2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之分式方程（原卷版）

專題09分式方程

【專題目錄】

技巧1：分式的意義及性質(zhì)的四種題型

技巧2：分式運(yùn)算的八種技巧

技巧3：巧用分式方程的解求字母的值或取值范圍

技巧4：分式求值的方法

【題型】一、分式有意義的條件

【題型】二、分式的運(yùn)算

【題型】三、分式的基本性質(zhì)

【題型】四、解分式方程

【題型】五、分式方程的解

【題型】六、列分式方程

【考綱要求】

1、理解分式、最簡(jiǎn)分式、最簡(jiǎn)公分母的概念，掌握分式的基本性質(zhì)，能熟練地進(jìn)行約分、通分.

2、能根據(jù)分式的加、減、乘、除的運(yùn)算法則解決計(jì)算、化簡(jiǎn)、求值等問題，并掌握分式有意義、無意義和

值為零的約束條件.

3、理解分式方程的概念，會(huì)解可化為一元一次（二次）方程的分式方程（方程中的分式不超過兩個(gè)）。

4、了解解分式方程產(chǎn)生增根的原因，會(huì)檢驗(yàn)和對(duì)分式方程出現(xiàn)的增根進(jìn)行討論.

【考點(diǎn)總結(jié)】一、分式

形如考A4方是整式，且B中含有字母，3加）的式子叫做分式.

分分式概念

式因?yàn)椤２荒茏龀龜?shù)，所以在分式盤中，若毋0,則分式箭■意義；若2=0,那么

有意義的DD

的A

條件分式會(huì)沒有意義.

相

在分式段A中，當(dāng)A=O且8R0時(shí)，分式A三的值為0

關(guān)值為0DD

分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變.用式子表

概分式的基本

不是：8—BMVf8—8品全其中又是不等于。的整式）

念性質(zhì)

約分將分子、分母中的公因式約去，叫做分式的約分

將幾個(gè)異分母的分式化為同分母的分式，這種變形叫分式的通分

通分

同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減，即:土，一“丁7.異分母的分式相加減，

分式加

減先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后相加減，即齊京二嗤^

公力

分式乘以分式，用分子的積做積的分子，分母的積做積的分母，即翡=器分式除以分

式分式乘

式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘，即篇一兼一片

運(yùn)除

算

分式的

在分式的加減乘除混合運(yùn)算中，應(yīng)先算乘除，進(jìn)行約分化簡(jiǎn)后，再進(jìn)行加減運(yùn)算，遇

混合運(yùn)

到有.括號(hào)的，先算括號(hào)里面的.運(yùn)算結(jié)果必須是最簡(jiǎn)分式或整式.

算

【考點(diǎn)總結(jié)】二、分式方程

定義分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程

(1)解分式方程的基本思路：將分式方程化為整式方程.

(2)常用方法：①去分母;②換元法.

分(3)去分母法的步驟：①去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程;②解所得的整式方程;③驗(yàn)根

式作答.

解法

方(4)換元法的步驟：①設(shè)輔助未知數(shù);②得到關(guān)于輔助未知數(shù)的新方程，求出輔助未知數(shù)的

程值;③把輔助未知數(shù)的值代回原式中，求出原來未知數(shù)的值;④檢驗(yàn)作答.

(5)解分式方程時(shí)，在把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生不適合原方程的根(我們

把這個(gè)根叫做方程的增根)，所以解分式方程時(shí)要驗(yàn)根.

超'—用m解分式方程應(yīng)用題的關(guān)鍵是把握題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系,列出分式方程，最后要驗(yàn)根

【注意】

1.約分前后分式的值要相等.

2.約分的關(guān)鍵是確定分式的分子和分母的公因式.

3.約分是對(duì)分子、分母的整體進(jìn)行的，也就是分子的整體和分母的整體都除以同一個(gè)因式

分式混合運(yùn)算的運(yùn)算

運(yùn)算順序：1.先把除法統(tǒng)一成乘法運(yùn)算；

2.分子、分母中能分解因式的多項(xiàng)式分解因式;

3.確定分式的符號(hào)，然后約分；

4.結(jié)果應(yīng)是最簡(jiǎn)分式.

