2025年中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型專項(xiàng)訓(xùn)練：反比例函數(shù)與幾何綜合（原卷版）

專題12反比例函數(shù)與幾何綜合

目錄

熱點(diǎn)題型歸納.........................................................................................1

題型01K的幾何意義..................................................................................1

題型02特殊幾何圖形存在性問(wèn)題.......................................................................3

題型03反比例與相似三角形綜合.......................................................................6

中考練場(chǎng).............................................................................................7

熱點(diǎn)題型歸納

題型01K的幾何意義

【解題策略】

「反正麗函藪函豪衛(wèi)點(diǎn)的巫標(biāo)痔菱形的強(qiáng)質(zhì)廠廨直備三鬲一瓶「三扇形而砥函函應(yīng)和恒瓦―反克麗南薇系教了的冗荷

|意義，解題關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)與菱形的性質(zhì).

【典例分析】

例1.（2023?江蘇宿遷?中考真題）如圖，直線y=x+l、＞=x-l與雙曲線^=夕左＞0）分別相交于點(diǎn)4B、C、D.若四

邊形48co的面積為4,則左的值是（）

A—4

V2C.一D.1

4~T5

例2.（2023?四川宜賓?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系X切中，點(diǎn)4、5分別在x軸上，8。，了軸.點(diǎn)〃;N

分別在線段BC、/C上，BM=CM,NC=2AN,反比例函數(shù)歹=：（、>0）的圖象經(jīng)過(guò)M、N兩點(diǎn)，尸為x正半軸上一

點(diǎn)，且。P:8P=1:4,A//W的面積為3,則左的值為（）

4545—14472

A-TB-Tc?石D.—

25

【變式演練】

k

?福建泉州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，反比例函數(shù)%>0）圖象經(jīng)過(guò)正方形OABC的頂點(diǎn)A,BC邊與y軸交于點(diǎn)D,

1.（2024y=TX

若正方形048。的面積為12,BD=2CD,則發(fā)的值為（）

O\X

,181610

A.3B.—C.—D.—

553

2.（2023?安徽?二模）如圖，A,2兩點(diǎn)分別為。。與x軸，丁軸的切點(diǎn).AB=2?，C為優(yōu)弧45的中點(diǎn)，反比例函

數(shù)y=±（x>0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,則人的值為（）

A.3+2收B.8C.16D.32

3.（2023?安徽?模擬預(yù)測(cè)）如圖，等腰小3C的頂點(diǎn)分別在反比例函數(shù)”=?（%＞0）和%=，（履＞。）的圖象上,

?BC當(dāng)處若?。軸，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3,則…二

3

4.（2023?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線》=-二1+3的圖象與V軸交于點(diǎn)A,直線＞="+以左〉0）與1軸交于點(diǎn)5,

4

39

與歹=一二1+3的圖象交于點(diǎn)M,與＞=一（％＞0）的圖象交于點(diǎn)當(dāng)黑向/：S4MC=5:3時(shí)，k=_______.

4x

題型02特殊幾何圖形存在性問(wèn)題

【解題策略】

著者了至尊三鬲形的河蔻布■桂原丁麗須三鬲形的乳兔和桂尻「折薊而桂康廠芍藤定蓬二解函的關(guān)鍵亮氨臻孽握三鬲-

形相似的判定方法，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，注意分類討論.

i典柯芬而

例.（2023?山東?中考真題）如圖，直線y=|x與雙曲線=交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（如-3）,點(diǎn)C是

雙曲線第一象限分支上的一點(diǎn)，連接8c并延長(zhǎng)交無(wú)軸于點(diǎn)D,且8C=2CD.

