2025年中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練：四邊形壓軸題綜合（解析版）

專題11四邊形壓軸題綜合

目錄

熱點(diǎn)題型歸納.........................................................................................1

題型01三角形與旋轉(zhuǎn)變換.............................................................................1

題型02三角形與翻折變換............................................................................16

題型03三角形類比探究問題..........................................................................30

中考練場............................................................................................36

熱點(diǎn)題型歸納

題型01四邊形與旋轉(zhuǎn)變換

【解題策略】

三角形全等和三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)

鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法。

【典例分析】

例.（2023?浙江衢州?中考真題）如圖1,點(diǎn)0為矩形ABCD的對稱中心，AB=4,AD=8,點(diǎn)E為AO邊上一點(diǎn)（0<AE<3）,

連接EO并延長，交于點(diǎn)尸，四邊形ABEE與A7TFE關(guān)于E尸所在直線成軸對稱，線段交AO邊于點(diǎn)G.

⑴求證：GE=GF；

（2）當(dāng)鉆=2DG時(shí)，求AE的長;

(3)令=DG=b.

①求證：(4-6Z)(4-/?)=4；

②如圖2,連接OB',OD,分別交AO,于點(diǎn)H,K.記四邊形OKGH的面積為Si，△OGK的面積為S?.當(dāng)。=1時(shí)，

求確■的值.

【答案】(1)見解析

⑵6-2/

S13

(3)①見解析；②U=￡

o2o

【分析】(1)根據(jù)軸對稱和矩形的性質(zhì)，證明NGM=/GEE,即可解答；

(2)過點(diǎn)G作GH，8c于H,設(shè)。G=x,則AE=2x,求得G￡=G/^=8-3x,再利用勾股定理，列方程即可解答；

(3)①過點(diǎn)。作OQLA。于Q,連接。4,OD,OG,證明△GOQS/^OE。，可得箓=器，得到GQ-EQ=4,即可

OQEQ

解答；

②連接BZ>,OG,,證明△Z)OG0Zk3'OG,進(jìn)而證明△DGKdB'GH，進(jìn)而證明△OGKHOGH，可得"=竺詈絲

22

AAAOKOFS\2OK2OFEF…

再證明△O"s2V)K5，,△石G/SADGE,得到力=赤，再得到廣二-^^二萬二二薪，最后根據(jù)①中結(jié)論，即

可解答.

【詳解】(1)證明：???四邊形ABCD為矩形，

..AD//BC,

ZGEF=ZEFB,

?「四邊形ABFE與AEFE關(guān)于EF所在直線成軸對稱，

:./BFE=/EFG,

ZGEF=ZEFG,

:.GE=GF；

(2)解：如圖，過點(diǎn)G作GH，3c于

設(shè)設(shè)DG=x,則AE=2x,

:.EG=8-3x=GF,

\-ZGHC=ZC=ZD=90°,

???四邊形GHCD為矩形，

.，CH=DC=4,

???點(diǎn)。為矩形ABCD的對稱中心，

AE=CF=2x,

:.FH=FC-CH=xf

在mAGHF中,GF2=FH2+GH2,

可得方程(8-3域=f+42,

解得%=3—6,/=3—6(此時(shí)AFAAD,故舍去0),

/.AE=2x=6—2V3;

(3)解：①證明：過點(diǎn)。作OQLAO于Q,連接。4,OD,OG,

??,點(diǎn)0為矩形ABCD的對稱中心，

:.OE=OF,OA=OD,OQ=^AB=2,

?.?GE=GF,

s.GOLEF,

ZGOQ=90°-ZEOQ=ZQEO,

\-ZOQE=ZGQO=90°,

:公GOQS^OEQ,

GQOQ

.?而=的，即aGQ.EQ=OQ92=4,

:.EQ^AQ-AE=4-afGQ=DQ-GD=4-bf

「.（4一a）（4-Z?）=4；

②如圖，連接B'AOG,。？，

由題意可得M=B戶，

???點(diǎn)0為矩形ABCD的對稱中心,

:.BF=B'F^ED,

同理可得OD=OB=OB',

由（1）知G5=GE,

:.B'F-GF=DE-GE,

即B'G=DG,

-.OG=OG,

.?.ADOG/△B'OG（SSS）,

:.ZODG=ZOB'G,

DG=B'G,ZDGK=ZB'GH,

:.ADGK^AB'GH（ASA）,

:.DK=BrH,GK=GH,

:.OD-DK=OB,-B,H,

即OK=O”,

?.OG=OG,

:.AOGK^OGH（SSS）,

…S^OGK=S^OGH，

**?\=2s4OGK，

?_S__.1_____2___sAAOCercKK

一^^-’

???ZEGF=ZDGB\GE=GF,GD=GB'

ZGEF=ZGFE=/GDB'=NGB'D,

.OKOF

,,嬴一五‘

S/\CCKOK

,與一祈,

.S\20K20FEF

"~S1~DK~B'D~~^D'

?.△EGFSADGB，,

EFGE

,?麗一布’

當(dāng)a=l時(shí)，由①可得（4—1）（4-6）=4,

解得bg,

Q

二.AE=1,DG=~,

3

13

:.GE=AD-AE-DG=—,

3

_EFGE_13

瓦―麗一而一飛，

【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形綜合應(yīng)用，涉及軸對稱變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股

定理，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵.

