2025新高考數(shù)學(xué)計(jì)算題型專練：向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示（解析版）

2025新高考數(shù)學(xué)計(jì)算題型精練

向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示

1.若向量6=(2,3),c=(-7,-3).

(1)1=q+〃，，求之+〃的值；

(2)若場+5與之共線,求左的值.

3

【答案】(1)丸+〃=1(2)左=-不

【詳解】⑴因血即(-7,-3)=彳(-1,1)+〃(2,3)=('+2〃"+3〃),

1—4+2//=—7=3

所以0°，解得。，故丸+〃=1；

[4+34=-31〃=-2

(2)因上Q+B與0共線，左a+B=左(一1,1)+(2,3)=(—左+2,左+3),c=(-7,-3),

所以(一人+2)?(-3)=優(yōu)+3)?(-7),故人=一力

2.已知向量“=(3,2)1=(x,-l).

⑴若伍+2可乂21@,求實(shí)數(shù)x的值；

⑵若)=(-8,-l),Z〃0+3,求向量々與否的夾角仇

【答案】(l)x=6或x=_；3.(2)9=：TT

【詳解】(1)已知。=(3,2)花=(%,-1),

所以〃+25=(3+2X,0),2Q-B=(6—x,5).

又因?yàn)?。+2q_L(2Q—@,所以有k+2可?(2。一/?)=0,

3

所以(3+2x)(6—x)+0x5=0,解得％=6或x=—2

(2)因?yàn)閏=(—8,—1),所以6+c=(x—8,—2).

又Z//0+?,所以3x(—2)—2x(x—8)=0,

解得％=5,所以3=(5,-1).

?a-b3x5-2xlV2

所以c°E而兩=不可不了O'

TT

因?yàn)?4。(兀，所以e=一.

4

3.向量a=(cos23o,cos67。),向量否=(cos68。,cos22。).

⑴求75;

(2)若向量刃與向量加共線，u=a+m?求”的模的最小值.

【答案】⑴變⑵蟲

22

【詳解】(1)

a-b=cos23°cos680+cos67°cos22°=cos23°cos680+sin23°sin68°=cos(68°-23°)

=cos45°=^^;

2

(2)由題設(shè)浣且;IER,貝U

u=a+Ab=(cos23°+2cos68°,cos670+2cos22。)=(sin67°+Asin22°,cos67°+2cos22°),

所以

|u|=y1(sin67°+2sin22°)2+(cos67°+2cos22°)2=+Z2+2Z(sin67°sin22°+cos67°cos22°)

=-\/A2+V2A+1=J(2，

當(dāng)4=一包時(shí)，.

2IImm2

4.已知向量1=(2,-1),5=(3,0),c=(4,l).

(1)求與之垂直的單位向量3的坐標(biāo)；

⑵若僅+茨9〃0-2耳，求實(shí)數(shù)上的值.

r依心、，,、_［右2行V52后］,z1

【答案】(l)e=——或一--,一一—(2)k=--

3JJ

【詳解】(1)設(shè)與I垂直的單位向量G=(x,y),

(2)■.■a+kc=(2+4k,-l+k),b-2a=(-l,2),又()+行)〃(6一2@),

;.2(2+4后)=-(-1+左)，解得：k=_3.

5.已知“=(一2,3),6=(4,2).

(1)求Q+B，a—b；

⑵求a+34.

【答案】(1)(2,5)；(-6,1)(2)4713

【詳解】(1)由2=(-2,3),3=(4,2),

所以^+3=(-2,3)+(4,2)=(2,5),?-^=(-2,3)-(4,2)=(-6,1).

(2)由￡=(-2,3),3=(4,2),

則2a+3B=2X(-2,3)+3X(4,2)=(8,12),

所以.+3可=正+122=4

6.已知￡=。,0)3=(2,1).

(1)當(dāng)上為何值時(shí)，左3-3與Z+2B共線？

(^2)若AB=2a+3b，BC=a+mb且4,B,C二點(diǎn)共線，求m的值.