(1)求左的值并直接寫(xiě)出點(diǎn)8的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)G是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接GB,GC,求G3+GC的最小值；

(3)P是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，。是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P,。，使得四邊形/3P。是矩形？若存在，請(qǐng)求出所有符合

條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式演練】

I.(2023?湖南邵陽(yáng)?一模)如圖，直線48與x軸交于點(diǎn)A,與丁軸交于點(diǎn)8.03是一元二次方程--工-30=0的一個(gè)

3

根，且=：，點(diǎn)。為4g的中點(diǎn)，E為1軸正半軸上一點(diǎn)，BE=2^/10,直線。。與BE相交于點(diǎn)尸.

⑴求點(diǎn)A及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

⑵反比例函數(shù)y=幺經(jīng)過(guò)點(diǎn)/關(guān)于V軸的對(duì)稱點(diǎn)尸，，求左的值；

X

(3)在直線A8上是否存在點(diǎn)P,使為等腰三角形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.(2023?山東濟(jì)南?二模)如圖，一次函數(shù)了=尤+8的圖象與反比例函數(shù)y=f(x<0)的圖象交于B兩點(diǎn).

⑴求此反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)8的坐標(biāo)；

⑵在y軸上存在點(diǎn)P,使得4P+BP的值最小，求4P+BP的最小值.

(3)M為反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，N為x軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M、N,使△兒0N是以為底的等腰直角三角形?

若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

1”

3.(2023?四川成都?三模)如圖，直線y=：x-3與x軸交于點(diǎn)/,與了軸交于點(diǎn)8,與反比例函數(shù)y=—在第一象限內(nèi)

2X

的圖象交于點(diǎn)C(%1).

⑴求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

⑵點(diǎn)。在點(diǎn)。上方的反比例函數(shù)＞=8的圖象上，的面積為9,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

k

⑶在(2)的條件下，點(diǎn)M在x軸上y=—的圖象上，若以點(diǎn)M,N,8為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)"的坐標(biāo).

4.(2022?山東濟(jì)南?一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+b與反比例函數(shù)＞=￡(x＞0)的圖象交于點(diǎn)

/(3,〃),與了軸交于點(diǎn)3(0,-2),點(diǎn)尸是反比例函數(shù)y=?x>0)的圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線P0〃了軸交直線

y=x+b于點(diǎn)。，設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為3且0<t<3,連接/尸，BP.

(1)求左，b的值.

⑵當(dāng)"BP的面積為3時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

⑶設(shè)尸。的中點(diǎn)為C,點(diǎn)。為x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)￡為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以￡C,D,￡為頂點(diǎn)的四邊形為正方形時(shí),

求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

5.(2023?山東濟(jì)南?二模)如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線了=-：x與反比例函數(shù)>的圖像交于/(加,3)、3兩點(diǎn).

⑴求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

3

(2)將直線了=-1尤向上平移后與y軸交于點(diǎn)C,與雙曲線在第二象限內(nèi)的部分交于點(diǎn)。，如果△/8D的面積為16,求

直線向上平移的距離；

(3)￡是y軸正半軸上的一點(diǎn)，尸是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，使以點(diǎn)N,B,E,尸為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，請(qǐng)求出所有符合條件

的點(diǎn)E的坐標(biāo).

題型03反比例函數(shù)與相似三角形綜合

【解題策略】

著音直殘寫(xiě)至標(biāo)軸的芟點(diǎn)「采反亞的面直解橋式「反反畫(huà)函藪函國(guó)豪寫(xiě)桂版「反IE面函藪維吾二元荷荷顧「三說(shuō)弘西曲]

積公式，位似的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性大，利用聯(lián)立方程組求交點(diǎn)和掌握位似的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

I

TaSW]

例.(2023?四川成都?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，直線了=-x+5與y軸交于點(diǎn)/,與反比例函數(shù)>=勺

X

的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為8(%4),過(guò)點(diǎn)3作的垂線/.

(1)求點(diǎn)N的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)C在直線/上，且“BC的面積為5,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)尸是直線/上一點(diǎn)，連接為，以P為位似中心畫(huà)△口)￡,使它與AP/3位似，相似比為根.若點(diǎn)。，E恰好都落在反

比例函數(shù)圖象上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及機(jī)的值.

