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文檔簡介

專題01有理數(shù)

【專題目錄】

技巧1絕對值的八種常見應用

技巧2有理數(shù)中的六種易錯類型

【題型】一、有理數(shù)概念理解

【題型】二、用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)

【題型】三、求一個數(shù)的相反數(shù)

【題型】四、求一個數(shù)的絕對值

【題型】五、有理數(shù)的加減乘除混合運算

【題型】六、科學記數(shù)法

【考綱要求】

1、了解有理數(shù)的概念,知道有理數(shù)與數(shù)軸上的點---對應.

2、借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對值的意義,會求一個數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)與絕對值.

【考點總結(jié)】一、有理數(shù)

正數(shù)大于0的數(shù)叫做正數(shù)

意義:表示具有相反意義的量

負數(shù)在正數(shù)前面加上“一”號的數(shù)叫做負數(shù)

有數(shù)軸規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸

理只有符號不同的兩個數(shù),叫做互為相反數(shù)

數(shù)(1)若a力互為相反數(shù),則a+b=o;

相反數(shù)

的(2)0的相反數(shù)是0;

相(3)在數(shù)軸上,互為相反數(shù)的兩個數(shù)對應的點到原點的距離相等.

關(guān)數(shù)軸上點a與原點的距離口U做。的絕對值,記作a

絕對值a(a>0)

念絕對值具有非負性:同=<0(。=0)

-a(a<0)

倒數(shù)乘積為1的兩個實數(shù)互為倒數(shù)

(1)互為倒數(shù);

(2)0沒有倒數(shù);

(3)倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1和-1.

科學計數(shù)法把一個數(shù)寫成axlO"(其中上同<10,"為整數(shù))的形式

【注意】

數(shù)軸

1、數(shù)軸的三要素:愿點、正方向、單位長度(重點)

2、任何有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示,有理數(shù)與數(shù)軸上的點是對應的。

3、數(shù)軸上的點表示的數(shù)從左到右依次增大;原點左邊的數(shù)是負數(shù),原點右邊的數(shù)是正數(shù).

【考點總結(jié)】二、有理數(shù)四則運算

同號兩數(shù)相加,取原來的符號。并把它們的絕對值相加。

加法異號兩數(shù)相加,取絕對儲較大的加數(shù)的符號,并用較大數(shù)的絕對值減失較小數(shù)的絕對值。

加法運算律:①交換律a+b=b+a;②結(jié)合律(〃+/?)+c=〃+(Z?+c)。

減法減去一個效等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。即:a-b=a+(-b)o

兩數(shù)相乘,同號得正,異號得負,并把它們的絕對值相乘

有幾個非零實數(shù)相乘。積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定,當負因數(shù)有偶數(shù)個時,積為正;當

理乘法負因數(shù)有奇數(shù)個時,積為負

數(shù)〃個數(shù)相乘,有一個因數(shù)為0,積為0.

的乘法運算律:①交換律。。=%;②結(jié)合律③分配律

運兩數(shù)相除,同號得正,異號得負,并把它們的絕對值相除

除法

算0除以任何一個不等于0的數(shù)都得0

求〃個相同因數(shù)的積的運算,叫做乘方。乘方的結(jié)果叫做累。

乘方

如:讀作.的幾次方(塞),在〃〃中,〃叫做底數(shù),〃叫做指數(shù)。

〃個a

分級:加減是一級運算。除是二級運算,乘方和開方是三級運算,三級運算的題序是三

運算順序二一、(如果有括號,先算括號內(nèi)的;如果沒有括號,在同一級運算中,要從左至右進行

運算,無論何種運算,都要注意先定符號后運算)

【注意】

1、有理數(shù)的加減混合運算

規(guī)則:運用減法法則將加減混合運算統(tǒng)一為加法進行運算

步驟:(1)減法化加法;

(2)省略括號和加號;

(3)運用加法運算律使計算簡便;

(4)運用有理數(shù)加法法則進行計算。

注:運用加法運算律時,可按如下幾點進行:

(1)同號的先結(jié)合;

(2)同分母的分數(shù)或者比較容易通分的分數(shù)相結(jié)合;

(3)互為相反數(shù)的兩數(shù)相結(jié)合;

(4)能湊成整數(shù)的兩數(shù)相結(jié)合;

(5)帶分數(shù)一般化為假分數(shù)或者分為整數(shù)和分數(shù)兩部分,再分別相加。

2、多個有理數(shù)相乘的法則及規(guī)律:

(1)幾個不是0的數(shù)相乘,負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時,積是負數(shù);

負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時,積是正數(shù)。

確定符號后,把各個因數(shù)的絕對值相乘。

(2)幾個數(shù)相乘,有一個因數(shù)為0,積為0;反之,如果積為0,那么至少有一個因數(shù)是0.

