2025年中考數(shù)學(xué)難點突破與訓(xùn)練：相似三角形中的母子型相似模型（解析版）

專題13相似三角形中的母子型相似模型

【模型展示】

【模型證明】

特殊母子型——射影定理

在RtAACB與RtAADC中，當(dāng)ZABC=ZACD時，有

解決方案RtAACBsRtaADCsRtACDB

射影定理：NO?

BC*1=234BD?AB

CD?=AD?BD

母子相似證明題一般思路方法：

1由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；

2分子和分子組成一個三角形、分母和分母組成一個三角形；

3第②步成立，直接從證這兩個三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；

4第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個別線段，之后再重復(fù)第三步;

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，在歷AA8C中，C。是斜邊N5上的高，則圖中的相似三角形共有（）

【答案】C

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形.

【詳解】VZACB=90°,CD±AB

.,.△ABC^AACD,AACD^ACBD,AABC^ACBD

所以有三對相似三角形，

故選：C.

【點睛】考查相似三角形的判定定理：（1）兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；（2）兩邊對應(yīng)成比例且夾角

相等的兩個三角形相似；（3）三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似.

2.如圖，正方形ABCD中，E、F分別在邊CD,AD上，BELCF于點G,若BC=4,AF=1,則CE的長

為（）

1216

A.3B.——D.——

55

【答案】A

【分析】過D做?！?，尸。于點H,由正方形ABCD的性質(zhì)，通過證明和

計算得到GC,再通過證明AECGsACDF從而求得CE的長.

【詳解】如下圖，過D做ZWLFC于點H

???/DHF=90°

??,正方形ABCD

AZFDC=90°且皿=8=8。=4

AF=1

.\FD=AD-AF=4-1=3

-*?FC=VFD2+CD2=A/32+42=5

又ZDHF=ZFDC=90°

???AFDC^AFHD

.FHFD_3

??FD-FC-5

,:FD=3

9

：.FH=-

5

又???正方形ABCD

???ADUBC

：.ZDFH=/BCG

?：BELCF于點、G

???/BGC=/CGE=90°

：.AFDHSACBG

?空一BC_4

??一

FH-訪-3

9

?：FH=

5

12

：.GC=

y

*.?ZFCD=ZECG且ZFDC=ZCGE=90,

???AECGs^CDF

12

???ECGC大_3

1^~~CD4-5

33

??.EC=-FC=-x5=3

55

故選：A.

方法二：

ZBEC+ZFCD=90°,

NDFC+NFCD=90。，

AZBEC=ZDFC,

又,.,NCDF=NBCE,

BC=CD,

AABCE^ACDF,

??.CE=DF=4?1=3;

【點睛】本題考察了三角形勾股定理、相似三角形、正方形的知識；求解的關(guān)鍵是熟練掌握正方形、相似

三角形的性質(zhì)，從而完成求解.

3.如圖，RM4BC中，ZC=90°,AB=15fBC=9,點尸，0分別在8C,ACh,CP=3x,

CQ=4x(0<x<3).把△PC0繞點p旋轉(zhuǎn)，得到△/>用,點。落在線段尸。上.若點。在/氏4C的平分線

上，則CP的長為()

A.5B.5.5C.6D.6.5

【答案】C

【分析】先根據(jù)勾股定理求出/C的長，再根據(jù)計算可知注=：=珞，結(jié)合定理兩邊成比例且夾角相等的

BC3AC

三角形相似證明△尸QCS2\R4C,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出由此可得出產(chǎn)?！?8；連接

AD,根據(jù)尸?！?8和點。在4BNC的平分線上可證由止匕可得4。=。0,分別表示和

。。由此可得方程12-4x=2x,解出x,即可求出CP

【詳解】解：?在放△Z3C中,18=15,BC=9,

：.AC=VAB2-BC2=V152-92=12.

..PC_3x_xQC_4x_x

*BC~~9~3"AC-12-i，

.PC_QC

**BC-AC*

vzc=zc,

???△PQCs^BAC,

：.ZCPQ=ZB.

：.PQ//AB；

連接AD,

?：PQIIAB,

：.ZADQ=ZDAB.

??,點。在NA4C的平分線上，

???ZDAQ=ZDAB,

：.ZADQ=ZDAQ,

：.AQ=DQ.

■:PD=PC=3x,QC=4x

???在RtACPQ中，根據(jù)勾股定理PQ=5x.

：.DQ=2x,

u：AQ=n-4x,

12-4x=2x,解得x=2,

：.CP=3x=6.

故選C.

