2025年中考數(shù)學(xué)熱點題型專項訓(xùn)練：解直角三角形的應(yīng)用（解析版）

專題06解直角三角形的應(yīng)用

目錄

熱點題型歸納.........................................................................................1

題型01仰角與俯角問題...............................................................................1

題型02坡度問題.....................................................................................6

題型03方位角問題..................................................................................14

中考練場............................................................................................23

熱點題型歸納

題型01仰角與俯角問題

【解題策略】

仰、俯角：視線在水平線上方的角叫做仰角.視線在水平線下方的角叫做俯角.

【典例分析】

例.（2023?湖北襄陽?中考真題）在襄陽市諸葛亮廣場上矗立著一尊諸葛亮銅像.某校數(shù)學(xué)興趣小組利用熱氣球開展綜

合實踐活動，測量諸葛亮銅像的高度.如圖，在點。處，探測器顯示，熱氣球到銅像底座底部所在水平面的距離CE為

32m,從熱氣球C看銅像頂部A的俯角為45。，看銅像底部8的俯角為63.4。.已知底座8D的高度為41m,求銅像N8的

高度.（結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù)；sin63.4°*0.89,cos63.4°~0.45,tan63.4°?2.00,07.41）

G

I

【答案】銅像48的高度是14m；

【分析】根據(jù)題意可得——=tan63.4。。2.00,從而求出CG=5方=14m,即可求解.

BF

【詳解】解：由題意得：CE=32m,EF=BD=4m,:.CF=CE-EF=28m,

四邊形BFCG是矩形,：.8G=。尸=14m,

ZACG=45°,NBCG=63.4°,：.ZFBC=ZBCG=63.4°,

CF

—=tan63.4°?2.00,5F=14m,

BF

：.CG=BF^14m,ACG=AG14m,：.AB=BG-AG=14m,二銅像AS的高度是14m；

【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出CF.

【變式演練】

1.（2024?山西朔州?一模）山西“應(yīng)縣木塔”，又名山西“應(yīng)縣佛宮寺釋迦塔”，它是當(dāng)今世界上的第一奇塔.它不僅是

中國，而且是世界上現(xiàn)存最古老、最高峻的木構(gòu)建筑物，所以它在世界建筑中占有突出的地位.已知“應(yīng)縣木塔”的高

度為67.3米，塔前“女神雕像”的高度為10.3米，木塔與雕像之間有障礙物，不能直接測量，某測量小組為了測

量“應(yīng)縣木塔”與塔前“女神雕像”之間的距離，采用了如下測量方案（如圖所示）：

①他們在“木塔”和“雕像”之間選擇一觀景平臺￡,測得“木塔”頂部A的仰角為30。，測得“雕像”頂部C的仰角為45。；

②測得測角儀的高度EF為1.3米；

③測得點昆尸,。在同一條直線上，AB±BD,EF±BD,CD±BD,垂足分別是優(yōu)尸,。.

求“應(yīng)縣木塔”與塔前“女神雕像”之間的距離切□.（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：石。1.7）

【答案】121.2米

【分析】本題主要考查解直角三角形的實際應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)，過點、E作MN〃BD,交N3于"，交CD于

構(gòu)造矩形MB/芯，NDFE,MBDN,再利用三角函數(shù)解RtZ\4WE和Rt^CNE即可.

【詳解】解：如圖，過點E作〃乂〃交4g于交CD于M,

vAB±BD.EF1BD,CD1BD,MN//BD,：，MN1AB,MNLCD,

二.四邊形加班E,NDFE,AffiZW均為矩形，MB=DN=EF=\3,BD=MN,

AM=AB-MB=673-\3=66,CN=C。一。N=10.3—1.3=9.

在Rt//E中，乙3=3。。，?"二蒜嗒=66x艮112.2

3

CN9

在RtZXCNE中，ZCEN=45°,：.ME=---------=-=9,

tan4501

BD=MN=ME+EN=112.2+9=121.2,

即“應(yīng)縣木塔”與塔前“女神雕像”之間的距離約為121.2米.

2.（2024?陜西西安?一模）小雁塔位于西安市南郊的薦福寺內(nèi)，又稱“薦福寺塔”，建于唐景龍年間，與大雁塔同為唐

長安城保留至今的重要標(biāo)志.小港為測量小雁塔的高度、制定了如下測量方案：如圖所示，當(dāng)小港站在點/處仰望塔

頂，測得仰角為30。，再往塔的方向前進50nl至2處，測得仰角為60。、小港的身高忽略不計，請根據(jù)題目信息，求出

小雁塔的高度CD.（參考數(shù)據(jù)：右1aL73,結(jié)果精確到0.1m）

【答案】43.4m

【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，設(shè)CD=xm,先解RM/DC得到/C=?xm,再解RM3DC得到

BC=^xm,進而建立方程底—@、=50,解方程即可得到答案.