注:帶分數(shù)與分數(shù)相乘時,通常把帶分數(shù)化成假分數(shù),再與分數(shù)相乘。

【技巧歸納】

技巧1:絕對值的六種常見應用

【類型】一、已知一個數(shù)求這個數(shù)的絕對值

L化簡:

⑴I—(+7)|;⑵一|-8|;

【類型】二、已知一個數(shù)的絕對值求這個數(shù)

2.若|a|=2,則a=.

3.若|x|=|y|,且x=—3,貝!Jy=.

【類型】三、絕對值在求字母的取值范圍中的應用

4.右|x|=—x,則x的取值氾圍是.

5.若|x—2|=2—x,則x的取值范圍是.

【類型】四、絕對值在比較大小中的應用

24

6.把一(一1),一--g,0,用“〉”連接正確的是()

4224

A.0>—(―1)>——5>—^B.0>—(―1)>—^>——寫

2442

C.一(—1)>0>一一—弓D.一(—1)>0>一—百>一w

【類型】五、絕對值的非負性在求字母值中的運用

7.若a—3+b—3+c—4=°,求a+b—c的值.

【類型】六、絕對值的非負性在求最值中的應用

8.根據(jù)同打這條性質(zhì),解答下列問題:

(1)當2=時,|a—4|有最小值,此時最小值為;

參考答案

1.解:(1)原式=7.(2)原式=-8.

2.±23+3

4.x<05.x<2

6.C

11117

所以+b-

不a-C--_--

解:由題意知=2+■4

7.a2>b=1,12

8.解:(1)4;0

(2)因為a,b互為相反數(shù),所以b=-a.又因為a<0,b>0.

所以|a—b|+2a+|b|=|2a|+2a+|b|=—2a+2a+b=b.

技巧2:有理數(shù)中的六種易錯類型

【類型】一、對有理數(shù)有關(guān)概念理解不清造成錯誤

1.下列說法正確的是()

A.最小的正整數(shù)是0

B.一a是負數(shù)

C.符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)

D.—a的相反數(shù)是a

【類型】二、誤認為|a|=a,忽略對字母a分情況討論

2.如果一個數(shù)的絕對值等于它本身,那么這個數(shù)一定是()

A.負數(shù)B.負數(shù)或零

C.正數(shù)或零D.正數(shù)

【類型】三、對括號使用不當導致錯誤

<1,1n

3.計算:2—1一弓+廠方.

【類型】四、忽略或不清楚運算順序

4.計算:一5一(―5)x由吊x(—5).

【類型】五、乘法運算中確定符號與加法運算中的符號規(guī)律相混淆

5.計算:—36義信一?一1).

【類型】六、除法沒有分配律

6.計算:

參考答案

1.D2.C

1110

3.解:原式=2+5一^+5=24.

4.解:原式=—5—(—5)xygX10x(—5)=—30.

75

5.解:原式=—36x——(—36)x——(—36)x1

=—21+30+36

=576.

方法指導:解本題時往往會出現(xiàn)將乘法分配律運用到除法運算中的錯誤,從而出現(xiàn)“原式=24+9—24g一

JO

24+1=72—192—144=-264”這樣的錯誤.

O

【題型講解】

【題型】一、有理數(shù)概念理解

jr22

例1、在下列實數(shù):3、百、場、灰、一、-o.ooioooi中,有理數(shù)有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【提示】由題意根據(jù)有理數(shù)的定義:整數(shù)與分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù),進行提示即可判斷.

【詳解】

解::/=3,屈=4,

22

:,河,灰,萬,-0.0010001是有理數(shù),其它的是無理數(shù).

有理數(shù)有4個.

故選:D.

【題型】二、用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)

例2、如圖,數(shù)軸上兩點",N所對應的實數(shù)分別為帆",則,”-〃的結(jié)果可能是()

-2-1012

A.-1B.1C.2D.3

【答案】C

【提示】根據(jù)數(shù)軸確定加和”的范圍,再根據(jù)有理數(shù)的加減法即可做出選擇.

【詳解】解:根據(jù)數(shù)軸可得0<山<1,-2<?<-1,則1<機一〃<3。故選:C

【點睛】

本題考查的知識點為數(shù)軸,解決本題的關(guān)鍵是要根據(jù)數(shù)軸明確相和〃的范圍,然后再確定加一〃的范圍即可.