【點睛】本題考查幾何變換——旋轉(zhuǎn)綜合題，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定,

熟練掌握定理并能靈活運用是解決此題的關(guān)鍵.

4.如圖，Rt^ABC中，AC±BC,AD平分NBAC交BC于點D,DE_LAD交AB于點E,M為AE的中

DE3

點，BF_LBC交CM的延長線于點F,BD=4,CD=3.下列結(jié)論①NAED=/ADC；②一；③AC?BE=12；

DA4

@3BF=4AC,其中結(jié)論正確的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【詳解】?ZAED=90°-ZEAD,ZADC=90°-ZDAC,VZEAD=ZDAC,

.\ZAED=ZADC.故本選項正確；

ABRD4

②：AD平分/BAC,，一=—=-,.*.設(shè)AB=4x,貝UAC=3x,

ACCD3

在直角aABC中，AC2+BC2=AB2,則(3x)2+49=(4x)2,

解得：x=a，

VZEAD=ZDAC,ZADE=ZACD=90°,

.".△ADE^AACD,得DE：DA=DC：AC=3：#!,故不正確；

③由①知NAED=/ADC,

ZBED=ZBDA,

又：/DBE=/ABD,

.".△BED^>ABDA,

ADE：DA=BE：BD,由②知DE：DA=DC：AC,

ABE：BD=DC：AC,

.?.AC?BE=BD?DC=12.

故本選項正確；

④連接DM,

在Rt^ADE中，MD為斜邊AE的中線，

則DM=MA.

，ZMDA=ZMAD=ZDAC,

；.DM〃BF〃AC,

由DM〃BF得FM：MC=BD：DC=4：3；

由BF〃AC得△FMBs/XCMA,有BF：AC=FM：MC=4：3,

；.3BF=4AC.

故本選項正確.

綜上所述，①③④正確，共有3個.

5.如圖，在必△/8C中，ZBAC^90°,BA=CA=6?,。為邊的中點，點￡是。4延長線上一點，

FA4

把/CDE沿。￡翻折，點。落在C'處，EC'與A8交于點F，連接3C'.當(dāng)一；=:時，3。的長為（）

EA3

A.|V5B.6V10C.9D.6夜

【答案】D

【分析】如圖，連接CC,過點。作CHLEC于H.設(shè)AB交DE于N,過點N作NTLEF于T,過點D作

_LEC于證明NCC8=90。，求出CC,即可解決問題.

【詳解】解：如圖，連接CC,過點C作于〃.設(shè)AB交DE于N,過點N作NT,即于T,過點

D作DMLEC于M.

：.EF：AF：AE=5：4：3,

CH//AF,

：.4EAFSAEHC,

：.EC：CH：EH=EF：AF：AE=5：4：3,

設(shè)EH=3k,CH=4k,EC=EC=5k,貝ljS=2左，

由翻折可知，/AEN=/TEN,

9：NALEA,NTLET,

：.ZNAE=ZNTE,

■:NE=NE,

:ANEA^ANET(AAS)f

：.AN=NT,EA=ET,

設(shè)/E=3冽，AF=4m,EF=5m,AN=NT=x,則4E=ET=3m,TF=2m,

222

在RtAFNT中,FN=NT+FT9

222

(4加-%)=x+(2m)f

3

角牟得：x=-m,

2

?.?/。=/5=6而，NC4B=90。,

：?BC=6AC=125

：,CD=BD=6E

9

：DM±CMfZDCM=45°,

:?CM=DM=3屈,

,:AN〃DM,

.AN_EA

**DM-W，

3

AN__DM__才_j_,

EA~EM~3m~2

.\EM=6y/lO，

EC=9y[lO=5k9

?7_9而

??K=----,

5

?「“_18而「R_36而

??CH，------，CH-------，

55

???CC'=^CH2+CH2=J（粵§+（駕旦2=1班,

"：DC=DC'=DB,

：.ZCC'B=90°,

：.BC'=^BCy-CC2=J(12病2-(18偽2=60，

故選：D.

【點睛】本題考查翻折變換，解直角三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，全等三角形的

判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方

程解決問題.

二、填空題

6.如圖，在ANBC中，點。在48上，請再添一個適當(dāng)?shù)臈l件，使△4DCsA4CB,那么可添加的條件是

【答案】ZACD=ZABC(答案不唯一，也可以增加條件：ZADC=/ACB或4cz=4D-AB).

