2025年中考數(shù)學(xué)大題與幾何壓軸題：四邊形壓軸（講練）（原卷版）

專(zhuān)題11四邊形壓軸

目錄

考情分析

考點(diǎn)四邊形壓軸

【真題研析?規(guī)律探尋】

題型01與四邊形有關(guān)的多結(jié)論問(wèn)題（選/填）

題型02與四邊形有關(guān)的平移問(wèn)題

題型03與四邊形有關(guān)的翻折問(wèn)題

題型04與四邊形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題

題型05與四邊形有關(guān)的最值問(wèn)題

題型06與四邊形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

題型07與四邊形有關(guān)的新定義問(wèn)題

題型08與四邊形有關(guān)的閱讀理解問(wèn)題

題型09與四邊形有關(guān)的存在性問(wèn)題

題型10四邊形與圓綜合

題型11四邊形與函數(shù)綜合

【核心提煉?查漏補(bǔ)缺】

【好題必刷?強(qiáng)化落實(shí)】

考點(diǎn)要求命題預(yù)測(cè)

在中考中，涉及四邊形壓軸題的相關(guān)題目單獨(dú)出題的可能性還是比較大的，多以

四邊形壓軸選擇、填空題型出現(xiàn)，但是四邊形結(jié)合其它幾何圖形、函數(shù)出成壓軸題的幾率特別大,

所占分值也是比較多，屬于是中考必考的中等偏上難度的考點(diǎn).

考點(diǎn)四邊形壓軸

真題研析-規(guī)律探尋

題型01與四邊形有關(guān)的多結(jié)論問(wèn)題（選/填）

1.（2023?黑龍江?中考真題）如圖，在正方形4BCD中，點(diǎn)E,F分別是力上的動(dòng)點(diǎn)，且AF1DE,垂足為

G,將△ABF沿AF翻折，得到交DE于點(diǎn)尸，對(duì)角線(xiàn)8。交4F于點(diǎn)“，,下列

結(jié)論正確的是：?XF=DE；②BMIIDE；③若CM1FM,則四邊形是菱形；④當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到4B的

中點(diǎn)，tanzSWF=2V2：@EP-DH=2AG-BH.（）

A.①②③④⑤B.①②③⑤C.①②③D.①②⑤

2.（2022?湖北黃岡?中考真題）如圖，在矩形/BCD中，AB<BC,連接/C,分別以點(diǎn)，，C為圓心，大

于14c的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)N,直線(xiàn)分別交4D,BC于點(diǎn)、E,

F.下列結(jié)論：

①四邊形/EC尸是菱形；

②UFB=2UCB；

③AC,EF=CF,CD；

④若/斤平分N5/C,貝l|CF=22尸.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

3.（2021?四川南充?中考真題）如圖，在矩形/BCD中，715=15,BC=20,把邊沿對(duì)角線(xiàn)5D平移,

點(diǎn)4,9分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)/,B.給出下列結(jié)論：①順次連接點(diǎn)A,B',C,。的圖形是平行四邊形；②點(diǎn)C到

它關(guān)于直線(xiàn)A4'的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的距離為48；③AC—8'C的最大值為15；④AC+B'C的最小值為9g.其中正

確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

4.2023?山東日照?中考真題）如圖,矩形力BCD中，AB=6,2D=8,點(diǎn)P在對(duì)角線(xiàn)BO上，過(guò)點(diǎn)尸作MN1BD,

交邊4。，BC于點(diǎn)、M,N,過(guò)點(diǎn)M作ME12。交8。于點(diǎn)E,連接EN,BM,DN.下列結(jié)論：①EM=EN；②

四邊形MBND的面積不變；③當(dāng)2M:MD=1:2時(shí)，SAMPE=1|；④+MN+N。的最小值是20.其中所

有正確結(jié)論的序號(hào)是.

題型02與四邊形有關(guān)的平移問(wèn)題

1.（2023?吉林?中考真題）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖①，剪兩張對(duì)邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，使重合

的部分構(gòu)成一個(gè)四邊形EFMN.轉(zhuǎn)動(dòng)其中一張紙條，發(fā)現(xiàn)四邊形EFMN總是平行四邊形其中判定的依據(jù)是

【探究提升】取兩張短邊長(zhǎng)度相等的平行四邊形紙條力BCD和EFGH（ABVBC,FGWBC）,其中=

4B=4FEH,將它們按圖②放置，E尸落在邊BC上，F(xiàn)G,EH與邊4。分別交于點(diǎn)跖N.求證：口EFMN是

菱形.

【結(jié)論應(yīng)用】保持圖②中的平行四邊形紙條48C。不動(dòng)，將平行四邊形紙條EFGH沿BC或C2平移，且EF始

終在邊BC上.當(dāng)MD=MG時(shí)，延長(zhǎng)CD,HG交于點(diǎn)尸，得至U圖③.若四邊形ECPH的周長(zhǎng)為40,sinzFFG=

2.（2023?天津?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，菱形4BCD的頂點(diǎn)2（倔0）,B（0,l）,D（2g,l）,

（1）填空：如圖①，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)G的坐標(biāo)為；

（2）將矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形EPG7?,點(diǎn)E,F,G,H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為E'F',G',

H'.設(shè)矩形EFG7?與菱形4BCD重疊部分的面積為S.

