2025年中考數(shù)學(xué)大題與幾何壓軸題：四邊形壓軸（講練）（原卷版）

專題11四邊形壓軸

目錄

考情分析

考點四邊形壓軸

【真題研析?規(guī)律探尋】

題型01與四邊形有關(guān)的多結(jié)論問題（選/填）

題型02與四邊形有關(guān)的平移問題

題型03與四邊形有關(guān)的翻折問題

題型04與四邊形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題

題型05與四邊形有關(guān)的最值問題

題型06與四邊形有關(guān)的動點問題

題型07與四邊形有關(guān)的新定義問題

題型08與四邊形有關(guān)的閱讀理解問題

題型09與四邊形有關(guān)的存在性問題

題型10四邊形與圓綜合

題型11四邊形與函數(shù)綜合

【核心提煉?查漏補缺】

【好題必刷?強化落實】

考點要求命題預(yù)測

在中考中，涉及四邊形壓軸題的相關(guān)題目單獨出題的可能性還是比較大的，多以

四邊形壓軸選擇、填空題型出現(xiàn)，但是四邊形結(jié)合其它幾何圖形、函數(shù)出成壓軸題的幾率特別大,

所占分值也是比較多，屬于是中考必考的中等偏上難度的考點.

考點四邊形壓軸

真題研析-規(guī)律探尋

題型01與四邊形有關(guān)的多結(jié)論問題（選/填）

1.（2023?黑龍江?中考真題）如圖，在正方形4BCD中，點E,F分別是力上的動點，且AF1DE,垂足為

G,將△ABF沿AF翻折，得到交DE于點尸，對角線8。交4F于點“，,下列

結(jié)論正確的是：?XF=DE；②BMIIDE；③若CM1FM,則四邊形是菱形；④當(dāng)點E運動到4B的

中點，tanzSWF=2V2：@EP-DH=2AG-BH.（）

A.①②③④⑤B.①②③⑤C.①②③D.①②⑤

2.（2022?湖北黃岡?中考真題）如圖，在矩形/BCD中，AB<BC,連接/C,分別以點，，C為圓心，大

于14c的長為半徑畫弧，兩弧交于點N,直線分別交4D,BC于點、E,

F.下列結(jié)論：

①四邊形/EC尸是菱形；

②UFB=2UCB；

③AC,EF=CF,CD；

④若/斤平分N5/C,貝l|CF=22尸.

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

3.（2021?四川南充?中考真題）如圖，在矩形/BCD中，715=15,BC=20,把邊沿對角線5D平移,

點4,9分別對應(yīng)點/,B.給出下列結(jié)論：①順次連接點A,B',C,。的圖形是平行四邊形；②點C到

它關(guān)于直線A4'的對稱點的距離為48；③AC—8'C的最大值為15；④AC+B'C的最小值為9g.其中正

確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.2023?山東日照?中考真題）如圖,矩形力BCD中，AB=6,2D=8,點P在對角線BO上，過點尸作MN1BD,

交邊4。，BC于點、M,N,過點M作ME12。交8。于點E,連接EN,BM,DN.下列結(jié)論：①EM=EN；②

四邊形MBND的面積不變；③當(dāng)2M:MD=1:2時，SAMPE=1|；④+MN+N。的最小值是20.其中所

有正確結(jié)論的序號是.

題型02與四邊形有關(guān)的平移問題

1.（2023?吉林?中考真題）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖①，剪兩張對邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，使重合

的部分構(gòu)成一個四邊形EFMN.轉(zhuǎn)動其中一張紙條，發(fā)現(xiàn)四邊形EFMN總是平行四邊形其中判定的依據(jù)是

【探究提升】取兩張短邊長度相等的平行四邊形紙條力BCD和EFGH（ABVBC,FGWBC）,其中=

4B=4FEH,將它們按圖②放置，E尸落在邊BC上，F(xiàn)G,EH與邊4。分別交于點跖N.求證：口EFMN是

菱形.

【結(jié)論應(yīng)用】保持圖②中的平行四邊形紙條48C。不動，將平行四邊形紙條EFGH沿BC或C2平移，且EF始

終在邊BC上.當(dāng)MD=MG時，延長CD,HG交于點尸，得至U圖③.若四邊形ECPH的周長為40,sinzFFG=

2.（2023?天津?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點，菱形4BCD的頂點2（倔0）,B（0,l）,D（2g,l）,

（1）填空：如圖①，點C的坐標(biāo)為，點G的坐標(biāo)為；

（2）將矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形EPG7?,點E,F,G,H的對應(yīng)點分別為E'F',G',

H'.設(shè)矩形EFG7?與菱形4BCD重疊部分的面積為S.

