2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)【新定義問題】方程與不等式中的新定義問題（原卷版）

方程與不等式中的新定義問題

知識(shí)方法精講

1.解新定義題型的方法：

方法一：從定義知識(shí)的新情景問題入手

這種題型它要求學(xué)生在新定義的條件下，對(duì)提出的說法作出判斷，主要考查學(xué)生閱讀理解能

力，分析問題和解決問題的能力.因此在解這類型題時(shí)就必須先認(rèn)真閱讀，正理解新定義的

含義；再運(yùn)用新定義解決問題；然后得出結(jié)論。

方法二：從數(shù)學(xué)理論應(yīng)用探究問題入手

對(duì)于涉及到數(shù)學(xué)理論的題目，要解決后面提出的新問題，必須仔細(xì)研究前面的問題解法.即

前面解決問題過程中用到的知識(shí)在后面問題中很可能還會(huì)用到，因此在解決新問題時(shí)，認(rèn)真

閱讀，理解閱讀材料中所告知的相關(guān)問題和內(nèi)容，并注意這些新知識(shí)運(yùn)用的方法步驟.

方法三：從日常生活中的實(shí)際問題入手

對(duì)于一些新定義問題，出題的方向通常借助生活問題,那么處理此類問題需要結(jié)合生活實(shí)際,

再將問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)知識(shí)、或者將生活圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形，從而利用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答。

2.解新定義題型的步驟：

（1）理解“新定義”一一明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.

⑵重視“舉例”，利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”；歸納“舉例”提供的解

題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.

（3）類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.

選擇題（共6小題）

1.（2021秋?渦陽縣期末）將關(guān)于x的一元二次方程f-px+q=O變形為f=px-q,就

可以將f表示為關(guān)于x的一次多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如

x3=x-x2=x（px-q）=...,我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡(jiǎn)次數(shù)較

高的代數(shù)式.根據(jù)“降次法"，已知：―-工一1=0,且工＞0,貝|/-2/+2尤+1的值為（）

A.1-V5B.1+V5C.3-V5D.3+75

2.（2021?羅湖區(qū)校級(jí)模擬）對(duì)于實(shí)數(shù)0和6,定義一種新運(yùn)算"兇”為：°名）6=」不，

a-b

這里等式右邊是實(shí)數(shù)運(yùn)算.例如：1⑤3=」=-1?則方程X（8）2=N—-1的解是（）

1-328x-4

A.x=4B.x=5C.x=6D.x=7

a

(a>b)

a-b

3.（2021秋?南皮縣校級(jí)月考）定義一種新運(yùn)算:b=<，若5派％=2,

b

(。<b)

、b-a

則x的值為（）

A.此B2c.2D.2

32

4.（2021?福田區(qū)一模）對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,定義一種新運(yùn)算"兇"為：a?b=-^,這

a-b

里等式右邊是通常的實(shí)數(shù)運(yùn)算.例如：1名）3=3=-L，則方程x€）（-1）=）—-1的解

1-324x-1

是（）

A.x=4B.x=5C.x=6D.x=7

5.定義：如果一元二次方程辦2+bx+c=0（a/0）滿足a+6+c=0,那么我們稱這個(gè)方程

為"和諧”方程；如果一元二次方程辦2+6x+c=0（"0）滿足a-6+c=0那么我們稱這個(gè)

方程為“美好”方程，如果一個(gè)一元二次方程既是“和諧”方程又是“美好”方程，則下列

結(jié)論正確的是（）

A.方有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.方程有一根等于0

C.方程兩根之和等于0D.方程兩根之積等于0

6.（2020秋?隨縣期末）規(guī)定一種新運(yùn)算：=若2名）［1兇（-刈=6,則x的

值為（）

A.-1B.1C.2D.-2

二.填空題（共5小題）

7.（2021秋?建華區(qū)期末）對(duì)于非零的兩個(gè)有理數(shù)。、b,我們給出一種新的運(yùn)算③，規(guī)

定：a?b=---,若l區(qū)（x+l）=l,貝！lx的值為____.

ba

8.（2021秋?東莞市期末）新定義一種運(yùn)算“☆”，規(guī)定=+若2^x=x+

2,貝!lx的值為.

9.（2020秋?福田區(qū)校級(jí)期末）對(duì)x,y定義一種新運(yùn)算“派"，規(guī)定：x※>=+（其

中心，〃均為非零常數(shù)），若1X1=4,1X2=3.則2X1的值是

10.(2020春?思明區(qū)校級(jí)期末)新定義：對(duì)非負(fù)數(shù)X“四舍五入”到個(gè)位的值記為(X).即

當(dāng)"為非負(fù)整數(shù)時(shí)，若+；則(x)=〃.如(0.46)=0,(3.67)=4.給出下列關(guān)于(x)

的結(jié)論：

①(1.493)=1；

②(2x)=2(x)；

③若(gx-1)=4,則x的取值范圍是"<11；

④當(dāng)x^O,m為非負(fù)整數(shù)時(shí)，有(〃?+2020%)=m+(2020x)；

其中正確的結(jié)論有—(填寫所有正確的序號(hào)).