33

【詳解】解：設(shè)CD=xm,在RtA/DC中，ZACD=90°,N/=30。，AC=——=---=V3xm,

tanAtan30°

在RABDC中，ZBCD=90。，ZCBD=60°,；.BC=CD=——=—xm，

tanCBDtan6003

A

-：AB=5Qm,AV3x-—x=50,解得xa43.4,：.CD?43.4m,

3

小雁塔的高度CD約為43.4m.

3.（2024?西藏拉薩，一模）如圖，學(xué)校的教學(xué)樓對面是一幢辦公樓，教學(xué)樓與辦公樓的水平距離BC=30m,卓瑪在教

學(xué)樓頂部4處測得辦公樓頂部。處的俯角a=30。，測得辦公樓底部C處俯角尸=60。，求辦公樓高CD（結(jié)果保留根

號）

【答案】辦公樓的高3為20Gm.

【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用（仰角俯角問題），過N作4E，CD交CD的延長線于￡,在Rt^AED和RuAEC

中，由三角函數(shù)定義求出。E、CE的長，即可解決問題.

【詳解】解：

過/作/E_LCD交CD的延長線于E,則

在RM4ED中，,/ZDAE=a=30°,tanZDAE=—=tan30°=—，DE=

AE3

,:NEAC=0=60°,：.tanZEAC=—=tan600=A/3,/.CE=s/3AE=305/3m,

AE

/.CD=C￡-OE=306-106=20向m),

答：辦公樓的高C。為200m.

4.(2023?海南三亞?二模)某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組借助無人機測量一條河的寬度CD.如圖所示，一架水平飛行的無人

機在A處測得正前方河流的左岸C處的俯角為c,無人機沿水平線距方向繼續(xù)飛行60米至B處，測得正前方河流右

岸。處的俯角為30。，線段的長為無人機距地面的鉛直高度，點M、C、。在同一條直線上，其中tana=G，

WC=606米.

⑴填空：ZACM=_&,NBDC=_度；

(2)求無人機的飛行高度NM；

(3)求河流的寬度CD.(結(jié)果保留根號)

【答案】(1)60,30；(2)無人機的飛行高度為180米；(3)河流的寬度C。為(60+120&)米.

【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

(1)根據(jù)仰角、俯角的概念、平行線的性質(zhì)解答；

(2)根據(jù)正確的定義計算，得到答案；

(3)過點3作BELMD于點E,根據(jù)正切的定義求出?！?進而求出CO.

【詳解】(1)解：tana=右，

a=60°,

,/AF//MD,

Z.ACM=a=60°,ZBDC=ZFBD=30°,

故答案為：60,30；

（2）解：在RQ/CMr中，WC=60G米，ZACM=60°,

則血LMCtan44CM=606xg=180（米），

答：無人機的飛行高度為180米；

（3）解：如圖，過點8作于點E,

一—r,DE=-------------=—=180/3,

在RtZ^BOE中，NBDE=3Q°,貝UtanZBDE也（米），

T

:.MD=ME+DE=（6Q+180兩米，

vMC=60百米，；?C。=-MC=（60+120?）米，

答：河流的寬度。為（60+120百）米.

題型02坡度問題

【解題策略】

展度「一蕨面的鉛直高朗而永年責(zé)度前耳訶薇坡度7戢普福版蕨口廠「甬李每7蓑莉一

坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用a表示，則有i=tana.

【典例分析】

例.（2023?江蘇泰州?中考真題）如圖，堤壩N8長為10m,坡度z?為1:0.75,底端N在地面上，堤壩與對面的山之間

有一深溝，山頂。處立有高20m的鐵塔CQ.小明欲測量山高DE,他在/處看到鐵塔頂端C剛好在視線N8上，又在

壩頂8處測得塔底。的仰角7為26°35'.求堤壩高及山高。￡.（sin26°35,?0.45,cos26°35,?0.89,tan26°35,?0.50,

小明身高忽略不計，結(jié)果精確到1m）

【答案】堤壩高為8米，山高為20米.

