版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進行舉報或認領
文檔簡介
專題01有理數(shù)
【專題目錄】
技巧1絕對值的八種常見應用
技巧2有理數(shù)中的六種易錯類型
【題型】一、有理數(shù)概念理解
【題型】二、用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)
【題型】三、求一個數(shù)的相反數(shù)
【題型】四、求一個數(shù)的絕對值
【題型】五、有理數(shù)的加減乘除混合運算
【題型】六、科學記數(shù)法
【考綱要求】
1、了解有理數(shù)的概念,知道有理數(shù)與數(shù)軸上的點---對應.
2、借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對值的意義,會求一個數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)與絕對值.
【考點總結(jié)】一、有理數(shù)
正數(shù)大于0的數(shù)叫做正數(shù)
意義:表示具有相反意義的量
負數(shù)在正數(shù)前面加上“一”號的數(shù)叫做負數(shù)
有數(shù)軸規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸
理只有符號不同的兩個數(shù),叫做互為相反數(shù)
數(shù)(1)若a力互為相反數(shù),則a+b=o;
相反數(shù)
的(2)0的相反數(shù)是0;
相(3)在數(shù)軸上,互為相反數(shù)的兩個數(shù)對應的點到原點的距離相等.
關(guān)數(shù)軸上點a與原點的距離口U做。的絕對值,記作a
概
絕對值a(a>0)
念絕對值具有非負性:同=<0(。=0)
-a(a<0)
倒數(shù)乘積為1的兩個實數(shù)互為倒數(shù)
(1)互為倒數(shù);
(2)0沒有倒數(shù);
(3)倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1和-1.
科學計數(shù)法把一個數(shù)寫成axlO"(其中上同<10,"為整數(shù))的形式
【注意】
數(shù)軸
1、數(shù)軸的三要素:愿點、正方向、單位長度(重點)
2、任何有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示,有理數(shù)與數(shù)軸上的點是對應的。
3、數(shù)軸上的點表示的數(shù)從左到右依次增大;原點左邊的數(shù)是負數(shù),原點右邊的數(shù)是正數(shù).
【考點總結(jié)】二、有理數(shù)四則運算
同號兩數(shù)相加,取原來的符號。并把它們的絕對值相加。
加法異號兩數(shù)相加,取絕對儲較大的加數(shù)的符號,并用較大數(shù)的絕對值減失較小數(shù)的絕對值。
加法運算律:①交換律a+b=b+a;②結(jié)合律(〃+/?)+c=〃+(Z?+c)。
減法減去一個效等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。即:a-b=a+(-b)o
兩數(shù)相乘,同號得正,異號得負,并把它們的絕對值相乘
有幾個非零實數(shù)相乘。積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定,當負因數(shù)有偶數(shù)個時,積為正;當
理乘法負因數(shù)有奇數(shù)個時,積為負
數(shù)〃個數(shù)相乘,有一個因數(shù)為0,積為0.
的乘法運算律:①交換律。。=%;②結(jié)合律③分配律
運兩數(shù)相除,同號得正,異號得負,并把它們的絕對值相除
除法
算0除以任何一個不等于0的數(shù)都得0
求〃個相同因數(shù)的積的運算,叫做乘方。乘方的結(jié)果叫做累。
乘方
如:讀作.的幾次方(塞),在〃〃中,〃叫做底數(shù),〃叫做指數(shù)。
〃個a
分級:加減是一級運算。除是二級運算,乘方和開方是三級運算,三級運算的題序是三
運算順序二一、(如果有括號,先算括號內(nèi)的;如果沒有括號,在同一級運算中,要從左至右進行
運算,無論何種運算,都要注意先定符號后運算)
【注意】
1、有理數(shù)的加減混合運算
規(guī)則:運用減法法則將加減混合運算統(tǒng)一為加法進行運算
步驟:(1)減法化加法;
(2)省略括號和加號;
(3)運用加法運算律使計算簡便;
(4)運用有理數(shù)加法法則進行計算。
注:運用加法運算律時,可按如下幾點進行:
(1)同號的先結(jié)合;
(2)同分母的分數(shù)或者比較容易通分的分數(shù)相結(jié)合;
(3)互為相反數(shù)的兩數(shù)相結(jié)合;
(4)能湊成整數(shù)的兩數(shù)相結(jié)合;
(5)帶分數(shù)一般化為假分數(shù)或者分為整數(shù)和分數(shù)兩部分,再分別相加。
2、多個有理數(shù)相乘的法則及規(guī)律:
(1)幾個不是0的數(shù)相乘,負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時,積是負數(shù);
負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時,積是正數(shù)。
確定符號后,把各個因數(shù)的絕對值相乘。
(2)幾個數(shù)相乘,有一個因數(shù)為0,積為0;反之,如果積為0,那么至少有一個因數(shù)是0.