【變式演練】

1.(2023?遼寧盤錦?二模)如圖，已知正方形ABCD和正方形/1￡7燈.

圖1圖2備用圖

(1)在圖1中，點(diǎn)E,F,G分別在邊AB,AC,AD±.,求出絲的值.

FC

(2)將正方形AEFG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2所示位置，連接。G,FC,請問(1)中的結(jié)論是否發(fā)生變化？并加以證

明；

(3)如果正方形A3CD的邊長為5,正方形AEFG的邊長為3.當(dāng)正方形的'G繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)E,F,8三點(diǎn)共線

時(shí)，請直接寫出CG的長.

【答案】⑴冬

(2)不發(fā)生變化，證明見解析；

(3)717或而.

【分析】

(1)本題根據(jù)正方形性質(zhì)和勾股定理得到AF=0AG，再由尸G〃DC利用平行線分線段成比例，得到黑=蕓，推

...GDAG口—上萬日否

出司二壽’即可斛題.

⑵本題連接AF,得至I」絲=四=345。=包，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明A/MGsAaLF,得至11絲=學(xué)，即可證明⑴

ACAF2FCAF

中的結(jié)論不變.

（3）本題根據(jù)正方形A￡FG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)E,F,2三點(diǎn)共線，利用勾股定理算出8E,點(diǎn)E,F,8三點(diǎn)共線

分兩種情況，①當(dāng)點(diǎn)E,尸在點(diǎn)8的左側(cè)時(shí)，作于點(diǎn)N,作GMLAC于點(diǎn)②當(dāng)點(diǎn)￡,尸在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，

作GQ，CD交CD的延長線于點(diǎn)。，作G尸，AD交4）于點(diǎn)P,對以上兩種情況結(jié)合輔助線構(gòu)造以CG為斜邊的直角三

角形，利用解直角三角形和勾股定理求解，即可解題.

【詳解】（1）解：?四邊形ABCD和AEFG都是正方形，

:.ZAGF=ND=90。,AG=FG,AD=CD,

AF=7AG2+FG2=7AG2+AG2=夜AG，

，；FG〃DC,

,AGAF

,GD-FC'

GDAG\女

,FC-AF-7?

故答案為：旦,

2

(2)解:不變，理由如下:

連接AF,

,?,四邊形ABCD和AEFG都是正方形,

，ND4C=NG4/=45°,

ADAGV2

——二——=cos4A5C0O=——，

ACAF2

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，ZDAG=ZCAF,

.\ADAG^^CAF,

GDADV2

FCAC2

(1)中的結(jié)論不變.

(3)解：當(dāng)正方形AEFG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)E,F,5三點(diǎn)共線時(shí),

分以下兩種情況:

①當(dāng)點(diǎn)E,尸在點(diǎn)8的左側(cè)時(shí)，如下圖所示，作于點(diǎn)N,作GMLAC于點(diǎn)

E

???正方形ABCD的邊長為5,正方形AEFG的邊長為3.

,'.AE=EF=GF=AG=39AB=5,

：.BE=y/AB2-AE2=4，

??.BF=BE-EF=4-3=1,

sinZABE=—FN

ABBF

3FN3

FN=§

51

-.?ZFAG=ABAC=45°,

...ZFAG-ZBAG=ABAC-ZBAG，

:.ZFAN=ZGAM,

.rFN.GM

sm/FAN=-----=smZGAM=------

AFAG

5_GM,GM=—

“一310

21A/2

AM=NAG?-GM?

10

AB

?.?AC=,=5應(yīng)，

cos45,

—北

:.GC=[MC2+GM2=后；

②當(dāng)點(diǎn)E,尸在點(diǎn)5的右側(cè)時(shí)，如下圖所示，作GQLCO交CD的延長線于點(diǎn)。，作GPLAD交于點(diǎn)尸,

GQ

BE=ylAB2-AE2=4，

?.?Na4￡)=NE4G=90。，

.\ZBAD-ZDAE=ZEAG-ZDAE,

??.NDAG=NBAE,

Af1Ap

cosNBAE=——=cosZDAG=—,

ABAG

土絲，"一

535

,GP=yjAG2-AP2=—,

916

:.PD=AD-AP=5——=—,

55

???ZPDQ=180°-ZADC=180°-90°=90°,

由題易知，四邊形GP。。為矩形，

GQ=PD=—,QD=GP=—9

CQ=CD+QD=5+—=,

GC=JB+GQ2=辰；

綜上所述，GC的長為J萬或而.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、

銳角三角函數(shù)、解直角三角形、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解

題的關(guān)鍵.

2.（2023?遼寧阜新?一模）如圖，四邊形45CD和四邊形都是正方形，且FH,EG交于點(diǎn)A,正方形EFGH繞

點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接。尸，BE.