【分析】過8作明,"7于"，設(shè)8〃=4無，AH=3x,根據(jù)勾股定理得至!=+=5x=io,求得

AH=6,BH=8,過8作8尸，CE于尸，則所=8〃=8,BF=EH,設(shè)。尸=a,解直角三角形即可得到結(jié)論.

【詳解】解：過3作皮于X,

:坡度i為1：0.75,BH-4x,AH-3x,AQ=AH2+BH2=5x=10>x=2,AH=6,BH=3,

過2作5F_LCE于尸，則E尸=8”=8,BF=EH,

DF

設(shè)。尸=。，Va=26°35,.BF=—=2a,AE=6+2Q,

tan26°35'0.5

?.?坡度，為1:0.75,CEz/E=（20+a+8）:（6+2。）=l：0.75,

：.a=\2,：.DF=12（米）,ADE=DF+EF=12+S=20（米）,

答：堤壩iWi為8米，山局。￡為20米.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用■俯角仰角，解直角三角形的應(yīng)用-坡角坡度，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【變式演練】

1.(2023?安徽?模擬)如圖，一棟樓房后有一個小山坡CD,其坡度:3:4.某一時刻太陽光線與水平線的夾角為

40。時，樓房在小山坡。上的影長為25米，測得坡腳C與樓房的水平距離3c=40米，求樓房N8的高度.(結(jié)果

精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin40°~0.64,cos40°?0.77,tan40°~0.84)

【答案】65米

【分析】本題主要考查了勾股定理，解直角三角形以及矩形的判定及性質(zhì)，通過作恰當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造直角三角形，

將實際問題轉(zhuǎn)化成解直角三角形求解是解題的關(guān)鍵.

過點。分別作DEL3C,交5c的延長線于點E,于點尸，則四邊形8陽E是矩形，DF=BE,DE=BF.設(shè)

DE=3x,可得C￡=4x,由勾股定理得(3x)2+(4x)2=25?,解得^=5,從而CE=20,8尸=OE=15,在RtAND-中，

解直角三角形得/尸tan4(FR60X0.84=50.4米，從而即可得解.

【詳解】解：過點。分別作DEL3C,交的延長線于點E,DFLAB于點,F,則四邊形是矩形，

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

:.DF=BE,DE=BF.

在RtVDCE中,

,DE3

i=-----=-，

CE4

，設(shè)?！?3無，可得C￡=4x,

由勾股定理得（3x）2+（4x）2=252,解得》=5,

:.CE=20,BF=DE=15,

:.DF=BE=BC+CE=40+20=60（米）.

在RbU忙中，

Ap

?：tanZ.ADF=tan40°=,

DF

AF=DFtan40°?60x0.84=50.4（米），

AB=AF+BF=50.4+15?65（米）.

答：樓房NB的高度約為65米.

2.（2023?甘肅天水?模擬預(yù)測）如圖，在葫蘆河的右岸邊有一高樓N3,左岸邊有一坡度i=l：2的山坡CF,點C與點

8在同一水平面上，CF與NB在同一平面內(nèi).某數(shù)學(xué)興趣小組為了測量樓NB的高度，在坡底。處測得樓頂N的仰角

為45。，然后沿坡面CF上行了20店米到達點。處，此時在D處測得樓頂”的仰角為30。.

（1）求。￡的值.

（2）求樓42的高度.

【答案】（l）DE=20m；（2）樓AB的高度為（50+30百）米.

【分析】本題考查了解三角形的應(yīng)用，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì).

r)p

(1)由i===l：2,DE1+EC2=CD-,解得。E=20m；

EC

(2)過點。作。于G,過點C作CH，。G于〃，則四邊形DE3G、四邊形DEC"、四邊形5C77G都是矩形,

AB=BC,設(shè)NB=BC=xm,則4G=(尤-20)m,0G=(x+40)m,在RQ/OG中，—=tanZADG,代入即可得出

DG

結(jié)果.

【詳解】(1)解：在RdDEC中,

rxE1

—=1：2,DE2+EC2=CD2,CD=20A/5,

EC

???O￡2+(2°E)2=(20&『,

解得：￡)E=20m.

(2)解：如圖，過點。作。GL/8于G,過點。作CHLDG于X,

???EC=40m,

VZACB=45°fABLBC,

：.AB=BC,

設(shè)AB=BC=xm,

貝！j/G=(x-20)m,Z)G=(x+40)m,

在RS4DG中，

4G

???——=tan//OG,

DG

x-20

=tanZ30°

x+40

解得：尤=50+30行，

經(jīng)檢驗，x=50+30G是方程的解.