【題型】三、求一個數(shù)的相反數(shù)

例3、下列式子中,正確的是()

A.|-5|=-5B.-|-5|=5C.-(-5)=-5D.-(-5)=5

【答案】D

【解析】

試題解析:A.1-51=5,故原選項錯誤;

B.-|-5|=-5,故原選項錯誤;

C.-(-5)=5,故原選項錯誤;

D.-(-5)=5,故正確.

故選D.

【題型】四、求一個數(shù)的絕對值

例4、—2020的絕對值是()

1

A.-2020B.2020C.———D.-------

20202020

【答案】B

【提示】根據(jù)絕對值的定義直接解答.

【詳解】解:根據(jù)絕對值的概念可知:卜2020]=2020,故選:B.

【題型】五、有理數(shù)的加減乘除混合運算

例5、計算:

(1)12-(-18)+(-7)-15

(2)(—4)x8—(—16)+1—1g

(3)匕(3%5+歷11卜)/-c2對八

(4)-14-(1-0.5)X|X[2-(-3)2]

【答案】(1)8;(2)-44;(3)-20;(4)-

6

【提示】

(1)根據(jù)有理數(shù)的減法法則和加法法則計算即可;

(2)根據(jù)有理數(shù)的乘法法則、除法法則和減法法則計算即可;

(3)根據(jù)乘法分配律和各個運算法則計算即可;

(4)根據(jù)有理數(shù)的運算順序和各個運算法則計算即可.

【詳解】

解:(1)12-(-18)+(-7)-15

=12+18+(-7)-15

=30+(-7)-15

=23-15

=8

(2)(-4)x8—(—16)+1—1g

=—32—(—16)+

=-32-(-16)x

=-32-12

=-44

(35,c八

(3)+—義(-24)

U612J

3511

=-x(-24)--x(-24)+—x(-24)

=-18+20-22

=-20

(4)-14-(1-0.5)X1X[2-(-3)2]

=-1--x—x[2-91

23L」

~6

【題型】六、科學記數(shù)法

例6、2020年6月23日,北斗三號最后一顆全球組網(wǎng)衛(wèi)星從西昌發(fā)射中心發(fā)射升空,6月30日成功定點于

距離地球36000公里的地球同步軌道.將36000用科學記數(shù)法表示應為()

A.0.36xl05B.3.6xl05C.3.6xl04D.36xl04

【答案】C

【提示】科學記數(shù)法的表示形式為axion的形式,其中l(wèi),a|<10,n為整數(shù).當原數(shù)絕對值大于1時,n是

正數(shù);當原數(shù)絕對值小于1時,n是負數(shù).

【詳解】解:36000=3.6xl041故選:C.

有理數(shù)(達標訓練)

一、單選題

1.(2022?浙江金華?一模)-2的相反數(shù)是()

A.2B.JC.-2D.—

22

【答案】A

【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義:只有符號不同的兩個數(shù)叫互為相反數(shù),直接求解即可.

【詳解】解:由相反數(shù)的定義可知-2的相反數(shù)是2,

故選:A.

【點睛】本題考查相反數(shù)的定義,熟練掌握相反數(shù)的定義是解決問題的關(guān)鍵.

2.(2022?遼寧撫順?模擬預測)-g的絕對值等于()

A.--B.4C.2D.-2

22

【答案】B

【分析】直接利用絕對值的性質(zhì)分析得出答案.

【詳解】解:的絕對值是

故選:B.

【點睛】本題考查了絕對值,掌握負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)是解題的關(guān)鍵.

3.(2022?上海普陀?二模)下列各數(shù)在數(shù)軸上所對應的點與原點的距離最遠的是

A.2B.1C.-1.5D.-3

【答案】D

【分析】根據(jù)到原點距離最遠的點就是絕對值最大的數(shù),對每個數(shù)作出判斷,即可求出答案.

【詳解】2到原點的距離是2個長度單位,

1到原點的距離是1個長度單位,

-1.5到原點的距離是1.5個長度單位,

-3到原點的距離是3個長度單位,

即到原點的距離最遠的點是-3.

故選:D.

【點睛】本題考查絕對值的幾何意義,絕對值就是一個數(shù)在數(shù)軸上到原點的距離,求出每一個數(shù)的絕對值

就是到原點的距離.

4.(2022?重慶銅梁?一模)在下列四個選項中,比-1小的數(shù)是()

A.1B.-2C.0D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)“正數(shù)>0>負數(shù),兩個負數(shù)比較大小,絕對值大的反而小”即可得出答案.