【分析】題目中相似的兩個三角形已經(jīng)有一個公共角，可以再增加一對相等的角，用兩組角相等判定兩三

角形相似，也可以增加兩組對應(yīng)邊成比例，利用兩組邊對應(yīng)成比例及夾角相等判定兩三角形相似.

【詳解】若增加條件：ZACD=ZABC,

VZACD=ZABC,且-4,

：.NADC:\ACB.

【點睛】本題考查相似三角形的判定，比較簡單，熟練掌握相似三角形的三種判定方法是解題的關(guān)鍵.

94

7.如圖，在用△ZBC中，ZACB=90°,CDLAB于點D,已知4。=不8。=《，那么5C=.

【答案］冬叵

5

【分析】證明根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計算即可.

【詳解】解：vZACB=90°,CDLAB,

：.NACB=NCDB=90。,

：.ABCDs^BAC,

4BC

.BDBC

,即

~BA1=49

「BC拓5+5

BC>0

?2V13

??LJ-----------

5

故答案為：紙i

5

【點睛】本題考查三角形相似的判定和性質(zhì)，牢記相關(guān)知識點并能結(jié)合圖形靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

8.如圖，在AABC中，AABC=45°,AB=2近,AD=AE,/DAE=90。，CE=右，則CD的長為.

【答案】5

【分析】在CD上取點F,使/DEF=/ADB,證明A/DBSAOEF,求解=4,再證明ACEFSAC￡)E,

利用相似三角形的性質(zhì)求解CF即可得到答案.

【詳解】解：在CD上取點F,使1DEF二NADB,

???AD=AE,/DAE=90。，

由=乂5層,

DE=V2AD=V2AE，

???/ABC=45。，/ADE=45。，

且/ADC=/ADE+NEDC=/ABD+/BAD,

/BAD=/EDC,

???NBDA=/DEF,

/.△ADBsADEF,

DFnrr-

—=V2,AEFD=NABD=45°,

ABAD

vAB=272，

DF=4,

又ZAED=45°=/CDE+ZC,NEFD=NCEF+ZC=45°,

/CEF=/CDE,

VZC=ZC,

.-.△CEFsACDE,

CEDC

'CF-CE'

又DF=4,CE=V5,

,V5_CF+4

"CF-V5

，CF=1或CF=5（舍去），

經(jīng)檢驗：CF=1符合題意，

;.CD=CF+4=5.

故答案為：5.

本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，分式方程與一元二次方程的解法，相似三角形的

判定與性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，在A/3C中，AB=AC,點。在BC邊上，/8/。=90°-,/。，點廠在/(7上，BFLAD,垂足

2

為E,若CD=2,4D=46，則線段EF的長為.

【答案】生5

11

【分析】過A作AHLBC于H,根據(jù)已知條件得到/ABE=g/ACB,求得NABE=NDBE,根據(jù)全等三角

形的性質(zhì)得到AE=DE,AB=BD,設(shè)AB=BD=AC=x,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AH=8,過C作CGLAD

交AD的延長線于G,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：過A作AHLBC于H,

VBF1AD,

.".ZABE+ZBAD=90°,

.".ZBAD=90°-ZABE,

VZBAD=90°-yZACB,

：.ZABE=-ZACB,

???AB=AC,

AZABC=ZACB,

/.ZABE=yZABD,

.*.ZABE=ZDBE,

VZAEB=ZDEB=90°,BE=BE,

AAABE^ADBE(ASA),

???AE=DE,AB=BD,

設(shè)AB=BD=AC=x,

.x+2x+2人

???BC=x+2,BH=CH=——,DH=-------2

2

ZAHD=ZBED=90°,ZADH=ZBDE,

.,.△ADH^ABDE,

ADPHPH

??BD-DE-AD，

F

x+2

4/--------z

二2___

X2后

.??x=10或x=-8（不符題意，舍去），

.*.AB=BD=AC=10,DH=4,

???AH=8,

過C作CG±AD交AD的延長線于G,

???ZG=ZAHD=90°,

VZADH=ZCDG,

AAADH^ACDG,

.ADAH_PH

"'CD~~CG~^G"

.47584

?.-------------------,

2CGDG

?“475275

55

VEF±AD,DG±AD,

???EF〃CG,

.,.△AEF^AAGC,

AD

：.EF^_AE__,

~CG~HG~HG

EF2A/5

解得：EF=25,

11

故答案為：&5.

ii

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正

確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，在A/3C中，48=20,80平分在以延長線上，且DE=BD,若3c=8,AE=2,則

CD的長為.

