安徽省合肥市2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)統(tǒng)一作業(yè)7（含答案）

安徽省合肥市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)統(tǒng)一作業(yè)7

學(xué)校:.姓名:.班級(jí):考號(hào):

一、單選題

直線岳-偈+1=°的傾斜角為（

1.）

冗24715%

A.§B.3C.6D.6

2.與直線3xD4y+5=0關(guān)于y軸對(duì)稱的直線方程是（)

A.3x+4y+5=0B.3x+4yD5=0C.3xD4y+5=0D.3xD4yD5=0

經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)G，T）且圓心在直線3x+V-5=°上的圓的方程為

3.

A.(X-5)2+(J+10)2=125B.(X+1)2+(^-2)2=5

(x-l)2+(y-2)2=5x-|

cD.i+T

若直線依一y一2=°與曲線/一3一1）2二無一1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)上的取值范圍

4.

是)

A.AB.*

。心42

一2,一卜8

C.3D.

若橢圓焦點(diǎn)在x軸上且經(jīng)過點(diǎn)（一4，0）,焦距為6,則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

5.

22

1上+匕=1

A.168B.167

222,2

X

%J-1—+匕=1

C.916D.716

若圓（龍一3）一+3+5）2=/上至少有三個(gè)點(diǎn)到直線4》_3k2=0的距離為］,則半徑『的

6.

取值范圍是（）

卜+

A.(d+8)B.8）c.(4,6]D.[4,6]

22y-i

7.實(shí)數(shù)x,N滿足x2-4x+/-6y+9=°,則7TI的取值范圍是（）

「51」12）[12[「n5]

5

A.L12JB.LJC.I5」D.L12」

8.在等腰直角三角形/8C中，/8=NC=4,點(diǎn)P是邊上異于43的一點(diǎn)，光線從

點(diǎn)產(chǎn)出發(fā)，經(jīng)2C,G4發(fā)射后又回到原點(diǎn)P（如圖）.若光線0R經(jīng)過8c的重心，則

/尸等于

B.1

4

D.§

二、多選題

9.以下四個(gè)命題表述正確的是（）

A.直線（3+Mx+4y-3+3m=0（加e?恒過點(diǎn)y,-3）

B.圓/+丁=4上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線/：X7+亞=°的距離都等于1

C.圓G：/+r+2》=0與圓。2：/+產(chǎn)一以_8了+加=0恰有三條公切線，則片彳

D.已知圓0d+/=4,過點(diǎn)9（3,4）向圓C引兩條切線P/、P2,4、B為切點(diǎn),

貝U直線方程為3X+4'-4=°

22

工+工=1

10.若方程3-ft-1所表示的曲線為c,則下面四個(gè)說法中正確的是（）

A.曲線C可能是圓

B.若1<"3,則C為橢圓

C.若C為橢圓，且焦點(diǎn)在x軸上，貝"2</<3

D.若C為橢圓，且焦點(diǎn)在y軸上，貝口7<3

11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E,F,G,H分別是D，，4A,

CD,2C的中點(diǎn)，則下列說法正確的有（）

A.E,F,G,〃四點(diǎn)共面

71

B.8。與斯所成角的大小為H

C.在線段3。上存在點(diǎn)M,使得■平面EFG

D.在線段48上任取一點(diǎn)N,三棱錐N-EFG的體積為定值

三、填空題

12.圓G：x2+「+2xT2=0與圓6：/+/+4工一4k0的交點(diǎn)為/,以則弦的長(zhǎng)為

13.已知網(wǎng)一1，°）,8是圓C：（x-l）'V=16上的任意一點(diǎn)，線段86的垂直平分線交

BC于點(diǎn)P.則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為.

14.已知直線/與圓°：/+產(chǎn)=4交于/（再,必），2伍,％）兩點(diǎn)，且|力司=2百，則

國(guó)+4必-10|+|3%+4%-10|的最大值為.

四、解答題

15已知直線4："+4ay-2=0（〃>0）,/2：2x+y+2=0.

⑴當(dāng)。=1時(shí)，直線/過4與/2的交點(diǎn)，且垂直于直線x-2y-i=o,求直線/的方程；

（2）求點(diǎn)3，到直線4的距離d的最大值.