(1)如圖1,求證：DF=BE,DF1.BE；

⑵如圖2,將。尸繞點(diǎn)廠逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段正K,連接BK.

①求證：四邊形EfKB是平行四邊形;

②連接KG,若AB=5,EF=3,直接寫出在正方形EFG〃旋轉(zhuǎn)的過程中，線段KG長度的最大值.

【答案】(1)詳見解析

(2)①詳見解析；②KG最大值為5+之叵

2

【分析】

(1)由題意易得AD=AB,AF=AE，NDAB=NFAE=90°,然后可證^,ADF=^ABE(SAS),則有

DF=BE,NADF=NABE,進(jìn)而問題可求證；

(2)①由(1)可得DF=BE,DFYBE,然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及平行四邊形的判定定理可求證；②連接DE,由題

意易證AOEE經(jīng)AKFG(SAS),則有KG=DE,要使KG的值最大，即為OE的值最大，當(dāng)點(diǎn)。、A、E三點(diǎn)共線時(shí)，DE

的值最大，進(jìn)而問題可求解.

【詳解】(1)

證明：：四邊形ABC。和四邊形EFG”都是正方形，

AAD^AB,AF=AE,ZDAB=ZFAE=90°,

：.ZDAF=ZBAE,

：.AADF且AABE(SAS),

DF=BE,ZADF=ZABE.

設(shè)。廠與BE相交于點(diǎn)P,與班相交于點(diǎn)Q.

在△AD。和ABQP中，ZDAQ=90°,

,:NDQA=NBQP,ZADF=ZABE,

：.ZBPQ=ZDAQ=90°.

：.DF=BE,DFLBE.

(2)

①證明：由（1）可知：

DF=BE,DF1BE,

由旋轉(zhuǎn)可知：DF=KF,DFLKF,

：.KF=BE,KF//BE,

???四邊形EFKB是平行四邊形.

②解：連接OE,如圖所示：

?.?DF=KF,EF=GF,ZDFK=ZEFG=90°,

:./DFE=NKFG,

：.ADFE%KFG(SAS),

JKG=DE,

要使KG的值最大，即為OE的值最大，當(dāng)點(diǎn)O、A、E三點(diǎn)共線時(shí)，OE的值最大;

AD=AB=5,EF=3,ZAFE=45°f

s3A/2

?.?_AE=0--EF=-----,

22

/?DE的最大值為+=5+

2

KG最大值為5+述.

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性

質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2023廣東深圳?模擬預(yù)測）【綜合探究】在數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，興趣小組的同學(xué)用兩個(gè)完全相同的長方形

紙片展開探究活動(dòng)，這兩張長方形紙片的長為8cm,寬為4cm.

⑴【實(shí)踐探究】小紅將兩個(gè)完全相同的長方形紙片A3CD和擺成圖1的形狀，點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，邊AD與邊EF

重合，邊AB,QE在同一直線上.

請判斷：AACG的形狀為；

⑵【解決問題】如圖2,在（1）的條件下，小明將長方形EFGQ繞點(diǎn)、A順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)。（轉(zhuǎn)動(dòng)角度小于45。），即=,

邊斯與邊CO交于點(diǎn)連接BN平分ZMBC,交CO于點(diǎn)N,ZAMB+ZAMC=1SO°,求NCBN的度數(shù)；

（3）【拓展研究】從圖2開始，小亮將長方形EFGQ繞點(diǎn)A順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一周，若邊E尸所在的直線恰好經(jīng)過線段8。的中

點(diǎn)。時(shí)，連接M,FQ,請直接寫出ABFQ的面積.

【答案】（1）等腰直角三角形

⑵/CBN=30°

⑶32-86或32+86

【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，可證明AAQG咨AC3A,得到AG=AC,ZAGQ^ZCAB,再利用直角三角形的性質(zhì),

可推得NG4c=90。，即得答案；

（2）過點(diǎn)A作AH于H,先證明AADM且AATSV/,得至=可進(jìn)一步證明NASH=30。，ZCBM=60°,

從而可得答案；

（3）分旋轉(zhuǎn)角小于90。和大于90。兩種情形，分別畫出圖形，根據(jù)三角形全等和勾股定理可逐步求得答案.

【詳解】（1）,??長方形紙片ABCD和所GQ完全相同，

AQ-CB,ZQ=ZB=90°,GQ=AB,

.?.△AQG%CBA(5A5),

.\ZAGQ=ZCAB,AG=AC,

QZAGQ+ZGAQ=9Q°,

ZGAQ+ZCAB=90°,

.\ZG4C=90°,

「.△ACG是等腰直角三角形；

故答案為：等腰直角三角形.