【答案】V57-3

【分析】通過證,得到求出BF=2,ZDAE=ZDFB,AD=DF,進而求出CF的長,

進而得到/BAD=NDFC,從而證ACFDSACAB,得至1與=名，將證得邊的關(guān)系CA=6+CD以及其他各

CABC

值代入即可得到答案.

【詳解】解：：BD平分NABC,DE=BD

NABD=/DBC,ZAED=ZABD

ZDBC=ZAED

如圖，在BC上取點，使BF=AE

E

則在△4ED與△必。中,

AE=FB

<ZAED=ZDBC

DE=BD

：.AAED^/\FBD（SAS）

???AE=BF=2,/DAE=/DFB,AD=DF

???CF=BC?BF=8-2=6

VZBAD=180°-Z^E,NDFC=180?！?/p>

JNBAD=NDFC

又???NC=NC

AACFD^ACAB

.CFCD

t9~CA~^C

VAB=AC

???ZABC=ZACB

ZBAD=ZDFC

??.ZFDC=180°-ZDFC-ZC=1SO°-ZBAD-/ABC

ZC=180。-/"。-ZABC

：.ZFDC=ZC

???DF=FC=6,貝UAD=DF=6

???CA=6+CD

又,.?CF=6,BC=8

.6CD

6+CD~

解得。。=炳-3.

故答案為：V57-3.

【點睛】本題考查的全等三角形判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，是

中考綜合性題目，而且還要會解一元二次方程，用方程法解幾何問題.解答此題的關(guān)鍵是利用性質(zhì)找到邊

與邊之間的關(guān)系.

三、解答題

11.【基礎(chǔ)鞏固】(1)如圖1,在△/8C中，D為ABk一點、,ZACD=ZB.求證：AC2^AD>AB.

【嘗試應(yīng)用】(2)如圖2,在。/8CO中，￡為3c上一點，尸為CD延長線上一點，ZBFE=ZA.若BF

=4,BE=3,求的長.

【答案】⑴見解析；⑵AD=y-

【分析】(1)證明即可得出結(jié)論；

(2)證明△AFE's△8CF,得出BF2=BE?BC,求出8C,則可求出40.

【詳解】(1)證明：VZACD=ZB,ZA=ZA,

：.AADC^AACB,

.ADAC

"7C~AB,

：.AC2=AD'AB.

(2)?.,四邊形A8CD是平行四邊形，

：.AD=BC,ZA=ZC,

又：ZBFE=ZA,

：.ZBFE=ZC,

又：NFBE=NCBF,

：.ABFEsABCF,

.BF_BE

??疏一而‘

:?BF2=BE?BC,

.“BF24216

BE33

16

??AD=-.

3

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，正確掌握相似三角

形的判定方法是解題關(guān)鍵.

12.如圖，在△4BC中，。為2C邊上的一點，且/C=2?，CO=4,BD=2,求證：△4CD-ABCA.

【答案】證明見解析.

【分析】根據(jù)NC=2n，CD=4,BD=2,可得類=凄，根據(jù)NC=NC,即可證明結(jié)論.

BCAC

【詳解】解：：/C=2面，CD=4,BD=2

.AC_246_y[6CD4V6

"5C-4+2-VAC~246~3

.ACCD

"5C"^C

VZC=ZC

△ACDs^BCA.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，掌握知識點是解題關(guān)鍵.

AT）4c

13.如圖，在中，ZACB=90°,點。在上，且一=-

ACAB

（1）求證△ACDs^ABC；

（2）若/。=3,BD=2,求CO的長.

【答案】（1）見解析；（2）V6

【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，即可得出A/CD?A/8C

(2)由A/CD?A/3C得N4OC=N/CB=90。，ZACD=ZB,推出“CD?AC3Z),由相似三角形的性質(zhì)得

*=黑，即可求出CD的長.

/1LJC/2-x

ADAC

【詳解】⑴2而,…,

???AACDfABC；

(2)?："CD“ABC,

：.ZADC=Z.ACB=90°,ZACD=ZB,

ZCDB=180°-90°=90°=ZACD,

???AACDYBD,

.CDBD

??——-——,即nnCD?=AD-BD=3x2=6,

/.CD=y[6.

【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.8c中，ZABC=90°,8D_L/C,點E為瓦）的中點，連接4E并延長交8c于點尸，且有4F=CF,

過尸點作于點H.

（1）求證：AADESACDB；

（2）求證：AE=2EF;

（3）若FH=C,求8c的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）4.

