？(3)是否存在t的值，使得四邊形APQC的面積等于9cm2？若存在，請求出此時t【答案】(1)2t，5?t(2)t1=0，(3)當(dāng)t=2時，四邊形APQC的面積等于9cm2【分析】本題考查了行程問題的運用，一元二次方程的解法，勾股定理的運用，三角形面積