①如圖②，當(dāng)邊EF與相交于點(diǎn)河、邊G7T與BC相交于點(diǎn)N,且矩形EFG7T與菱形4BCD重疊部分為五

邊形時(shí)，試用含有，的式子表示S,并直接寫(xiě)出/的取值范圍：

②當(dāng)竽WtW竽時(shí)，求S的取值范圍（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）.

3.（2021?山東淄博?中考真題）己知：在正方形4BCD的邊BC上任取一點(diǎn)尸，連接4F,一條與4F垂直的直

線(xiàn)I（垂足為點(diǎn)P）沿力F方向，從點(diǎn)4開(kāi)始向下平移，交邊4B于點(diǎn)E.

（1）當(dāng)直線(xiàn)I經(jīng)過(guò)正方形4BCD的頂點(diǎn)。時(shí)，如圖1所示.求證：AE=BF；

（2）當(dāng)直線(xiàn)I經(jīng)過(guò)4F的中點(diǎn)時(shí)，與對(duì)角線(xiàn)BD交于點(diǎn)Q,連接FQ,如圖2所示.求N4FQ的度數(shù);

（3）直線(xiàn)/繼續(xù)向下平移，當(dāng)點(diǎn)P恰好落在對(duì)角線(xiàn)BD上時(shí)，交邊CD于點(diǎn)G,如圖3所示.設(shè)

AB-2,BF=x,DG=y,求y與x之間的關(guān)系式.

題型03與四邊形有關(guān)的翻折問(wèn)題

1.(2023?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題)如圖，將矩形2BCD(4D>4B)沿對(duì)角線(xiàn)BD翻折，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)。，以矩

形48CD的頂點(diǎn)4為圓心、r為半徑畫(huà)圓，04與相切于點(diǎn)E,延長(zhǎng)D4交。4于點(diǎn)尸，連接EF交4B于點(diǎn)

G.

⑴求證：BE=BG.

(2)當(dāng)r=l,4B=2時(shí)，求BC的長(zhǎng).

2.(2023?江蘇無(wú)錫?中考真題)如圖，四邊形力BCD是邊長(zhǎng)為4的菱形，乙4=60。，點(diǎn)Q為CD的中點(diǎn)，P為線(xiàn)

段2B上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將四邊形PBCQ沿PQ翻折得到四邊形PBCQ.

(1)當(dāng)NQPB=45。時(shí)，求四邊形BBC/的面積;

(2)當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段48上移動(dòng)時(shí)，設(shè)BP=x,四邊形的面積為S,求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.

3.(2023?山東煙臺(tái)?中考真題)【問(wèn)題背景】

如圖1,數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，學(xué)習(xí)小組進(jìn)行探究活動(dòng)，老師要求大家對(duì)矩形4BCD進(jìn)行如下操作：①分別以點(diǎn)

為圓心，以大于扭。的長(zhǎng)度為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E,F,作直線(xiàn)EF交BC于點(diǎn)0,連接力。；②將△力B。

沿2。翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)P處，作射線(xiàn)AP交CD于點(diǎn)Q.

【問(wèn)題提出】

在矩形ABCD中，AD=5,AB=3,求線(xiàn)段CQ的長(zhǎng).

【問(wèn)題解決】

經(jīng)過(guò)小組合作、探究、展示，其中的兩個(gè)方案如下：

方案一：連接0Q,如圖2.經(jīng)過(guò)推理、計(jì)算可求出線(xiàn)段CQ的長(zhǎng)；

方案二：將△ABO繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。至△RC。處，如圖3.經(jīng)過(guò)推理、計(jì)算可求出線(xiàn)段CQ的長(zhǎng).

請(qǐng)你任選其中一種方案求線(xiàn)段CQ的長(zhǎng).

4.（2023?四川達(dá)州?中考真題）⑴如圖①，在矩形4BCD的4B邊上取一點(diǎn)E,將△2DE沿DE翻折，使點(diǎn)

AP

2落在BC上4處，若4B=6,BC=10,求忘的值；

圖①圖②圖③

（2）如圖②，在矩形48CD的BC邊上取一點(diǎn)E,將四邊形力BED沿DE翻折，使點(diǎn)B落在DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上夕處,

若BC?￡1￡?=24,4B=6,求BE的值；

（3）如圖③，在△48C中，A.BAC=45°,XD1BC,垂足為點(diǎn)D/D=10/E=6,過(guò)點(diǎn)E作EF14D交4c于

點(diǎn)F,連接DF,且滿(mǎn)足NDFE=2NZMC,直接寫(xiě)出BD+21的值.

題型04與四邊形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題

1.（2023?遼寧阜新?中考真題）如圖，在正方形ABCD中，線(xiàn)段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到CE處，旋轉(zhuǎn)角為a,

點(diǎn)廠(chǎng)在直線(xiàn)DE上，且4D=AF,連接BF.

圖1圖2

⑴如圖1,當(dāng)0。＜戊＜90。時(shí)，

①求NB4F的大?。ㄓ煤琣的式子表示）.

②求證：EF=yfzBF.

（2）如圖2,取線(xiàn)段EF的中點(diǎn)G,連接4G,已知2B=2,請(qǐng)直接寫(xiě)出在線(xiàn)段CE旋轉(zhuǎn)過(guò)程中（0。＜。＜360。）

△4DG面積的最大值.

