安徽省宣城市2023-2024學(xué)年高三年級下冊開學(xué)模擬考試數(shù)學(xué)試卷

安徽省宣城市2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)模擬考試數(shù)學(xué)試題試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合A==Igsinx+，9一尤21,則=cos2x+2sinx,xeA的值域?yàn)椋ǎ?/p>

a-[',1]（',Ic-d-T

2.若復(fù)數(shù)z滿足力=1-i（i為虛數(shù)單位），則其共軌復(fù)數(shù)1的虛部為（）

A.-iB.iC.-1D.1

3.已知拋物線C：V=2px（p〉0）的焦點(diǎn)為b，對稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為T,P為C上任意一點(diǎn)，若|尸7|=2戶耳，則

ZPTF=（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

的大小關(guān)系為

A.b>c>aB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a

5.在AABC中，“cosAvcosJB”是“sinA>sin5”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.函數(shù)/（乃=辦+!在（2,+8）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

X

A.B.C.D.1一00，；

7.等差數(shù)列｛4｝中，已知3%=760,且4<0,則數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和N*）中最小的是（）

A.S7或工B.SnC.&D.S14

4萬

8.如圖所示，用一邊長為應(yīng)的正方形硬紙，按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形,做成一個(gè)蛋巢，將體積為一I的雞

3

蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋（球體）離蛋巢底面的最短距離為（）

A/2—1y/2+1

A.---------B.---------

22

CA/^一］D△一、

'2?2

9.若函數(shù)/(x)=|lnx|滿足/'(a)=/?,且0<a<。，則丑*=的最小值是()

4a+26

3l

A.0B.1C.-D.2V2

10.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z-(l+i)=2i+l(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的共物復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

11.已知三棱柱

ABC-A4G的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上.若43=3,AC=4,AB±AC,AAi^12,則球O的半徑為()

A.B.2回C.yD.3M

12.已知cos(2019萬+a)=—g，則sin(￡-2a)=()

7557

A.-B.一C.D.

9999

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖梯形ABC。為直角梯形，AB±AD,CD±AD,圖中陰影部分為曲線y=必與直線1=工+2圍成的平面圖形,

向直角梯形ABC。內(nèi)投入一質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)落入陰影部分的概率是

77TT

14.在ABC中，AB=2,B=—,C=-,點(diǎn)尸是邊的中點(diǎn)，則AC=,APBC=，

46

15.設(shè)函數(shù)/(%)=則｛2)+/(1暇3)=

乙，義—J.

16.直線4日―分一左=0與拋物線丁=無交于A,3兩點(diǎn)，若|AB|=4,則弦A3的中點(diǎn)到直線1+工=0的距離等于

2

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在三棱柱A3C—A'3'C'中，N、尸分別是AC、BC、A'C的中點(diǎn).

(1)證明：MN〃平面CFB'；

(2)若底面A'B'C'是正三角形，A'C'=1,C在底面的投影為口，求8'到平面AA'C'C的距離.

18.(12分)某保險(xiǎn)公司給年齡在20-70歲的民眾提供某種疾病的一年期醫(yī)療保險(xiǎn)，現(xiàn)從10000名參保人員中隨機(jī)抽

取100名作為樣本進(jìn)行分析，按年齡段[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70]分成了五組，其頻率分布直方圖如

下圖所示；參保年齡與每人每年應(yīng)交納的保費(fèi)如下表所示.據(jù)統(tǒng)計(jì)，該公司每年為這一萬名參保人員支出的各種費(fèi)用

為一百萬元.

系率

年齡

[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]

（單位：歲）

保費(fèi)

X2x3x4x5x

（單位：元）

（1）用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，為使公司不虧本，求X精確到整數(shù)時(shí)的最小值.%;

（2）經(jīng)調(diào)查，年齡在［60,70］之間的老人每50人中有1人患該項(xiàng)疾?。ㄒ源祟l率作為概率）.該病的治療費(fèi)為12000元，

如果參保，保險(xiǎn)公司補(bǔ)貼治療費(fèi)10000元.某老人年齡66歲，若購買該項(xiàng)保險(xiǎn)（x取（1）中的/）.針對此疾病所支付的費(fèi)

用為x元；若沒有購買該項(xiàng)保險(xiǎn)，針對此疾病所支付的費(fèi)用為y元.試比較x和y的期望值大小，并判斷該老人購買

此項(xiàng)保險(xiǎn)是否劃算？

19.（12分）已知函數(shù)g（x）=e*—（a—1）/—法―l（a,beR）,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）若函數(shù)/（x）=g'（x）在區(qū)間［0,1］上是單調(diào)函數(shù)，試求。的取值范圍；

（2）若函數(shù)g（x）在區(qū)間［0,1］上恰有3個(gè)零點(diǎn)，且g（D=0,求。的取值范圍.