(2)如圖2,過點(diǎn)A作于H,

vZAMB+ZAMC=180°,ZAMD+ZAMC=180°,

:.ZAMD=ZAMH

?：ZD=ZAHM=90°,AM=AM,

.'.^ADM^AHM(A45),

,\AD=AH=4,

???AB=8,

/.AH=-AB,

2

廠.在RtA4HB中，ZABH=30°,

:.ZCBM=60°,

?；BN平分/MBC,

."CBN=3。。；

G

Q

A(E)B

(3)情況一，如圖3.1,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角小于90。時(shí),

過8作B〃_LAF于點(diǎn)

NBHO=ZQAO=90°,

???O為8。中點(diǎn)，

QO=BO,

QNQOA=NBOH,

:.^QOA^BOH(AAS),

:.OA=OH,AQ=BH=4,

在中，AH=\lAB2-BH2=4A/3-

AO=OH=26，

■.■AF=8,

OF=8-2^3,

'''S^OFB=jx4x—=16—4-s/3,

=32-86,

G

圖3.1

情況二：如圖3.2,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角大于90。時(shí),

過B作于H,

同情況一得AAQOGA"BO(A4S),

:.OA=OH,AQ=BH=4,

在RtZXABH中，AH=^AB--BH2=473-:.AO=OH=2』，

4X（8+2A/3）=16+4V3,SABFQ=2S^FOB=32+,

綜上所述

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識，靈活

運(yùn)用相關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵.

題型02四邊形與翻折變換

【解題策略】

考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊幾何性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理，

解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論.

【典例分析】

例..(2023?湖南?中考真題)問題情境：小紅同學(xué)在學(xué)習(xí)了正方形的知識后，進(jìn)一步進(jìn)行以下探究活動(dòng)：在正方形A5CD

的邊3c上任意取一點(diǎn)G,以BG為邊長向外作正方形BEPG,將正方形BEFG繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn).

D___________kCD—_________CD,C

特例感知:

(1)當(dāng)BG在上時(shí)，連接OHAC相交于點(diǎn)P,小紅發(fā)現(xiàn)點(diǎn)尸恰為。尸的中點(diǎn)，如圖①.針對小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請

給出證明；

(2)小紅繼續(xù)連接EG,并延長與O尸相交，發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)恰好也是。尸中點(diǎn)P,如圖②，根據(jù)小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請判斷VAPE

的形狀，并說明理由；

規(guī)律探究：

（3）如圖③，將正方形BEFG繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,連接。尸，點(diǎn)尸是。尸中點(diǎn)，連接AP,EP,AE,VAPE的形狀

是否發(fā)生改變？請說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）VAPE是等腰直角三角形，理由見解析；（3）VAPE的形狀不改變，見解析

【分析】（1）連接BD,BF,根據(jù)正方形的性質(zhì)求出NDB尸=90。，證明絲△AP3,推出BP=AP,再利

用余角的性質(zhì)求出/期=N4%，推出尸3=PF即可；

（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)直接得到NQ4E=/PE4=45。，推出AP=眇,ZAPE=90。，得到Y(jié)4PE是等腰直角三角形；

（3）延長EP至點(diǎn)M,使PM=EP，連接證明AMPD均EPRSAS）,得到。M=￡F,NDWP=ZPM,推

出BG〃DM,設(shè)DF交BC于點(diǎn)H,交BG于點(diǎn)、N,得至“ZMDN=NDNB,由AT>〃3C得到=推出

ZADM=ZBHN+ZBNH=1800-ZHBN,進(jìn)而得到NADM=NABE,再證明AADM均ABE（SAS）,得至1141/=他，

ZDAM=ZBAE,證得NAPE=90。，再由/M4E=90。，根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)求出NM4P=/R4E=45。，

即可證得VAPE是等腰直角三角形.

【詳解】（1）證明：連接身>BF,BP,如圖，

圖①

???四邊形ABC。，都是正方形,

???/CBD=45。=/FBG,

：.ZDBF=90°,

???四邊形ABC。是正方形，

：.ZDAC=ZBAC=45°,

又：AP=AP,

：.△APgMBB(SAS),

/.BP=DP,

/.ZPDB=ZPBD,

'：ZPDB+ZPFB=90°=/PBD+/PBF,

/./LPBF=APFB,

/.PB=PF,

：.PD=PF,即點(diǎn)P恰為。尸的中點(diǎn)；

(2)VAPE是等腰直角三角形，理由如下：

,四邊形ABCD,BEFG都是正方形，

，ZCAE=ZPEA=45°

；.AP=EP,ZAPE=90°,

VAPE是等腰直角三角形；

(3)VAPE的形狀不改變，

延長￡P(guān)至點(diǎn)M,使PM=EP,連接MA,A?,

圖③

:四邊形A3CD、四邊形班牙G都是正方形,

AB=AD,ZBAD=ZABC=ZEBG=90°,BE=EF,BG//EF,

??,點(diǎn)尸為。9的中點(diǎn)，

???PD=PF,

,:ZDPM=ZEPF,

：.AMPDAEPF(SAS),

.?.DM=EF,ZDMP=ZPEF,

ABE=DM,DM//EF,

：.BG//DM,

設(shè)。方交BC于點(diǎn)H,交3G于點(diǎn)N,

:,ZMDN=ZDNB,

*：AD//BC,

：.ZADN=ZBHN,

???ABHN+ZBNH+ZHBN=180°,

???ZADM=ZADN+ZMDN=/BHN+/BNH=180。—ZHBN,

???ZABE=360°-ZABC-ZEBG-AHBN=180°-ZHBN,

，ZADM=ZABE,

又；AD=AB,

：.△ADM^AABE(SAS),

AAM=AE,ZDAM=ZBAE,

,:PM=EP,

：?APLME,即NAP￡=90。，

*/ZDAM+ZMAB=90°,

AZBAE^ZMAB=90°,即NM4E=90。，

ZM4P=ZB4E=45°,

ZPEA=45°=ZPAE,:.AP=EP，

???NAPE是等腰直角三角形.