11.(2020秋?奉賢區(qū)期末)已知°和6兩個(gè)有理數(shù)，規(guī)定一種新運(yùn)算“*”為：a*b=S

a+b

(其中a+bwO),若加*(一■1)=-：，則切=.

三.解答題(共14小題)

12.(2021秋?市中區(qū)期末)用定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意有理數(shù)a和6,規(guī)定

b=ab2+lab+a.如：1☆3=lx3?+2x1x3+1=16.

(1)(-2)翁3=；

(2)若(一☆3)^(-2)=16,求a的值；

(3)“作差法”是常見的比較代數(shù)式大小的一種方法，即要比較代數(shù)式河、N的大小，只

要作出它們的差M-N,若M-N>0,則Af>N；若M-N=0,則"=N；若M-N<Q,

則”<N.若2-=m，(-X)☆3=/7(其中x為有理數(shù))，試比較機(jī)，”的大小.

13.(2021秋?西城區(qū)期末)我們將數(shù)軸上點(diǎn)尸表示的數(shù)記為8.對(duì)于數(shù)軸上不同的三個(gè)點(diǎn)

M,N,T,若有4-芍=現(xiàn)%-芍)，其中左為有理數(shù)，則稱點(diǎn)N是點(diǎn)"關(guān)于點(diǎn)T的“左

星點(diǎn)”.已知在數(shù)軸上，原點(diǎn)為0,點(diǎn)4,點(diǎn)5表示的數(shù)分別為/=-2,XB=3.

(1)若點(diǎn)5是點(diǎn)4關(guān)于原點(diǎn)。的“左星點(diǎn)"，則左=；若點(diǎn)C是點(diǎn)/關(guān)于點(diǎn)5的“2

星點(diǎn)”，則xc=；

（2）若線段在數(shù)軸上沿正方向運(yùn)動(dòng)，每秒運(yùn)動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，取線段N5的中點(diǎn)。.是

否存在某一時(shí)刻，使得點(diǎn)。是點(diǎn)4關(guān)于點(diǎn)。的“-2星點(diǎn)”？若存在，求出線段N8的運(yùn)動(dòng)

時(shí)間；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）點(diǎn)。在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)。不與/,3兩點(diǎn)重合），作點(diǎn)/關(guān)于點(diǎn)。的“3星點(diǎn)”，記

為H,作點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)。的“3星點(diǎn)”，記為".當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)時(shí)，。4+。2'是否存在最小值？

若存在，求出最小值及相應(yīng)點(diǎn)。的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

A0B

IIIIIJ?）??4?????

-7-6-5-4-3-2-101234567

14.（2021秋?長(zhǎng)沙期末）若關(guān)于x的方程"+6=0（〃。0）的解與關(guān)于》的方程

cy+d=0（c^0）的解滿足|x-v|=1,則稱方程QX+6=0（。w0）與方程qy+d=0（。w0）是“美

好方程”.例如：方程2x+l=5的解是％=2,方程y-1=0的解是歹二1,因?yàn)閨x-y|=l,

方程2x+l=5與方程歹-1=0是“美好方程”.

（1）請(qǐng)判斷方程5%-3=2與方程2（＞+1）=3是不是“美好方程”，并說明理由；

（2）若關(guān)于x的方程位盧-x=2左+1與關(guān)于y的方程4y-1=3是“美好方程”，請(qǐng)求出發(fā)

的值；

（3）若無論俏取任何有理數(shù)，關(guān)于尤的方程2x；」a_|=m（a,b為常數(shù)）與關(guān)于y的方

程y+l=2y-5都是“美好方程”，求仍的值.

15.(2021秋?慶陽期末)若規(guī)定這樣一種新運(yùn)算法則：a*b=a=2ab.如

3*(-2)=3*-2x3x(-2)=21.

(1)求5*(-3)的值；

(2)若(-4)*x=-6-2x,求x的值.

16.(2021秋?任城區(qū)期末)用“※”定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意有理數(shù)a和6,規(guī)定。※

b=a(a+b).

例如：1X2=1X(1+2)=1X3=3.

(1)求(-3)派5的值；

(2)若(-2)X(3x-2)=x+l,求x的值.

17.(2021秋?錦江區(qū)校級(jí)期末)小兵喜歡研究數(shù)學(xué)問題，在學(xué)習(xí)一元一次方程后，他給出

一個(gè)新定義：若毛是關(guān)于x的一元一次方程ax+6=0(aW0)的解，為是關(guān)于y的方程的所

有解的其中一個(gè)解，且毛,為滿足/+%=100,則稱關(guān)于y的方程為關(guān)于x的一元一次方

程的“友好方程”.例如：一元一次方程3》-2苫-99=0的解是毛=99,方程y+1=2的

所有解是y=l或y=T,當(dāng)%=1時(shí)，x0+y0=100,所以必+1=2為一元一次方程

3x-2x-99=0的“友好方程”.