注:帶分數(shù)與分數(shù)相乘時,通常把帶分數(shù)化成假分數(shù),再與分數(shù)相乘。
【技巧歸納】
技巧1:絕對值的六種常見應用
【類型】一、已知一個數(shù)求這個數(shù)的絕對值
L化簡:
⑴I—(+7)|;⑵一|-8|;
【類型】二、已知一個數(shù)的絕對值求這個數(shù)
2.若|a|=2,則a=.
3.若|x|=|y|,且x=—3,貝!Jy=.
【類型】三、絕對值在求字母的取值范圍中的應用
4.右|x|=—x,則x的取值氾圍是.
5.若|x—2|=2—x,則x的取值范圍是.
【類型】四、絕對值在比較大小中的應用
24
6.把一(一1),一--g,0,用“〉”連接正確的是()
4224
A.0>—(―1)>——5>—^B.0>—(―1)>—^>——寫
2442
C.一(—1)>0>一一—弓D.一(—1)>0>一—百>一w
【類型】五、絕對值的非負性在求字母值中的運用
7.若a—3+b—3+c—4=°,求a+b—c的值.
【類型】六、絕對值的非負性在求最值中的應用
8.根據(jù)同打這條性質(zhì),解答下列問題:
(1)當2=時,|a—4|有最小值,此時最小值為;
參考答案
1.解:(1)原式=7.(2)原式=-8.
2.±23+3
4.x<05.x<2
6.C
11117
所以+b-
不a-C--_--
解:由題意知=2+■4
7.a2>b=1,12
8.解:(1)4;0
(2)因為a,b互為相反數(shù),所以b=-a.又因為a<0,b>0.
所以|a—b|+2a+|b|=|2a|+2a+|b|=—2a+2a+b=b.
技巧2:有理數(shù)中的六種易錯類型
【類型】一、對有理數(shù)有關(guān)概念理解不清造成錯誤
1.下列說法正確的是()
A.最小的正整數(shù)是0
B.一a是負數(shù)
C.符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)
D.—a的相反數(shù)是a
【類型】二、誤認為|a|=a,忽略對字母a分情況討論
2.如果一個數(shù)的絕對值等于它本身,那么這個數(shù)一定是()
A.負數(shù)B.負數(shù)或零
C.正數(shù)或零D.正數(shù)
【類型】三、對括號使用不當導致錯誤
<1,1n
3.計算:2—1一弓+廠方.
【類型】四、忽略或不清楚運算順序
4.計算:一5一(―5)x由吊x(—5).
【類型】五、乘法運算中確定符號與加法運算中的符號規(guī)律相混淆
5.計算:—36義信一?一1).
【類型】六、除法沒有分配律
6.計算:
參考答案
1.D2.C
1110
3.解:原式=2+5一^+5=24.
4.解:原式=—5—(—5)xygX10x(—5)=—30.
75
5.解:原式=—36x——(—36)x——(—36)x1
=—21+30+36
=576.
方法指導:解本題時往往會出現(xiàn)將乘法分配律運用到除法運算中的錯誤,從而出現(xiàn)“原式=24+9—24g一
JO
24+1=72—192—144=-264”這樣的錯誤.
O
【題型講解】
【題型】一、有理數(shù)概念理解
jr22
例1、在下列實數(shù):3、百、場、灰、一、-o.ooioooi中,有理數(shù)有()
A.1個B.2個C.3個D.4個
【答案】D
【提示】由題意根據(jù)有理數(shù)的定義:整數(shù)與分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù),進行提示即可判斷.