①如圖②，當(dāng)邊EF與相交于點河、邊G7T與BC相交于點N,且矩形EFG7T與菱形4BCD重疊部分為五

邊形時，試用含有，的式子表示S,并直接寫出/的取值范圍：

②當(dāng)竽WtW竽時，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）.

3.（2021?山東淄博?中考真題）己知：在正方形4BCD的邊BC上任取一點尸，連接4F,一條與4F垂直的直

線I（垂足為點P）沿力F方向，從點4開始向下平移，交邊4B于點E.

（1）當(dāng)直線I經(jīng)過正方形4BCD的頂點。時，如圖1所示.求證：AE=BF；

（2）當(dāng)直線I經(jīng)過4F的中點時，與對角線BD交于點Q,連接FQ,如圖2所示.求N4FQ的度數(shù);

（3）直線/繼續(xù)向下平移，當(dāng)點P恰好落在對角線BD上時，交邊CD于點G,如圖3所示.設(shè)

AB-2,BF=x,DG=y,求y與x之間的關(guān)系式.

題型03與四邊形有關(guān)的翻折問題

1.(2023?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題)如圖，將矩形2BCD(4D>4B)沿對角線BD翻折，C的對應(yīng)點為點。，以矩

形48CD的頂點4為圓心、r為半徑畫圓，04與相切于點E,延長D4交。4于點尸，連接EF交4B于點

G.

⑴求證：BE=BG.

(2)當(dāng)r=l,4B=2時，求BC的長.

2.(2023?江蘇無錫?中考真題)如圖，四邊形力BCD是邊長為4的菱形，乙4=60。，點Q為CD的中點，P為線

段2B上的動點，現(xiàn)將四邊形PBCQ沿PQ翻折得到四邊形PBCQ.

(1)當(dāng)NQPB=45。時，求四邊形BBC/的面積;

(2)當(dāng)點P在線段48上移動時，設(shè)BP=x,四邊形的面積為S,求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.

3.(2023?山東煙臺?中考真題)【問題背景】

如圖1,數(shù)學(xué)實踐課上，學(xué)習(xí)小組進(jìn)行探究活動，老師要求大家對矩形4BCD進(jìn)行如下操作：①分別以點

為圓心，以大于扭。的長度為半徑作弧，兩弧相交于點E,F,作直線EF交BC于點0,連接力。；②將△力B。

沿2。翻折，點B的對應(yīng)點落在點P處，作射線AP交CD于點Q.

【問題提出】

在矩形ABCD中，AD=5,AB=3,求線段CQ的長.

【問題解決】

經(jīng)過小組合作、探究、展示，其中的兩個方案如下：

方案一：連接0Q,如圖2.經(jīng)過推理、計算可求出線段CQ的長；

方案二：將△ABO繞點。旋轉(zhuǎn)180。至△RC。處，如圖3.經(jīng)過推理、計算可求出線段CQ的長.

請你任選其中一種方案求線段CQ的長.

4.（2023?四川達(dá)州?中考真題）⑴如圖①，在矩形4BCD的4B邊上取一點E,將△2DE沿DE翻折，使點

AP

2落在BC上4處，若4B=6,BC=10,求忘的值；

圖①圖②圖③

（2）如圖②，在矩形48CD的BC邊上取一點E,將四邊形力BED沿DE翻折，使點B落在DC的延長線上夕處,

若BC?￡1￡?=24,4B=6,求BE的值；

（3）如圖③，在△48C中，A.BAC=45°,XD1BC,垂足為點D/D=10/E=6,過點E作EF14D交4c于

點F,連接DF,且滿足NDFE=2NZMC,直接寫出BD+21的值.

題型04與四邊形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題

1.（2023?遼寧阜新?中考真題）如圖，在正方形ABCD中，線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)到CE處，旋轉(zhuǎn)角為a,

點廠在直線DE上，且4D=AF,連接BF.

圖1圖2

⑴如圖1,當(dāng)0。＜戊＜90。時，

①求NB4F的大小（用含a的式子表示）.

②求證：EF=yfzBF.

（2）如圖2,取線段EF的中點G,連接4G,已知2B=2,請直接寫出在線段CE旋轉(zhuǎn)過程中（0。＜。＜360。）

△4DG面積的最大值.

2.（2023?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形.如圖①，把一個含有45。角的三角尺

放在正方形4BCD中，使45。角的頂點始終與正方形的頂點C重合，繞點C旋轉(zhuǎn)三角尺時，45。角的兩邊CM,

CN始終與正方形的邊4。，4B所在直線分別相交于點M,N,連接MN,可得△0"村.