(1)已知關(guān)于y的方程：①2y-2=4,②|川=2,

以上哪個(gè)方程是一元一次方程3x-2x-102=0的“友好方程”？

請(qǐng)直接寫出正確的序號(hào)是—.

(2)若關(guān)于y的方程12y-2|+3=5是關(guān)于x的一元一次方程x-與包=。+1的“友好方

程”，請(qǐng)求出a的值.

(3)如關(guān)于y的方程2m|j；-49|=m+n是關(guān)于％的一元一次方程mx+45〃=54m

的“友好方程”，請(qǐng)直接寫出絲士的值.

n

18.(2020?麗水模擬)新定義：如果一個(gè)矩形，它的周長(zhǎng)和面積分別是另外一個(gè)矩形的周

長(zhǎng)和面積的一半，則這個(gè)矩形是另一個(gè)矩形的“減半”矩形.

(1)已知矩形ABCD的長(zhǎng)12、寬2,矩形EFGH的長(zhǎng)4、寬3,試說明矩形EFGH是矩形ABCD

的“減半”矩形.

(2)矩形的長(zhǎng)和寬分別為2,1時(shí)，它是否存在“減半”矩形？請(qǐng)作出判斷，并請(qǐng)說明理由.

19.(2020秋?江北區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)/(-3,0),8(3,0),若在坐標(biāo)軸

上存在點(diǎn)C,使得AC+BC=k,則稱點(diǎn)C為點(diǎn)4,2的“左的和諧點(diǎn)”.例如C坐標(biāo)為(0,0)

時(shí)，AC+BC=6,則稱C(0,0)為點(diǎn)/,8的“6的和諧點(diǎn)”.

(1)若點(diǎn)C為點(diǎn)3的“人的和諧點(diǎn)”，且A43c為等腰直角三角形，求左的值；

(2)4,3的“10的和諧點(diǎn)”有幾個(gè)，請(qǐng)分別求出坐標(biāo)；

(3)直接指出3的“左的和諧點(diǎn)”的個(gè)數(shù)情況和相應(yīng)的左取值條件.

20.（2020秋?九龍坡區(qū)期末）若在一個(gè)兩位正整數(shù)4的個(gè)位數(shù)與十位數(shù)字之間添上數(shù)字6,

組成一個(gè)新的三位數(shù)，我們稱這個(gè)三位數(shù)為N的“至善數(shù)”，如13的“至善數(shù)”為163；

若將一個(gè)兩位正整數(shù)3加6后得到一個(gè)新數(shù)，我們稱這個(gè)新數(shù)為2的“明德數(shù)”，如13的

“明德數(shù)”為19.

（1）38的“至善數(shù)”是—，“明德數(shù)”是

（2）若一個(gè)兩位正整數(shù)M的“明德數(shù)”的各位數(shù)字之和是M的“至善數(shù)”各位數(shù)字之和

的一半，求出滿足條件的所有兩位正整數(shù)M的值.

21.(2020秋?鳳凰縣期末)閱讀下列材料，然后回答問題:

對(duì)于實(shí)數(shù)x、y我們定義一種新運(yùn)算Z(x,y)=ax+力，(其中。、6均為非零常數(shù)),等式

右邊是通常的四則運(yùn)算，由這種運(yùn)算得到的數(shù)我們稱之為線性數(shù)，記為其中x、y

叫做線性數(shù)的一個(gè)數(shù)對(duì)，若實(shí)數(shù)x、y都取正整數(shù)，我們稱這樣的線性數(shù)為正格線性數(shù)，這

時(shí)的x、y叫做正格線性數(shù)的正格數(shù)對(duì).

⑴若文,y)=x+3y,則L(2,l)=一,碎f=一；

(2)已知乙(x,y)=3x+6y,4；，；)=2，若正格線性數(shù)上(x,foc)=18(其中左為整數(shù))，

問是否有滿足這樣條件的正格數(shù)對(duì)？若有，請(qǐng)找出，若沒有，請(qǐng)說明理由.

22.(2020秋?新賓縣期末)用“*”定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意有理數(shù)0和6,規(guī)定

a*b=ab2+2ab-b.如：1*3=1x32+2xlx3-3=12.

(1)求(-2)*4的值；

(2)若(尤-1)*3=12,求x的值.

---->b

ab

23.(2020秋?中山區(qū)期末)當(dāng)a片6時(shí)，定義一種新運(yùn)算：F(a,b)=\~例如:

22x48

F(3,l)=—=1,"一1,4)=

4-(-1)5

(1)直接寫出尸(a+l,a)=

(2)若尸(m,2)/2,m)=l,求出用的值.

24.