【詳解】
解::/=3,屈=4,
22
:,河,灰,萬,-0.0010001是有理數(shù),其它的是無理數(shù).
有理數(shù)有4個.
故選:D.
【題型】二、用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)
例2、如圖,數(shù)軸上兩點",N所對應的實數(shù)分別為帆",則,”-〃的結(jié)果可能是()
-2-1012
A.-1B.1C.2D.3
【答案】C
【提示】根據(jù)數(shù)軸確定加和”的范圍,再根據(jù)有理數(shù)的加減法即可做出選擇.
【詳解】解:根據(jù)數(shù)軸可得0<山<1,-2<?<-1,則1<機一〃<3。故選:C
【點睛】
本題考查的知識點為數(shù)軸,解決本題的關(guān)鍵是要根據(jù)數(shù)軸明確相和〃的范圍,然后再確定加一〃的范圍即可.
【題型】三、求一個數(shù)的相反數(shù)
例3、下列式子中,正確的是()
A.|-5|=-5B.-|-5|=5C.-(-5)=-5D.-(-5)=5
【答案】D
【解析】
試題解析:A.1-51=5,故原選項錯誤;
B.-|-5|=-5,故原選項錯誤;
C.-(-5)=5,故原選項錯誤;
D.-(-5)=5,故正確.
故選D.
【題型】四、求一個數(shù)的絕對值
例4、—2020的絕對值是()
1
A.-2020B.2020C.———D.-------
20202020
【答案】B
【提示】根據(jù)絕對值的定義直接解答.
【詳解】解:根據(jù)絕對值的概念可知:卜2020]=2020,故選:B.
【題型】五、有理數(shù)的加減乘除混合運算
例5、計算:
(1)12-(-18)+(-7)-15
(2)(—4)x8—(—16)+1—1g
(3)匕(3%5+歷11卜)/-c2對八
(4)-14-(1-0.5)X|X[2-(-3)2]
【答案】(1)8;(2)-44;(3)-20;(4)-
6
【提示】
(1)根據(jù)有理數(shù)的減法法則和加法法則計算即可;
(2)根據(jù)有理數(shù)的乘法法則、除法法則和減法法則計算即可;
(3)根據(jù)乘法分配律和各個運算法則計算即可;
(4)根據(jù)有理數(shù)的運算順序和各個運算法則計算即可.
【詳解】
解:(1)12-(-18)+(-7)-15
=12+18+(-7)-15
=30+(-7)-15
=23-15
=8
(2)(-4)x8—(—16)+1—1g
=—32—(—16)+
=-32-(-16)x
=-32-12
=-44
(35,c八
(3)+—義(-24)
U612J
3511
=-x(-24)--x(-24)+—x(-24)
=-18+20-22
=-20
(4)-14-(1-0.5)X1X[2-(-3)2]
=-1--x—x[2-91
23L」
~6
【題型】六、科學記數(shù)法
例6、2020年6月23日,北斗三號最后一顆全球組網(wǎng)衛(wèi)星從西昌發(fā)射中心發(fā)射升空,6月30日成功定點于
距離地球36000公里的地球同步軌道.將36000用科學記數(shù)法表示應為()
A.0.36xl05B.3.6xl05C.3.6xl04D.36xl04
【答案】C
【提示】科學記數(shù)法的表示形式為axion的形式,其中l(wèi),a|<10,n為整數(shù).當原數(shù)絕對值大于1時,n是
正數(shù);當原數(shù)絕對值小于1時,n是負數(shù).
【詳解】解:36000=3.6xl041故選:C.
有理數(shù)(達標訓練)
一、單選題
1.(2022?浙江金華?一模)-2的相反數(shù)是()
A.2B.JC.-2D.—
22
【答案】A
【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義:只有符號不同的兩個數(shù)叫互為相反數(shù),直接求解即可.
【詳解】解:由相反數(shù)的定義可知-2的相反數(shù)是2,
故選:A.
【點睛】本題考查相反數(shù)的定義,熟練掌握相反數(shù)的定義是解決問題的關(guān)鍵.