【探究一】如圖②，把△CDM繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到△CBH,同時得到點“在直線力B上.求證：

/.CNM=4CNH；

【探究二】在圖②中，連接8。，分別交CM,CN于點E,F.求證：ACEFMCNM；

【探究三】把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線BD與三角尺45。角兩邊CM,CN分別交于點E,F.連接AC

交BD于點0,求怒的值.

3.（2023?浙江紹興?中考真題）在平行四邊形4BCD中（頂點48,C,D按逆時針方向排列），

4

AB=1240=10/B為銳角，且sinB=

圖1

（1）如圖1,求4B邊上的高CH的長.

（2）P是邊上的一動點，點&D同時繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。得點67,0.

①如圖2,當(dāng)點。落在射線C力上時，求BP的長.

②當(dāng)△40。是直角三角形時，求BP的長.

4.（2022?遼寧阜新?中考真題）己知，四邊形4BCD是正方形，△DEF繞點、D旋轉(zhuǎn)（DE＜AB）,

Z.EDF=90°,DE=DF,連接力E,CF.

(1)如圖1,求證：^\ADE=ACDF；

(2)直線力E與CF相交于點G.

①如圖2,8"146于點“，BN1CF于點N,求證：四邊形BMGN是正方形；

②如圖3,連接BG,若AB=4,DE=2,直接寫出在△DEF旋轉(zhuǎn)的過程中，線段BG長度的最小值.

題型05與四邊形有關(guān)的最值問題

1.(2023?山東濟南?中考真題)在矩形4BCD中，AB=2,4D=2g，點E在邊BC上，將射線力E繞點力逆時

針旋轉(zhuǎn)90。，交CD延長線于點G,以線段力E,4G為鄰邊作矩形4EFG.

(1)如圖1,連接BD,求NBDC的度數(shù)和靛的值；

(2)如圖2,當(dāng)點尸在射線BD上時，求線段BE的長；

(3)如圖3,當(dāng)EA=EC時，在平面內(nèi)有一動點P,滿足PE=EF,連接P4PC,求PA+PC的最小值.

2.(2023?江蘇徐州?中考真題)【閱讀理解】如圖1,在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b,由勾股定理，得

222

AC=a+b,同理B￡)2=a2+b2,^AC2+BD2=2(^a2+b2y

【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2,四邊形4BCD為平行四邊形，若AB=a,BC=b,則上述結(jié)論是否依然成立？請加以判

斷，并說明理由.

【拓展提升】如圖3,已知B。為△48C的一條中線，AB=a,BC=b,AC=c.求證：BO2=^--^.

【嘗試應(yīng)用】如圖4,在矩形4BCD中，若4B=8,BC=12,點尸在邊4D上，則PB2+PC2的最小值為

3.(2023?重慶?中考真題)如圖，在等邊△4BC中，4。，8。于點。，E為線段4。上一動點(不與4。重

合)，連接BE,CE,將CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段CF,連接4F.

圖2圖3

(1)如圖1,求證：^CBE=^CAF；

(2)如圖2,連接8F交4C于點G,連接。G,EF,EF與DG所在直線交于點H,求證：EH=FH；

(3)如圖3,連接BF交相于點G,連接DG,EG,將△力EG沿4G所在直線翻折至△ABC所在平面內(nèi)，得至lj△APG,

將△OEG沿DG所在直線翻折至△力BC所在平面內(nèi)，得到△OQG,連接PQ,QF.若4B=4,直接寫出PQ+QF

的最小值.

4.(2023?山東淄博?中考真題)在數(shù)學(xué)綜合與實踐活動課上，小紅以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展探究活動.

(1)操作判斷

小紅將兩個完全相同的矩形紙片ABCD和CEFG拼成"”形圖案，如圖①.

試判斷：ZsACF的形狀為.

(2)深入探究

小紅在保持矩形48CD不動的條件下，將矩形CEFG繞點C旋轉(zhuǎn)，若48=2,AD=4.

探究一：當(dāng)點尸恰好落在4。的延長線上時，設(shè)CG與DF相交于點M,如圖②.求△CMF的面積.

探究二：連接4E,取4E的中點H,連接如圖③.

求線段D”長度的最大值和最小值.

GG

5.(2022?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題)已知，點E、F、G、”分別在正方形力BCD的邊AB、BC、CD、AD上.

(1)如圖1,當(dāng)四邊形EFGH是正方形時，求證：AE+AH=AB；

(2)如圖2,已知4E=au，CF=CG,當(dāng)4E、CF的大小有關(guān)系時，四邊形EFGH是矩形；

(3)如圖3,AE=DG,EG、FH相交于點。，OE:OF=4:5,已知正方形ABCD的邊長為16,長為20,當(dāng)

△OEH的面積取最大值時，判斷四邊形EFG”是怎樣的四邊形？證明你的結(jié)論.

