新教材2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第六章概率5正態(tài)分布分層作業(yè)北師大版選擇性必修第一冊(cè)

第六章§5正態(tài)分布A級(jí)必備學(xué)問基礎(chǔ)練1.已知隨機(jī)變量X~N(0,σ2).若P(X>2)=0.023,則P(-2<X≤2)=()A.0.477 B.0.628 C.0.954 D.0.9772.在某次高三聯(lián)考數(shù)學(xué)測(cè)試中,學(xué)生成果ξ聽從正態(tài)分布N(100,σ2)(σ>0),若ξ在(85,115]內(nèi)的概率為0.75,則隨意選取一名學(xué)生,該學(xué)生成果高于115的概率為()A.0.25 B.0.1 C.0.125 D.0.53.(多選題)[2024江蘇高二校聯(lián)考期末]已知甲、乙兩個(gè)品種的陽山水蜜桃的質(zhì)量(單位:斤)分別聽從正態(tài)分布N1(μ1,σ12),N2(μ2,σ2A.乙品種水蜜桃的平均質(zhì)量μ2=0.8B.甲品種水蜜桃的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右C.甲品種水蜜桃的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小D.乙品種水蜜桃的質(zhì)量聽從的正態(tài)分布的參數(shù)σ2=1.994.(多選題)[2024山西太原高二?？计谥衇已知隨機(jī)變量ξ聽從正態(tài)分布N(1,4),則()A.Dξ=4 B.Dξ=16C.D(2ξ+3)=8 D.D(2ξ+3)=165.(多選題)近年來中國進(jìn)入一個(gè)鮮花消費(fèi)的增長期,某農(nóng)戶貸款承包了一個(gè)新型溫室鮮花大棚,種植銷售紅玫瑰和白玫瑰.若這個(gè)大棚的紅玫瑰和白玫瑰的日銷量分別聽從正態(tài)分布N(μ,302)和N(280,402),則下列選項(xiàng)正確的是()附:若隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6826.A.若紅玫瑰日銷售量范圍在(μ-30,280]的概率是0.6826,則紅玫瑰日銷售量的均值約為250B.紅玫瑰日銷售量比白玫瑰日銷售量更集中C.白玫瑰日銷售量比紅玫瑰日銷售量更集中D.白玫瑰日銷售量范圍在(280,320]的概率約為0.34136.一年時(shí)間里,某校高一學(xué)生常常利用課余時(shí)間參與社區(qū)志愿者公益活動(dòng),據(jù)統(tǒng)計(jì),他們參與社區(qū)志愿者公益活動(dòng)時(shí)長X(單位:時(shí))近似聽從正態(tài)分布N(50,σ2),且P(30<X<70)=0.7,該校高一學(xué)生中參與社區(qū)志愿者公益活動(dòng)超過30小時(shí)的人數(shù)有1275,估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生人數(shù)為.

7.某工廠包裝白糖的生產(chǎn)線,正常狀況下包裝出來的白糖質(zhì)量聽從正態(tài)分布N(500,52)(單位:g).(1)求正常狀況下,隨意抽取一包白糖,質(zhì)量小于485g的概率約為多少?(2)該生產(chǎn)線上的檢測(cè)員某天隨機(jī)抽取了兩包白糖,稱得其質(zhì)量均小于485g,檢測(cè)員依據(jù)抽檢結(jié)果,推斷出該生產(chǎn)線出現(xiàn)異樣,要求馬上停產(chǎn)檢修,檢測(cè)員的推斷是否合理?請(qǐng)說明理由.附:X~N(μ,σ2),則P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9544,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9974.B級(jí)關(guān)鍵實(shí)力提升練8.已知隨機(jī)變量X~N(6,1),且P(5<X≤7)=a,P(4<X≤8)=b,則P(4<X≤7)=()A.b-a2 B.b+9.某中學(xué)有2000人參與2024年的市模擬考試,其中數(shù)學(xué)考試成果近似聽從正態(tài)分布N(105,σ2)(σ>0),試卷滿分150分,統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)成果優(yōu)秀(高于120分)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的15,則此次數(shù)學(xué)考試成果在105分到120分(含105分和120分)之間的人數(shù)約為(A.300 B.400 C.600 D.80010.[2024陜西西安中學(xué)?？寄M預(yù)料]下列推斷錯(cuò)誤的是()A.若隨機(jī)變量ξ聽從正態(tài)分布N(1,σ2),P(ξ<4)=0.79,則P(ξ≤-2)=0.21B.