2.（2023?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形.如圖①，把一個(gè)含有45。角的三角尺

放在正方形4BCD中，使45。角的頂點(diǎn)始終與正方形的頂點(diǎn)C重合，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)三角尺時(shí)，45。角的兩邊CM,

CN始終與正方形的邊4。，4B所在直線(xiàn)分別相交于點(diǎn)M,N,連接MN,可得△0"村.

【探究一】如圖②，把△CDM繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△CBH,同時(shí)得到點(diǎn)“在直線(xiàn)力B上.求證：

/.CNM=4CNH；

【探究二】在圖②中，連接8。，分別交CM,CN于點(diǎn)E,F.求證：ACEFMCNM；

【探究三】把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線(xiàn)BD與三角尺45。角兩邊CM,CN分別交于點(diǎn)E,F.連接AC

交BD于點(diǎn)0,求怒的值.

3.（2023?浙江紹興?中考真題）在平行四邊形4BCD中（頂點(diǎn)48,C,D按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校?/p>

4

AB=1240=10/B為銳角，且sinB=

圖1

（1）如圖1,求4B邊上的高CH的長(zhǎng).

（2）P是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)&D同時(shí)繞點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得點(diǎn)67,0.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)。落在射線(xiàn)C力上時(shí)，求BP的長(zhǎng).

②當(dāng)△40。是直角三角形時(shí)，求BP的長(zhǎng).

4.（2022?遼寧阜新?中考真題）己知，四邊形4BCD是正方形，△DEF繞點(diǎn)、D旋轉(zhuǎn)（DE＜AB）,

Z.EDF=90°,DE=DF,連接力E,CF.

(1)如圖1,求證：^\ADE=ACDF；

(2)直線(xiàn)力E與CF相交于點(diǎn)G.

①如圖2,8"146于點(diǎn)“，BN1CF于點(diǎn)N,求證：四邊形BMGN是正方形；

②如圖3,連接BG,若AB=4,DE=2,直接寫(xiě)出在△DEF旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，線(xiàn)段BG長(zhǎng)度的最小值.

題型05與四邊形有關(guān)的最值問(wèn)題

1.(2023?山東濟(jì)南?中考真題)在矩形4BCD中，AB=2,4D=2g，點(diǎn)E在邊BC上，將射線(xiàn)力E繞點(diǎn)力逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90。，交CD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,以線(xiàn)段力E,4G為鄰邊作矩形4EFG.

(1)如圖1,連接BD,求NBDC的度數(shù)和靛的值；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸在射線(xiàn)BD上時(shí)，求線(xiàn)段BE的長(zhǎng)；

(3)如圖3,當(dāng)EA=EC時(shí)，在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P,滿(mǎn)足PE=EF,連接P4PC,求PA+PC的最小值.

2.(2023?江蘇徐州?中考真題)【閱讀理解】如圖1,在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b,由勾股定理，得

222

AC=a+b,同理B￡)2=a2+b2,^AC2+BD2=2(^a2+b2y

【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2,四邊形4BCD為平行四邊形，若AB=a,BC=b,則上述結(jié)論是否依然成立？請(qǐng)加以判

斷，并說(shuō)明理由.

【拓展提升】如圖3,已知B。為△48C的一條中線(xiàn)，AB=a,BC=b,AC=c.求證：BO2=^--^.

【嘗試應(yīng)用】如圖4,在矩形4BCD中，若4B=8,BC=12,點(diǎn)尸在邊4D上，則PB2+PC2的最小值為

3.(2023?重慶?中考真題)如圖，在等邊△4BC中，4。，8。于點(diǎn)。，E為線(xiàn)段4。上一動(dòng)點(diǎn)(不與4。重

合)，連接BE,CE,將CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線(xiàn)段CF,連接4F.

圖2圖3

(1)如圖1,求證：^CBE=^CAF；

(2)如圖2,連接8F交4C于點(diǎn)G,連接。G,EF,EF與DG所在直線(xiàn)交于點(diǎn)H,求證：EH=FH；

(3)如圖3,連接BF交相于點(diǎn)G,連接DG,EG,將△力EG沿4G所在直線(xiàn)翻折至△ABC所在平面內(nèi)，得至lj△APG,

將△OEG沿DG所在直線(xiàn)翻折至△力BC所在平面內(nèi)，得到△OQG,連接PQ,QF.若4B=4,直接寫(xiě)出PQ+QF

的最小值.

4.(2023?山東淄博?中考真題)在數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，小紅以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開(kāi)展探究活動(dòng).

(1)操作判斷

小紅將兩個(gè)完全相同的矩形紙片ABCD和CEFG拼成"”形圖案，如圖①.

試判斷：ZsACF的形狀為.

(2)深入探究

小紅在保持矩形48CD不動(dòng)的條件下，將矩形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，若48=2,AD=4.

探究一：當(dāng)點(diǎn)尸恰好落在4。的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，設(shè)CG與DF相交于點(diǎn)M,如圖②.求△CMF的面積.

探究二：連接4E,取4E的中點(diǎn)H,連接如圖③.

求線(xiàn)段D”長(zhǎng)度的最大值和最小值.

GG

5.(2022?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題)已知，點(diǎn)E、F、G、”分別在正方形力BCD的邊AB、BC、CD、AD上.