題型06與四邊形有關(guān)的動點問題

1.(2023?海南?中考真題)如圖1,在菱形力BCD中，對角線AC,BD相交于點。，AB=6,乙48c=60。,

點P為線段B。上的動點(不與點B,。重合)，連接CP并延長交邊4B于點G,交04的延長線于點H.

⑴當(dāng)點G恰好為48的中點時，求證：△2GH三△BGC；

(2)求線段BD的長；

HP

(3)當(dāng)△2PH為直角三角形時，求正的值；

(4)如圖2,作線段CG的垂直平分線，交BD于點N,交CG于點連接NG,在點P的運動過程中，NCGN的度

數(shù)是否為定值？如果是，求出這個定值；如果不是，請說明理由.

2.(2023?廣東廣州?中考真題)如圖，在正方形2BC0中，￡是邊力D上一動點(不與點力,。重合).邊BC

關(guān)于BE對稱的線段為BF,連接4F.

(1)若N4BE=15。，求證：aaBF是等邊三角形；

(2)延長凡4,交射線BE于點G；

①aBGF能否為等腰三角形？如果能，求此時N4BE的度數(shù)；如果不能，請說明理由；

②若48=g+逐，求486戶面積的最大值，并求此時2E的長.

3.(2023?吉林?中考真題)如圖，在正方形力BCD中，4B=4cm,點。是對角線AC的中點，動點P,Q分別

從點4B同時出發(fā)，點P以lcm/s的速度沿邊4B向終點B勻速運動，點Q以2cm/s的速度沿折線BC—CD向終

點。勻速運動.連接P。并延長交邊CD于點M,連接Q。并延長交折線ZM—4B于點N,連接PQ,QM,MN,NP,

得到四邊形PQMN.設(shè)點P的運動時間為x(s)(0<x<4),四邊形PQMN的面積為y(cm?)

(1)BP的長為cm,CM的長為cm.(用含x的代數(shù)式表示)

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍.

(3)當(dāng)四邊形PQMN是軸對稱圖形時，直接寫出久的值.

4.(2022?四川資陽?中考真題)如圖，平行四邊形4BCD中，4B=5,BC=10,BC邊上的高4M=4,點、E為BC

邊上的動點(不與3、C重合，過點E作直線4B的垂線，垂足為尸，連接DE、DF.

(1)求證：AABM-AEBF；

(2)當(dāng)點E為BC的中點時，求DE的長；

(3)設(shè)BE=乂的面積為乃求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)x為何值時，y有最大值，最大值是多

少？

題型07與四邊形有關(guān)的新定義問題

1.（2023?江蘇?中考真題）綜合與實踐

定義：將寬與長的比值為亞尹（n為正整數(shù)）的矩形稱為幾階奇妙矩形.

（1）概念理解：

當(dāng)n=l時，這個矩形為1階奇妙矩形，如圖（1）,這就是我們學(xué)習(xí)過的黃金矩形，它的寬（4。）與長（CD）

的比值是.

（2）操作驗證：

用正方形紙片4BCD進(jìn)行如下操作（如圖（2））：

第一步：對折正方形紙片，展開，折痕為EE連接CE；

第二步：折疊紙片使CD落在CE上，點D的對應(yīng)點為點“，展開，折痕為CG；

第三步：過點G折疊紙片，使得點2、B分別落在邊力。、BC上，展開，折痕為GK.

試說明：矩形GDCK是1階奇妙矩形.

AB

DC

圖⑴圖（3）圖（4）

（3）方法遷移：

用正方形紙片4BCD折疊出一個2階奇妙矩形.要求：在圖（3）中畫出折疊示意圖并作簡要標(biāo)注.

（4）探究發(fā)現(xiàn)：

小明操作發(fā)現(xiàn)任一個n階奇妙矩形都可以通過折紙得到.他還發(fā)現(xiàn)：如圖（4）,點E為正方形4BCD邊4B上

（不與端點重合）任意一點，連接CE,繼續(xù)Q）中操作的第二步、第三步，四邊形4GHE的周長與矩形GDCK

的周長比值總是定值.請寫出這個定值，并說明理由.

2.（2023?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，當(dāng)點N在圖形加?的內(nèi)部，或在圖形M

上，且點N的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等時，則稱點N為圖形M的“夢之點”.