【技巧歸納】

技巧1:分式的意義及性質(zhì)的四種題型

【類型】一、分式的識(shí)別

L在言‘品,F'2m，壬,等中,不是分式的式子有（）

A.1個(gè)8.2個(gè)C.3個(gè)D4個(gè)

2.從a-l,3+%，2,x?+5中任選2個(gè)構(gòu)成分式，共有個(gè).

【類型】二、分式有無意義的條件

3.若代數(shù)式已在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

A.a=4B.a>4C.a<4D.a*

x—1

當(dāng)*=______時(shí)，分式〒^無意義.

4.X—1

3x+5

5.已知不論x為何實(shí)數(shù)，分式x?二6x+m總有意義'試求m的取值范圍.

【類型】三、分式值為正、負(fù)數(shù)或0的條件

6.若x2—9+1的值為正數(shù)，則X的取值范圍是（）

A.x<-2B.x<lC.x>—2且x，lD.x>l

3x—4

若分式一的值為負(fù)數(shù)，則x的取值范圍是______.

7.2—x

a一1

8.已知分式/二京的值為0,求a.的值及b的一取值范圍.

【類型】四、分式的基本性質(zhì)及其應(yīng)用

9.下列各式正確的.是（）

,aa2caab〃aa+c八aab

旦6=羊Cb=^Db=^

ix2

10.要使式子±=2___d從左到右的變形成立，X應(yīng)滿足的條件是（）

XDXX.O

A.x>—2B.X——2C.xV—2D.xr—2

_,%xyz八4x+2y+3z

11.已知7=*=#°，求A-C1/1的值.

40/6x—5y十4z

XVz

12.已知x+y+z=O,xyz#),求?|+1±-;+i_u?的值.

JJly+z|憶十x||x十y|

技巧2：分式運(yùn)算的八種技巧

【類型】一、約分計(jì)算法

留a2+6aa2—9

1計(jì)算：a2+3a-a2+6a+9-

【類型】二、整體通分法

4

2.計(jì)算：a—2+a_(_^.

【類型】三、順次相加法

3-計(jì)算：占1+喜1+含2x+券4x?T

【類型】四、換元通分法

、1田,(3m—2n)3、,2n—3m

-

4.計(jì)算：(3m-2n)+3m_2n+1(3m-2n)-+3m_2n-]-

【類型】五、裂項(xiàng)相消法(即品1r=宗馬

5-計(jì)算：a(a+1)+(a+1)(a+2)+(a+2)(a+3)+,-,+'(a+99)(a+100),

【類型】六'整體代入法

/「bl」11,111,11abc”小

6.已知/『不b+-c=9>；+c=i5>求ab+bc+ac的值.

【類型】七、倒數(shù)求值法

XX2

已知X2-3X+1=-1,求X4_9X?+]的值.

【類型】八、消元法

5x2+2y2—z2

8.已矢口4x——3y——6z=0,x+2y——7z=0,且xyzr0,求_3y2_iOz2的值.

技巧3:巧用分式方程的解求字母的值或取值范圍

【類型】一、利用分式方程解的定義求字母的值

1.已知關(guān)于x的分式方程-與分式方程的解相同，求而一2m的值.

x十4xZxX—1

【類型】二、利用分式方程有解求字母.的取值范圍

2.若關(guān)于x的方程口=」%+2有解，求m的取值范圍.

X-3X-3

【類型】三、利用分式方程有增根求字母的值

3.如果解關(guān)于x的分式方程二%一六=1時(shí)出現(xiàn)增根，那么m的值為()

X—22—x

A.-2B.2C.4D.-4

4.若關(guān)于x的方程有增根，則增根是多少？并求方程產(chǎn)生增根時(shí)m的值.

【類型】四、利用分式方程無解求字母的值

5.若關(guān)于x的分式方程無解，則2=.

XI1

6.已知關(guān)于x的方程y一m—4=六"無解，求m的值.

X_33-x

xI-S

7.已知關(guān)于x的分式方程號(hào)T=l.

(1)若方程的增根為x=2,求a的值；

(2)若方程有增根，求a的值；

(3)若方程無解，求a的值.

技巧4：分式求值的方法

【類型】一、直接代入法求值

1.先化簡(jiǎn)，再求值：島+營(yíng)4七六，其中a=5.

【類型】二、活用公式求值

2.已知實(shí)數(shù)x滿足X2—_5X+1=0,求x4+J的值.

3.已知x+y=12,xy=9,求2y的值.