(1)如圖1,當(dāng)四邊形EFGH是正方形時(shí)，求證：AE+AH=AB；

(2)如圖2,已知4E=au，CF=CG,當(dāng)4E、CF的大小有關(guān)系時(shí)，四邊形EFGH是矩形；

(3)如圖3,AE=DG,EG、FH相交于點(diǎn)。，OE:OF=4:5,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為16,長(zhǎng)為20,當(dāng)

△OEH的面積取最大值時(shí)，判斷四邊形EFG”是怎樣的四邊形？證明你的結(jié)論.

題型06與四邊形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

1.(2023?海南?中考真題)如圖1,在菱形力BCD中，對(duì)角線(xiàn)AC,BD相交于點(diǎn)。，AB=6,乙48c=60。,

點(diǎn)P為線(xiàn)段B。上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B,。重合)，連接CP并延長(zhǎng)交邊4B于點(diǎn)G,交04的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H.

⑴當(dāng)點(diǎn)G恰好為48的中點(diǎn)時(shí)，求證：△2GH三△BGC；

(2)求線(xiàn)段BD的長(zhǎng)；

HP

(3)當(dāng)△2PH為直角三角形時(shí)，求正的值；

(4)如圖2,作線(xiàn)段CG的垂直平分線(xiàn)，交BD于點(diǎn)N,交CG于點(diǎn)連接NG,在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，NCGN的度

數(shù)是否為定值？如果是，求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.(2023?廣東廣州?中考真題)如圖，在正方形2BC0中，￡是邊力D上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)力,。重合).邊BC

關(guān)于BE對(duì)稱(chēng)的線(xiàn)段為BF,連接4F.

(1)若N4BE=15。，求證：aaBF是等邊三角形；

(2)延長(zhǎng)凡4,交射線(xiàn)BE于點(diǎn)G；

①aBGF能否為等腰三角形？如果能，求此時(shí)N4BE的度數(shù)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；

②若48=g+逐，求486戶(hù)面積的最大值，并求此時(shí)2E的長(zhǎng).

3.(2023?吉林?中考真題)如圖，在正方形力BCD中，4B=4cm,點(diǎn)。是對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P,Q分別

從點(diǎn)4B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以lcm/s的速度沿邊4B向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以2cm/s的速度沿折線(xiàn)BC—CD向終

點(diǎn)。勻速運(yùn)動(dòng).連接P。并延長(zhǎng)交邊CD于點(diǎn)M,連接Q。并延長(zhǎng)交折線(xiàn)ZM—4B于點(diǎn)N,連接PQ,QM,MN,NP,

得到四邊形PQMN.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s)(0<x<4),四邊形PQMN的面積為y(cm?)

(1)BP的長(zhǎng)為cm,CM的長(zhǎng)為cm.(用含x的代數(shù)式表示)

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍.

(3)當(dāng)四邊形PQMN是軸對(duì)稱(chēng)圖形時(shí)，直接寫(xiě)出久的值.

4.(2022?四川資陽(yáng)?中考真題)如圖，平行四邊形4BCD中，4B=5,BC=10,BC邊上的高4M=4,點(diǎn)、E為BC

邊上的動(dòng)點(diǎn)(不與3、C重合，過(guò)點(diǎn)E作直線(xiàn)4B的垂線(xiàn)，垂足為尸，連接DE、DF.

(1)求證：AABM-AEBF；

(2)當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，求DE的長(zhǎng)；

(3)設(shè)BE=乂的面積為乃求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值，最大值是多

少？

題型07與四邊形有關(guān)的新定義問(wèn)題

1.（2023?江蘇?中考真題）綜合與實(shí)踐

定義：將寬與長(zhǎng)的比值為亞尹（n為正整數(shù)）的矩形稱(chēng)為幾階奇妙矩形.

（1）概念理解：

當(dāng)n=l時(shí)，這個(gè)矩形為1階奇妙矩形，如圖（1）,這就是我們學(xué)習(xí)過(guò)的黃金矩形，它的寬（4。）與長(zhǎng)（CD）

的比值是.

（2）操作驗(yàn)證：

用正方形紙片4BCD進(jìn)行如下操作（如圖（2））：

第一步：對(duì)折正方形紙片，展開(kāi)，折痕為EE連接CE；

第二步：折疊紙片使CD落在CE上，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)“，展開(kāi)，折痕為CG；

第三步：過(guò)點(diǎn)G折疊紙片，使得點(diǎn)2、B分別落在邊力。、BC上，展開(kāi)，折痕為GK.

試說(shuō)明：矩形GDCK是1階奇妙矩形.

AB

DC

圖⑴圖（3）圖（4）

（3）方法遷移：

用正方形紙片4BCD折疊出一個(gè)2階奇妙矩形.要求：在圖（3）中畫(huà)出折疊示意圖并作簡(jiǎn)要標(biāo)注.

（4）探究發(fā)現(xiàn)：

小明操作發(fā)現(xiàn)任一個(gè)n階奇妙矩形都可以通過(guò)折紙得到.他還發(fā)現(xiàn)：如圖（4）,點(diǎn)E為正方形4BCD邊4B上

（不與端點(diǎn)重合）任意一點(diǎn)，連接CE,繼續(xù)Q）中操作的第二步、第三步，四邊形4GHE的周長(zhǎng)與矩形GDCK

的周長(zhǎng)比值總是定值.請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)定值，并說(shuō)明理由.

2.（2023?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，當(dāng)點(diǎn)N在圖形加?的內(nèi)部，或在圖形M

上，且點(diǎn)N的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等時(shí)，則稱(chēng)點(diǎn)N為圖形M的“夢(mèng)之點(diǎn)”.