【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等，(3)

中作輔助線利用中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形是解題的難點(diǎn)，熟練掌握各性質(zhì)和判定定理是解題的關(guān)鍵.

【變式演練】

1.(2023?浙江金華?三模)如圖，平行四邊形ABCD中,AB=9,BC=12,點(diǎn)尸是邊上的點(diǎn)，連結(jié)AP,以A尸為對

稱軸作AABP的軸對稱圖形AAQP.

圖1圖2圖3

⑴如圖2,當(dāng)點(diǎn)。正好落在AD邊上時(shí)，判斷四邊形A8PQ的形狀并說明理由；

(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸是線段3c的中點(diǎn)且CQ=4時(shí)，求AP的長；

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)尸，Q,D三點(diǎn)共線時(shí)，恰有=求3尸的長.

【答案】(1)四邊形A8尸。是菱形，理由見解析

(2)AP=9

⑶旅=?

【分析】

(1)根據(jù)折疊得出AB=AQ,BP=PQ,證明三角形AB尸是等腰三角形，進(jìn)一步得出結(jié)果;

(2)解等腰三角形CP。，作鉆_LBP于E,解斜三角形鉆尸，從而求出結(jié)果；

(3)證明AAOQSAOCQ,ADCQS^DPC,從而求得。。和PD,進(jìn)一步求得BP.

【詳解】(1)解：四邊形48PQ是菱形，理由如下:

由折疊可得，

AB=AQ,BP=PQ,ZBAP=ZPAQ,

???四邊形ABC。是平行四邊形，

??.AD〃BC,

.\ZPAQ=ZAPB,

,\ZAPB=ZBAPf

:.AB=BP,

AB=BP=PQ=AQ,

二.四邊形A5尸。是菱形；

(2)如圖，

作4石_15。于E,作尸尸_LCQ于尸，

:.ZAPB-^ZPAE=9Q0,

???PC=BP=PQ=6,

11

,\CF=QF=^CQ=2,ZCPF=ZQPF=-ZCPQ,

CF21

■■-^CPF=—=^^=^,

ZAPB=ZAPQ=|NBPQ,NBPQ+NCPQ=180°,

.\ZAPfi+ZCPF=90°,

:"PAE=/CPF,

1

tanZPAE=,

設(shè)PE=a,AE=2也。，

:.BE=BP-EP=6-2垃a,

在R^ABE中，AB=9,BE=6-a,AE=2a〃，

J(2缶/+(6—4)2=92,

/.Oy=3,%=一§(舍去)，

,EP=3,AE=6^[2,

AP=VAE2+PE2=,+(6何2=9；

(3)vZAQP=ZPQC,

:.l80°-ZAQP=180°-ZPQC,

即：ZAQD=ZDQC,

???四邊形ABC。是平行四邊形，

:./B=ZADC,

由折疊可得，

ZB=ZAQP,AQ=AB=9,

ZPQC=ZADC,

ZADQ+ZCDQ=ZCDQ+ZDCQ,

/.ZADQ=ZDCQ,

..^ADQ^^DCQ,

DQCD

,?而一而‘

.DQ2_

,,=，

912

27

：.DQ=—,

4

同理可得，

ADCQ^^DPC,

,CD_DQ

*PF-CD?

CD2

，PD=DQ*，

2721

BP=PQ=PD-DQ=12--=—.

44

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)，解直角三角形等知識，

解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形.

2.(2023.貴州銅仁.三模)閱讀材料：如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)。是42的中點(diǎn),點(diǎn)E是邊AD上動(dòng)點(diǎn)，將”。后沿

OE翻折得VR9E,連接■并延長"交邊DC于點(diǎn)連接

Z1DZ1DZ1LJ

圖①圖②圖③

【發(fā)現(xiàn)問題】

(1)如圖①，判斷的形狀是________三角形.

【探究發(fā)現(xiàn)】

(2)如圖②，當(dāng)E、F、C三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，求證：M為邊DC中點(diǎn)

【拓展遷移】

(3)如圖③，延長O尸交射線AD于點(diǎn)N,當(dāng)AB=8,BC=6,DV=2時(shí)，求AE的長.

【答案】（1）直角

（2）見解析

（3）40-4

【分析】（1）由ZXAOE沿0E翻折得V/OE,得。尸=。4,ZAOE=ZFOE,OELAF,繼而證得。5=0尸，得到

Z.0BF=Z0FB,從而得到ZA0E=NQFB,繼而證得ZA2揖=ZAFO+NQ/布=NO4F+ZAOE=90。，即可得出結(jié)論；

（2）連接。C,證明RsCFgRsCBO（HL）,得DM=3O,然后由矩形的性質(zhì)與點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，可得出結(jié)論;

（3）由矩形性質(zhì)和勾股定理，求得0N=4應(yīng)，再由翻折性質(zhì)得NQEE=NQ4￡=90。，OF=OA=4fEF=AE,設(shè)

22

AE=EF=xf貝！JE?V=4V-AE=4-x,然后由勾股定理，^#（4-x）=%+^4^2-4j,解方程即可求解.

