廣東省2024-2025學年高一數(shù)學上學期期中試題含解析

2024—2024學年高一數(shù)學上學期期中考試一?單選題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1.下列關系式中，正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據元素與集合的關系，集合與集合的關系進行推斷即可.【詳解】，所以A錯誤；集合是點集，集合{2}數(shù)集，沒有包含關系，故B錯誤；是有理數(shù)集，，所以C錯誤；空集是任何集合的子集，所以D正確.故選：D.2.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用并集的定義即可求解【詳解】因為，，所以，故選：B3.已知集合，，且，則實數(shù)的取值構成的集合為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先解出集合A，依據，分類探討求出實數(shù).【詳解】.因為，所以，，.當時，關于x的方程無解，所以；當時，是關于x的方程的根，所以；當時，是關于x的方程的根，所以.故實數(shù)的取值構成的集合為.故選：D4.函數(shù)的最小值為（）A.8 B.7 C.6 D.2【答案】B【解析】【分析】結合基本不等式求得最小值.【詳解】，，當且僅當時等號成立.故選：B5.函數(shù)，，則（）A.函數(shù)有最小值，最大值 B.函數(shù)有最小值，最大值C.函數(shù)有最小值，最大值 D.函數(shù)有最小值，最大值【答案】A【解析】【分析】求出二次函數(shù)的對稱軸，推斷在區(qū)間上的單調性，進而可得最值.【詳解】對稱軸為，開口向上，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，，當時，，所以函數(shù)有最小值，最大值，故選：A.6.不等式的解集為，則的解集為（）A. B.或C.或 D.【答案】A【解析】【分析】由不等式的解集得到對應方程的根，結合韋達定理，求出，再代入所求的一元二次不等式，即可求解.【詳解】因為不等式的解集為，所以和是方程兩根，則，解得，所以不等式即化為，所以，解得.故選：A7.若函數(shù)是上的減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由是上的減函數(shù)列不等式，求解實數(shù)的取值范圍即可.【詳解】由題意得，解得；解得；當時解得.綜上得實數(shù)的取值范圍為.故選：D.8.下列說法正確的是（）A.不等式的解集為B.若實數(shù)滿意，則C.若，則函數(shù)的最小值為2D.當時，不等式恒成立，則的取值范圍是【答案】B【解析】【分析】干脆解一元二次不等式即可推斷A；依據不等式的性質推斷B；依據基本不等式求最值即可推斷C；依據不等式恒成立的解法求出k的范圍，即可推斷D.【詳解】對A，由解得或，故A錯誤；對B，由于，對兩邊同除，得到，故B正確；對C，由于，利用基本不等式知，故C錯誤；對D，①當時，不等式為，恒成立；②當時，若要使不等式恒成立，則，解得，所以當時，不等式恒成立，則k的取值范圍是，故D錯誤；故選：B二?多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9.函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，下列說法中正確的是（）A.B.若在上有最小值－1，則在上有最大值1C.若在上為增函數(shù)，則在上為減函數(shù)D.，使【答案】AB【解析】【分析】利用奇函數(shù)定義，使，結合奇函數(shù)與單調性的結論處理推斷．【詳解】∵函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則，使D不正確；令，則，即A正確；若在上有最小值－1，即對，，使得當時，，即在上有最大值1B正確；依據奇函數(shù)在對稱區(qū)間單調性相同可知C不正確；故選：AB．10.下列命題中，真命題的是（）A.a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要條件B.“”是“”的充要條件C.命題“?x0∈R，使得”的否定是“?x∈R，都有x2+x+1≥0”D.命題“?x∈R，x2+x+1≠0”的否定是“?x0∈R，”【答案】ACD【解析】【分析】利用充分性與必要性推斷AB的正確性，依據全稱命題與存在命題的關系推斷CD的正確性.【詳解】對于A，當，時，，但是當時，得到，不肯定成立，故，是的充分不必要條件，故A正確；對于B，“”是“”的充要條件，故B錯誤；對于C,命題“?x0∈R，使得”的否定是“?x∈R，都有x2+x+1≥0”,故C正確；對于D，命題“?x∈R，x2+x+1≠0”的否定是“?x0∈R，”，故D正確.故選：ACD11.已知冪函數(shù)，則（）A. B.定義域為C. D.【答案】AC【解析】【分析】依據為冪函數(shù)得可推斷A；依據冪函數(shù)的解析式可推斷B；利用單調性可推斷C；計算可推斷D.【詳解】為冪函數(shù)，，得，A對；函數(shù)的定義域為，B錯誤；由于在上為增函數(shù)，，C對；，，D錯誤，故選：AC.12.