【詳解】解:???1-21=2,2>1,

—2<—1<0<1<2,

..?其中比T小的數(shù)是-2.

故選:B.

【點睛】本題考查了有理數(shù)的比較大小,掌握兩個負數(shù)比較大小,絕對值大的反而小是解題的關(guān)鍵.

5.(2022?河南?三模)下列各數(shù)中絕對值最大的數(shù)是()

A.-4B.-3C.0D.乃

【答案】A

【分析】先求出各數(shù)的絕對值,再比較大小即可解答.

【詳解】解:H=4,|-3|=3,|0|=0,=

:4>萬>3>0,

...絕對值最大的數(shù)是-4,

故選:A.

【點睛】本題考查了實數(shù)的大小比較以及絕對值的概念,解題的關(guān)鍵是求出各數(shù)的絕對值.

6.(2023?福建莆田?二模)中國工程院院士、世界雜交水稻之父袁隆平一生致力于雜交水稻技術(shù)的研究、應

用與推廣,發(fā)明“三系法”釉型雜交水稻,成功研究出“兩系法”雜交水稻,為中國糧食安全、農(nóng)業(yè)科學發(fā)展和

世界糧食供給作出杰出貢獻.2021年,全國糧食再獲豐收,全年糧食總產(chǎn)量達到13657億斤,糧食產(chǎn)量連

續(xù)7年穩(wěn)定在1.3萬億斤以上.將13657用科學記數(shù)法表示應為()

A.0.13657xlO5B.1.3657xlO5C.13.657xlO3D.1.3657xlO4

【答案】D

【分析】用科學記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù),形如為正整數(shù),據(jù)此解答.

【詳解】解:13657用科學計數(shù)法表示應為1.3657x104

故選:D.

【點睛】本題考查用科學記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù),是基礎考點,掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

二、填空題

7.(2022?河南?鄭州外國語中學模擬預測)計算:卜3+2卜------

【答案】1

【分析】先計算出絕對值符號里面的結(jié)果,再求得此題結(jié)果即可.

【詳解】解:卜3+2卜|一[=1,

故答案為:1.

【點睛】此題考查了有理數(shù)的加法和絕對值,關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的加法法則.

8.(2021?福建漳州?模擬預測)如圖,數(shù)軸上A,8兩點表示的兩個數(shù)互為相反數(shù)(一格表示單位長度為1),

則點C表示的數(shù)是.

ACB

【答案】-i

【分析】根據(jù)數(shù)軸上表示的數(shù)互為相反數(shù)的性質(zhì):即到原點的距離相等,再由兩點之間的距離確定出A表

示的數(shù),進而可得答案.

【詳解】解::數(shù)軸上48兩點表示的數(shù)互為相反數(shù),

.,.A,8兩點到原點的距離相等,

???點A與點B之間的距離為6個單位長度,

二點A到原點的距離為6+2=3,

?.?點A在原點的左側(cè),

??.點A表示的數(shù)是-3,

.??點C表示的數(shù)是-1

故答案為:-1.

【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離的求法,以及相反數(shù)的性質(zhì),熟練掌握這些基礎知識是解題的關(guān)

鍵.

三、解答題

9.計算:6x]g_g]_(-2)2

【答案】T7

【分析】根據(jù)有理數(shù)的混合運算進行計算即可求解.

【詳解】解:原式=6x工一6x3-4x4

32

=2-3-16

=-17.

【點睛】本題考查了含乘方的有理數(shù)的混合運算,正確的計算是解題的關(guān)鍵.

有理數(shù)(提升測評)

一、單選題

1.(2022?河北邯鄲?三模)等號左右兩邊一定相等的一組是()

A.—=-a+bB.a3-a+a+aC.-2(a+/?)=-2a—2Z?D.—(a—=—a—b

【答案】C

【分析】利用去括號法則與正整數(shù)幕的概念判斷即可.

【詳解】解:對于A,-{a+b)^-a-b,A錯誤,不符合題意;

對于B,B錯誤,不符合題意;

對于C,-2(a+l>)=-2a-2l>,C正確,符合題意;

對于D,-(。-6)=-a+6,D錯誤,不符合題意.

故選:C.

【點睛】本題考查了去括號法則,以及正整數(shù)哥的概念,熟練掌握相關(guān)定義與運算法則是解題的關(guān)鍵.

2.(2022.河北保定.二模)嘉琪在《趣味數(shù)學》中學習到遠古時期的一種計數(shù)方法,即“結(jié)繩計數(shù)”,類似現(xiàn)

在我們熟悉的“進位制”.如圖所示,在從右向左依次排列的不同繩子上打結(jié),滿五進一,例如,圖1中表示

的數(shù)為31,可知圖2中表示的數(shù)為()

【答案】C

【分析】由題可知,可知圖2中的五進制數(shù)為321,化為十進制數(shù)即可.