20.（12分）已知函數(shù)/（%）=|xT|+|x+l|-2.

（1）求不等式/（%）..1的解集；

（2）若關(guān)于x的不等式/（x）../—。一2在R上恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

21.（12分）已知數(shù)列｛4｝和｛2｝,｛4｝前〃項(xiàng)和為S“，且S“=n2+n,｛々｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且片=g，

,,,31

bx+b2+b3=—.

（1）求數(shù)列｛4｝和也｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛4-物｝的前幾項(xiàng)和T”.

22.（10分）如圖，在多面體ABCDEE中，四邊形ABC。是菱形，EF//AC,EF=1,NA3C=60°，CEL平

面ABCD,CE=6,CD=2,G是的中點(diǎn).

BC

(I)求證：平面ACG//平面5EF；

(II)求直線AO與平面AB廠所成的角的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

先求出集合A=(O,3],化簡/(%)=—2sin2x+2sinx+l,令siiw=/e(0』，得g(/)=-2/+2/+1由二次函數(shù)的

性質(zhì)即可得值域.

【詳解】

fsinx>0

由19%2>0=。<%<3,得A=(0,3],/(%)=cos2x+2sinx=—2sin2x+2sinx+L令sinx=1,xe(0,3],

所以得g(/)=—2/+2f+l,g(f)在1°，：]上遞增，在&，"上遞減，g(l)=Lg[；]=|‘所以

33

g⑺e1,-,即的值域?yàn)镮f

故選A

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次不等式的解法、二次函數(shù)最值的求法，換元法要注意新變量的范圍，屬于中檔題

2、D

【解析】

由已知等式求出z,再由共朝復(fù)數(shù)的概念求得2,即可得N的虛部.

【詳解】

由zi=l-i,=-l-i,所以共軌復(fù)數(shù)2=-l+i,虛部為1

"Zii-(-i)

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算和共帆復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題.

3、C

【解析】

如圖所示：作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于則戶閘=戶可，故|PT|=2|PM],得到答案.

【詳解】

如圖所示：作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于"，則|PM|=|P耳，

在MAP力W中，|PT|=2|PM|,故NP7M=30。，即NPTF=60。.

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線中角度的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.

4、A

【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，借助特殊值即可比較大小.

【詳解】

因?yàn)閘ogsA/2<log3G=g，

所以a<g.

2

因?yàn)?>e,

所以Z?=In3>Ine=1,

因?yàn)?>-0.99>—l,y=2"為增函數(shù),

所以9—<i

所以Z?>c>a,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.

5、C

【解析】

由余弦函數(shù)的單調(diào)性找出cosA<cos3的等價(jià)條件為A>5,再利用大角對大邊，結(jié)合正弦定理可判斷出

"cosA<cosB"是"sinA>sinB”的充分必要條件.

【詳解】

余弦函數(shù)丁=以《兀在區(qū)間（0,〃）上單調(diào)遞減，且0<A<?,0<B（兀,

由cosAccosB,可得A>5,由正弦定理可得sinA>sinB.

因此，"cosA<cosB"是"sinA>sinB”的充分必要條件.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查充分必要條件的判定，同時(shí)也考查了余弦函數(shù)的單調(diào)性、大角對大邊以及正弦定理的應(yīng)用，考查推理能力,

屬于中等題.

6、B

【解析】

對4分類討論，當(dāng)函數(shù)在（0,+8）單調(diào)遞減，當(dāng)。>0,根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，求出單調(diào)遞增區(qū)間，即可

求解.

【詳解】

當(dāng)aVO時(shí)，函數(shù)/（乃=辦+!在（2,+8）上單調(diào)遞減,

X

/（刈=依+,的遞增區(qū)間是

所以〃>0,

X

c11

所以221=,即

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)單調(diào)性，熟練掌握簡單初等函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

7、C

【解析】

設(shè)公差為d,則由題意可得3（01+44）=7（01+%?）,解得1=-萼，可得4=竺答^.令合y<0,可得當(dāng)

〃之14時(shí)，?！啊?,當(dāng)“W13時(shí)，?！?lt;0,由此可得數(shù)列｛4｝前幾項(xiàng)和S"（"cN*）中最小的.

【詳解】

解：等差數(shù)列僅“｝中，已知3%=7%o,且％<0,設(shè)公差為d,

AZ7

則3（q+4d）=7（q+9d）,解得］=_釜，

/八〃（）

55-4”qL

二.an=?1+（?-l）a=--------.