13

【答案】(1)人=一5(2)〃7=]

【詳解】(1)由題可得，左￡一3=左(1,0)-(2,1)=(左-2,-1)；

a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2),

因?yàn)橥?5與Z+2石共線，則2(斤-2)-(-1)x5=0=>k=-；；

(2)因?yàn)?,B,。三點(diǎn)共線，々與B不共線，所以存在實(shí)數(shù)人使得刀9就QGR),即

2a+3b=X(a+rnb^,整理得(8,3)=“+2mA,成),

f2+2mA=83

所以；20*不

[mA=32

7.已矢口方=(sinx+cosx,2cos=12sine,；sin2x]

⑴若)=(-3,4)且x=；,0e(0,7i)時(shí)，￡與"的夾角為鈍角，求cosd的取值范圍；

(2)若夕=3函數(shù)/。)=2片,求“X)的最小值.

【答案】(1)(-1,-平)。(一半,孚)；(2)1-V6.

33o2

【詳解】⑴當(dāng)x=W時(shí)，￡=(血,2cosd),%與"的夾角為鈍角，

于是屋工<0,且工與"不共線，

則a-c=-3V2+8cos(9<0)解得cos8<)^2，又6e(0,兀),即cos。e(-1,1),

則有-I<cos6<3&,又當(dāng)￡與"共線時(shí)，4V^+6cos6=0，解得cos9=一，

83

因此々與"不共線時(shí)，cos”-迪，

3

所以cos。的取值范圍是(-1,-孚)u(-孚,斗).

(2)依題意，當(dāng)6=1時(shí)，/(%)=3-ft=(sinx+cosx,1)*(V3,—sin2x)

=V3sinx+V3COSx+^-sin2x=V3(sinx+cosx)+sinxcosx,

4'=sinx+cosx=V2sin(x+—)e[-V2,5/2],貝ljsinxcosx=——-，

42

于是/(x)=V3/+^=|(f+V3)2-2,而函數(shù)y=g(/+百『-2在/e[-行，行]上為增函

數(shù)，

則當(dāng)/=-近時(shí)，y有最小值;-C,

所以/(x)的最小值為;

8.已知平面向量3=。,2),b=(0,-1),ale,S.b-c=3-

(1)求己的坐標(biāo)；

⑵求向量1-3在向量B上的投影向量的模.

【答案】(1)(6,-3)⑵5

【詳解】(1)設(shè)？=(》/),因?yàn)?工己，所以x+2y=0,又石亮=一了=3,

解得x=6,y=-3,所以3=(6,-3)；

(2)&一3=(-5,5),所以他一0)石=一5,

則向量IV在向量B上的投影向量的模為5

綜上，3=（6,-3）,向量在向量不上的投影向量的模為5.

9.已知向量a=(l,l),b=(2,0),

⑴求忸-24

⑵求"與Z-2：的夾角.

【答案】（1）2（2）彳

【詳解】(1)因?yàn)橄蛄?=(1,1),3=(2,0),所以121=(0,-2),

貝服_2d=2

所以之與Z-2：的夾角為亍.

10.已知向量5=(cosx,sinx),B=(1,2月).

(1)若無=方，求在在，上的投影向量的模長;

(2)若心一石)，,+萌)，求實(shí)數(shù)上的值.

【答案】(1)[(2)左=±姮

213

【詳解】(1)由題意得當(dāng)x=g時(shí),a=(；,乎)

貝1<74=1*工+2石乂也=二，M=1,

22211

_7

所以3在Z上的投影向量的模為=2=2.

1同112

(2)由同=JsMx+cosZx=1,於=13，

由(萬一右)_|_(萬+匯)，得(萬一石)?(萬+左=左一優(yōu)?=0,

即1一13左2=0,解得左=±姮.

13

11.設(shè)Z，石是兩個(gè)不共線的向量.

⑴若。=(一1,3),6=(2,-1),求〈氏5〉；

(2)若(2a+B)〃(3a+Ah'),求4的值.

【答案】(1)〈〃,6〉=彳(2)4=±6

【詳解】(1)因?yàn)閏os&B〉=fl-=:5冬,又向量夾角范圍為[0,用,

\a\\b\V10xV52

所以〈見一一力二3三兀.

4

(2)因?yàn)?4Q+B)〃(3〃+4否)，設(shè)/ia+B="(3Q+4B),〃為實(shí)數(shù)，

----,14=3〃△，，r~

即6=貝111，即42=3，解得丸=±6.