16.已知點(diǎn)4L2),圓c：x2+y2+2mx+2y+2=0

(1)若過點(diǎn)./可以作兩條圓的切線，求m的取值范圍;

(2)當(dāng)加=-2時(shí)，過直線2%->+3=°上一點(diǎn)9作圓的兩條切線求四邊形尸MCN

面積的最小值.

17.在四棱錐尸-/BCD中，力，平面底面是正方形，E,尸分別在棱尸

PE=-PDCF=-BC

BC上且33

⑴證明：成||平面為尸；

(2)若尸，求直線。與平面及尸所成角的正弦值.

18.已知圓力：x2+3一中=3,過點(diǎn)尸(°，一1)的直線/與圓。相交于M,N兩點(diǎn)，且

\MN\=2,圓。是以線段"N為直徑的圓.

⑴求圓。的方程；

⑵設(shè)'(°，，+6)(-5W/V-2),圓。是△場(chǎng)：的內(nèi)切圓，試求me面積的取值范

圍.

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案CBDABBCDBCDAD

題號(hào)11

答案AD

1.C

【分析】將直線方程轉(zhuǎn)化為斜截式，進(jìn)而可得傾斜角.

_V|

【詳解】由直線后x-V^+l=O,即36,

./1

所以傾斜角a滿足皿。一=23,々?、?，

71

a=—

所以6,

故選：C.

2.B

【分析】分別求出直線孔-4了+5=°與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，分別求得關(guān)于夕軸的對(duì)稱點(diǎn)，即可

求解直線的方程.

y=。（0—）

【詳解】令x=。，則-4,可得直線3x-4y+5=°與y軸的交點(diǎn)為54,

X二（二0）

令片0,則3,可得直線/--+5=°與％軸的交點(diǎn)為'3',

此時(shí)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為10,

所以與直線版一47+5=°關(guān)于y軸對(duì)稱的直線經(jīng)過兩點(diǎn)N3',

室=1

55

其直線的方程為34，化為3x+4y-5=0,故選乩

【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線方程點(diǎn)的求解，以及點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱問題，其中解答中熟記

點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的求解，以及合理使用直線的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與

運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.D

【分析】令圓心為（友5-3尤），由圓所經(jīng)過的點(diǎn)及兩點(diǎn)距離公式列方程求出圓心坐標(biāo)，即可

寫出圓的方程.

【詳解】由題設(shè)，令圓心為（x，5-3x）,又圓經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)（3，T）,

22255

所以/=/+（5_3》）~=（尤-3）-+（6-3》）一,整理可得》-],故圓心為￡

225/5。225

丫2=一x--+y=—

所以半徑平方9,則圓的方程為I3J9.

故選：D

4.A

【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)曲線為（X-1）2+”T）2=1（XN1）,再由直線恒過定點(diǎn)PQ-2）,結(jié)

合圖象和圓心到直線的距離，列出方程，即可求解.

【詳解】由曲線]一3-1）2=X_1,可得（x-l）2+"-1）2=1（x21）,

又由直線履-y-2=°,可化為了=丘-2,直線恒過定點(diǎn)尸（°，-2）,

作出半圓與直線的圖象，如圖所示，

ML-1,4

方—；tk=一

當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，可得必+1，解得3,

（-,2]

所以實(shí)數(shù)上的取值范圍為3」.

故選：A.

5.B

【分析】由平方關(guān)系結(jié)合已知即可求出區(qū)4C,由此即可得解.

【詳解】由題意得橢圓焦點(diǎn)在X軸上且經(jīng)過點(diǎn)G4'。），焦距為6,

22

土+匕

所以a=4,2c=6,貝ijc=3,b2=a2-c2=l,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為167

故選：B.

6.B

【分析】先求出圓心（3，一5）到直線4x-3y-2=°的距離為5,由此可知當(dāng)圓的半徑為

“5+1=6時(shí)，圓上恰有三點(diǎn)到直線4x-3y-2=°的距離為1,當(dāng)圓的半徑廠＞5+1=6

時(shí)，圓上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線4》-3了-2=0的距離為1,故半徑『的取值范圍是「25+1=6,

即可求出答案.