已知集合，，則使成立的實數(shù)m的取值范圍可以是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】先依據題意得出A，然后對集合B是空集和不是空集兩種狀況進行探討，進而得到答案.【詳解】，A.若B不為空集，則，解得，，，且，解得．此時．若B為空集，則，解得，符合題意．綜上，實數(shù)m滿意或．故選：AC.三?填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13.函數(shù)的定義域為________．【答案】【解析】【分析】依據題意列關于的不等式組即可求解.【詳解】由題要使得有意義，則，故且，從而的定義域為，故答案為：.14.設，，則_______．【答案】105【解析】【分析】先求，再求【詳解】解：因為，所以，所以，故答案為：15.已知正實數(shù)x，y滿意，則最小值為______．【答案】9【解析】【分析】利用基本不等式的性質干脆求解即可.【詳解】正數(shù)，滿意：，，當且僅當，即，時“”成立，故答案為：.16.關于的不等式在上恒成立,則實數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】分和探討，時依據二次函數(shù)開口向下，且與軸無交點列出不等式即可【詳解】若,得,符合題意若,由題知,解得綜上實數(shù)的取值范圍是故答案為：四?解答題（共6小題，滿分70分.解答題應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17.設全集為R，集合或，，（1）求，.（2）求【答案】（1）或，；（2）【解析】【分析】按定義進行交集、并集、補集運算即可【小問1詳解】或，；【小問2詳解】，18.（1）已知，求的最大值；（2）已知，，若，求的最小值．【答案】（1）；（2）4【解析】【分析】（1）由題意可得，再將函數(shù)變形為，然后利用基本不等式求出其最大值，（2）利用基本不等式結合題意可得結果.【詳解】（1）∵，∴，因此；當且僅當，即，y有最大值；（2）∵，且，∴；當且僅當，即，時，有最小值4．19.已知函數(shù)（1）推斷函數(shù)在上的單調性，并用定義法證明你的結論；（2）若，求函數(shù)的最大值和最小值.【答案】（1）減函數(shù)，證明見解析（2），【解析】【分析】（1）依據定義法證明函數(shù)單調性即可求解；（2）依據（1）中的單調性求解最值即可.小問1詳解】任取，，且則-因為，所以，所以，即，所以在區(qū)間上是減函數(shù)．【小問2詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以，.20.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當時，．（1）當時，求的解析式；（2）若，求的值．【答案】（1）當時，；（2）或.【解析】【分析】（1）設時，，則，再依據偶函數(shù)性質即可得時，求的解析式；（2）分和兩類，分別解不等式即可得答案.小問1詳解】解：（1）當時，，所以，又是偶函數(shù)，∴，∴，所以當時，；【小問2詳解】解：當時，當時，，即，解得（舍去），當時，，∴.（舍去），綜上，或21.第24屆冬季奧林匹克運動會，即2024年北京冬奧會于2024年2月4日開幕.冬奧會祥瑞物“冰墩墩”早在2024年9月就正式亮相，到如今已是“一墩難求”，并衍生出許多不同品類的祥瑞物手辦.某企業(yè)承接了“冰墩墩”玩具手辦的生產，已知生產此玩具手辦的固定成本為200萬元.每生產x萬盒，需投入成本h（x）萬元，當產量小于或等于50萬盒時；當產量大于50萬盒時，若每盒玩具手辦售價200元，通過市場分析，該企業(yè)生產的玩具手辦可以全部銷售完.（利潤=銷售總價-成本總價，銷售總價=銷售單價×銷售量，成本總價=固定成本+生產中投入成本）（1）求“冰墩墩”玩具手辦銷售利潤y（萬元）關于產量x（萬盒）的函數(shù)關系式；（2）當產量為多少萬盒時，該企業(yè)在生產中所獲得利潤最大，最大利潤為多少萬元.【答案】（1）；（2）產量為70萬盒，最大利潤為1200萬元.【解析】【分析】（1）依據產量的范圍，分段列出函數(shù)關系式，即得答案.（2）求出每段函數(shù)的最大值，再比較大小即可作答.【小問1詳解】依題意，當時，，當時，，所以銷售利潤y（萬元）關于產量x（萬盒）的函數(shù)關系式為：.【小問2詳解】當時，單調遞增，，當且僅當時取等號；當時，，當且僅當時取等號，而，因此當時，，所以當產量為70萬盒時，該企業(yè)在生產中所獲得利潤最大，最大利潤為1200萬元.22.定義：若函數(shù)對于其定義域內的某一數(shù)，有，則稱是的一個不動點.已知函數(shù).（1）當，時，求函數(shù)的不動點；（2）若對隨意的實數(shù)b，函數(shù)恒有兩個不動點，求實數(shù)a的取值范圍；（3）在（2）的條件下，若圖象上兩個點A、B的橫坐標是函數(shù)的不動點，且線段AB的中點C在函數(shù)的圖象上，求實數(shù)b的最小值.【答案】（1）和3（2）（3）【解析】【分析】（1）依據不動點的定義計算即可；（2）方程有兩個不等