IZ//=1

12.已知)=(1,1)3=(0,-2)當(dāng)先為何值時(shí)，

(1)標(biāo)-B與萬+B共線；

(2)34-揚(yáng)與N+B的夾角為90°

【答案】(1)7(2)。

【詳解】(1)因?yàn)椤?(1,1)3=(0,-2),所以乙+5=(1,1)+(0,-2)=(1,-1),

ka-b=左(1,1)-(0,-2)=(左，左+2),

由標(biāo)一分與萬+3共線，貝ij4+2-(一左)=0,所以左=-1.

(2)因?yàn)閐+B=(l,-l),31-布=(3,3)-(0,-2左)=(3,3+2月)，

因?yàn)?1-防與Z+B的夾角為90。，所以由一板)?伍+分)=0,得至口-(3+2a)=0,所以上=0.

13.(1)已知單位向量，、B的夾角為45。，質(zhì)-3與，垂直，求左；

(2)已知向量1=(1,2),6=(2,-2),c=(l,2),若G/Q+3),求人

【答案】(1)—；(2)1

22

【詳解】⑴因?yàn)閱挝幌蛄?、石的夾角為45。，所以33=|司?Wcos450=lxlx*=^,

又標(biāo)與，垂直，所以胸-4，=0，即而2一彼二=0，即"x『一告=0,解得上=*；

(2)因?yàn)?=(1,2),5=(2,-2),所以22+3=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),

又己=(1㈤且己//(2@+彼)，所以42=1x2,解得2=g.

14.已知向量G=(2,-1)石=(1,2),,=(3,-4),求：

(1)^c=ma+nb，求加+〃；

⑵若(標(biāo)+3〃入求后的值.

【答案】(1)1(2)-2

【詳解】(1)因?yàn)锧=(2,-1),5=(1,2),1=(3,-4),所以sH=(2加,-加)，怎=(〃,2〃),所以

ma+nb=(2m+n,-m+2〃),

[2m+n=3

又因?yàn)楦?機(jī))+〃人所以〈c〃解得機(jī)=2,"=-1,所以加+"=1.

[~m+2n=-4

(2)因?yàn)?=(2,-1),3=(1,2),,=(3,-4),所以%+B=(2)+1，->+2)，

又(faz+6)〃c,所以(2左+1)x(―4)—3x(—匯+2)=0,BP—5k-10=0,所以左=—2.

15.已知向量a=(-l,2),3=(1,4).

(1)若(而+2B)〃G-B),求左的值；

(2)若(防+2否)_L(3-3M),求后的值.

32

【答案】⑴蚱-］；(2)左=-§.

【詳解】(1)由已知左￡+2^=(2-冗8+2左)，a-b=(-2,-2),

_3

(ka+2b)//(a—b),—2(2—2A：)+2(8+2k)=0,解得無=—于

(2)S-3?=(4,-2),

2

,/(ka+2b)±(b-3a),：.4(2-k)-2(8+4k)=0,解得左=-§.

16.已知平面向量。=。,2),3=(-3,-2).

(1)'在Z方向上的投影向量；

(2)當(dāng)上為何值時(shí)，左￡+石與￡一3石垂直.

【答案】⑴［〉汕

Ivl-Taa-ba(72、

【詳解】(1)3在Z方向上的投影向量=M|cos<a,b>甲豆用=:歹引.

(2);左。+B與Q—3石垂直，左。+3二(左一3,2左一2),a—3加=(10,8),

.?.(后+可?僅一3可=0,即10(左一3)+8(2左一2)=0,解得左=!|.

17.已知向量2=(1,0),方=(2,1),

(1)當(dāng)實(shí)數(shù)左為何值時(shí)，向量左之-石與￡+3石共線

(2)當(dāng)實(shí)數(shù)上為何值時(shí)，向量左aJ與￡+3石垂直

117

【答案】(1)左=-］⑵笈=7

【詳解】(1)標(biāo)一3=后(1,0)-(2,1)=(左一2,—1),3+36=(1,0)+3(2,1)=(7,3)>

向量元與Z+3刃共線，所以("2>3=(-1)X7,所以左=一.