【類型】三、整體代入法求值

222

4.已知士+士+E=1,且x+y+z￥O,求七+七+3一的值.

y十zz十xx十y,y十zz十xx十y

【類型】四、巧變形法求值

5.已知實(shí)數(shù)x滿足4x2—4x+1=0,求2x+*的值.

ZX

【類型】五'設(shè)參數(shù)求值

6.已知|.=言0,求處捺弁的值?

【題型講解】

【題型】一、分式有意義的條件

X

例1、使得式子不；有意義的X的取值范圍是（）

A.x>4B.x>4C.x<4D.x<4

【題型】二、分式的運(yùn)算

Qr\4

例2、分式一J-J化簡(jiǎn)后的結(jié)果為

a—11—a

6Z+16Z+3a/+3

A.------B.-------C.D.

ct—1Q—1〃一1a2-l

分式的基本性質(zhì)

b，則，的值為（

例3、若)

a-b4b

11

A.5B.-C.3D.

53

【題型】四、解分式方程

2L的解是（

例4、方程)

x+5x-2

A.x=-1B.x=5C.犬=7D.x=9

【題型】五.分式方程的解

m3

例5、關(guān)于x的分式方程------------------1有增根，則根的值)

x—2---2—x

【題型】六.列分式方程

例6、隨著快遞業(yè)務(wù)的增加，某快遞公司為快遞員更換了快捷的交通工具，公司投遞快件的能力由每周3000

件提高到4200件，平均每人每周比原來多投遞80件，若快遞公司的快遞員人數(shù)不變，求原來平均每人每周

投遞快件多少件？設(shè)原來平均每人每周投遞快件x件，根據(jù)題意可列方程為（）

300042003000℃4200

A.-------=---------B.------------------+80=-

xx-80Xx

4200300030004200

C.-------=-----------oQ(JnD.-------

xxxx+80

分式方程（達(dá)標(biāo)訓(xùn)練）

一、單選題

rvj-I-V3

L12。22?廣西?富川瑤族自治縣教學(xué)研究室模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于x的分式方程右+口=1有解,則實(shí)數(shù)加應(yīng)

滿足的條件是（）

A.m=-lB.m^-1C.m=lD.m=^\

2

2.（2022.海南省直轄縣級(jí)單位.二模）分式方程1=1的解為（）

x+1

A.-1B.0C.1D.2

54%―3y

)

3.（2022.天津南開?二模）化間2，，\的結(jié)果是（

y一%

555n3x+y

—

A.B.C.22D.22

%一y%+y%-y%一y

rn2

4.（2022貴州貴陽(yáng)三模）計(jì)算-展的結(jié)果是（）

m-2m-2

A.2B.-2C.1D.-1

5.（2022.江蘇淮安.一模）若分式上;有意義，則X的取值范圍是（）

x+2

A.B.2C.%>~2D.%2—2

二、填空題

6.（2022.四川省遂寧市第二中學(xué)校二模）分式方程上3-r--1=3的解為

x-1x+1

7.（2022?湖南懷化?模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算=--^-=____.

x+2x+2

三、解答題

13

8.（2022?浙江麗水?一模）解方程：-----=2.

尤一33-x

分式方程（提升測(cè)評(píng)）

一、單選題

1.（2022.遼寧葫蘆島.一模）2022年北京冬奧會(huì)的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受國(guó)內(nèi)外朋友的喜愛.某特

許零售店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)一批吉祥物銷售.已知用600元購(gòu)進(jìn)“冰墩墩”的數(shù)量與用500元購(gòu)進(jìn)“雪容融”數(shù)置相同，

已知購(gòu)進(jìn)“冰墩墩”的單價(jià)比“雪容融”的單價(jià)多10元，設(shè)購(gòu)進(jìn)“冰墩墩”的單價(jià)為x元，則列出方程正確的是

()

600500-600_500600500600_500

A.——=——+10B.

xxxx+10X—10xxx-10

vny—1

2.（2022?黑龍江牡丹江.模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于x的方程絲一=3無解，則機(jī)的值為（）

無一1

A.1B.1或3C.1或2D.2或3

a{-竺］的結(jié)果是（）

3.（2022?安徽?三模）化簡(jiǎn)-------a-

a-b(aJ

]D.-^―

A.a+bB.C.u-b

a+ba-b

4.（