2.(2022?遼寧撫順?模擬預測)-g的絕對值等于()
A.--B.4C.2D.-2
22
【答案】B
【分析】直接利用絕對值的性質(zhì)分析得出答案.
【詳解】解:的絕對值是
故選:B.
【點睛】本題考查了絕對值,掌握負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)是解題的關(guān)鍵.
3.(2022?上海普陀?二模)下列各數(shù)在數(shù)軸上所對應的點與原點的距離最遠的是
A.2B.1C.-1.5D.-3
【答案】D
【分析】根據(jù)到原點距離最遠的點就是絕對值最大的數(shù),對每個數(shù)作出判斷,即可求出答案.
【詳解】2到原點的距離是2個長度單位,
1到原點的距離是1個長度單位,
-1.5到原點的距離是1.5個長度單位,
-3到原點的距離是3個長度單位,
即到原點的距離最遠的點是-3.
故選:D.
【點睛】本題考查絕對值的幾何意義,絕對值就是一個數(shù)在數(shù)軸上到原點的距離,求出每一個數(shù)的絕對值
就是到原點的距離.
4.(2022?重慶銅梁?一模)在下列四個選項中,比-1小的數(shù)是()
A.1B.-2C.0D.2
【答案】B
【分析】根據(jù)“正數(shù)>0>負數(shù),兩個負數(shù)比較大小,絕對值大的反而小”即可得出答案.
【詳解】解:???1-21=2,2>1,
—2<—1<0<1<2,
..?其中比T小的數(shù)是-2.
故選:B.
【點睛】本題考查了有理數(shù)的比較大小,掌握兩個負數(shù)比較大小,絕對值大的反而小是解題的關(guān)鍵.
5.(2022?河南?三模)下列各數(shù)中絕對值最大的數(shù)是()
A.-4B.-3C.0D.乃
【答案】A
【分析】先求出各數(shù)的絕對值,再比較大小即可解答.
【詳解】解:H=4,|-3|=3,|0|=0,=
:4>萬>3>0,
...絕對值最大的數(shù)是-4,
故選:A.
【點睛】本題考查了實數(shù)的大小比較以及絕對值的概念,解題的關(guān)鍵是求出各數(shù)的絕對值.
6.(2023?福建莆田?二模)中國工程院院士、世界雜交水稻之父袁隆平一生致力于雜交水稻技術(shù)的研究、應
用與推廣,發(fā)明“三系法”釉型雜交水稻,成功研究出“兩系法”雜交水稻,為中國糧食安全、農(nóng)業(yè)科學發(fā)展和
世界糧食供給作出杰出貢獻.2021年,全國糧食再獲豐收,全年糧食總產(chǎn)量達到13657億斤,糧食產(chǎn)量連
續(xù)7年穩(wěn)定在1.3萬億斤以上.將13657用科學記數(shù)法表示應為()
A.0.13657xlO5B.1.3657xlO5C.13.657xlO3D.1.3657xlO4
【答案】D
【分析】用科學記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù),形如為正整數(shù),據(jù)此解答.
【詳解】解:13657用科學計數(shù)法表示應為1.3657x104
故選:D.
【點睛】本題考查用科學記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù),是基礎考點,掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.
二、填空題
7.(2022?河南?鄭州外國語中學模擬預測)計算:卜3+2卜------
【答案】1
【分析】先計算出絕對值符號里面的結(jié)果,再求得此題結(jié)果即可.
【詳解】解:卜3+2卜|一[=1,
故答案為:1.
【點睛】此題考查了有理數(shù)的加法和絕對值,關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的加法法則.
8.(2021?福建漳州?模擬預測)如圖,數(shù)軸上A,8兩點表示的兩個數(shù)互為相反數(shù)(一格表示單位長度為1),
則點C表示的數(shù)是.
ACB
【答案】-i
【分析】根據(jù)數(shù)軸上表示的數(shù)互為相反數(shù)的性質(zhì):即到原點的距離相等,再由兩點之間的距離確定出A表
示的數(shù),進而可得答案.
【詳解】解::數(shù)軸上48兩點表示的數(shù)互為相反數(shù),
.,.A,8兩點到原點的距離相等,
???點A與點B之間的距離為6個單位長度,
二點A到原點的距離為6+2=3,
?.?點A在原點的左側(cè),
??.點A表示的數(shù)是-3,
.??點C表示的數(shù)是-1
故答案為:-1.