【分析】（1）先根據(jù)垂直的定義可得ZADE=/CD3=90。，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得/D4E=/DCS,

然后根據(jù)相似三角形的判定即可得證；

ADDF1

（2）先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得====彳，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得=從而可

CDDB2

AT）

得等~=2,然后根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得證；

DH

（3）先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得D有F=嚷AF，從而可得。￡,助的長，再根據(jù)相似三角形的判定可

FHAF

得“BDfBCD,然后利用相似三角形的性質(zhì)可求出8的長，最后在RtZXBC。中，利用勾股定理即可得.

【詳解】證明：（1）vBD1AC,FH1ACf

ZADE=ZCDB=90。,5。||FH,

???AF=CF,

:.ZDAE=ZDCB,

ZADE=ZCDB

在V/O￡和△COB中,

ZDAE=ZDCB

:AADE?ACDB；

(2),點石為助的中點,

:.DE=BE=-BD,

2

由（1）已證：小ADE?小CDB,

.AD_DE_\

'~CD~~DB~^

設(shè)4D=Q（Q>0）,則CD=2Q,AC=AD+CD=3a,

\'FHLAC,AF=CF,

13

AH=CH=-AC=-a（等腰三角形的三線合一）,

22

:.DH=AH-AD=-a,

2

又???5。||尸〃，

AEADa

'而=而===2,

—a

2

即AE=2EF；

（3）由（2）已證：AE=2EF,

/.AE=-AF,

3

\'BD\\FH,

AA.DE?AAHF,

DEAEDE2

/.——=——，即nn7=7

FHAFV33

解得。E=

:.BD=2DE=-y/3,

3

?//ABC=900,BDLAC,

/BAC+/ABD=NBASZC=90°,

/./ABD=ZC,

ZADB=NBDC=9。。

在△45。和△BCD中,

ZABD=ZC

:AABD?ABCD,

,ADBD

…茄一五’

由(2)可知，設(shè)ZQ=bS>0),貝UCD=26,

h4百

b一3_

4e2b

3

解得6=域或6=_歧（不符題意，舍去）,

33

CD=1b=—

3

則在RtZXBCD中，BC=^BD~+CD1=4.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，熟練掌握相似三

角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

4BAD

15.如圖，在中，。是5C上的點，E是4。上一點，且——二——,NBAD=/ECA.

ACCE

（2）若4。是△ZBC的中線，求笠CF的值.

AC

【答案】（1）證明見解析；（2）正

2

【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出ABNOS—CEA,得/B=NE4C,進而求出△"CsAD/c,再

利用相似三角形的性質(zhì)得出答案即可；

（2）由1可證/CZ）￡=/CEZ）,進而得出CZ）=C￡,再由（1）KTffiAC=y[lCD，由此即可得出

線段之間關(guān)系.

4RAD

【詳解】（1）證明：???嚶=第，NBAD=NECA,

ACCE

ABHDSMCE,

ZB=ZEAC,

ZACB=ZDCA,

:.AABCsADAC,

.ACBC

"~CD~^C'

AC2=BC-CD.

（2）解：,:ABADSACE,

ABDA=AAEC,

ZCDE=ZCED,

CD=CE,

■■■AD是△/BC的中線，

:.BC=2BD=2CD,

AC2=BC>CD=2CD2,即：/C=0CD，

.CE_CD_V2

"AC~CCD~2'

【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及重心的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出A砂。S"CE是解

題關(guān)鍵.

16.如圖，已知矩形的兩條對角線相交于點。，過點A作/G,8。分別交3D、于點G、E.

（1）求證：EB?=EG-EA;

（2）連接CG,若BE=CE.求證：ZCGE=ZDBC.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）易證ABEGsAAEB,利用對應(yīng)邊成比例即可解決;

(2)由(1)的結(jié)論及5E=CE,易證明△CEGSZ\/EC,從而可得NCGE=NZCE,由。5=OC,可得

/CGE=/DBC.

【詳解】(1)???四邊形45C。是矩形

JNABE=90。

：./ABG+/EBG=9。。

AG1BD

：.ZABG+ZBAG=90°

：.NEBG=/BAG

：.Rt/\BEG^Rt/\AEB

.EB_EG

??瓦一百

:?EB?=EG?EA

(2)由(1)有：EB?=EGEA

,:BE=CE

CE2=EGEA

.CE_EA

*'^G~~CE

ZCEG=ZAEC

.??△CEGS^AEC

：.ZCGE=ZACE

???四邊形45C。是矩形

：.AC=BD

：.OB=OC

：.ZDBC=ZACE

：./CGE=/DBC

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，在AABC中，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且AD=AB,ZDEC=ZB.

