2025年中考數(shù)學熱點題型專項訓練：反比例函數(shù)與幾何綜合（原卷版）

專題12反比例函數(shù)與幾何綜合

目錄

熱點題型歸納.........................................................................................1

題型01K的幾何意義..................................................................................1

題型02特殊幾何圖形存在性問題.......................................................................3

題型03反比例與相似三角形綜合.......................................................................6

中考練場.............................................................................................7

熱點題型歸納

題型01K的幾何意義

【解題策略】

「反正麗函藪函豪衛(wèi)點的巫標痔菱形的強質(zhì)廠廨直備三鬲一瓶「三扇形而砥函函應(yīng)和恒瓦―反克麗南薇系教了的冗荷

|意義，解題關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)與菱形的性質(zhì).

【典例分析】

例1.（2023?江蘇宿遷?中考真題）如圖，直線y=x+l、＞=x-l與雙曲線^=夕左＞0）分別相交于點4B、C、D.若四

邊形48co的面積為4,則左的值是（）

A—4

V2C.一D.1

4~T5

例2.（2023?四川宜賓?中考真題）如圖，在平面直角坐標系X切中，點4、5分別在x軸上，8。，了軸.點〃;N

分別在線段BC、/C上，BM=CM,NC=2AN,反比例函數(shù)歹=：（、>0）的圖象經(jīng)過M、N兩點，尸為x正半軸上一

點，且。P:8P=1:4,A//W的面積為3,則左的值為（）

4545—14472

A-TB-Tc?石D.—

25

【變式演練】

k

?福建泉州?模擬預測）如圖，反比例函數(shù)%>0）圖象經(jīng)過正方形OABC的頂點A,BC邊與y軸交于點D,

1.（2024y=TX

若正方形048。的面積為12,BD=2CD,則發(fā)的值為（）

O\X

,181610

A.3B.—C.—D.—

553

2.（2023?安徽?二模）如圖，A,2兩點分別為。。與x軸，丁軸的切點.AB=2?，C為優(yōu)弧45的中點，反比例函

數(shù)y=±（x>0）的圖象經(jīng)過點C,則人的值為（）

A.3+2收B.8C.16D.32

3.（2023?安徽?模擬預測）如圖，等腰小3C的頂點分別在反比例函數(shù)”=?（%＞0）和%=，（履＞。）的圖象上,

?BC當處若?。軸，點B的橫坐標為3,則…二

3

4.（2023?四川成都?模擬預測）如圖，直線》=-二1+3的圖象與V軸交于點A,直線＞="+以左〉0）與1軸交于點5,

4

39

與歹=一二1+3的圖象交于點M,與＞=一（％＞0）的圖象交于點當黑向/：S4MC=5:3時，k=_______.

4x

題型02特殊幾何圖形存在性問題

【解題策略】

著者了至尊三鬲形的河蔻布■桂原丁麗須三鬲形的乳兔和桂尻「折薊而桂康廠芍藤定蓬二解函的關(guān)鍵亮氨臻孽握三鬲-

形相似的判定方法，畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論.

i典柯芬而

例.（2023?山東?中考真題）如圖，直線y=|x與雙曲線=交于A,B兩點，點A的坐標為（如-3）,點C是

雙曲線第一象限分支上的一點，連接8c并延長交無軸于點D,且8C=2CD.

(1)求左的值并直接寫出點8的坐標；

(2)點G是y軸上的動點，連接GB,GC,求G3+GC的最小值；

(3)P是坐標軸上的點，。是平面內(nèi)一點，是否存在點P,。，使得四邊形/3P。是矩形？若存在，請求出所有符合

條件的點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

【變式演練】

I.(2023?湖南邵陽?一模)如圖，直線48與x軸交于點A,與丁軸交于點8.03是一元二次方程--工-30=0的一個

3

根，且=：，點。為4g的中點，E為1軸正半軸上一點，BE=2^/10,直線。。與BE相交于點尸.

⑴求點A及點D的坐標；

⑵反比例函數(shù)y=幺經(jīng)過點/關(guān)于V軸的對稱點尸，，求左的值；

X

(3)在直線A8上是否存在點P,使為等腰三角形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

2.(2023?山東濟南?二模)如圖，一次函數(shù)了=尤+8的圖象與反比例函數(shù)y=f(x<0)的圖象交于B兩點.

⑴求此反比例函數(shù)的表達式及點8的坐標；

⑵在y軸上存在點P,使得4P+BP的值最小，求4P+BP的最小值.

(3)M為反比例函數(shù)圖象上一點，N為x軸上一點，是否存在點M、N,使△兒0N是以為底的等腰直角三角形?

若存在，請求出M點坐標；若不存在，請說明理由.

1”

3.(2023?四川成都?三模)如圖，直線y=：x-3與x軸交于點/,與了軸交于點8,與反比例函數(shù)y=—在第一象限內(nèi)

2X

的圖象交于點C(%1).

⑴求反比例函數(shù)的表達式；

⑵點。在點。上方的反比例函數(shù)＞=8的圖象上，的面積為9,求點。的坐標；

k

⑶在(2)的條件下，點M在x軸上y=—的圖象上，若以點M,N,8為頂點的四邊形是平行四邊形，求點"的坐標.

4.(2022?山東濟南?一模)如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=x+b與反比例函數(shù)＞=￡(x＞0)的圖象交于點

/(3,〃),與了軸交于點3(0,-2),點尸是反比例函數(shù)y=?x>0)的圖象上一動點，過點P作直線P0〃了軸交直線

y=x+b于點。，設(shè)點尸的橫坐標為3且0<t<3,連接/尸，BP.