【詳解】解：（1）???點(diǎn)。是A8的中點(diǎn)，

JOA=OB,

???AAOE沿0E翻折得V尸,

AOF=OA,ZAOE=ZFOEfOE1AF,

：.ZOAF=ZOFA,

???OELAF

：.ZAOE+ZOAF=90°,

VOF=OA1OA=OB,

：.OB=OF,

：./OBF=/OFB,

：.2ZAOE=ZAOF=Z.OBF+ZOFB=2ZOFB,

ZAOE=ZOFB,

ZAFB=ZAFO+ZOFB=ZOAF+ZAOE=90°,

???方為直角三角形.

（2）連接OC,

???矩形ABC。，

AZADC=ZABC=ZDAB=90°,AB=CD,AD=BC,AB//CD,

：.ZOAF=ZAMDf

???AAOE沿OF翻折得V尸,

AZOFE=ZOAE=90°,OF=OA,

???ZOAF=ZOFA,

???點(diǎn)。是A5的中點(diǎn)，

OA=OB=-AB,

2

；?OB=OF,

當(dāng)E、F、。三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，

???ZOFC=90°,

在RtACFO與RtACBO中，

foc=oc

[OF=OB'

???RuCFO^RtACfiO(HL)

：.ZFOC=ZBOC,

：.2ZBOC=ZBOF=ZOAF+ZOFA=2ZOAF

：.ZBOC=ZOAF,

：.ZAMD=ZBOCf

在△ADM與△CBO中,

ZADM=ZCBO

<ZAMD=ZBOC,

AD=BC

：.AAZ)M^ACBO(AAS),

:.DM=BO,

VBO=-AB,AB=CD

2

：.DM=-CD

2

???點(diǎn)M是CD的中點(diǎn).

(3)??,矩形ABC。，

AAD=BC=6,ZDAB=90°,

：.AN=AD-DN=6-2=4f

??????點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，.??Q4=gAB=gx8=4,

由勾股定理，ON=y/OA2+AN2=V42+42=4sl2，

,/AAOE沿OE翻折得VR9E,

：.NOFE=NOAE=90°,OF=OA=4,EF=AE,

：.ZEFN=90°,NF=ON-OF=4?-4,

設(shè)AE=EF=x,貝?。荨?V=4V_A￡=4_x,

由勾股定理，W(4-X)2=X2+(4V2-4)\解得：x=4五-4，

即AE=4&-4.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理.熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?河南洛陽?二模）綜合與實(shí)踐

(1)【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1，諸葛小組將正方形紙片ABC。沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在正方形內(nèi)部的點(diǎn)M處，折痕

為AE,再將紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使AD與A加重合，折痕為"，請寫出圖中的一個(gè)45。角：.

(2)【拓展探究】如圖2,孔明小組繼續(xù)將正方形紙片沿E尸繼續(xù)折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在折痕AE上的點(diǎn)N處，連

接NF交AM于點(diǎn)P.

①ZA￡F=______度；

②若AB=6，求線段尸河的長.

(3)【遷移應(yīng)用】如圖3,在矩形ABCD,點(diǎn)、E,歹分別在邊3C、CZ)上，將矩形ABCD沿AE,反折疊，點(diǎn)2落在點(diǎn)

M處，點(diǎn)。落在點(diǎn)G處，點(diǎn)A,M,G恰好在同一直線上，若點(diǎn)尸為8的三等分點(diǎn)，AB=3,AD=5,請直接寫出線

段BE的長.

【答案】(1)NE4F=45。，見解析

(2)①ZAEF=60。，見解析；PM=2-m,見解析；

9

⑶線段BE的長為'或2；

【分析】(1)根據(jù)折疊性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可得㈤F=45。；

(2)①由折疊性質(zhì)可得？NFE1CFE,ZENF=ZC=9Q°,ZAFD=ZAFM,結(jié)合ZE4F=45?？傻肗A7W=45。，即

可求解；②根據(jù)是等腰直角三角形，可證A4VP%mE(ASA),設(shè)PN=EN=a,

根據(jù)AN+￡7V=AE,即可求解；

(3)在AD上取一點(diǎn)J,使得A7=AB,過點(diǎn)/作〃_LBC,交AF于點(diǎn)K,連接EK,可得AA/KS^AD產(chǎn)，設(shè)BE=x,

