新教材2024-2025學年高中數學第7章隨機變量及其分布測評新人教A版選擇性必修第三冊

第七章測評一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.[2024河北石家莊期中]已知某同學投籃一次的命中率為910,連續(xù)兩次均投中的概率是12,若該同學在投中一次后,隨后一次也投中的概率是(A.15 B.25 C.32.某人進行一項試驗,若試驗勝利,則停止試驗,若試驗失敗,再重新試驗一次,若試驗3次均失敗,則放棄試驗.若此人每次試驗勝利的概率為23,則此人試驗次數X的均值是(A.43 B.139 C.53.已知隨機變量ξ~N(3,22),若ξ=2η+3,則D(η)= ()A.0 B.1 C.2 D.44.投籃測試中,每人投3次,至少投中2次才算通過測試.已知某同學每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨立,則該同學通過測試的概率為 ()A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.3125.甲、乙兩人獨立地從六門選修課程中任選三門進行學習,記兩人所選課程相同的門數為X,則E(X)= ()A.1 B.1.5 C.2 D.2.56.設隨機變量X~N(μ,σ2),且P(X<1)=12,P(X>2)=p,則P(0<X<1)的值為(A.12p B.1-p C.1-2p D.17.已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸在y軸的左側,其中a,b,c∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},在這些拋物線中,記隨機變量X=“|a-b|的取值”,則X的均值為()A.89 B.35 C.28.9粒種子分種在3個坑內,每個坑3粒,每粒種子發(fā)芽的概率為0.5.若一個坑內至少有1粒種子發(fā)芽,則這個坑不須要補種;若一個坑內的種子都沒發(fā)芽,則這個坑須要補種.假定每個坑至多補種一次,每補種1個坑需10元,用隨機變量X表示補種費用,則X的均值等于()A.154 B.C.38 D.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.已知離散型隨機變量X的分布列如表所示:X012Pa4a5a下列選項中正確的是()A.a=0.1 B.E(X)=0.44C.E(X)=1.4 D.D(X)=1.410.某校高三年級要從5名男生和2名女生中任選3名代表參與數學競賽(每人被選中的機會均等),記A為“男生甲被選中”,B為“男生乙和女生丙至少一個被選中”,則下列結論中正確的是()A.P(A)=37 B.P(B)=C.P(AB)=935 D.P(B|A)=11.若隨機變量ξ~N(0,1),Φ(x)=P(ξ≤x),其中x>0,下列等式成立的有()A.Φ(-x)=1-Φ(x)B.Φ(2x)=2Φ(x)C.P(|ξ|≤x)=2Φ(x)-1D.P(|ξ|>x)=2-Φ(x)12.已知X~N(μ,σ2),f(x)=12πσe-(xA.曲線y=f(x)與x軸圍成的幾何圖形的面積小于1B.函數f(x)圖象關于直線x=μ對稱C.P(X>μ-σ)=2P(μ<X<μ+σ)+P(X≥μ+σ)D.函數F(x)=P(X>x)在R上單調遞增三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知隨機變量X的分布列如下表:Xa234P1b11若E(X)=2,則D(X)=.

14.某科研院校培育橘樹新品種,使得橘樹在淮北種植勝利,經過科學統計,單個果品的質量ξ(單位:g)近似聽從正態(tài)分布N(90,σ2),且P(86<ξ≤90)=0.2,在有1000個的一批橘果中,估計單個果品質量不低于94g的橘果個數為.

15.設一次試驗勝利的概率為p,進行100重伯努利試驗,則當p=時,勝利次數X的方差的值最大,其最大值為.

16.[2024山東煙臺期中]某中學為調查本校1800名學生周末玩嬉戲的時長,設計了如下的調查問卷.在一個袋子中裝有3個質地和大小均相同的小球,其中1個白球,2個紅球,規(guī)定每名學生從袋子中有放回地隨機摸兩次球,每次摸出一個球,登記顏色.若“兩次摸到的球顏色相同”,則回答問題一:若第一次摸到的是紅球,則在問卷中畫“○”,否則畫“×”;若“兩次摸到的球顏色不同”,則回答問題二:若玩嬉戲時長不超過一個小時,則在問卷中畫“○”,否則畫“×”.當全校學生完成問卷調查后,統計畫“○”和畫“×”的比例,由頻率估計概率,即可估計出玩嬉戲時長超過一個小時的人數.若該校高一一班有45名學生,用X表示回答問題一的人數,則X的均值為;若該校的全部調查問卷中,畫“○”和畫“×”的比例為7∶2,則可估計該校學生周末玩嬉戲時長超過一個小時的人數為.