55—4〃55

令上——<0,可得“〉二，故當(dāng)“214時(shí)，an>0,當(dāng)“W13時(shí)，an<0,

514

故數(shù)列｛4｝前〃項(xiàng)和S,（neN*）中最小的是心.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

8、D

【解析】

47r

因?yàn)榈俺驳牡酌媸沁呴L為1的正方形，所以過四個(gè)頂點(diǎn)截雞蛋所得的截面圓的直徑為1,又因?yàn)殡u蛋的體積為：，所

3

以球的半徑為1,所以球心到截面的距離d而截面到球體最低點(diǎn)距離為1-半，而蛋巢的高度為g,

1（后V3-1

故球體到蛋巢底面的最短距離為:t-1--=\一.

點(diǎn)睛:本題主要考查折疊問題，考查球體有關(guān)的知識.在解答過程中，如果遇到球體或者圓錐等幾何體的內(nèi)接或外接幾何

體的問題時(shí)，可以采用軸截面的方法來處理.也就是畫出題目通過球心和最低點(diǎn)的截面，然后利用弦長和勾股定理來解

決.球的表面積公式和體積公式是需要熟記的.

9、A

【解析】

由/(。)=70)推導(dǎo)出6，且0<。<1,將所求代數(shù)式變形為4'+"-4=2把—_土，利用基本不等式

求得2a+b的取值范圍，再利用函數(shù)的單調(diào)性可得出其最小值.

【詳解】

函數(shù)/(x)=|lnx|滿足/(。)=/(》)，..(lna)2=(lnZ?)2,即(Ina-lnb)(lna+lnb)=0,

0<a<b9:.lna<inbf:.]na-]-lnb=09即ln(〃Z?)=0naZ?=l,

/.l=ab>a29則0<a<1,

由基本不等式得2a+6=2a+工22)2a?工=20,當(dāng)且僅當(dāng)。=工時(shí)，等號成立.

a\a2

4a2+b2-4(2^+/?)2-4ab-4(2^+/?)2-82a+b4

4〃+2b2(2〃+b)2(2a+b)22a+b

l4/+〃2_4?A/24

所以，當(dāng)2〃+b=2挺時(shí)，取得最小值上一_7=。.

4〃+2/722。2

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查代數(shù)式最值的計(jì)算，涉及對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、基本不等式以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

10、D

【解析】

先把Z-(l+i)=2i+l變形為2=型，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，求出口得到其坐標(biāo)可得答案.

1+Z

【詳解】

2z+l(2z+l)(l-z)_3+z_31

解：由z.(l+,)=2i+l,"

77r(1+z)(l-z)222

-3

所以z=7-i,其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為,在第四象限

22122

故選：D

【點(diǎn)睛】

此題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

11、C

【解析】

因?yàn)橹比庵校珹B=3,AC=4,AAi=12,AB±AC,所以5c=5,且3c為過底面45c的截面圓的直徑.取8c

中點(diǎn)D,則0。，底面ABC,則0在側(cè)面BCG51內(nèi)，矩形BCGB的對角線長即為球直徑，所以2R=也］學(xué)=

13

13,即nnA=—

2

12、C

【解析】

7T

利用誘導(dǎo)公式得cos(2019?+a)=-cos。，sin(--2o)=cos2。，再利用倍角公式，即可得答案.

2

【詳解】

由cos(2019^+(z)=~~~可得cos(乃+a)=cosa=~~，

sin弓-2a)=cos2a=2cos2a-l=2xg-l=—

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查誘導(dǎo)公式、倍角公式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)

注意三角函數(shù)的符號.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、3

5

【解析】

聯(lián)立直線與拋物線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用定積分求出陰影部分的面積，利用梯形的面積公式求出SABCP，最后根

據(jù)幾何概型的概率公式計(jì)算可得；

【詳解】

y=X2fx=2[x=—1

解：聯(lián)立.解得，或,即3(2,4),C(-l,l),D(-l,0),A(2,0),

y=x+2[y=4[y=1i

2

?'?S陰影=j[(x+2)_x2]dx=gx2+2x_13|j=2,=(l+4)x3x1=y

—l

9

.p=S陰影=2=3

^ABCD”5

2

3

故答案為：-

【點(diǎn)睛】

本題考查幾何概型的概率公式的應(yīng)用以及利用微積分基本定理求曲邊形的面積，屬于中檔題.

14、2722

【解析】

根據(jù)正弦定理直接求出AC,利用三角形的邊表示向量AP，然后利用向量的數(shù)量積求解AP-BC即可.