(2)ka-b=k(l,0)-(2,1)=(^-2,-1),Z+3$=(l,0)+3(2/)=(7,3),

17

向量元與￡+3否垂直，所以7(b2)+3x(-1)=0,解得上=?

18.已知向量N=(2f,f),B=(-3,2),e=(3,-l),/eR.

⑴求/=1時(shí)，求歸+2目的值；

⑵若5-7與1共線，求扇己夾角

【答案】⑴屈⑵:

【詳解】(1)va=(It,t),&=(-3,2),c=(3,-1),

當(dāng)f=l時(shí)，a=(2,1),5+2^=(2,1)+2(-3,2)=(-4,5),

A|a+2b|=J(-4『+52=V41.

(2)萬=(-3-2/,2-r),且與^共線

3

/.(-3-2r)x(-l)=3x(2-r),解得/

6a3

/—\_a-c_5X5_41

所以3〈。，0=麗=]^，????小?€[0,句,

I+；

所以第2夾角為

4

19.已知向量Q=(7,1),1=(1,3).

⑴求￡與B夾角的余弦值；

(；2)若(。+23)_1(%"3)，求2的值.

【答案】(1)￡⑵T

【詳解】(1)解：由向量￡=(7,1),3=0,3),可得口=5也，坂=而且￡4=7x1+1x3=10,

LT\CL'b10A/5

所以。與3夾角的余弦值。岡池)=麗=運(yùn)行=丁—

(2)解：由(a+25)_L,°-可，可得

-?~*\(~*\—2一——2

(a+2b)-(Aa-b)=Aa+(2A-l)a-b-2b=502+(22-1)x10-2x10=0,

3

BP702-30=0,解得2=—.

7

20.設(shè)平面三點(diǎn)/(-2,1),B(4,-1),C(2,3).

⑴若荏=①,試求。點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵試求向量方與％的夾角余弦值；

【答案】(1)(8,1)(2*

【詳解】(1)設(shè)。(x,y),則赤=(6,-2),麗=(x-2,y-3),

_.fx-2=6fx=8

因?yàn)?8=CD所以｛,)，解得《,

0-3=-2[y^l

所以。點(diǎn)的坐標(biāo)為(8,1).

(2)由(1)知方=(6,-2),又就=(4,2),

24-4_吏

所以cos(48,/C)=ABAC

RR740x^20-2

故向量冠與％的夾角余弦值為e.

2

21.已知3,R是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，其中4=(1,2),且⑸=石.

(1)若nB，求B的坐標(biāo);

⑵若?a+31=|方-2石］,求3與B夾角.

【答案】(1)3=(2,-1)或3=(-2,1)(2)]

【詳解】(1)設(shè)B=(x,y).

因?yàn)閍—(1,2),

所以aZ=0即x+2y=0

又因?yàn)閨31=6，所以Jx?+了2=亞.

解之得X=2時(shí)，＞=一1或工=-2時(shí)，7=1,

所以3=(2,-1)或B=(-2,1).

(2)記I與B夾角為6.

因?yàn)閨/+司=|/-2司，所以0+彼)2=(/-23)2,

則片+廬+25石=片+拓2-領(lǐng)?日,即2晨辦=廬,

a-bb2J.

所以cos。=

w2

又因?yàn)?H0,兀］,所以e=］.

22.設(shè)4,B,C,。為平面內(nèi)的四點(diǎn)，且』(1,3),B(2,-2),C(4,1).

⑴若存=而，求。點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)設(shè)向量"=在石=數(shù)，若向量3-3與￡+35平行，求實(shí)數(shù)左的值.

【答案】(1)。(5,-4)；(2)-1.

【詳解】(1)設(shè)。("),因?yàn)榉?而，于是(2,-2)-(1,3)=(X/)-(4,1),整理得

(1，-5)=(x-4/-1),

，.fx-4=1fx=5

即有,「解得,，

[y-i=-5[7=-4

所以。(5,-4).