4

3

D

-4-3-2T1O1234x

燈一

-2-C

—3-

-4-

圖①

(1)如圖①，矩形ABC。的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是4(一1,2),C(3,—1),。(3,2),在點(diǎn)M2(2,2),

“3(3,3)中，是矩形4BCD“夢(mèng)之點(diǎn)”的是；

(2)點(diǎn)G(2,2)是反比例函數(shù)月=§圖象上的一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”，則該函數(shù)圖象上的另一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”〃的坐標(biāo)是

，直線(xiàn)GH的解析式是y2=.當(dāng)月＞、2時(shí)，x的取值范圍是.

⑶如圖②，已知點(diǎn)8是拋物線(xiàn)丫=—#+%+?上的“夢(mèng)之點(diǎn)，，，點(diǎn)。是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，連接AC,AB,

BC,判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由.

3.(2020?湖南益陽(yáng)?中考真題)定義：若四邊形有一組對(duì)角互補(bǔ)，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直

角，像這樣的圖形稱(chēng)為“直角等鄰對(duì)補(bǔ)”四邊形，簡(jiǎn)稱(chēng)“直等補(bǔ)”四邊形，根據(jù)以上定義，解決下列問(wèn)題：

(1)如圖1,正方形2BCD中，E是CD上的點(diǎn)，將/BCE繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使BC與B4重合，此時(shí)點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F在

ZM的延長(zhǎng)線(xiàn)上，則四邊形BEDF為“直等補(bǔ)”四邊形，為什么？

(2)如圖2,已知四邊形2BCD是“直等補(bǔ)”四邊形，AB=BC=5,CD=1,點(diǎn)B到直線(xiàn)4D的距

離為BE.

①求BE的長(zhǎng).

②若M、N分另I」是4B、4。邊上的動(dòng)點(diǎn)，求4MNC周長(zhǎng)的最小值.

1

題型08與四邊形有關(guān)的閱讀理解問(wèn)題

1.(2023?山西?中考真題)閱讀與思考：下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

瓦里尼翁平行四邊形

我們知道，如圖1,在四邊形4BCD中，點(diǎn)E,F,G,H分別是邊4B,BC,C。，。力的中點(diǎn)，順次連接E,F,G,H,得到

的四邊形EFGH是平行四邊形.

圖1

我查閱了許多資料，得知這個(gè)平行四邊形EFGH被稱(chēng)為瓦里尼翁平行四邊形.瓦里尼翁

(yaringnon,Pierrel654—1722)是法國(guó)數(shù)學(xué)家、力學(xué)家.瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關(guān)系密切.

①當(dāng)原四邊形的對(duì)角線(xiàn)滿(mǎn)足一定關(guān)系時(shí)，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形.

②瓦里尼翁平行四邊形的周長(zhǎng)與原四邊形對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度也有一定關(guān)系.

③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半.此結(jié)論可借助圖1證明如下：

證明：如圖2,連接2C,分別交于點(diǎn)P,Q,過(guò)點(diǎn)。作DM1AC于點(diǎn)M,交HG于點(diǎn)N.

分別為力的中點(diǎn)，.田G|MG"G=/C.(依據(jù)1)

圖2

端=羽「DG=GC,：.DN=NM吾DM.

?.?四邊形EFGH是瓦里尼翁平行四邊形，GF,^HP||GQ.

■：HG||AC,即HGIIPQ,

???四邊形"PQG是平行四邊形.(依據(jù)2)：.SaHPQG=HG-MN=^HG-DM.

'''^AADC=2^'=HG-DM,*s口HPQG=^ADC一同理，…

(1)填空：材料中的依據(jù)1是指：.

依據(jù)2是指：

(2)請(qǐng)用刻度尺、三角板等工具，畫(huà)一個(gè)四邊形2BCD及它的瓦里尼翁平行四邊形EFG”，使得四邊形EFGH為

矩形；(要求同時(shí)畫(huà)出四邊形4BCD的對(duì)角線(xiàn))

(3)在圖1中，分別連接4&BD得到圖3,請(qǐng)猜想瓦里尼翁平行四邊形EFG”的周長(zhǎng)與對(duì)角線(xiàn)AC,BD長(zhǎng)度的關(guān)

系，并證明你的結(jié)論.

圖3

2.(2022?貴州黔東南?中考真題)閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學(xué)問(wèn)題，一天楊老師給他這樣一個(gè)幾何問(wèn)題:

如圖，△48。和43。石都是等邊三角形，點(diǎn)4在。5上.

求證：以4E、AD,4C為邊的三角形是鈍角三角形.

(1)【探究發(fā)現(xiàn)】小明通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：連接DC,根據(jù)己知條件，可以證明DC=HE,AADC=120°,從而得

出△4DC為鈍角三角形，故以4E、AD,4C為邊的三角形是鈍角三角形.

請(qǐng)你根據(jù)小明的思路，寫(xiě)出完整的證明過(guò)程.

⑵【拓展遷移】如圖，四邊形48C。和四邊形BGFE都是正方形，點(diǎn)4在EG上.

①試猜想：以AE、AG,AC為邊的三角形的形狀，并說(shuō)明理由.

②若4。+4G2=10,試求出正方形4BCD的面積.