【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離的求法,以及相反數(shù)的性質(zhì),熟練掌握這些基礎知識是解題的關(guān)
鍵.
三、解答題
9.計算:6x]g_g]_(-2)2
【答案】T7
【分析】根據(jù)有理數(shù)的混合運算進行計算即可求解.
【詳解】解:原式=6x工一6x3-4x4
32
=2-3-16
=-17.
【點睛】本題考查了含乘方的有理數(shù)的混合運算,正確的計算是解題的關(guān)鍵.
有理數(shù)(提升測評)
一、單選題
1.(2022?河北邯鄲?三模)等號左右兩邊一定相等的一組是()
A.—=-a+bB.a3-a+a+aC.-2(a+/?)=-2a—2Z?D.—(a—=—a—b
【答案】C
【分析】利用去括號法則與正整數(shù)幕的概念判斷即可.
【詳解】解:對于A,-{a+b)^-a-b,A錯誤,不符合題意;
對于B,B錯誤,不符合題意;
對于C,-2(a+l>)=-2a-2l>,C正確,符合題意;
對于D,-(。-6)=-a+6,D錯誤,不符合題意.
故選:C.
【點睛】本題考查了去括號法則,以及正整數(shù)哥的概念,熟練掌握相關(guān)定義與運算法則是解題的關(guān)鍵.
2.(2022.河北保定.二模)嘉琪在《趣味數(shù)學》中學習到遠古時期的一種計數(shù)方法,即“結(jié)繩計數(shù)”,類似現(xiàn)
在我們熟悉的“進位制”.如圖所示,在從右向左依次排列的不同繩子上打結(jié),滿五進一,例如,圖1中表示
的數(shù)為31,可知圖2中表示的數(shù)為()
【答案】C
【分析】由題可知,可知圖2中的五進制數(shù)為321,化為十進制數(shù)即可.
【詳解】解:根據(jù)題意得:
圖2中的五進制數(shù)為321,
化為十進制數(shù)為:321=3X52+2X51+1X5°=86.
故選:C.
【點睛】本題主要考查了進位制,解題的關(guān)鍵是會將五進制轉(zhuǎn)化成十進制.
3.(2022?安徽?三模)下列各數(shù)中,化簡結(jié)果最小的是()
A.-5B.|-5|C.(-5/D.(一5y
【答案】A
【分析】分別計算絕對值,負整數(shù)指數(shù)幕,乘方運算,再比較各數(shù)的大小,從而可得答案.
【詳解】解:Q|-5|=5,(-5)-'=-1,(-5)2=25,
而-5<-g<5<25,
\-5<(-5)-1<|-5|<(-5)2,
所以最小的數(shù)是-5,
故選:A
【點睛】本題考查的是絕對值的含義,負整數(shù)指數(shù)幕的含義,有理數(shù)的乘方運算,有理數(shù)的大小比較,掌
握以上基礎知識是解本題的關(guān)鍵.
4.(2022?貴州貴陽?三模)如圖,在不完整的數(shù)軸上,點A,8分別表示數(shù)a,b,且a與b互為相反數(shù),若
42=8,則點A表示的數(shù)為()
------1---------------1----------?
AB
A.-4B.0C.4D.8
【答案】A
【分析】根據(jù)AB=8,且點A,B分別表示數(shù)a,b互為相反數(shù),可知A,8兩點到原點的距離相等,進而
可求出8點表示的數(shù),進而可求出A點表示的數(shù).
【詳解】解:因為AB=8,且點A,2分別表示數(shù)a,6互為相反數(shù),
所以A,8兩點到原點的距離相等,
則2點表示的數(shù)為:8+2=4,
則A點表示的數(shù)為:-4,
故選:A.
【點睛】本題考查相反數(shù)的幾何意義,數(shù)軸上兩點之間的距離,能夠熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的
關(guān)鍵.