【詳解】由已知條件得G-3）一+&+ST=/的圓心坐標(biāo)為8—5）,

^__|4x3-3x（-5）-2|：5

圓心（3，一5）到直線4x-3y-2=0為^42+32,

...圓（x-3）2+&+5）2=r2上至少有三個(gè)點(diǎn)到直線?-3y-2=0的距離為1,

二圓的半徑的取值范圍是-25+1,即『26,即半徑r的取值范圍是I6,+00）.

故選：B.

7.C

【詳解】判斷出點(diǎn)（X/）的軌跡，根據(jù)斜率、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)求得正確答案.

【分析】方程-6了+9=0,即（x-2）~+（y-3）2=4,

所以（XJ）是以（2,3）,半徑為2的圓上的點(diǎn)，

y-1

^+1表示點(diǎn)（XJ）與點(diǎn)（T1）連線的斜率，

設(shè)直線yT=M'+l）也-V+1+X與圓（、一2）2+&-3）2=4相切,

|2"3+1+1_|3._2|_2

（2,3）到直線區(qū)-y+l+左=0的距離Jr+1VF+1,

解得人=0或5,

Zzl0,—

所以x+1的取值范圍是L5」.

故選：C

【詳解】建立如圖所示的坐標(biāo)系，可得B（4,0）,C（0,4）,

故直線的方程為x+y=4,

（0+0+40+4+0）

的重心為（3'3

設(shè)尸（。,0）,其中0<a<4,

則點(diǎn)P關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn),

a+xy+0,

------+-——=4

f22

解得y=4-a>即月(4,4-°),

易得P關(guān)于V軸的對(duì)稱點(diǎn)￡（一凡°）,

由光的反射原理可知0C凡？四點(diǎn)共線,

b7-—_4_-_a__-_0_—_4_-_tz_

直線跳的斜率為4-（-。）4+a,

故直線QA的方程為+

44

由于直線QR過A43c的重心（§'?）,

代入化簡(jiǎn)可得3/-4a=0,

_4

解得"3,或?=°（舍去），

44

尸（一，0）AP=-

故3，故3.

故選D.

考點(diǎn)：與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程.

【思路點(diǎn)睛】建立坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)，可得P關(guān)于直線8C的對(duì)稱點(diǎn)4的坐標(biāo)，和尸關(guān)

于〉軸的對(duì)稱點(diǎn)鳥的坐標(biāo)，由62尺名四點(diǎn)共線可得直線的方程，由于過的重心，

代入可得關(guān)于。的方程，解之可得尸的坐標(biāo)，進(jìn)而可得/尸的值.本題考查直線與點(diǎn)的對(duì)稱

問題，涉及直線方程的求解以及光的反射原理的應(yīng)用，屬中檔題.

9.BCD

【分析】根據(jù)直線過定點(diǎn)、點(diǎn)到直線距離、圓與圓的位置關(guān)系，相交弦所在直線方程等知

識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確選項(xiàng).

［詳解］A選項(xiàng)，（3+機(jī)）x+4y-3+3機(jī)=0n〃7（x+3）+3x+4y-3=0,

卜+3=0卜=-3

13x+4T-3=0^V=3,所以定點(diǎn)為（T3）,人錯(cuò)誤.

叵=1

B選項(xiàng)，圓一+/=4的圓心為原點(diǎn)，半徑為2,圓心到直線/的距離為加,

所以圓一+丁=4上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線l-X-y+42=0的距離都等于J,B選項(xiàng)正確.

C選項(xiàng)，圓G的圓心為（一1，°）,半徑為1.圓C?的圓心為（2,4）,半徑為

（6+64一.=病7

2,

由于J、G有三條公切線，所以兩個(gè)圓外切，所以1+420-加=］（-1-2）2+（0-4）2,

加=4,C選項(xiàng)正確.

D選項(xiàng)，圓U/+必=4的圓心為原點(diǎn)°,半徑為2」°尸1=5,以O(shè)P為直徑的圓的方程為

（3?/八225

4,即/+/一3、-4y=0,則所在直線方程為

/+/W_3xf）=4一0,3x+4廣4=0刀選項(xiàng)正確.

故選：BCD

10.AD

【分析】根據(jù)方程為圓列式求解判斷A,排除B,根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特征列不等式求解

范圍即可判斷CD.