3.(2020?湖南湘潭?中考真題)閱讀材料：三角形的三條中線(xiàn)必交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)稱(chēng)為三角形的重心.

U)特例感知：如圖(一)，已知邊長(zhǎng)為2的等邊△48C的重心為點(diǎn)0,求aOBC與△ABC的面積.

⑵性質(zhì)探究：如圖(二)，已知△麗的重心為點(diǎn)。，請(qǐng)判斷篙瓷是否都為定值？如果是，分別求

出這兩個(gè)定值：如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)性質(zhì)應(yīng)用：如圖(三)，在正方形48CD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接8E交對(duì)角線(xiàn)4C于點(diǎn)M.

①若正方形2BCD的邊長(zhǎng)為4,求EM的長(zhǎng)度；

②若S^CME=1，求正方形4BCD的面積.

題型09與四邊形有關(guān)的存在性問(wèn)題

1.(2023?黑龍江?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形力。CB的邊。C在x軸上，乙4OC=60。，OC

的長(zhǎng)是一元二次方程4支一12=0的根，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線(xiàn)，交對(duì)角線(xiàn)OB于點(diǎn)D,直線(xiàn)4D分別交x軸

和y軸于點(diǎn)廠(chǎng)和點(diǎn)E,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)。以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿。。向終點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)廠(chǎng)以每

秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿FE向終點(diǎn)￡運(yùn)動(dòng).兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒.

(1)求直線(xiàn)4。的解析式.

(2)連接MN,求△MDN的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式.

(3)點(diǎn)N在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)0.使得以/,C,N,0為項(xiàng)點(diǎn)的四邊形是矩形.若

存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.

2.(2022?四川資陽(yáng)?中考真題)已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為4(1,4),且與x軸交于點(diǎn)B(—1,0).

⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)如圖，將二次函數(shù)圖象繞x軸的正半軸上一點(diǎn)P(m,O)旋轉(zhuǎn)180。，此時(shí)點(diǎn)/、2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C、

D.

①連結(jié)4B、BC、CD、DA,當(dāng)四邊形2BCD為矩形時(shí)，求加的值；

②在①的條件下，若點(diǎn)〃是直線(xiàn)X=M上一點(diǎn)，原二次函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)0,使得以點(diǎn)2、C、M、

。為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3.(2022?貴州安順?中考真題)如圖1,在矩形48CD中，48=10,AD=8,E是4。邊上的一點(diǎn)，連接CE,

將矩形48CD沿CE折疊，頂點(diǎn)。恰好落在4B邊上的點(diǎn)尸處，延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G.

(1)求線(xiàn)段4E的長(zhǎng)；

(2)求證四邊形。GFC為菱形；

(3)如圖2,M,N分別是線(xiàn)段CG,DG上的動(dòng)點(diǎn)(與端點(diǎn)不重合)，且NDMN=NDCM,設(shè)DN=久，是否存

在這樣的點(diǎn)N,使△DMN是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4.(2022?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題)同學(xué)們還記得嗎？圖①、圖②是人教版八年級(jí)下冊(cè)教材“實(shí)驗(yàn)與探究”中

我們研究過(guò)的兩個(gè)圖形.受這兩個(gè)圖形的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組提出了以下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你回答：

于點(diǎn)E,OCi交BC于點(diǎn)F,貝ME與BF的數(shù)量關(guān)系為；

(2)【問(wèn)題二】受圖①啟發(fā)，興趣小組畫(huà)出了圖③：直線(xiàn)小、幾經(jīng)過(guò)正方形2BCD的對(duì)稱(chēng)中心。，直線(xiàn)機(jī)分別

與4D、BC交于點(diǎn)E、F,直線(xiàn)n分別與48、CD交于點(diǎn)G、H,且mln,若正方形4BCD邊長(zhǎng)為8,求四邊形

0E4G的面積；

圖③

(3)【問(wèn)題三】受圖②啟發(fā)，興趣小組畫(huà)出了圖④：正方形CEFG的頂點(diǎn)G在正方形4BCD的邊CD上，頂點(diǎn)E

在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且BC=6,CE=2.在直線(xiàn)BE上是否存在點(diǎn)P,使aAPF為直角三角形？若存在，求出BP

的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由.

題型10四邊形與圓綜合

1.(2023?廣東?中考真題)綜合探究

如圖1,在矩形4BCD中Q4B>4D),對(duì)角線(xiàn)AC,BO相交于點(diǎn)0,點(diǎn)4關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為4,連接44,交BD

于點(diǎn)E,連接C4.

圖1圖2圖3

(1)求證：AAr1CAr；

(2)以點(diǎn)。為圓心，0E為半徑作圓.

①如圖2,00與CD相切，求證：44'=舊CA；

②如圖3,。。與C4相切，AD=1,求。。的面積.

2.(2023?上海?中考真題)如圖(1)所示，已知在△48C中，AB^AC,。在邊48上，點(diǎn)尸為邊。8中點(diǎn),

為以。為圓心，B。為半徑的圓分別交CB,47于點(diǎn)D,E,聯(lián)結(jié)EF交。。于點(diǎn)G.

圖⑴圖(2)

(1)如果OG=OG,求證：四邊形CEGD為平行四邊形；

(2)如圖(2)所示，聯(lián)結(jié)。M如果444。=90。/。/七二乙。。及4。=4,求邊08的長(zhǎng)；

(3)聯(lián)結(jié)BG,如果AOBG是以。B為腰的等腰三角形，且力。=。?，求器的值.