4

3

D

-4-3-2T1O1234x

燈一

-2-C

—3-

-4-

圖①

(1)如圖①，矩形ABC。的頂點坐標(biāo)分別是4(一1,2),C(3,—1),。(3,2),在點M2(2,2),

“3(3,3)中，是矩形4BCD“夢之點”的是；

(2)點G(2,2)是反比例函數(shù)月=§圖象上的一個“夢之點”，則該函數(shù)圖象上的另一個“夢之點”〃的坐標(biāo)是

，直線GH的解析式是y2=.當(dāng)月＞、2時，x的取值范圍是.

⑶如圖②，已知點8是拋物線丫=—#+%+?上的“夢之點，，，點。是拋物線的頂點，連接AC,AB,

BC,判斷△ABC的形狀，并說明理由.

3.(2020?湖南益陽?中考真題)定義：若四邊形有一組對角互補，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直

角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對補”四邊形，簡稱“直等補”四邊形，根據(jù)以上定義，解決下列問題：

(1)如圖1,正方形2BCD中，E是CD上的點，將/BCE繞B點旋轉(zhuǎn)，使BC與B4重合，此時點E的對應(yīng)點F在

ZM的延長線上，則四邊形BEDF為“直等補”四邊形，為什么？

(2)如圖2,已知四邊形2BCD是“直等補”四邊形，AB=BC=5,CD=1,點B到直線4D的距

離為BE.

①求BE的長.

②若M、N分另I」是4B、4。邊上的動點，求4MNC周長的最小值.

1

題型08與四邊形有關(guān)的閱讀理解問題

1.(2023?山西?中考真題)閱讀與思考：下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

瓦里尼翁平行四邊形

我們知道，如圖1,在四邊形4BCD中，點E,F,G,H分別是邊4B,BC,C。，。力的中點，順次連接E,F,G,H,得到

的四邊形EFGH是平行四邊形.

圖1

我查閱了許多資料，得知這個平行四邊形EFGH被稱為瓦里尼翁平行四邊形.瓦里尼翁

(yaringnon,Pierrel654—1722)是法國數(shù)學(xué)家、力學(xué)家.瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關(guān)系密切.

①當(dāng)原四邊形的對角線滿足一定關(guān)系時，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形.

②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關(guān)系.

③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半.此結(jié)論可借助圖1證明如下：

證明：如圖2,連接2C,分別交于點P,Q,過點。作DM1AC于點M,交HG于點N.

分別為力的中點，.田G|MG"G=/C.(依據(jù)1)

圖2

端=羽「DG=GC,：.DN=NM吾DM.

?.?四邊形EFGH是瓦里尼翁平行四邊形，GF,^HP||GQ.

■：HG||AC,即HGIIPQ,

???四邊形"PQG是平行四邊形.(依據(jù)2)：.SaHPQG=HG-MN=^HG-DM.

'''^AADC=2^'=HG-DM,*s口HPQG=^ADC一同理，…

(1)填空：材料中的依據(jù)1是指：.

依據(jù)2是指：

(2)請用刻度尺、三角板等工具，畫一個四邊形2BCD及它的瓦里尼翁平行四邊形EFG”，使得四邊形EFGH為

矩形；(要求同時畫出四邊形4BCD的對角線)

(3)在圖1中，分別連接4&BD得到圖3,請猜想瓦里尼翁平行四邊形EFG”的周長與對角線AC,BD長度的關(guān)

系，并證明你的結(jié)論.

圖3

2.(2022?貴州黔東南?中考真題)閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學(xué)問題，一天楊老師給他這樣一個幾何問題:

如圖，△48。和43。石都是等邊三角形，點4在。5上.

求證：以4E、AD,4C為邊的三角形是鈍角三角形.

(1)【探究發(fā)現(xiàn)】小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接DC,根據(jù)己知條件，可以證明DC=HE,AADC=120°,從而得

出△4DC為鈍角三角形，故以4E、AD,4C為邊的三角形是鈍角三角形.

請你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程.

⑵【拓展遷移】如圖，四邊形48C。和四邊形BGFE都是正方形，點4在EG上.

①試猜想：以AE、AG,AC為邊的三角形的形狀，并說明理由.

②若4。+4G2=10,試求出正方形4BCD的面積.

3.(2020?湖南湘潭?中考真題)閱讀材料：三角形的三條中線必交于一點，這個交點稱為三角形的重心.

U)特例感知：如圖(一)，已知邊長為2的等邊△48C的重心為點0,求aOBC與△ABC的面積.

⑵性質(zhì)探究：如圖(二)，已知△麗的重心為點。，請判斷篙瓷是否都為定值？如果是，分別求

出這兩個定值：如果不是，請說明理由.