答：樓AB的高度為卜0+30石）米.

3.（2023?河南濮陽?三模）如圖，李東在延時課上利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量校園內(nèi)教學(xué)樓CD的高度，在教學(xué)樓前方

3

有一斜坡，坡長/8=10m,坡比，=：,李東在/點處測得樓頂端。的仰角為45。，在2點處測得樓頂端。的仰角為61。

4

（點4B,C,。在同一平面內(nèi)）.求教學(xué)樓C0的高度（結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)：tan61Owl.80）

【答案】教學(xué)樓的高度約為31.5m.

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

過點N作/尸_L3。，垂足為尸，過點/作NE_LCD,垂足為￡,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到N尸=OE,AE=DF,設(shè)

AF=3t,BF=4t,根據(jù)勾股定理得到/尸=6,BF=8,在小A/CE中，ACAE=45°,設(shè)/E=CE=x,求得

DF=x,CD=x+6,得到8O=x-8,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論.

【詳解】解：過點/作垂足為凡過點N作4ELC。，垂足為￡,

CDLBD,

二?四邊形4E7"是矩形，

，AF=DE,AE=DF

AF3

在MA/B尸中，——=一,48=10,AF2+BF2=AB2，

BF4

設(shè)/尸=3f,BF=4t,

.?.(37)2+(4疔=100,

.,.t=2,

/.AF=6,BF=8,

在火心力蠹中，ZCAE=45°f

NACE=45。=/CAE,

AE=CE,

設(shè)AE=CE=xf

DF=x,CD=x+6,

/.BD-x—8,

在RMBDE中,ZCBD=61°,..CD=5D-tan61°,

x+6?1.8(x-8),

解得：x=25.5,

.?.CQ=25.5+6=31.5(m),

答：教學(xué)樓CO的高度約為31.5m.

4.(2024?上海普陀?一模)如圖，小河的對岸有一座小山，小明和同學(xué)們想知道山坡N3的坡度，但由于山坡前有

小河阻礙，無法直接從山腳3處測得山頂/的仰角，于是小明和同學(xué)們展開了如下的測量：

A

第一步：從小河邊的C處測得山頂/的仰角為37。；

第二步：從C處后退30米，在。處測得山頂/的仰角為26.6。；

第三步：測得小河寬為33米.

已知點3、C、。在同一水平線上，請根據(jù)小明測量的數(shù)據(jù)求山坡N8的坡度.

(參考數(shù)據(jù)：sin22.6°~0.45,cos26.6°?0.89,tan26.6°~0.5,sin37°?0.6,cos37°~0.8,tan37°~0.75)

【答案】山坡的坡度”5:3

【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題、坡度坡角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.過

點N作/交DC的延長線于點“，根據(jù)正切的定義用4H■表示出DH、CH,進而出去///,再求出58,根

據(jù)坡度的概念計算，得到答案.

【詳解】解：如圖，過點/作交DC的延長線于點“，

在RtAADH中，ZADH=26.6°,

tanNADH=-----,

DH

4H

：.DH=--------------x2AH,

tanZADH

在RtA/CH中，ZACH=37°,

4H

tanZACH=—,

CH

AH4

CH=N—AH

3

DC=DH—CH,

4

2AH——4〃=30,

3

解得：AH=45,

4

CH=-AH=60（米），

BH=CH-CB=60-33=27,

J山坡43的坡度為：45:27=5:3.

題型03方位角問題

【解題策略】

方向角：平面上，通過觀察點。作一條水平線（向右為東向）和一條鉛垂線（向上為北向），則從點。出發(fā)的視線與

水平線或鉛垂線所夾的角，叫做觀測的方向角.

【典例分析】

例.（2023?海南?中考真題）如圖，一艘輪船在A處測得燈塔M位于A的北偏東30。方向上，輪船沿著正北方向航行

20海里到達8處，測得燈塔M位于5的北偏東60。方向上，測得港口C位于B的北偏東45。方向上.已知港口C在燈塔

”的正北方向上.

⑴填空：NAMB=_度,ZBCM=_M;

（2）求燈塔”到輪船航線48的距離（結(jié)果保留根號）；

⑶求港口C與燈塔M的距離(結(jié)果保留根號).