四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)一批同型號的螺釘由編號為Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的三臺機器共同生產,各臺機器生產的螺釘占這批螺釘的百分率分別為35%,40%,25%,各臺機器生產的螺釘次品率分別為3%,2%和1%.(1)求從這批螺釘中任取一件是次品的概率;(2)現從這批螺釘中取到一件次品,求該次品來自Ⅱ號機器生產的概率.18.(12分)在某次數學考試中,考生的成果ξ聽從一個正態(tài)分布,即ξ~N(90,100).(1)試求考試成果ξ位于區(qū)間[70,110]上的概率;(2)若這次考試共有2000名考生,試估計考試成果在[80,100]的考生大約有多少人?19.(12分)某校從學生會宣揚部6名成員(其中男生4人,女生2人)中,任選3人參與某省舉辦的演講競賽活動.(1)設所選3人中女生人數為X,求X的分布列;(2)求男生甲或女生乙被選中的概率;(3)設“男生甲被選中”為事務A,“女生乙被選中”為事務B,求P(B)和P(B|A).20.(12分)[2024廣東惠州模擬]某中學學校組織航天科普學問競賽,分小組進行學問問題競答.甲、乙兩個小組分別從6個問題中隨機抽取3個問題進行回答,答對題目多者獲勝.已知這6個問題中,甲組能正確回答其中4個問題,而乙組能正確回答每個問題的概率均為23.甲、乙兩個小組的選題以及對每題的回答都是相互獨立、互不影響的(1)求甲小組至少答對2個問題的概率;(2)若從甲、乙兩個小組中選拔一組代表學校參與全市決賽,請分析說明選擇哪個小組更好?21.(12分)某車間在兩天內,每天生產10件產品,其中第一天、其次天分別生產了1件、2件次品.質檢部每天要在生產的10件產品中隨意抽取4件進行檢查,若發(fā)覺有次品,則當天的產品不能通過.(1)求兩天全部通過檢查的概率;(2)若廠內對該車間生產的產品質量采納獎懲制度,兩天全不通過檢查罰300元,通過1天、2天分別獎300元、900元.那么該車間在這兩天內得到獎金的均值是多少元?22.(12分)某學校實行聯歡會,全部參演的節(jié)目都由甲、乙、丙三名專業(yè)老師投票確定是否獲獎.甲、乙、丙三名老師都有“獲獎”“待定”“淘汰”三類票各一張.每個節(jié)目投票時,甲、乙、丙三名老師每人必需且只能投一張票,每人投三類票中的任何一類票的概率都為13,且三人投票相互沒有影響.若投票結果中至少有兩張“獲獎”票,則確定該節(jié)目最終獲一等獎;否則,該節(jié)目不能獲一等獎(1)求某節(jié)目的投票結果是最終獲一等獎的概率;(2)求該節(jié)目投票結果中所含“獲獎”票和“待定”票票數之和X的分布列及均值.參考答案第七章測評1.D依據題意,設A=“該同學某次投籃命中”,事務B=“隨后一次也命中”.由題意得P(A)=910,P(AB)=12,故P(B|A)2.B由題意可得X=1,2,3,每次試驗勝利的概率為23則每次試驗失敗的概率為13,P(X=1)=2P(X=2)=13×23=29,則X的分布列如表所示.X123P221所以E(X)=1×23+2×23.B∵ξ=2η+3,∴D(ξ)=4D(η).又D(ξ)=4,∴D(η)=1.4.A依據題意,該同學通過測試的兩種狀況分別為投中2次和投中3次,所以所求概率P=C32×0.62×(1-0.6)+C33×0.65.B由已知得X的可能取值為0,1,2,3.P(X=0)=C63×C33C6P(X=2)=C62×C41×C∴E(X)=0×120+1×920+2×920+36.D因為P(X<1)=12,由正態(tài)曲線的對稱性得μ=1,即正態(tài)曲線關于直線x=1對稱,于是P(X<0)=P(X>2),所以P(0<X<1)=P(X<1)-P(X<0)=P(X<1)-P(X>2)=17.A由于對稱軸在y軸左側,故-b2a<0,即ab>0,樣本點總數為3×3+3×3=由題知X的可能取值為0,1,2.P(X=0)=618=13,P(X=1)=818=4故E(X)=0×13+1×48.A依據題意,每個坑須要補種的概率是相等的,都是123=18,所以此問題相當于獨立重復試驗,做了三次,每次發(fā)生的概率都是18,所以須要補種的坑的均值為3×18=9.AC由離散型隨機變量的性質知a+4a+5a=1,∴a=0.1.∴P(X=0)=0.1,P(X=1)=0.4,P(X=2)=0.5.