將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都減去同一個(gè)數(shù)后,方差不變C.若隨機(jī)變量ξ聽從二項(xiàng)分布ξ~B5,15,則E(2ξ-1)=1D.若方差DX=3,則D(2X+1)=711.為了解高三復(fù)習(xí)備考狀況,某校組織了一次階段考試.若高三全體考生的數(shù)學(xué)成果近似聽從正態(tài)分布N(100,17.52).已知成果在117.5分以上(不含117.5分)的學(xué)生有80人,則此次參與考試的學(xué)生成果低于或等于82.5分的概率為;假如成果大于135分的為特殊優(yōu)秀,那么本次參與考試的學(xué)生成果特殊優(yōu)秀的概率為.(若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9544)

12.某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品,一條流水線年產(chǎn)量為10000件,該生產(chǎn)線分為兩段,流水線第一段生產(chǎn)的半成品的質(zhì)量指標(biāo)會(huì)影響其次段生產(chǎn)成品的等級(jí),詳細(xì)見下表:第一段生產(chǎn)的半成品質(zhì)量指標(biāo)xx≤74或x>8674<x≤78或82<x≤8678<x≤82其次段生產(chǎn)的成品為一等品概率0.20.40.6其次段生產(chǎn)的成品為二等品概率0.30.30.3其次段生產(chǎn)的成品為三等品概率0.50.30.1從第一段生產(chǎn)的半成品中抽樣調(diào)查了100件,得到頻率分布直方圖如圖:若生產(chǎn)一件一等品、二等品、三等品的利潤分別是100元、60元、-100元.(1)以各組的中間值估計(jì)為該組半成品的質(zhì)量指標(biāo),估算流水線第一段生產(chǎn)的半成品質(zhì)量指標(biāo)的平均值;(2)將頻率估計(jì)為概率,試估算一條流水線一年能為該公司創(chuàng)建的利潤;(3)現(xiàn)在市面上有一種設(shè)備可以安裝到流水線第一段,價(jià)格是20萬元,運(yùn)用壽命是1年,安裝這種設(shè)備后,流水線第一段半成品的質(zhì)量指標(biāo)聽從正態(tài)分布N(80,22),且不影響產(chǎn)量.請(qǐng)你幫該公司做出決策,確定是否要購買該設(shè)備.說明理由.(參考數(shù)據(jù):P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9544,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9974)C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練13.某高校為了解全校學(xué)生的閱讀狀況,隨機(jī)調(diào)查了200名學(xué)生每周閱讀時(shí)間X(單位:小時(shí))并繪制如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求這200名學(xué)生每周閱讀時(shí)間的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表);(2)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,目前該校學(xué)生每周的閱讀時(shí)間X聽從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù)x,σ2近似為樣本方差s2.①一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進(jìn)行計(jì)算:若X~N(μ,σ2),令Y=X-μσ,則Y~N(0,1),且P(X≤a)=PY≤a-μσ.利用頻率分布直方圖得到的正態(tài)分布,求P②從該高校的學(xué)生中隨機(jī)抽取20名,記Z表示這20名學(xué)生中每周閱讀時(shí)間超過10小時(shí)的人數(shù),求P(Z≥2)(結(jié)果精確到0.0001)以及Z的數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù):178≈403,0.773419≈0.0076.若Y~N(0,1),則P(Y≤0.75)=0.7734參考答案§5正態(tài)分布1.C2.C由學(xué)生成果ξ聽從正態(tài)分布N(100,σ2)(σ>0),且P(85<ξ≤115)=0.75,得P(ξ>115)=1-P(85<故選C.3.ABC4.AD因?yàn)殡S機(jī)變量ξ聽從正態(tài)分布N(1,4),所以Dξ=4,故A正確,B錯(cuò)誤;D(2ξ+3)=22·Dξ=16,故D正確,C錯(cuò)誤.