5.(2022.河北唐山?三模)如圖1,點A,B,C是數(shù)軸上從左到右排列的三個點,分別對應的數(shù)為-5,b,
4,某同學將刻度尺如圖2放置,使刻度尺上的數(shù)字0對齊數(shù)軸上的點4發(fā)現(xiàn)點2對應刻度1.8cm,點C
對齊刻度54cm.則數(shù)軸上點8所對應的數(shù)人為()
圖1圖2
A.3B.-1C.-2D.-3
【答案】C
【分析】結(jié)合圖1和圖2求出1個單位長度=0.6cm,再求出求出A3之間在數(shù)軸上的距離,即可求解;
【詳解】解:由圖1可得AC=4-(-5)=9,由圖2可得AC=5.4cm,
數(shù)軸上的一個長度單位對應刻度尺上的長度為=54+9=0.6(cm),
'/AB=1.8cm,
.,.AB=1.8^0.6=3(單位長度),
在數(shù)軸上點B所對應的數(shù)6=一5+3=-2;
故選:C
【點睛】本題考查了數(shù)軸,利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題是本題的關(guān)鍵.
6.(2022?陜西?西安工業(yè)大學附中三模)下列算式中,運算結(jié)果為負數(shù)的是()
A.-12B.-1-(-5)C.-(--)D.-2x0
6
【答案】A
【分析】先逐一計算,后作出判斷即可.
【詳解】解::-12=-1,是負數(shù),
.??A符合題意;
-1-(-5)=4,是正數(shù),
.'.B不符合題意;
?;-(-=7.是正數(shù),
66
;.C不符合題意;
?;-2x0=0,既不是正數(shù),也不是負數(shù),
??.D不符合題意;
故選:A.
【點睛】本題考查了有理數(shù)的運算,負數(shù),熟練掌握有理數(shù)的運算是解題的關(guān)鍵.
二、填空題
7.(2022?浙江寧波?一模)定義:[可表示不大于x的最大整數(shù),(x)表示不小于尤的最小整數(shù),例如:[2.3]=2,
(2.3)=3,[-2.3]=-3,(-2.3)=-2.貝“1.7]+(—1.7)=.
【答案】0
【分析】根據(jù)題意,[1.7]中不大于1.7的最大整數(shù)為1,(-1.7)中不小于-1.7的最小整數(shù)為-1,則可解答
【詳解】解:依題意:
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預覽,若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負責。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 2024-2030年中國嬰兒紙尿褲市場供需渠道分析及發(fā)展競爭力研究報告
- 2024-2030年中國可再分散乳膠粉行業(yè)發(fā)展?jié)摿巴顿Y戰(zhàn)略規(guī)劃研究報告
- 2024-2030年中國衛(wèi)生消毒市場競爭格局展望及投資策略分析報告
- 2024年幼兒園管理權(quán)轉(zhuǎn)移協(xié)議3篇
- 梅河口康美職業(yè)技術(shù)學院《精細化學品化學及工藝》2023-2024學年第一學期期末試卷
- 眉山藥科職業(yè)學院《電工電子基礎A》2023-2024學年第一學期期末試卷
- 2024年度生產(chǎn)車間承包與綠色生產(chǎn)技術(shù)研發(fā)合同3篇
- 滿洲里俄語職業(yè)學院《涉老企業(yè)品牌管理》2023-2024學年第一學期期末試卷
- 茅臺學院《品牌敘事和聲譽管理》2023-2024學年第一學期期末試卷
- 漯河食品職業(yè)學院《設計室內(nèi)》2023-2024學年第一學期期末試卷
- 基于風險的軟件測試策略
- 大鎖孫天宇小品《時間都去哪了》臺詞劇本完整版-一年一度喜劇大賽
- 雙重血漿置換
- 2023北京海淀區(qū)高二上學期期末英語試題及答案
- 從分數(shù)到分式教學設計-
- 酒店長期租房合同模板(16篇)
- 場域與對話-公共空間里的雕塑 課件-2023-2024學年高中美術(shù)人美版(2019)美術(shù)鑒賞
- 關(guān)于違規(guī)收受禮品禮金警示教育心得體會范文
- 國家開放大學《國際商法》形考任務1-5參考答案
- 顱腦損傷課件
- 滬教版英語八年級上冊知識點歸納匯總
評論
0/150
提交評論