22

U12-

【詳解】當(dāng)3一="1>0即f=2時(shí)，方程3-，/-I為x+N=1,

表示圓心為原點(diǎn)，半徑為1的圓，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

若C為橢圓，且焦點(diǎn)在x軸上，則3-7>/1>0,解得1</<2,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

若C為橢圓，且焦點(diǎn)在y軸上，則解得2<1<3,故選項(xiàng)D正確.

故選：AD.

11.AD

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的共面定理可判斷A選項(xiàng)，利用坐標(biāo)法求異面直

線夾角可直接判斷B選項(xiàng)，假設(shè)在線段8。上存在點(diǎn)新，設(shè)薊'=2而，條1,利用

坐標(biāo)法驗(yàn)證線面垂直，可判斷C選項(xiàng)；分別證明AMG與43上的所有點(diǎn)到平面EFG的距

離為定值，即可判斷D選項(xiàng).

【詳解】以A為原點(diǎn)，以油,AD,44所在直線分別為x軸、V軸、z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4（0,0,0）,3（2,0,0）,C（2,2,0）,。（0,2,0）,旦（2,0,2）,々（0,2,2）,E（0,2,l）,

尸（1,0,2）,"（2,1,0）,G（l,2,0）,

設(shè)AH=xAE+yAF+z/G,

則(2,1,0)=x(0,2,1)+y(1,0,2)+z(1,2,0)

x=-1

y+z=2

v2x+2z=13

所以［x+2歹=0z=—

，解得〔2

故x+〉+z=l,即石，F(xiàn),G,"四點(diǎn)共面，故A正確;

因?yàn)辂?(-2,2,0),EF=(1,-2,1)

叵?司63

\cos(BD,EF

函.同78x762

所以

n

所以與所所成角的大小為不，故B錯(cuò)誤;

假設(shè)在線段8。上存在點(diǎn)符合題意，

設(shè)兩=2而（0W條1）,則西=苑-前=畫々麗=3,2-242）,

若MCJ平面EFG,則MQE產(chǎn)=。，MCJEG=0

因?yàn)槎?（1，一2，1）,.=（1,。,-1）,

j22-4+42+2=0

所以122-2=°,此方程組無解，

所以在線段8。上不存在點(diǎn)“，使得MCiJ■平面EFG,故C錯(cuò)誤;

因?yàn)??=（2,0,-2）=2EG,所以&B//EG,

又42a平面EFG,￡6<=平面￡尸6,所以48〃平面EFG,

故"田上的所有點(diǎn)到平面MG的距離即為B到平面EFG的距離，是定值，

又AMG的面積是定值，

所以在線段/田上任取一點(diǎn)N,三棱錐N-EFG的體積為定值，故D正確；

故選：AD.

12.40

【分析】先求出兩圓的公共弦方程，觀察發(fā)現(xiàn)。2d+/+41-4），=°的圓心在公共弦上,

從而得到弦N2的長(zhǎng)為圓G的直徑，求出公共弦長(zhǎng).

【詳解】圓￡、+/+2工-12=°與圓。2：/+/+4X-4了=°聯(lián)立可得:

公共弦的方程為"27+6=0,

2222

C2:x+y+4x-4j=0^^C2:(x+2)+(>>-2)=8,

故G：Y+/+4x-4y=0的圓心為。2(-2,2),半徑為272,

而J(一2,2)滿足x-2y+6=0,故弦AB的長(zhǎng)為圓G的直徑，

故弦N2的長(zhǎng)為40.

故答案為：，收.

【分析】結(jié)合線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等及橢圓定義得到正確答案.

【詳解】解：圓0：(無一1)2+.=16,圓心為(1,0),半徑為%

因?yàn)榫€段B尸的垂直平分線交BC于p點(diǎn)，所以|尸8|=|尸尸

所以|PC|+|P"|=|尸。1+1尸切=|5。|=4>|/。］=2.

W

所以由橢圓定義知，尸的軌跡是以C,尸為焦點(diǎn)的橢圓，方程為43.

W

故答案為：43.

14.30

13石+4%一101|3X2+4%-101

【分析】5'5的幾何意義為點(diǎn)48到直線3x+4y-10=0的距離

之和，根據(jù)梯形中位線知其最大值是的中點(diǎn)初到直線3》+4k10=0的距離的2倍.由

題意依赫卜1,所以42的中點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)°為圓心，1為半徑的圓，利用圓的性質(zhì)

即可得解.