【詳解】

7171

ABC中，AB=2,B=—,C=—,

46

AC_AB

sinBsinC'

可得AC=2后

因?yàn)辄c(diǎn)P是邊BC的中點(diǎn)，

111212

所以AP.BC.lAB+AO.BCFAB+ACXAC-ABhQAC--AB

=-X(2A/2)2--X22=2

22

故答案為：2后；2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角形的解法，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

9

15、-

2

【解析】

由自變量所在定義域范圍，代入對應(yīng)解析式，再由對數(shù)加減法運(yùn)算法則與對數(shù)恒等式關(guān)系分別求值再相加，即為答案.

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)z)，x<l,貝!]/(-2)=]+[082[2_(-2)]=[+[0824=3

因?yàn)閘og23>log？2=1,貝Uy(log23)=2夠3-1=2”*=|

3Q

故〃-2)+〃皿3)=3+5=5

9

故答案為：一

2

【點(diǎn)睛】

本題考查分段函數(shù)求值，屬于簡單題.

16、-

4

【解析】

由已知可知直線4立-4y-左=0過拋物線y=苫的焦點(diǎn)，求出弦的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離，進(jìn)一步得到弦A6

的中點(diǎn)到直線x+L=0的距離.

2

【詳解】

解:如圖，

直線4Ax—4y—左=0過定點(diǎn)(^,0),

4

而拋物線的焦點(diǎn)產(chǎn)為(；，0),

二弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線無=的距離為占明=2,

42

119

則弦的中點(diǎn)到直線X+--0的距離等于2+—=

244

9

故答案為：—.

4

y

(?I/

?I

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)證明見解析；(2)旦

2

【解析】

(1)連接43,連接6C'、B'C交于點(diǎn)E,并連接砂，則點(diǎn)E為6C的中點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)得出砂7/43,

MN//AB,利用空間平行線的傳遞性可得出即//MN,然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；

(2)推導(dǎo)出5,產(chǎn)，平面AAC'C,并計(jì)算出3N,由此可得出8'到平面AA'C'C的距離為？尸，即可得解.

【詳解】

(1)連接A'3,連接BC'、B'C交于點(diǎn)E,并連接所，則點(diǎn)E為的中點(diǎn)，

E、歹分別為BC'、4C'的中點(diǎn)，則所〃同理可得ACW/A5,，即〃為W.

加乂仁平面。/咕'，EFu平面CFB',因此，MN//平面CFB'；

(2)由于C在底面48'。'的投影為P，.?.CE_L平面A'5'C',

5'戶u平面A'5'C',，〃/，。廠，

為正三角形，且尸為AC'的中點(diǎn)，.?.JBN_LAC',

CF\4。'=歹，.?.B尸，平面A4'C'C,且5牙=45'應(yīng)11二=走，

32

【點(diǎn)睛】

本題考查線面平行的證明，同時(shí)也考查了點(diǎn)到平面距離的計(jì)算，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.

18、(1)30；(2)E(Y)>E(X),比較劃算.

【解析】

(1)由頻率和為1求出。=0.032,根據(jù)〃的值求出保費(fèi)的平均值3.35%,然后解一元一次不等式3.35x2100即可

求出結(jié)果，最后取近似值即可；

(2)分別計(jì)算參保與不參保時(shí)的期望E(X),E(Y),比較大小即可.

【詳解】

解：(1)由(0.007+0.016+a+0.025+0.020)xl0=l,

解得a—0.032.

保險(xiǎn)公司每年收取的保費(fèi)為：

10000(0.07%+0.16x2%+0.32x3.%+0.25x4^+0.20x5%)=10000x3.35%

???要使公司不虧本，貝!110000x3.35%之1000000,即3.35x2100

解得X2出土29.85,

3.35

/.%=30.

(2)①若該老人購買了此項(xiàng)保險(xiǎn)，則X的取值為150,2150.

491

P(X=150)=-,P(X=2150)=-

491

AE(X)=150x——+2150x—=147+43=190(元).

②若該老人沒有購買此項(xiàng)保險(xiǎn)，則F的取值為0.12000.

49i

尸(丫=°)=而，尸(y=i2ooo)=%

491

...E(y)=0X—+12000X—=240(%).

5050

E(Y)>E(X)

???年齡為66的該老人購買此項(xiàng)保險(xiǎn)比較劃算.

【點(diǎn)睛】

本題考查學(xué)生利用相關(guān)統(tǒng)計(jì)圖表知識處理實(shí)際問題的能力，掌握頻率分布直方圖的基本性質(zhì)，知道數(shù)學(xué)期望是平均數(shù)

的另一種數(shù)學(xué)語言，為容易題.

e.