(1)求證：/XAEDS/XADC；

(2)若AE=1,EC=3,求AB的長.

E

BDC

【答案】（1）見解析；（2）2

【分析】（1）利用三角形外角的性質(zhì)及NDEC=NADB可得出/ADE=/C,結(jié)合NDAE=NCAD即可證出

△AED^AADC；

（2）利用相似三角形的性質(zhì)可求出AD的長，再結(jié)合AD=AB即可得出AB的長.

【詳解】解：（1）證明：VZDEC=ZDAE+ZADE,ZADB=ZDAE+ZC,ZDEC=ZADB,

AZADE=ZC.

又；NDAE=NCAD,

.,.△AED^AADC.

（2）VAAED^AADC,

ADAEAD1

..——=——，m即=——，

ACAD1+3AD

；.AD=2或AD=-2（舍去）.

又：AD=AB,

；.AB=2

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用“兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似”

證出△AEDs/iADC；（2）利用相似三角形的性質(zhì)，求出AD的長.

18.如圖，銳角AABC中，CD,BE分別是AB,AC邊上的高，垂足為D,E.

（1）求證：△ACDsAABE；

（2）若將點D,E連接起來，則4AED和AABC能相似嗎？說說你的理由.

【答案】（1）見詳解；（2）相似，理由見詳解；

【分析】（1）根據(jù)已知條件，利用相似三角形的判定方法AA進行證明即可得到結(jié)論；

（2）連接DE,根據(jù)（1）中的結(jié)論，可得對應(yīng)邊成比例，交換下比例項，即可得到結(jié)論.

【詳解】證明：(1)VCD,BE分別是AB,AC邊上的高,

:.NADC=NAEB=90°.

VZA=ZA,

.".△ACD^AABE

(2)連接DE,

VAACD^AABE,

AAD：AE=AC：AB.

AAD：AC=AE：AB.

VZA=ZA.

.,?△AED^AABC,

【點睛】本題考查相似三角形的判定方法，正確連接輔助線，熟練運用相似三角形的判定進行證明是解題

的關(guān)鍵.

19.如圖，N8是。。的直徑，40、8。是。O的弦，BC是。。的切線，切點為8,0CHAD,848的

延長線相交于點￡.

(1)求證：是OO的切線；

(2)若。。的半徑為4,ED=3AE,求ZE的長.

【答案】(1)見解析；(2)AE=1.

【分析】（1）連接OD,由題意易證△CDOg^CBO,然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可求證;

（2）由題意易得△EDAs^EBD,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及瓦可求解.

【詳解】（1）證明：連接OD,如圖所示：

AD〃OC,

/.ZDAO=ZCOB,NADONCOD,

又=OA=OD,

/.ZDAO=ZADO,

/.ZCOD=ZCOB,

vOD=OB,OC=OC,

/.△CDO^ACBO,

/.ZCDO=ZCBO,

??,BC是。。的切線，

??.NCBO=NCDO=90。，

,??點D在。。上，

二.CD是。。的切線；

（2）由（1）圖可得:

c

ZADO+ZEDA=90°,ZODB=ZDBO,

；48是。。的直徑，

.-.ZADB=90°,即ZADO+ZODB=90°,

ZEDA=ZODB=ZDBO,

又NE=NE,

.,.△EDA^AEBD,

ED?=AE?EB，

GO的半徑為4,ED=3AE,

AB=8,EB=AE+8,

9AE2=AE\AE+S),

解得：AE=1.

【點睛】本題主要考查圓的切線定理與判定定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握圓的切線定理及判

定定理是解題的關(guān)鍵.

20.如圖1,在菱形/2CL1中，NC是對角線，AB=AC=6,點、E、尸分別是邊AB、3c上的動點，且滿足

AE=BF,連接//與CE相交于點G.

(1)求/CGb的度數(shù).

(2)如圖2,作DHLCE交CE于點H,若CF=4,AF=25,求的值.

(3)如圖3,點。為線段CE中點，將線段EO繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段EM,當(dāng)AMAC構(gòu)成等腰三

角形時，請直接寫出/E的長.

【答案】(1)60°；(2)—；(3)2或3遙-3

7

【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)得到△A8C,△/(7￡)是等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明

△ABF?ACAE,得到NA4尸=//CE,從而結(jié)合三角形的外角性質(zhì)求解即可;

(2)延長GN至點K使得/K=CG,首先結(jié)合(1)的結(jié)論推出尸CS^WG,得至U。尸=FGZ尸，從而

求出GRAG,CG,再證明△/OKZzXCDG,推出△OKG是等邊三角形，從而求出。G,最后根據(jù)30。角

的直角三角形的性質(zhì)求解即可;

(3)分別根據(jù)等腰三角形的定義進行分類討論，并結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與

性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：(1):四邊形是菱形，AB=AC,

：.AB=AC=BC=AD=CD,

:.叢ABC,△/CD是等邊三角形.