(1)求左，b的值.

⑵當"BP的面積為3時，求點P的坐標.

⑶設(shè)尸。的中點為C,點。為x軸上一點，點￡為坐標平面內(nèi)一點，當以￡C,D,￡為頂點的四邊形為正方形時,

求出點P的坐標.

5.(2023?山東濟南?二模)如圖，在直角坐標系中，直線了=-：x與反比例函數(shù)>的圖像交于/(加,3)、3兩點.

⑴求反比例函數(shù)的表達式；

3

(2)將直線了=-1尤向上平移后與y軸交于點C,與雙曲線在第二象限內(nèi)的部分交于點。，如果△/8D的面積為16,求

直線向上平移的距離；

(3)￡是y軸正半軸上的一點，尸是平面內(nèi)任意一點，使以點N,B,E,尸為頂點的四邊形是矩形，請求出所有符合條件

的點E的坐標.

題型03反比例函數(shù)與相似三角形綜合

【解題策略】

著音直殘寫至標軸的芟點「采反亞的面直解橋式「反反畫函藪函國豪寫桂版「反IE面函藪維吾二元荷荷顧「三說弘西曲]

積公式，位似的性質(zhì)等知識，綜合性大，利用聯(lián)立方程組求交點和掌握位似的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

I

TaSW]

例.(2023?四川成都?中考真題)如圖，在平面直角坐標系xQy中，直線了=-x+5與y軸交于點/,與反比例函數(shù)>=勺

X

的圖象的一個交點為8(%4),過點3作的垂線/.

(1)求點N的坐標及反比例函數(shù)的表達式；

(2)若點C在直線/上，且“BC的面積為5,求點。的坐標；

(3)尸是直線/上一點，連接為，以P為位似中心畫△口)￡,使它與AP/3位似，相似比為根.若點。，E恰好都落在反

比例函數(shù)圖象上，求點P的坐標及機的值.

【變式演練】

1.(2023?黑龍江雞西?三模)如圖1,在平面直角坐標系中，矩形O48C的頂點/、C分別在x軸負半軸、y軸正半軸

上，AB.8c的長分別是方程f-12x+32=0的兩個根，且/2>2C.

(1)求點B的坐標；

(2)如圖2,過點/且垂直于4C的直線交y軸于點尸，在直線即上截取3=/c,過點。作。后工>軸于點E,求經(jīng)過

點。的反比例函數(shù)的解析式；

(3)在(2)的條件下，在了軸上是否存在一點尸，使以。，E,尸為頂點的三角形與入。4c相似？若存在，寫出點尸的個

數(shù)及其中兩個點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

2.(2022?廣東廣州?二模)如圖，已知矩形O/2C,0/在y軸上，0c在x軸上，OA=2,AB=4,雙曲線>=夕發(fā)>0)

與矩形的邊48、3c分別交于點E、F.

(1)若點E是48的中點，求點尸的坐標;

(2)將ABM沿直線M對折，點3落在x軸上的。處，過點￡作￡GJ_OC于點G.問：AEG。與ADC尸是否相似？若

相似，請求出相似比；若不相似，請說明理由.

3.(2022?四川成都?二模)如圖，在平面直角坐標系中，直線了=3x+b經(jīng)過點與V軸正半軸交于3點，與

反比例函數(shù)y=X(x>0)交于點C,且/C=34B,8D〃x軸交反比例函數(shù)y="(x>0)于點D.

XX

（1）求6、左的值;

（2）如圖1,若點E為線段5C上一點，設(shè)￡的橫坐標為加，過點E作EF〃BD,交反比例函數(shù)》=幺（％>0）于點尸.若

x

EF=^BD,求加的值.

⑶如圖2,在（2）的條件下，連接FD并延長，交x軸于點G,連接OZ）,在直線。。上方是否存在點使得AODH與

△ODG相似（不含全等）？若存在，請求出點H的坐標；若不存在，請說明理由.

中考練場

I.（2021?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，菱形/BCD的頂點分別在反比例函數(shù)夕=4和^=與的圖象上，若48=60。，

則真的值為（）

左2

2.（2023?重慶?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，菱形/BCD的頂點。在第二象限，其余頂點都在第一象限,

軸，AOA.AD,AO=AD.過點/作4EJ_CD,垂足為E,DE=4CE.反比例函數(shù)v=&（x>0）的圖象經(jīng)過點￡,與

邊A3交于點R連接。E,OF,EF.若邑因尸=?,則左的值為（）

O

E\C

3.（2023?遼寧鞍山?中考真題）如圖，在AA8C中，BA=BC,頂點C,2分別在x軸的正、負半軸上，點/在第一

象限，經(jīng)過點/的反比例函數(shù)y=g（x>0）的圖象交/C于點￡,過點￡作EFLx軸，垂足為點?若點￡為/C的中點,

BD=2AD,BF-CF=3,則左的值為.

B0\FCx

4.（2023?浙江寧波?中考真題）如圖，點43分別在函數(shù)>=q（。>0）圖象的兩支上（4在第一象限），連接交x

軸于點C.點。，E在函數(shù)y=2（6<0,x<0）圖象上，NE-x軸，3D〃y軸，連接。及8E.若AC=2BC,A48E的

面積為9,四邊形/2OE的面積