(3)性質(zhì)應(yīng)用：如圖(三)，在正方形48CD中，點E是CD的中點，連接8E交對角線4C于點M.

①若正方形2BCD的邊長為4,求EM的長度；

②若S^CME=1，求正方形4BCD的面積.

題型09與四邊形有關(guān)的存在性問題

1.(2023?黑龍江?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形力。CB的邊。C在x軸上，乙4OC=60。，OC

的長是一元二次方程4支一12=0的根，過點C作x軸的垂線，交對角線OB于點D,直線4D分別交x軸

和y軸于點廠和點E,動點M從點。以每秒1個單位長度的速度沿。。向終點。運動，動點N從點廠以每

秒2個單位長度的速度沿FE向終點￡運動.兩點同時出發(fā)，設(shè)運動時間為/秒.

(1)求直線4。的解析式.

(2)連接MN,求△MDN的面積S與運動時間t的函數(shù)關(guān)系式.

(3)點N在運動的過程中，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點0.使得以/,C,N,0為項點的四邊形是矩形.若

存在，直接寫出點。的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

2.(2022?四川資陽?中考真題)已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為4(1,4),且與x軸交于點B(—1,0).

⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)如圖，將二次函數(shù)圖象繞x軸的正半軸上一點P(m,O)旋轉(zhuǎn)180。，此時點/、2的對應(yīng)點分別為點C、

D.

①連結(jié)4B、BC、CD、DA,當(dāng)四邊形2BCD為矩形時，求加的值；

②在①的條件下，若點〃是直線X=M上一點，原二次函數(shù)圖象上是否存在一點0,使得以點2、C、M、

。為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

3.(2022?貴州安順?中考真題)如圖1,在矩形48CD中，48=10,AD=8,E是4。邊上的一點，連接CE,

將矩形48CD沿CE折疊，頂點。恰好落在4B邊上的點尸處，延長CE交BA的延長線于點G.

(1)求線段4E的長；

(2)求證四邊形。GFC為菱形；

(3)如圖2,M,N分別是線段CG,DG上的動點(與端點不重合)，且NDMN=NDCM,設(shè)DN=久，是否存

在這樣的點N,使△DMN是直角三角形？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由.

4.(2022?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題)同學(xué)們還記得嗎？圖①、圖②是人教版八年級下冊教材“實驗與探究”中

我們研究過的兩個圖形.受這兩個圖形的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組提出了以下三個問題，請你回答：

于點E,OCi交BC于點F,貝ME與BF的數(shù)量關(guān)系為；

(2)【問題二】受圖①啟發(fā)，興趣小組畫出了圖③：直線小、幾經(jīng)過正方形2BCD的對稱中心。，直線機分別

與4D、BC交于點E、F,直線n分別與48、CD交于點G、H,且mln,若正方形4BCD邊長為8,求四邊形

0E4G的面積；

圖③

(3)【問題三】受圖②啟發(fā)，興趣小組畫出了圖④：正方形CEFG的頂點G在正方形4BCD的邊CD上，頂點E

在BC的延長線上，且BC=6,CE=2.在直線BE上是否存在點P,使aAPF為直角三角形？若存在，求出BP

的長度；若不存在，說明理由.

題型10四邊形與圓綜合

1.(2023?廣東?中考真題)綜合探究

如圖1,在矩形4BCD中Q4B>4D),對角線AC,BO相交于點0,點4關(guān)于BD的對稱點為4,連接44,交BD

于點E,連接C4.

圖1圖2圖3

(1)求證：AAr1CAr；

(2)以點。為圓心，0E為半徑作圓.

①如圖2,00與CD相切，求證：44'=舊CA；

②如圖3,。。與C4相切，AD=1,求。。的面積.

2.(2023?上海?中考真題)如圖(1)所示，已知在△48C中，AB^AC,。在邊48上，點尸為邊。8中點,

為以。為圓心，B。為半徑的圓分別交CB,47于點D,E,聯(lián)結(jié)EF交。。于點G.

圖⑴圖(2)

(1)如果OG=OG,求證：四邊形CEGD為平行四邊形；

(2)如圖(2)所示，聯(lián)結(jié)。M如果444。=90。/。/七二乙。。及4。=4,求邊08的長；

(3)聯(lián)結(jié)BG,如果AOBG是以。B為腰的等腰三角形，且力。=。?，求器的值.

3.(2022?浙江舟山?中考真題)如圖1.在正方形4BCD中，點尸，〃分別在邊4D,上，連結(jié)力C,FH交

于點￡,已知CF=C”.

(1)線段AC與垂直嗎？請說明理由.