【變式演練】

1.(2023?黑龍江雞西?三模)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，矩形O48C的頂點(diǎn)/、C分別在x軸負(fù)半軸、y軸正半軸

上，AB.8c的長(zhǎng)分別是方程f-12x+32=0的兩個(gè)根，且/2>2C.

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)/且垂直于4C的直線交y軸于點(diǎn)尸，在直線即上截取3=/c,過(guò)點(diǎn)。作。后工>軸于點(diǎn)E,求經(jīng)過(guò)

點(diǎn)。的反比例函數(shù)的解析式；

(3)在(2)的條件下，在了軸上是否存在一點(diǎn)尸，使以。，E,尸為頂點(diǎn)的三角形與入。4c相似？若存在，寫(xiě)出點(diǎn)尸的個(gè)

數(shù)及其中兩個(gè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.(2022?廣東廣州?二模)如圖，已知矩形O/2C,0/在y軸上，0c在x軸上，OA=2,AB=4,雙曲線>=夕發(fā)>0)

與矩形的邊48、3c分別交于點(diǎn)E、F.

(1)若點(diǎn)E是48的中點(diǎn)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo);

(2)將ABM沿直線M對(duì)折，點(diǎn)3落在x軸上的。處，過(guò)點(diǎn)￡作￡GJ_OC于點(diǎn)G.問(wèn)：AEG。與ADC尸是否相似？若

相似，請(qǐng)求出相似比；若不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3.(2022?四川成都?二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線了=3x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)與V軸正半軸交于3點(diǎn)，與

反比例函數(shù)y=X(x>0)交于點(diǎn)C,且/C=34B,8D〃x軸交反比例函數(shù)y="(x>0)于點(diǎn)D.

XX

（1）求6、左的值;

（2）如圖1,若點(diǎn)E為線段5C上一點(diǎn)，設(shè)￡的橫坐標(biāo)為加，過(guò)點(diǎn)E作EF〃BD,交反比例函數(shù)》=幺（％>0）于點(diǎn)尸.若

x

EF=^BD,求加的值.

⑶如圖2,在（2）的條件下，連接FD并延長(zhǎng)，交x軸于點(diǎn)G,連接OZ）,在直線。。上方是否存在點(diǎn)使得AODH與

△ODG相似（不含全等）？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

中考練場(chǎng)

I.（2021?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，菱形/BCD的頂點(diǎn)分別在反比例函數(shù)夕=4和^=與的圖象上，若48=60。，

則真的值為（）

左2

2.（2023?重慶?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形/BCD的頂點(diǎn)。在第二象限，其余頂點(diǎn)都在第一象限,

軸，AOA.AD,AO=AD.過(guò)點(diǎn)/作4EJ_CD,垂足為E,DE=4CE.反比例函數(shù)v=&（x>0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)￡,與

邊A3交于點(diǎn)R連接。E,OF,EF.若邑因尸=?,則左的值為（）

O

E\C

3.（2023?遼寧鞍山?中考真題）如圖，在AA8C中，BA=BC,頂點(diǎn)C,2分別在x軸的正、負(fù)半軸上，點(diǎn)/在第一

象限，經(jīng)過(guò)點(diǎn)/的反比例函數(shù)y=g（x>0）的圖象交/C于點(diǎn)￡,過(guò)點(diǎn)￡作EFLx軸，垂足為點(diǎn)?若點(diǎn)￡為/C的中點(diǎn),

BD=2AD,BF-CF=3,則左的值為.

B0\FCx

4.（2023?浙江寧波?中考真題）如圖，點(diǎn)43分別在函數(shù)>=q（。>0）圖象的兩支上（4在第一象限），連接交x

軸于點(diǎn)C.點(diǎn)。，E在函數(shù)y=2（6<0,x<0）圖象上，NE-x軸，3D〃y軸，連接。及8E.若AC=2BC,A48E的

面積為9,四邊形/2OE的面積