3.(2022?浙江舟山?中考真題)如圖1.在正方形4BCD中，點(diǎn)尸，〃分別在邊4D,上，連結(jié)力C,FH交

于點(diǎn)￡,已知CF=C”.

(1)線(xiàn)段AC與垂直嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)Z,H,尸的圓交”于點(diǎn)尸，連結(jié)PH交4c于點(diǎn)K.求證：詈=等.

(3)如圖3,在(2)的條件下，當(dāng)點(diǎn)K是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)時(shí)，求黑的值.

題型11四邊形與函數(shù)綜合

1.(2023?江蘇泰州?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系久。y中，點(diǎn)4(m,0),B(m—a,0)(a>m>0)的位置和

函數(shù)yi=?(x>0)、V2=*Q<0)的圖像如圖所示.以48為邊在X軸上方作正方形ABCD,力。邊與函數(shù)月

的圖像相交于點(diǎn)￡,邊與函數(shù)月、的圖像分別相交于點(diǎn)G、H,一次函數(shù)g的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)￡、G,與y

軸相交于點(diǎn)P,連接PH.

（l）m=2,a=4,求函數(shù)為的表達(dá)式及△PGH的面積；

（2）當(dāng)a、加在滿(mǎn)足a＞機(jī)＞0的條件下任意變化時(shí)，△PGH的面積是否變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）試判斷直線(xiàn)PH與BC邊的交點(diǎn)是否在函數(shù)及的圖像上？并說(shuō)明理由.

2.（2023?江蘇連云港?中考真題）【問(wèn)題情境建構(gòu)函數(shù)】

（1）如圖1,在矩形4BCD中，4B=4,M是CD的中點(diǎn)，AE1BM,垂足為E.設(shè)BC=x/E=y,試用含x的

代數(shù)式表示y.

【由數(shù)想形新知初探】

（2）在上述表達(dá)式中，y與英成函數(shù)關(guān)系，其圖像如圖2所示.若支取任意實(shí)數(shù)，此時(shí)的函數(shù)圖像是否具有

對(duì)稱(chēng)性？若有，請(qǐng)說(shuō)明理由，并在圖2上補(bǔ)全函數(shù)圖像.

【數(shù)形結(jié)合深度探究】

（3）在依取任意實(shí)數(shù)”的條件下，對(duì)上述函數(shù)繼續(xù)探究，得出以下結(jié)論：①函數(shù)值y隨尤的增大而增大；@

函數(shù)值y的取值范圍是一4五＜y＜4魚(yú)；③存在一條直線(xiàn)與該函數(shù)圖像有四個(gè)交點(diǎn)；④在圖像上存在四點(diǎn)

4、B、C、D,使得四邊形力BCD是平行四邊形.其中正確的是.（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

【抽象回歸拓展總結(jié)】

（4）若將（1）中的“4B=4”改成"4B=2k"，此時(shí)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是；一般地，當(dāng)k片。,x

取任意實(shí)數(shù)時(shí)，類(lèi)比一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的研究過(guò)程，探究此類(lèi)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)（直接寫(xiě)出3

條即可).

3.(2022?黑龍江齊齊哈爾?中考真題)綜合與探究

如圖，某一次函數(shù)與二次函數(shù)y="+mx+ri的圖象交點(diǎn)為/(-1,0),B(4,5).

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

(2)點(diǎn)C為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AC與BC的和最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為」

(3)點(diǎn)。為拋物線(xiàn)位于線(xiàn)段4?下方圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作DElx軸，交線(xiàn)段于點(diǎn)E,求線(xiàn)段長(zhǎng)度

的最大值；

(4)在(2)條件下，點(diǎn)M為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)尸為直線(xiàn)48上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，若以點(diǎn)

C,M,F,N為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo).

核心提煉?查漏補(bǔ)缺

1.平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系:

2.平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)

四邊形邊角對(duì)角線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性

平行四邊形對(duì)邊平行且相等對(duì)角相等兩條對(duì)角線(xiàn)互相平分中心對(duì)稱(chēng)

矩形對(duì)邊平行且相等四個(gè)角都是直角兩條對(duì)角線(xiàn)互相平分且相等軸對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng)

菱形對(duì)邊平行且四條對(duì)角相等兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分，且每軸對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng)

邊都相等一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角

正方形對(duì)邊平行且四條四個(gè)角都是直角兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分，且每軸對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng)

邊都相等一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角

3平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定

四邊形邊角對(duì)角線(xiàn)

平行四邊形1）兩組對(duì)邊分別平行兩組對(duì)角分別相等兩組對(duì)角線(xiàn)互相平分

2）兩組對(duì)邊分別相等

3）一組對(duì)邊平行且相等

矩形1）平行四邊形+一直角平行四邊形+兩條對(duì)角線(xiàn)相等

2）四邊形+三直角

菱形1）平行四邊形+一組鄰邊相等平行四邊形+兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂

2）四邊形+四條邊都相等直

正方形矩形+一組鄰邊相等菱形+一直角兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分且相等

的四邊形

一、單選題

1.（2023?廣西?中考真題）如圖，過(guò)y=§（久＞0）的圖象上點(diǎn)分別作x軸，y軸的平行線(xiàn)交y=—：的圖

象于8,。兩點(diǎn)，以4B,4。為鄰邊的矩形A8CD被坐標(biāo)軸分割成四個(gè)小矩形，面積分別記為S0S2,S3,

S4,若S2+S3+S4=|,貝冰的值為（）

x

A.4B.3C.2D.1

2.（2023?山東泰安?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtZkAOB的一條直角邊。B在x軸上，點(diǎn)/的