NABC=NCAE,

在448尸與△C4E中,

AB=CA

<ZABF=ZCAE

BF=AE

：.LABFm△CAE(SAS),

ZBAF=ZACE,

：.ZCGF=ZGAC+/ACG=NGAC+NBAF=NBAC=60°；

(2)如圖所示，延長GN至點K使得/K=CG.

NBAF=/ACE,

：./FAC=/GCF,

NGFC=ZAFC,

：.△AFCs^CFG,

.FGFCCG

**FC-

TC廠=4,AF=25,AC=6,

?人口8776s”1277

777

VZFGC=60°,ZADC=60°,

：.ZAGC+ZADC=\S0°f

：.ZGAD+ZGCD=180。，

ZKAD+ZGAD=180°,

???NKAD=/GCD,

又*：DC=DA,

???△ADKmdCDG(&4S),

:?DK=DG,ZKDA=ZGDC,

：.ZKDG=ZADC=60。，

???△DKG是等邊三角形，

18

ZAGD=ZDGH=60°,DG=KG=AK+AG=AG+CG=—V7,

7

DHLCE,NDGH=60°,

(3)①若則4c為等腰三角形，

此時，取/C中點為點尸，連接。P,OM,BM,

VZMEO=60°,EO=EM,

.?.△OEM為等邊三角形,

,/ZFGC=60°,

：.ZMEO=ZFGC,

：.ME//AF,

TO為CE的中點，尸為/。的中點，

???OP為的中位線，OP//AB,

為等邊三角形，△M4C為等腰三角形，。為4C的中點，

?,?由“三線合一”知，B、M、尸三點共線，

SBPLAC,AP=PC=*AC=3,/ABP=*NABC=30。,

?「△OEM為等邊三角形，

：.OE=OM,/OEM=/OME,

?：OE=OC,

：.OM=OC,ZOMC=ZOCMf

：.ZOEM+ZOCM=ZOME+ZOMC,

即：ZOEM+ZOCM=ZEMCf

：.ZEMC=90°,CMLEMf

：.在RtACEM中,Z￡CM=90°-60°=30°,

此時，如圖所示，將△NEC繞著C點逆時針旋轉(zhuǎn)60。至△BNC,連接MN,

則N/CE=N5CN,ZNBC=60°f

NECM=30。,

???ZACE+ZMCB=30°,

：.ZBCN+ZMCB=ZMCN=30°,

???ZMCN=ZMCE=30°,

*：CE=CN,ZMCN=ZMCEfCM=CM,

：.AMCEmAMCN,

:./CMN=/CME=90。,

:?E、M、N三點共線，

???△ECN為等邊三角形，

NNBC=/ACB=60。,

：.BN//AC,

??NBPC=90。,

??ZNBM=90°,

：/CMN=90。,

??ZBMN+ZCMP=90°,

：ZBMN+ZBNM=90°,

*.ZBNM=ZCMPf

\ABMNsAPCM,

,BM_NM

*7c-wcJ

NM

：——=tan/MCN=tan30°,

MC

VPC=3,

:?BM=6

在&尸中，AP=3,ZABP=30°f

??BP=3A/3，

：.PM=BP-BM=2y/i,

VZAffiC=30°,ZOMC=900-ZOME=30°,

JNMBC+NMCB=/OMC+NOMP,

：.ZMCB=ZOMP,

?：OP〃AB,

：.ZOPC=ZBAC=60°,

：.ZOPM=90o-60°=30°,

:?叢OPMs4MBC,

.OPPM

即:*空,

V36

：.OP=1,

???。尸為△NEC的中位線，

：?AE=2OP=2；

D

”,

N

②若4W=NC,則△NMC為等腰三角形，

如圖所示，取/C中點尸，連接。P,延長/。交MC于。點，

由①可知，AEA/C始終為直角三角形，ZEMC=90°,ZECM=30°,

且與/尸始終平行，

ZEMC=ZAQC=9Q°,AQLMC于。點,

"：OM=OC,

二。點在/。上，

VZCOQ=60°,ZCGF=60°,

此時O點和G點重合，

?；ZCPO=ZCAB=60°,ZCOQ=60°,

ZAPO=ZAOC=120°,

：.△APOs^aoc,

.APAOOP

"Ad~AC~a)'