∴E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.5=1.4,D(X)=(0-1.4)2×0.1+(1-1.4)2×0.4+(2-1.4)2×0.5=0.196+0.064+0.18=0.44.10.ACD由題意,得P(A)=C62C73=37,P(B)=1-C53C73=11.AC∵隨機變量ξ聽從標準正態(tài)分布N(0,1),∴正態(tài)曲線關于ξ=0對稱.∵Φ(x)=P(ξ≤x),x>0,依據曲線的對稱性可得Φ(-x)=P(ξ≥x)=1-Φ(x),故選項A正確;∵Φ(2x)=P(ξ≤2x),2Φ(x)=2P(ξ≤x),∴Φ(2x)≠2Φ(x),故選項B錯誤;對于C,P(|ξ|≤x)=P(-x≤ξ≤x)=1-2Φ(-x)=1-2[1-Φ(x)]=2Φ(x)-1,故選項C正確;對于D,P(|ξ|>x)=P(ξ>x或ξ<-x)=1-Φ(x)+Φ(-x)=1-Φ(x)+1-Φ(x)=2-2Φ(x),故選項D錯誤.12.BC曲線y=f(x)與x軸圍成的幾何圖形的面積等于1,所以A錯誤;f(x+μ)=12πσe-x22σ2,f(μ-x)=12πσe-因為P(μ-σ<X<μ)=P(μ<X<μ+σ),所以P(X>μ-σ)=P(μ-σ<X<μ+σ)+P(X≥μ+σ)=2P(μ<X<μ+σ)+P(X≥μ+σ),所以C正確;由正態(tài)分布曲線可知,當x越大時,P(X>x)越小,即函數F(x)=P(X>x)的值隨x的增大而減小,且F(x)在R上是減函數,所以D錯誤.13.52由題得13+b+16則E(X)=13a+2×14+3×16+4×14=2,解得a=0,則D(X)=(0-2)2×13+(2-2)2×14+14.300∵單個果品的質量ξ近似聽從正態(tài)分布N(90,σ2),且P(86<ξ≤90)=0.2,∴P(90≤ξ<94)=0.2,∴P(ξ≥94)=1-2×0.22=015.1225由題知,勝利次數X~B(100,p),所以D(X)=100p(1-p)≤100×p+1-p22=25,當且僅當p=1-p,即16.25450依題意,每次摸到白球的概率為13,摸到紅球的概率為23,兩次摸到的球顏色相同的概率P=13×13+所以X的均值為E(X)=45×59=用A表示“回答問題一”,B表示“回答問題二”,C表示“在問卷中畫×”,則有P(A)=59,P(B)=1-P(A)=49,P(A)P(C|A)=P(AC)=13×13=19.因為P(C)=29,由全概率公式P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B),得29=1917.解設A=“螺釘是次品”,B1=“螺釘由Ⅰ號機器生產”,B2=“螺釘由Ⅱ號機器生產”,B3=“螺釘由Ⅲ號機器生產”,則P(B1)=0.35,P(B2)=0.4,P(B3)=0.25,P(A|B1)=0.03,P(A|B2)=0.02,P(A|B3)=0.01,(1)由全概率公式,得P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.03×0.35+0.02×0.4+0.01×0.25=0.021.(2)P(B2|A)=P18.解因為ξ~N(90,100),所以μ=90,σ=100=10.(1)由于隨機變量在區(qū)間[μ-2σ,μ+2σ]上取值的概率是0.9545,而該正態(tài)分布中,μ-2σ=90-2×10=70,μ+2σ=90+2×10=110,于是考試成果ξ位于區(qū)間[70,110]上的概率為0.9545.(2)由μ=90,σ=10,得μ-σ=80,μ+σ=100.由于隨機變量在區(qū)間[μ-σ,μ+σ]上取值的概率是0.6827,所以考試成果ξ位于區(qū)間[80,100]上的概率是0.6827.一共有2000名學生,所以考試成果在[80,100]的考生大約有2000×0.6827≈1365(人).19.解(1)由題知,X的全部可能取值為0,1,2,依題意得P(X=0)=C43C63=15,P(X=1)=∴X的分布列如表所示.X012P131(2)設“甲、乙都未被選中”為事務C,則P(C)=C∴所求概率為P(C)=1-P(C)=1-1(3)P(B)=C52C63=1020.解(1)∵這6個問題中,甲組能正確回答其中的4個問題,∴甲組至少答對兩個問題的概率P1=1-C41×C(2)設甲組答對題數為X,則X全部可能取值為1,2,3,則P(X=1)=C4P(X=2)=C42×C21C6故E(X)=1×15+2×35+D(X)=(1-2)2×15+(2-2)2×35+(3設乙組答對題數為Y,由題意可得,隨機變量Y~B3,23,故E(Y)=3×23=2,D(Y