13X1+4%—10113%2+4%—101

【詳解】5’5的幾何意義為點(diǎn)"，8到直線3x+4y-10=°的距離

之和，

根據(jù)梯形中位線知其最大值是的中點(diǎn)“到直線3x+4."T0=°的距離的2倍，

由題可知，圓。：/+/=4的圓心。(0,0),半徑為2,囪=26,

則"痔）』

所以的中點(diǎn)〃的軌跡是以原點(diǎn)°為圓心，1為半徑的圓,

10

+1=3

故點(diǎn)M到直線3x+4y-10=0的最大距離732+42

13再+4凹-10113%+4%-101

所以55的最大值為2*3=6,

則|3%+4^-10|+|3X2+4J2-10|的最大值為30.

故答案為：30.

⑵行

【分析】（1）計(jì)算兩直線的交點(diǎn)，根據(jù)垂直得到直線斜率，得到直線方程.

（2）確定直線過定點(diǎn)，點(diǎn)到定點(diǎn)的距離即最大距離，計(jì)算即可.

（3x+4y-2=0

【詳解】⑴當(dāng)。=1時(shí)，直線L3x+4y-2=0,￡2x+y+2=0,則12x+y+2=°,

解得交點(diǎn)（-2,2），

k=-

又由直線/垂直于直線x-2y-l=0,而直線》-2"1=0的斜率32,

兩直線垂直得斜率乘積為T,得到方=<?

又因?yàn)橹本€/過4與4的交點(diǎn)（々2）,直線/的方程為V-2=-2（X+2）,即2x+y+2=0.

（2）直線4：3x+4ay-2=0（°>0）過定點(diǎn)N（§，0）,又叫1），

,l^|=.（---）2+（1-0）2=V2.

點(diǎn)M到直線人的距離d的最大值為'33

11,

---<m<-\

16.（1）2或%>1

z而

（2）5

【分析】（1）利用點(diǎn)在圓外代入得到不等式，結(jié)合曲線方程表示圓即可解答；

（2）首先得到,四邊形由w=6?小PCt-3,再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出依尸|的最小值,

最后得到四邊形面積的最小值.

_11

【詳解】⑴由題意得川’2）在圓外，則1+4+2根+6>0,即機(jī)>一萬

又4m2+4—8>0,艮|］冽>1或加<一1

111

---<m<-\

所以2或冽>1.

（2）機(jī)=-2時(shí)，圓方程為（x-2）2+（y+l）2=3,則圓的半徑圓心。0一），

S四邊形,N=|尸M?r=G1PM=^\PC\2-r2=-3.

直線方程為2x_y+3=0,設(shè)圓心（2，T）到直線2x_y+3=0的距離為d,

8

17.（1）證明見解析

2匹

⑵13

PG=LpA

【分析】（1）在棱尸/上取點(diǎn)G,使得3,連接EG,FG,即可證明四邊形

FGEC為平行四邊形，再由線面平行的判定定理，即可證明；

（2）以A為原點(diǎn)，AB,AD,/P所在的直線分別為x軸，V軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】（1）

E

PG=-PA

證明：如圖，在棱4上取點(diǎn)G,使得3,連接EG,FG,

PEPG11

-----=-GE=—AD

因?yàn)槭珼PA3,所以GE///D且3,

CF=-BCCF=-AD

由正方形”88,3,得CF//4D且3,

所以GE〃叱且GE=CF,

所以四邊形FGEC為平行四邊形，所以CE〃GF,

又CE①平面尸/尸，G尸u平面尸/尸，所以CE〃平面尸/尸.

（2）

若=則可設(shè)AD=/P=3,所以工3=8。=3.

以A為原點(diǎn)，AB,AD,/尸所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系，

則點(diǎn)/（0,0,0）,C（3,3,o）,0（0,3,0）,尸（0,0,3）,尸（3,2,0）

則麗=（一3,0,0）,萬=（0,0,3）,方=（3,2,0）,

設(shè)平面P/尸的法向量為或=（x，％z）,則

麗?/P=（x,y,2）（O,O,3）=3z=OI

由麗?/尸=（羽％2）（3,2,0）=3》+2y=0得x=

令＞=3,得平面尸/尸的一個(gè)法向是為所=（-2,3,0）,

設(shè)直線CD與平面PAF所成角的大小為9,

\m-CD\