19、(1)O—+1,4-00(2)(e—1,2).

2

【解析】

(1)求出g'(x)=/(x),再求/'(x)20,xe[0,1]恒成立，以及-0)<0,%6[0』]恒成立時(shí)，。的取值范圍；

(2)由已知g6=g(0)=。，g(x)在區(qū)間(0/)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為/(x)=g'(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn),

由(1)的結(jié)論對。分類討論，根據(jù)/Xx)單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，即可求出結(jié)論.

【詳解】

(1)由題意得〃x)=e'—2(a—l)x—6,則/'(x)=e'—2(a—1),

當(dāng)函數(shù)/(X)在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞增時(shí)，

f\x)=ex-2(a-1)..0在區(qū)間［0,1］上恒成立.

A2(a-l)?(ev).=1(其中xe［0,l］),解得巴"

當(dāng)函數(shù)7(%)在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞減時(shí)，

/'(x)="—2(。-1)?0在區(qū)間［0,1］上恒成立，

A2(a-l)../ev)=e(其中XG［0,1］),解得a.S+1.

\/max2

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是1-*T°|+

(2)gr(x)=ex-2(a-l)x-b=/(x).

由g(0)=g(l)=0,知g(%)在區(qū)間(0,1)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，

設(shè)該零點(diǎn)為七,則g(x)在區(qū)間(0,毛)內(nèi)不單調(diào).

/(X)在區(qū)間(0,%)內(nèi)存在零點(diǎn)國，

同理/(X)在區(qū)間(5,1)內(nèi)存在零點(diǎn)x2.

...于(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn).

由(1)易知，當(dāng)小;時(shí)，“X)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，

故在區(qū)間(0,1)內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意.

當(dāng)。…￡+1時(shí)，/(無)在區(qū)間［01］上單調(diào)遞減，

2

故在區(qū)間(0,1)內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，

3e

.?/<a<￡+l.令((x)=0,得無=ln(2a—2)e(0,l),

22

二函數(shù)/Xx)在區(qū)間(0,ln(2a—2)］上單凋遞減，

在區(qū)間(ln(2a-2),1)上單調(diào)遞增.

記的兩個(gè)零點(diǎn)為%<%)，

/.X］e(0,ln(2a-2)］,x2G(ln(2a—2),1),必有/(0)=1-Z?>0,/(I)-e-2a+2-b>Q.

由g(D=。，得a+〃=e.

I"+1-(a+Z?)=y/e+l-e<0

XV〃0)=a—e+l>0,/(l)=2—a>0,

e—1<a<2.

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍為(e-1,2).

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)問題，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于較

難題.

33

20、(1)｛x|x?—或x2—｝；(2)-l<a<2.

22

【解析】

%<-1f-l<x<lfx>l

(D利用絕對值的幾何意義，將不等式轉(zhuǎn)化為不等式cc，或c,或cc，求解.

-2x-2>l1^0>1[2x-2>l

(2)根據(jù)f(x)Na2-a-2在R上恒成立，由絕對值三角不等式求得/(%)的最小值即可.

【詳解】

(1)原不等式等價(jià)于

龍〈一1[-1<%<1[%>1

<或<或<,

-2x-2>l[0>1[2%-2>1

33

解得：x<—或彳，

22

33

...不等式的解集為｛x|x?Q或

(2)因?yàn)?(%)2/一。_2在尺上恒成立,

而/(尤)=|x—l|+|x+l|—2日(x—l)—(x+l)|—2=0,

所以a—2<0,m-l<a<2,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是—1WaW2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查絕對值不等式的解法和不等式恒成立問題，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

21、(1)a.=2〃，；(2)北+

【解析】

(1)令〃=1求出q的值，然后由〃22,得出a“=S“-S,i，然后檢驗(yàn)用是否符合巴在〃22時(shí)的表達(dá)式，即可得

出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，并設(shè)數(shù)列出｝的公比為4,根據(jù)題意列出乙和4的方程組，解出這兩個(gè)量，然后利用等比數(shù)

列的通項(xiàng)公式可求出以；

(2)求出數(shù)列也,｝的前幾項(xiàng)和紇，然后利用分組求和法可求出T”.

【詳解】

(1)當(dāng)”=1時(shí)，q=S]=2,

當(dāng)“N2時(shí)，=S〃—S“T=("+7。一(n-1)2+(n-l)=2n.

%=2也適合上式，所以，a“=2〃("cN*).

4="4