(2)如圖2,過點Z,H,尸的圓交”于點尸，連結(jié)PH交4c于點K.求證：詈=等.

(3)如圖3,在(2)的條件下，當(dāng)點K是線段AC的中點時，求黑的值.

題型11四邊形與函數(shù)綜合

1.(2023?江蘇泰州?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系久。y中，點4(m,0),B(m—a,0)(a>m>0)的位置和

函數(shù)yi=?(x>0)、V2=*Q<0)的圖像如圖所示.以48為邊在X軸上方作正方形ABCD,力。邊與函數(shù)月

的圖像相交于點￡,邊與函數(shù)月、的圖像分別相交于點G、H,一次函數(shù)g的圖像經(jīng)過點￡、G,與y

軸相交于點P,連接PH.

（l）m=2,a=4,求函數(shù)為的表達(dá)式及△PGH的面積；

（2）當(dāng)a、加在滿足a＞機＞0的條件下任意變化時，△PGH的面積是否變化？請說明理由；

（3）試判斷直線PH與BC邊的交點是否在函數(shù)及的圖像上？并說明理由.

2.（2023?江蘇連云港?中考真題）【問題情境建構(gòu)函數(shù)】

（1）如圖1,在矩形4BCD中，4B=4,M是CD的中點，AE1BM,垂足為E.設(shè)BC=x/E=y,試用含x的

代數(shù)式表示y.

【由數(shù)想形新知初探】

（2）在上述表達(dá)式中，y與英成函數(shù)關(guān)系，其圖像如圖2所示.若支取任意實數(shù)，此時的函數(shù)圖像是否具有

對稱性？若有，請說明理由，并在圖2上補全函數(shù)圖像.

【數(shù)形結(jié)合深度探究】

（3）在依取任意實數(shù)”的條件下，對上述函數(shù)繼續(xù)探究，得出以下結(jié)論：①函數(shù)值y隨尤的增大而增大；@

函數(shù)值y的取值范圍是一4五＜y＜4魚；③存在一條直線與該函數(shù)圖像有四個交點；④在圖像上存在四點

4、B、C、D,使得四邊形力BCD是平行四邊形.其中正確的是.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

【抽象回歸拓展總結(jié)】

（4）若將（1）中的“4B=4”改成"4B=2k"，此時y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是；一般地，當(dāng)k片。,x

取任意實數(shù)時，類比一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的研究過程，探究此類函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)（直接寫出3

條即可).

3.(2022?黑龍江齊齊哈爾?中考真題)綜合與探究

如圖，某一次函數(shù)與二次函數(shù)y="+mx+ri的圖象交點為/(-1,0),B(4,5).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點C為拋物線對稱軸上一動點，當(dāng)AC與BC的和最小時，點C的坐標(biāo)為」

(3)點。為拋物線位于線段4?下方圖象上一動點，過點。作DElx軸，交線段于點E,求線段長度

的最大值；

(4)在(2)條件下，點M為y軸上一點，點尸為直線48上一點，點N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點，若以點

C,M,F,N為頂點的四邊形是正方形，請直接寫出點N的坐標(biāo).

核心提煉?查漏補缺

1.平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系:

2.平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)

四邊形邊角對角線對稱性

平行四邊形對邊平行且相等對角相等兩條對角線互相平分中心對稱

矩形對邊平行且相等四個角都是直角兩條對角線互相平分且相等軸對稱、中心對稱

菱形對邊平行且四條對角相等兩條對角線互相垂直平分，且每軸對稱、中心對稱

邊都相等一條對角線平分一組對角

正方形對邊平行且四條四個角都是直角兩條對角線互相垂直平分，且每軸對稱、中心對稱

邊都相等一條對角線平分一組對角

3平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定

四邊形邊角對角線

平行四邊形1）兩組對邊分別平行兩組對角分別相等兩組對角線互相平分

2）兩組對邊分別相等

3）一組對邊平行且相等

矩形1）平行四邊形+一直角平行四邊形+兩條對角線相等

2）四邊形+三直角

菱形1）平行四邊形+一組鄰邊相等平行四邊形+兩條對角線互相垂

2）四邊形+四條邊都相等直

正方形矩形+一組鄰邊相等菱形+一直角兩條對角線互相垂直平分且相等

的四邊形

一、單選題

1.（2023?廣西?中考真題）如圖，過y=§（久＞0）的圖象上點分別作x軸，y軸的平行線交y=—：的圖

象于8,。兩點，以4B,4。為鄰邊的矩形A8CD被坐標(biāo)軸分割成四個小矩形，面積分別記為S0S2,S3,

S4,若S2+S3+S4=|,貝冰的值為（）

x

A.4B.3C.2D.1

2.（2023?山東泰安?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtZkAOB的一條直角邊。B在x軸上，點/的