±UUUL1UUU

(2)因?yàn)椤?=(1,-5),b=BC=(4,1)-(2,-2)=(2,3),

所以焉J=左(1,-5)-(2,3)=(后-2,-5左-3),a+3^=(1,-5)+3(2,3)=(7,4),

解得上=T，

因?yàn)橄蛄拷?石與￡+3%平行，因此7（-5斤-3）-4伏-2）=0,

所以實(shí)數(shù)人的值為-1.

23.已知工友丁是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中）=（1,-右）.

（1）若|c|=4,且々〃°,求°的坐標(biāo)；

（2）若|昨1,且￡+23與%—B垂直，求Z與5的夾角氏

【答案】⑴）=（2,-2⑹或工=卜2,26）⑵兀

【詳解】⑴解：設(shè)己=（"）,因?yàn)橥?4,

yjx2+y2=4,即x?+/=16,①

由a〃c,得y+43x=0,②

x=-2x=2

由①②，得＜或＜

y=2百y=-2A/3

故己=僅,-2月或工=卜2,26）；

（2）解：因?yàn)椤?23與%—各垂直,

所以4+2力）.（2：/）=0,

即2a2+3)萬一2廬=0,

|a|=2,㈤=1,

所以2x4+3展5一2x1=0，整理得）石=-2,

故=-1,

a-\b\

又ee[0,7i],

所以。=兀.

24.已知向量a=(cosa,sina),B=(cos,,sin/?),\a-b\=,求cos（a一尸）的值.

【答案】|3

【詳解】?；a=(cosa,sina),b=(cos/?,sin0)，

a-b=(cosa-cos夕,sina-sin尸)，

^a-b\=y](cosa-cos2+(sina-sinJ3)2

=^/cos2?-2cos6zcosy0+cos2y0+sin2c?f-2sincrsiny0+sin2/3

=^/2-2cos(tz-/7)=,

.一4

2—2cos(6z—B)——f

3

/.cos(cr-/7).

25.設(shè)向量@=(2,0)石=(1網(wǎng)

(1)求與z+B垂直的單位向量；

(2)若向量位+B與向量1+后的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

【答案】⑴：或-5，三⑵卜6-2,-1)3卜13-2)

【詳解】(1)由已知1+彼=(2,0)+(1,6)=(3,6)，設(shè)與&+B垂直的單位向量為E=(x,y)

叱*。解得，

J.叵

即與萬+B垂直的單位向量為?或5；

2V7

（2）由已知小B=2,同=2同=2,

所以,0+可?（3+區(qū)）=笈?+（/+1）々-B+歸2=2/+8/+2,

因?yàn)橄蛄课?B與向量1+石的夾角為鈍角，

所以（應(yīng)+5加+區(qū)）<0,22+8+2<0,解得一-2</<6-2，

又因?yàn)橄蛄课?B不與向量3+區(qū)反向共線，

—/—\,、2f+1=左（t+2）

設(shè)萬+6=左（值+〃?）（左<0）,貝廠I-

、八[V3

從而「二:或I）]（舍去），所以解得辿-6-2,-1）口/1,百-21

26.已知非零向量］和［不共線.

(1)若45=%+電，BC=2ex+8e2,CD=3^-e2j,求證：A,B,。三點(diǎn)共線;

(2)若向量左q+4與向量,+ke2平行,求實(shí)數(shù)k的值.

【答案】⑴證明見解析(2)左=±1

—?—*—―?—?/—*■?\—*—*

【詳解】(1)BD=BC+CD=2ex+8e2+3(，一％)=5q+5e2

又方=［+［,：,5AB=BD>A,B,。三點(diǎn)共線;

——?U.LIL

(2)Y向量左,+&與向量+左。2平行，

27.已知平面向量4=(1,2),3=(-3,-2).

(l)^cl(25+6),且同=追，求己的坐標(biāo)；

(2)若3與)+彳］的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

5

【答案】(1)(-2,-1)或(2,1)(2)(-OO,0)30,

【詳解】(1)由3=(1,2)/=(一3,-2),

所以21+B=(2,4)+(-3,-2)=(-1,2),

設(shè)3=(x,y),

因?yàn)榧篲L(26+B),

所以己?2a+B)=-x+2y=0,

因?yàn)橥?石，所以6r1=指，

fx=-2fx=2

解得或

h=-i[y=i

所以己的坐標(biāo)為(-2,-1