則EK=x+g,根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】(1)解：ZEAF=45°；

:四邊形A3CD是正方形，

:.ZC=ZBAD=90°,

由折疊性質(zhì)可得：ZBAE=ZMAE,ZDAF=ZMAF,

NMAE+NMAF=NBAE+ZDAF=-ZBAD=45°,

2

即NE4F=45。；

(2)解：①：四邊形A3CD是正方形，

/.ZC=ZB=90°,

由折疊性質(zhì)可得：?NFE?CFE,/硒F=NC=90°,ZAFD=ZAFM,

NANF=180°-90°=90°,

由操作一得：ZE4F=45°,

.?△ATVF是等腰直角三角形，

.?.NAF/V=45°,

ZAFD=ZAFM=45°+ZNFE,

.-.2(45°+^NFE)+ZCFE=180°,

:.NNFE=NCFE=3G,

...ZA￡F=90°-30°=60°；

②?；A4VF是等腰直角三角形，

:.AN=FN,

?.?ZAMF=ZANF=90。,ZAPN=/FPM,

ZNAP=ZNFE=30。,

.?.△4VP^RVE(ASA),

:.AP=FE,PN=EN,

?;NNFE=NCFE=30°,ZENF=ZC=90°,

:.NNEF=NCEF=60。,

,\ZAEB=60°,

vZB=90°,

:.ZBAE=30°,

:.BE=—AB=1,

3

:.AE=2BE=2,

設(shè)PN=EN=a,

???NANP=90°,NNAP=30°,

/.AN=y/3PN=y/3a,AP=2PN=2a,

?;AN+EN=AE,

y/3a+Q=2,解得：a=百-1,

AP=2a=2^/3—29

PM=AM-AP=6-Q6-"=2-6;

(3)解：如圖，在AD上取一點(diǎn)J,使得A7=AB,過點(diǎn)J作"，3C,交AF于點(diǎn)K,連接EK,

當(dāng)DF=2CF時(shí)，CF=1,DF=2,

AJ_JK.JK_36

.\AAJK-AADF

AD-DF'_2-c5

由（1）可知，EK=BE+JK,

設(shè)=貝ijEK=x+1,

EK2=ET2+KT2>(x+|)2=(3-J;)2+(3-|)2,：.X=^,

當(dāng)CF=2DF時(shí)，同理可得BE=2,

綜上所述，線段8E的長為，或2；

【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、解

直角三角形等知識，熟練掌握正方形的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)，證出ZE4F=45。是解題的關(guān)鍵.

題型03類比探究問題

【解題策略】

考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟

練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論。

【典例分析】

例.(2023?江蘇鹽城?中考真題)綜合與實(shí)踐

【問題情境】

如圖1,小華將矩形紙片ABCD先沿對角線折疊，展開后再折疊，使點(diǎn)3落在對角線8D上，點(diǎn)3的對應(yīng)點(diǎn)記為笈，

折痕與邊AD,BC分別交于點(diǎn)E,F.

【活動(dòng)猜想】

(1)如圖2,當(dāng)點(diǎn)9與點(diǎn)。重合時(shí)，四邊形8瓦甲是哪種特殊的四邊形？答：.

【問題解決】

(2)如圖3,當(dāng)AB=4,AD=8,時(shí)=3時(shí)，求證：點(diǎn)A,B',C在同一條直線上.

【深入探究】

(3)如圖4,當(dāng)AB與8C滿足什么關(guān)系時(shí)，始終有與對角線AC平行？請說明理由.

(4)在(3)的情形下，設(shè)AC與80,I加分別交于點(diǎn)0,P,試探究三條線段AP,B'D,E尸之間滿足的等量關(guān)系，

并說明理由.

【答案】（1）菱形；（2）證明見解答；（3）BC=?AB,證明見解析；（4）6EF=2（AP+B，D）,理由見解析

【分析】⑴由折疊可得：EF±BD,OB=OD,再證得AB歷源△OEO（ASA）,可得OE=O尸，利用菱形的判定定理

即可得出答案；

（2）設(shè)E廠與5D交于點(diǎn)M,過點(diǎn)8'作5'K_L8C于K,利用勾股定理可得=4指，再證明△班可求

得所11=竽，進(jìn)而可得89=今5,再由△89KSABDC,可求得=BK=g,CK=BC-BK=8-2^=y,運(yùn)用

勾股定理可得B'C=4,運(yùn)用勾股定理逆定理可得NCBT=90。，進(jìn)而可得/42/+/6?/=90。+90。=180。，即可證得結(jié)論；

（3）設(shè)/Q4B=NOB4=。，則/C?C=90?！╖,利用折疊的性質(zhì)和平行線性質(zhì)可得：ZAB'B=ZAOB=a,再運(yùn)用三角

形內(nèi)角和定理即可求得&=60。，利用解直角三角形即可求得答案；

（4）過點(diǎn)E作EG,5c于G,設(shè)E尸交BD于H,設(shè)AE=m，EF=n,利用解直角三角形可得

B'D=BD—BB'=\/3n—>/3（m+—n）=^-n—\l3m,AP=2AE-cos30°=-J3m>即可得出結(jié)論.

22

【詳解】解：（1）當(dāng)點(diǎn)夕與點(diǎn)。重合時(shí)，四邊形班。尸是菱形.