坐標(biāo)為（—6,4）；Rt^COD中，ZCOZ）=90°,0D=4V3,ND=30。，連接BC,點M是BC中點，連接

AM.將RtaC。。以點。為旋轉(zhuǎn)中心按順時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段4M的最小值是（）

A.3B.6V2-4C.2V13-2D.2

3.（2023?四川遂寧?中考真題）如圖，在△ABC中，4B=10,BC=6,4c=8,點P為線段4B上的動點,

以每秒1個單位長度的速度從點/向點3移動，到達(dá)點3時停止.過點尸作PM1AC于點V、作PN1BC

于點N,連接MN,線段MN的長度y與點P的運動時間t（秒）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則函數(shù)圖象最低點E

的坐標(biāo)為（）

A.（5,5）B.（6,當(dāng)C.（第,管）D.仔,5）

二、填空題

4.Q023?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，在正方形4BCD中，K在邊CD上，BE交對角線4C于點RCM1.BE

于跖NCME的平分線所在直線分別交CD,AC于點N,P,連接FN.下列結(jié)論：?SANPF-.SANPC=FM-.MC；

②CM=PN；@ENCD=EC-CF-④若EM=1,MB=4,貝!|PM=VL其中正確的是.

5.（2023?浙江臺州?中考真題）如圖，點C,。在線段4B上（點C在點4。之間），分別以4。，8c為邊向

同側(cè)作等邊三角形4DE與等邊三角形CBF,邊長分別為a,b.CF與DE交于點〃，延長4E,BF交于點G,AG

長為c.

（1）若四邊形EHFG的周長與的周長相等，則a,b,c之間的等量關(guān)系為.

（2）若四邊形EHFG的面積與△0￡）//的面積相等，則a,b,c之間的等量關(guān)系為.

三、解答題

6.（2023?廣東深圳?中考真題）（1）如圖，在矩形力BCD中，E為4。邊上一點，連接BE,

①若BE=BC,過C作CF1BE交BE于點F,求證：AABEmAFCB；

②若S矩形ABCD=20時，則BE?CF=.

…-1

（2）如圖，在菱形ZBCD中，cos?l=-,過C作交AB的延長線于點E,過E作EF1AO交40于點F,

若S菱形/BCO=24時,求E77-BC的值，

（3）如圖，在平行四邊形4BCD中，乙4=60。，AB=6,力D=5,點E在CD上，且CE=2,點尸為8c上一點,

連接EF,過E作EG1EF交平行四邊形力BCD的邊于點G,若EF?EG=7遮時，請直接寫出4G的長.

備用圖

7.（2023?湖南?中考真題）問題情境：小紅同學(xué)在學(xué)習(xí)了正方形的知識后，進(jìn)一步進(jìn)行以下探究活動：在

正方形48CD的邊BC上任意取一點G,以8G為邊長向外作正方形BEFG,將正方形BEFG繞點8順時針旋

圖①圖②圖③

特例感知：

（1）當(dāng)BG在BC上時，連接DF,4C相交于點P,小紅發(fā)現(xiàn)點P恰為。尸的中點，如圖①.針對小紅發(fā)現(xiàn)的

結(jié)論，請給出證明；

（2）小紅繼續(xù)連接EG,并延長與DF相交，發(fā)現(xiàn)交點恰好也是。尸中點尸，如圖②，根據(jù)小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，

請判斷aaPE的形狀，并說明理由；

規(guī)律探究：

（3）如圖③，將正方形BEFG繞點3順時針旋轉(zhuǎn)a,連接DF,點尸是DF中點，連接4P,EP,AE,4APE

的形狀是否發(fā)生改變？請說明理由.

8.（2023?吉林長春?中考真題）如圖①.在矩形力BCD.AB=3,AD=5,點E在邊BC上，且BE=2.動

點P從點E出發(fā)，沿折線EB—B4—力。以每秒1個單位長度的速度運動，作"EQ=90。，EQ交邊4?；蜻匘C

于點Q,連續(xù)PQ.當(dāng)點Q與點C重合時，點P停止運動.設(shè)點P的運動時間為t秒.（t>0）

AQDAPD

圖①圖②

（1）當(dāng)點P和點B重合時，線段PQ的長為；

（2）當(dāng)點Q和點。重合時，求tan/PQE；

（3）當(dāng)點P在邊4。上運動時，的形狀始終是等腰直角三角形.如圖②.請說明理由；

（4）作點E關(guān)于直線PQ的對稱點尸，連接PF、QF,當(dāng)四邊