故選AD.5.ABDμ+30=280,μ=250,A正確;因?yàn)棣以叫】傮w分布越集中,且30小于40,B正確,C不正確;P(280<X≤320)=P(μ<X≤μ+σ)≈0.6826×12=0.6.15007.解(1)設(shè)正常狀況下,該生產(chǎn)線上包裝出來的白糖質(zhì)量為Xg,由題意可知X~N(500,52).由于485=500-3×5,所以依據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性與“3σ原則”可知P(X<485)=12[1-P(500-3×5<X≤500+3×5)]≈12×0.0026=(2)檢測(cè)員的推斷是合理的.因?yàn)榧偃缟a(chǎn)線不出現(xiàn)異樣的話,由(1)可知,隨機(jī)抽取兩包檢查,質(zhì)量都小于485g的概率約為0.0013×0.0013=0.00000169=1.69×10-6,幾乎為零,但這樣的事務(wù)竟然發(fā)生了,所以有理由認(rèn)為生產(chǎn)線出現(xiàn)異樣,檢測(cè)員的推斷是合理的.8.B9.C由題意,隨機(jī)變量X~N(105,σ2),即μ=105,即正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為μ=105,因?yàn)镻(X<90)=P(X>120)=15,所以P(90≤X≤120)=1-25=35,所以P(105≤X≤120)=12P(90≤X≤120)=10.DA選項(xiàng),由題意,1-P(ξ<4)=P(ξ≥4)=0.21,又隨機(jī)變量ξ聽從正態(tài)分布N(1,σ2),P(ξ≥4)=P(ξ≤-2)=0.21,故A選項(xiàng)正確;B選項(xiàng),每一組數(shù)據(jù)均減去一個(gè)數(shù)字,不影響整體的穩(wěn)定程度,故方差不變,B選項(xiàng)正確;C選項(xiàng),因?yàn)殡S機(jī)變量ξ聽從二項(xiàng)分布ξ~B5,15,Eξ=5×15=1,E(2ξ-1)=2Eξ-1=1,故C選項(xiàng)正確;D選項(xiàng),因?yàn)榉讲頓X=3,D(2X+1)=22DX=12,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選D11.0.15870.0228因?yàn)閿?shù)學(xué)成果聽從正態(tài)分布N(100,17.52),則P(100-17.5<X≤100+17.5)=P(82.5<X≤117.5)≈0.6826,所以此次參與考試的學(xué)生成果低于或等于82.5分的概率P(X≤82.5)=1-P(82.又因?yàn)镻(100-17.5×2<X≤100+17.5×2)=P(65<X≤135)≈0.9544,所以此次參與考試的學(xué)生成果特殊優(yōu)秀的概率P(X>135)=1-P(65<X12.解(1)平均值為72×0.1+76×0.25+80×0.3+84×0.2+88×0.15=80.2.(2)由頻率分布直方圖知,第一段生產(chǎn)的半成品質(zhì)量指標(biāo)P(X≤74或X>86)=0.25,P(74<X≤78或82<X≤86)=0.45,P(78<X≤82)=0.3,設(shè)生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為X元,則P(X=100)=0.2×0.25+0.4×0.45+0.6×0.3=0.41,P(X=60)=0.3×0.25+0.3×0.45+0.3×0.3=0.3,P(X=-100)=0.5×0.25+0.3×0.45+0.1×0.3=0.29,所以生產(chǎn)一件成品的平均利潤是100×0.41+60×0.3-100×0.29=30(元),所以一條流水線一年能為該公司帶來利潤的估計(jì)值是30萬元.(3)需購買該設(shè)備.因?yàn)棣?3σ=74,μ-σ=78,μ+σ=82,μ+3σ=86,設(shè)引入該設(shè)備后生產(chǎn)一件成品利潤為Y元,則P(Y=100)=0.0026×0.2+0.3148×0.4+0.6826×0.6=0.536,P(Y=60)=0.0026×0.3+0.3148×0.3+0.6826×0.3=0.3,P(Y=-100)=0.0026×0.5+0.3148×0.3+0.6826×0.1=0.164,所以引入該設(shè)備后生產(chǎn)一件成品平均利潤為100×0.536+60×0.3-100×0.164=55.2(元),所以引入該設(shè)備后一條流水線一年能為該公司帶來利潤的估計(jì)值是55.2萬元,增加收入55.2-30-20=5.2(萬元),綜上,應(yīng)當(dāng)購買該設(shè)備.13.解(1)x=6×0.03+7×0.1+8×0.2+9×0.35+10×0.19+11×0.09+12×0.04=9,s2=(6-9)2×0.03+(7-9)2×0.1+(8-9)2×0.2+(9-9)2×0.35+(10-9)2×0.19+(11-9)2×0