理由：設(shè)所與8。交于點(diǎn)0,如圖，

由折疊得：EFLBD,OB=OD,

:.ZBOF=ZDOE=90°,

?.?四邊形A3CD是矩形，

:.AD//BC,

/OBF=NODE,

△8FO冬△DEO(ASA),

:.OE=OF,

四邊形3匹尸是菱形.

故答案為：菱形.

(2)證明：?.,四邊形ABCD是矩形，AB=4,AD=8,BF=3,

.-.BC=AD=8,CD=AB=4,/BCD=90。,

:.CF=BC-BF=8-3=5,

BD=VSC2+CD2=,8。+4。=475，

如圖，設(shè)所與8￡)交于點(diǎn)M,過點(diǎn)夕作3'K_L3c于K,

由折疊得：ZAB'F=ZABF=ZBMF=ZB'MF=90°,B'F=BF=3,BB'=2BM,

:.ZBMF=ZBCD,

ZFBM=ZDBC,

BMBF??BM3

——=——，即工-=一r>

BCBD84V5

5

"咯

5

?.?ZBKB'=ZBCD,NB'BK=ZDBC,

，ABB'KS^BDC,

12百

%=生=毀，即"KBK

5

CDBCBD

484A/5

24

BK=——

BY5

.\CK=BC-BK=S--=—

55

/.B,C=^B'K2+CK1=4,

?.出產(chǎn)+"=32+42=25,C尸=5?=25,

/.B'F2+B'C2=CF2,

.?.NC6F=90。，

/.ZABrF+ZCBrF=90°+90°=180°,

???點(diǎn)4,。在同一條直線上.

(3)當(dāng)=時(shí)，始終有AE與對角線AC平行.

理由：如圖，設(shè)AC、BD交于點(diǎn)0,

???四邊形ABCD是矩形，

:.OA=OB,ZOBA+ZOBC=9Q°,

.\ZOAB=ZOBA,

設(shè)NOAB=NQBA=a,

則NOBC=90。一a,

r

由折疊得：ZABF=ZABC=90°fB'F=BF,

/.ZBB'F+ZABrB=90°,ZBBrF=Z.OBC=90°-a,

r

:.ZABB=ZOBA=af

-AB//ACf

:.ZABfB=ZAOB=a,

???NQ4B+NOBA+NAOS=180。，

.,.a+a+a=180°,即3a=180°,

/.a=60°,

:.ZBAC=60°,

：.—=tanABAC=tan60。=#,

BC=A/3AB;

(4)亞EF=2(AP+B，D),理由如下：

如圖，過點(diǎn)E作EG,3c于G,設(shè)EF交BD于H,

由折疊得：EF±BD,B'F=BF,ZBFE=ZB'FE，

設(shè)AE=m,EF=n,

由（3）得：ZBAC=60°=ZABD,

NBB'F=ZDBC=30°,

ZBFE=ZB'FE=60°,

...EG=EF-sin60°=—n,FG=EFcos600=-n,

22

ZEAB=ZABG=ZBGE=90°,

???四邊形是矩形，

AB=EG=—nBG=AE=m,AD〃BC,

2f

,BF=B'F=m+—n,

2

/.BH=BFcos30°=—(m+-n),

22

BB'=2BH=73(m+1n),

BD=2AB=y/3n,

B'D=BD—BB'=y/3n—石(機(jī)+—n)=n—6m,

22

?：AD//BC,

.\ZDEF=ZEFG=60°,

/.ZAPE=ZDEF-ZZMC=60°-30°=30°=ZZMC,

/.AP=2AE?cos30°=y/3m，

AP+B'D=yj3m+(^-n一y/Sm)=n,

:.AP+B'D=—EF,

2

即依EF=2(AP+B'D).

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性質(zhì)，等腰三角形性

質(zhì)，平行線性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等，涉及知識點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，

難度較大.

【變式演練】

1.（2023?海南?？?二模）（1）【證明推斷】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是對角線2。上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)8、。不

重合），連接AE,過點(diǎn)E作麻，AE,EG1BD,分別交直線BC于點(diǎn)RG.

①求證：AABE芻AFGE；

②求名的值；

（2）【類比探究】如圖，將（1）中的“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，其他條件均不變.

①若鉆=3,BC=4,求——的值；

AE

斤"

②若AB=m?BC,直接寫出大的值（用含機(jī)的代數(shù)式表示）；

AE

⑶【拓展運(yùn)用】如圖，在矩形A3CD中，點(diǎn)E是對角線加上一點(diǎn)（與點(diǎn)夙。不重合），連接AE,過點(diǎn)E作團(tuán)UAE,

EGA.BD,分別交直線BC于點(diǎn)P、G,連接CE,當(dāng)AB=2,BC=4,CE=CD時(shí)，求所的長.

BFGC

【答案】(1)①證明見解析；②空=1;⑵①空=：；②事即(3)石尸=亞

AEAE4AE5

【分析】⑴①由“ASA”可證AASE四△FGE；②由全等三角形的性質(zhì)可得AE=￡F,即可求解；

FFFG

(2)①根據(jù)(1)ZAEB=/GEF,NEFG=/BAE,可證AABESA/GE,可得——=——，通過證明