坐標(biāo)為（—6,4）；Rt^COD中，ZCOZ）=90°,0D=4V3,ND=30。，連接BC,點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，連接

AM.將RtaC。。以點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線(xiàn)段4M的最小值是（）

A.3B.6V2-4C.2V13-2D.2

3.（2023?四川遂寧?中考真題）如圖，在△ABC中，4B=10,BC=6,4c=8,點(diǎn)P為線(xiàn)段4B上的動(dòng)點(diǎn),

以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)/向點(diǎn)3移動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)3時(shí)停止.過(guò)點(diǎn)尸作PM1AC于點(diǎn)V、作PN1BC

于點(diǎn)N,連接MN,線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度y與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則函數(shù)圖象最低點(diǎn)E

的坐標(biāo)為（）

A.（5,5）B.（6,當(dāng)C.（第,管）D.仔,5）

二、填空題

4.Q023?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，在正方形4BCD中，K在邊CD上，BE交對(duì)角線(xiàn)4C于點(diǎn)RCM1.BE

于跖NCME的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)分別交CD,AC于點(diǎn)N,P,連接FN.下列結(jié)論：?SANPF-.SANPC=FM-.MC；

②CM=PN；@ENCD=EC-CF-④若EM=1,MB=4,貝!|PM=VL其中正確的是.

5.（2023?浙江臺(tái)州?中考真題）如圖，點(diǎn)C,。在線(xiàn)段4B上（點(diǎn)C在點(diǎn)4。之間），分別以4。，8c為邊向

同側(cè)作等邊三角形4DE與等邊三角形CBF,邊長(zhǎng)分別為a,b.CF與DE交于點(diǎn)〃，延長(zhǎng)4E,BF交于點(diǎn)G,AG

長(zhǎng)為c.

（1）若四邊形EHFG的周長(zhǎng)與的周長(zhǎng)相等，則a,b,c之間的等量關(guān)系為.

（2）若四邊形EHFG的面積與△0￡）//的面積相等，則a,b,c之間的等量關(guān)系為.

三、解答題

6.（2023?廣東深圳?中考真題）（1）如圖，在矩形力BCD中，E為4。邊上一點(diǎn)，連接BE,

①若BE=BC,過(guò)C作CF1BE交BE于點(diǎn)F,求證：AABEmAFCB；

②若S矩形ABCD=20時(shí)，則BE?CF=.

…-1

（2）如圖，在菱形ZBCD中，cos?l=-,過(guò)C作交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,過(guò)E作EF1AO交40于點(diǎn)F,

若S菱形/BCO=24時(shí),求E77-BC的值，

（3）如圖，在平行四邊形4BCD中，乙4=60。，AB=6,力D=5,點(diǎn)E在CD上，且CE=2,點(diǎn)尸為8c上一點(diǎn),

連接EF,過(guò)E作EG1EF交平行四邊形力BCD的邊于點(diǎn)G,若EF?EG=7遮時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出4G的長(zhǎng).

備用圖

7.（2023?湖南?中考真題）問(wèn)題情境：小紅同學(xué)在學(xué)習(xí)了正方形的知識(shí)后，進(jìn)一步進(jìn)行以下探究活動(dòng)：在

正方形48CD的邊BC上任意取一點(diǎn)G,以8G為邊長(zhǎng)向外作正方形BEFG,將正方形BEFG繞點(diǎn)8順時(shí)針旋

圖①圖②圖③

特例感知：

（1）當(dāng)BG在BC上時(shí)，連接DF,4C相交于點(diǎn)P,小紅發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P恰為。尸的中點(diǎn)，如圖①.針對(duì)小紅發(fā)現(xiàn)的

結(jié)論，請(qǐng)給出證明；

（2）小紅繼續(xù)連接EG,并延長(zhǎng)與DF相交，發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)恰好也是。尸中點(diǎn)尸，如圖②，根據(jù)小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，

請(qǐng)判斷aaPE的形狀，并說(shuō)明理由；

規(guī)律探究：

（3）如圖③，將正方形BEFG繞點(diǎn)3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,連接DF,點(diǎn)尸是DF中點(diǎn)，連接4P,EP,AE,4APE

的形狀是否發(fā)生改變？請(qǐng)說(shuō)明理由.

8.（2023?吉林長(zhǎng)春?中考真題）如圖①.在矩形力BCD.AB=3,AD=5,點(diǎn)E在邊BC上，且BE=2.動(dòng)

點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿折線(xiàn)EB—B4—力。以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，作"EQ=90。，EQ交邊4?；蜻匘C

于點(diǎn)Q,連續(xù)PQ.當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.（t>0）

AQDAPD

圖①圖②

（1）當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)B重合時(shí)，線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)為；

（2）當(dāng)點(diǎn)Q和點(diǎn)。重合時(shí)，求tan/PQE；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在邊4。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的形狀始終是等腰直角三角形.如圖②.請(qǐng)說(shuō)明理由；

（4）作點(diǎn)E關(guān)于直線(xiàn)PQ的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)尸，連接PF、QF,當(dāng)四邊