\"AC=6,AP=3,

/.4O2=4p./c=3x6=i8，

??AO=2>'j2>

??■/△OC。中，ZOCQ=30°,

??.設(shè)OQ=x,貝！|CQ=Cx,

在必△C4Q中，+=

即：（瓜『+（30+x『=6?,

-3立+3歷成

解得:_-3V2-3Vw（不合題意，舍去）,

44

...OQ=-3>丁麗,CO=2OQ=3M,

.AOOP—=—/

??由/=右行：6-3V2+3V10>

■ZICCzCx------------------------

2

解得：。尸=茹二2,

2

；0P是△4EC的中位線，

；./￡=2。尸=3石-3;

③若/C=MC,則￡點在的延長線上，此時與E點在邊上運動矛盾，故該種情況舍去;

綜上，AE=2或3后-3.

【點睛】本題考查特殊平行四邊形的動點問題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的運用,

等腰三角形的判定與性質(zhì)等，掌握基本圖形的性質(zhì)，熟練綜合分析是解題關(guān)鍵.

21.在無△/BC中，ZACB=90°,點、D為AB上L■點、.

(1)如圖1,CDLAB,求證：AC2=AD-AB；

FH4AD

(2)如圖2,若AC=BC,EFLCD交CD于H,交4C于產(chǎn)，且——=一,求——的值;

HE9BD

(3)如圖3,若AC=BC,點〃在以)上，ZAHD=45°,CH=3DH,貝Utan//CH的值為.

圖1圖2圖3

7

【答案】（1）見解析；（2）f;⑶立

7

【分析】（1）證出/B=4CD,證明△CBZ）SA/CD,得出黑=黑，即可得出結(jié)論;

ADCD

(2)設(shè)FH=4a,貝!|Zffi=9a(a>0),同(1)得CH?=HE-FH=36a?,貝i」C〃=6a,在RWCHF中,

FH2APDP2

tanZACD=--=-f過。作。尸，4C于P,易證/尸=。尸，求出”=”=可，再由平行線分線段成比

例定理即可得出答案;

(3)過點。作DM_L/〃于M，設(shè)DH=2x，貝Ijc〃=6x(x>0),C￡>=OH+C〃=8x,證明ZUZWSACZ)/,

AD

得出ADAH=ZACH,翳‘求出"八"證明△加M是等腰直角三角形，得出

CD

DM""①、,由勾股定理得出叱同，由三角函數(shù)定義即可得出答案.

【詳解】(1)證明：?/CDVAB,/.ZADC=ZCDB=90°,

ZACB=90°,

：.ZB+/BCD=ZACD+/BCD=90°,

JNB=ZACD,

???4CBDs^ACD,

.CDBD

??而一而‘

'-CD2=ADDB;

⑵解：???,=》

J設(shè)M=4Q,貝!JHE=9Q(a〉0),

?.?//CB=90。，EF1CD,

同⑴得：CH2=HE-FH=9ax4a=36a2,

：.CH=6a,

FH4/72

在RNCHF中，tanNACD==—=一,

CH6a3

過。作。尸_L4C于P,如圖2所示：

圖2

則DP//BC,

DP2

在放△。尸。中，tan/4CQ=——二—,

PC3

,：AC=BC,44cB=90。，

：.ZA=45°f

???△4。尸是等腰直角三角形，

AP=DP,

.APDP_2

,,7c-pc-i,

DPUBC,

.AD_AP_2

??訪一拓一

(3)解：過點。作于M,如圖3所示:

■:CH=3DH,

???設(shè)。H=2x,貝Ijc〃=6x(x>0),

：.CD=DH+CH=Sxf

*：AC=BC,ZACB=90°,

：.ZBAC=45°f

：.ABAC=ZAHD=45°

又〈/ADH=/CDA,

：.AADHSACDA,

..ADAH=AACH,——=

CD

：.AD2=DHCD=16x2,

AD=4x,

DM1AH,

：.ZDMH=90°,

丁ZAHD=45°,

：.ZHDM=45°=ZAHD,

???/\HDM是等腰直角三角形，

DM=HM=—DH=瓜,

2

AM=^AD2-DM5='(4x)2-(V2x)2=V14x，

.DM42XV?

??tan//CH=tanND4H=---=—1—=—；

AMV14A:7

故答案為：

7

【點睛】本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角

三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)定義、平行線分線段成比例定理等知識；熟練掌握等腰直角