【詳解】解:根據(jù)題意得:

圖2中的五進制數(shù)為321,

化為十進制數(shù)為:321=3X52+2X51+1X5°=86.

故選:C.

【點睛】本題主要考查了進位制,解題的關(guān)鍵是會將五進制轉(zhuǎn)化成十進制.

3.(2022?安徽?三模)下列各數(shù)中,化簡結(jié)果最小的是()

A.-5B.|-5|C.(-5/D.(一5y

【答案】A

【分析】分別計算絕對值,負整數(shù)指數(shù)幕,乘方運算,再比較各數(shù)的大小,從而可得答案.

【詳解】解:Q|-5|=5,(-5)-'=-1,(-5)2=25,

而-5<-g<5<25,

\-5<(-5)-1<|-5|<(-5)2,

所以最小的數(shù)是-5,

故選:A

【點睛】本題考查的是絕對值的含義,負整數(shù)指數(shù)幕的含義,有理數(shù)的乘方運算,有理數(shù)的大小比較,掌

握以上基礎知識是解本題的關(guān)鍵.

4.(2022?貴州貴陽?三模)如圖,在不完整的數(shù)軸上,點A,8分別表示數(shù)a,b,且a與b互為相反數(shù),若

42=8,則點A表示的數(shù)為()

------1---------------1----------?

AB

A.-4B.0C.4D.8

【答案】A

【分析】根據(jù)AB=8,且點A,B分別表示數(shù)a,b互為相反數(shù),可知A,8兩點到原點的距離相等,進而

可求出8點表示的數(shù),進而可求出A點表示的數(shù).

【詳解】解:因為AB=8,且點A,2分別表示數(shù)a,6互為相反數(shù),

所以A,8兩點到原點的距離相等,

則2點表示的數(shù)為:8+2=4,

則A點表示的數(shù)為:-4,

故選:A.

【點睛】本題考查相反數(shù)的幾何意義,數(shù)軸上兩點之間的距離,能夠熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的

關(guān)鍵.

5.(2022.河北唐山?三模)如圖1,點A,B,C是數(shù)軸上從左到右排列的三個點,分別對應的數(shù)為-5,b,

4,某同學將刻度尺如圖2放置,使刻度尺上的數(shù)字0對齊數(shù)軸上的點4發(fā)現(xiàn)點2對應刻度1.8cm,點C

對齊刻度54cm.則數(shù)軸上點8所對應的數(shù)人為()

圖1圖2

A.3B.-1C.-2D.-3

【答案】C

【分析】結(jié)合圖1和圖2求出1個單位長度=0.6cm,再求出求出A3之間在數(shù)軸上的距離,即可求解;

【詳解】解:由圖1可得AC=4-(-5)=9,由圖2可得AC=5.4cm,

數(shù)軸上的一個長度單位對應刻度尺上的長度為=54+9=0.6(cm),

'/AB=1.8cm,

.,.AB=1.8^0.6=3(單位長度),

在數(shù)軸上點B所對應的數(shù)6=一5+3=-2;

故選:C

【點睛】本題考查了數(shù)軸,利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題是本題的關(guān)鍵.

6.(2022?陜西?西安工業(yè)大學附中三模)下列算式中,運算結(jié)果為負數(shù)的是()

A.-12B.-1-(-5)C.-(--)D.-2x0

6

【答案】A

【分析】先逐一計算,后作出判斷即可.

【詳解】解::-12=-1,是負數(shù),

.??A符合題意;

-1-(-5)=4,是正數(shù),

.'.B不符合題意;

?;-(-=7.是正數(shù),

66

;.C不符合題意;

?;-2x0=0,既不是正數(shù),也不是負數(shù),

??.D不符合題意;

故選:A.

【點睛】本題考查了有理數(shù)的運算,負數(shù),熟練掌握有理數(shù)的運算是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

7.(2022?浙江寧波?一模)定義:[可表示不大于x的最大整數(shù),(x)表示不小于尤的最小整數(shù),例如:[2.3]=2,

(2.3)=3,[-2.3]=-3,(-2.3)=-2.貝“1.7]+(—1.7)=.

【答案】0

【分析】根據(jù)題意,[1.7]中不大于1.7的最大整數(shù)為1,(-1.7)中不小于-1.7的最小整數(shù)為-1,則可解答

【詳解】解:依題意:

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