【答案】(1)30,45(2)燈塔M到輪船航線的距離為10百海里(3)港口C與燈塔M的距離為海里

【分析】(1)作交于。，作MELAB交AB于E,由三角形外角的定義與性質(zhì)可得乙必四=30。，再由

平行線的性質(zhì)可得ZBCM=45°,即可得解；

(2)作CD_L/3交于。，作A8交于E,由(1)可得：/A=/BMA=30°,從而得至lj=20海

里，再由EA/=BAZ?sin/EBM進行計算即可；

(3)作CD_L交48于。，作ME_L48交N8于E,證明四邊形CDEN是矩形,得到CD=EM=1073海里，DE=CM,

由5￡=5河＜0$/匹"計算出班的長度，證明△CDB是等腰直角三角形，得到CD=AD=106海里，即可得到答案.

【詳解】(1)解：如圖，作交48于。，作交于￡,

60

45>

NDBM=NN+NAMB=30°+ZAMB=60°,AAMB=30°,

VAB.CN都是正北方向，.?.A5〃CW,

ZDBC=45°,ZBCM=45°,故答案為:30,45；

(2)解：如圖，作CD_L/8交48于。，作交于E,

由（1）可得：NA=NBMA=3Q°,二BN=/B=20海里，

在RtABEM中，ZEBM=60°,BM=20海里，

EM=BM-sinZEBM=20xsin60P=20x—=10和海里;

2

???燈塔M到輪船航線NB的距離為10G海里；

(3)解：如圖，作CD_L4B交48于D,作Affi_L48交48于E,

CDLAB,MELAB,48、CM都是正北方向,

二四邊形CDEW是矩形，

CD=EN=]0g海里，DE=CM,

在RtABEM中，AEBM=60°,BM=20海里,

BE=BMcosZEBM=20xcos60。=20x!=10海里,

2

:在RtzXCOB中，ZDBC=45°,

，AC￡>8是等腰直角三角形，

.?.CZ)=M)=10AA海里，

.?.?！??！?8。-8石=104-10=10(百-1)海里,

港口C與燈塔M的距離為io（C-i）海里.

【點睛】本題主要考查了解直角三角形，矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的定義與性質(zhì)，熟練掌

握以上知識點，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

【變式演練】

1.（2024?陜西西安?一模）如圖，我國某海域上有/、3兩個小島，2在N的正東方向.有一艘漁船在點。處捕魚,

在/島測得漁船在東北方向上，在3島測得漁船在北偏西60。的方向上，且測得8、C兩處的距離為200海里.

（1）求N、C兩處的距離；

⑵突然，漁船發(fā)生故障，而滯留C處等待救援.此時，在。處巡邏的救援船立即以每小時40海里的速度沿DC方向

前往。處，測得。在小島/的北偏西15。方向上距N島30海里處.求救援船到達C處所用的時間.（結(jié)果保留根號）

【答案】（1）A、C兩處的距離為20海里；（2）救援船到達C處所用的時間為立小時.

4

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一方向角問題、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用以及銳角三

角函數(shù)定義等知識，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

（1）過C作CE工48于點E,由含30。角的直角三角形的性質(zhì)得C￡=10行海里，再由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得

出結(jié)論；

（2）過點。作于點尸，由銳角三角函數(shù)定義得4F=15海里，。尸=156海里，則CF=4C-4尸=5海里，再

由勾股定理求出。的長，即可解決問題.

【詳解】（1）解：如圖1,過C作CE/4B于點E,

由題意得：8。=20/海里，/。8￡=90°-60°=30°,NC/E=90。-45。=45。，

C￡=15C=|X20V2=10V2（海里），A4EC是等腰直角三角形，

AC=42CE=V2x10V2=20（海里），

答：A、C兩處的距離為20海里；

（2）解：如圖2,過點。作。尸工/C于點尸，

AF=ADcosZDAF=30x^=15（海里），

Za

DF=ADsinZDAF=30x—=15A0（海里），

2

:.CF=AC-AF=20-15=5（海里）,

在RtZkCDT中，由勾股定理得：CD=yjDF2+CF2=^（15A/3）2+52=10VT（海里），

萬

/.10V7-40=—（小時），

4

答：救援船到達C處所用的時間為也小時.

4

3.（2024?湖南長沙?三模）如圖，燈塔8位于港口A的北偏東58。方向，且48之間的距離為30km，燈塔。位于燈塔

8的正東方向，且用C之間的距離為10km.一艘輪船從港口A出發(fā)，沿正南方向航行到達。處，測得燈塔C在北偏東

37。方向上，燈塔B到直線4。的距離為BE.

D

⑴求BE的長；

（2）求。￡的長（結(jié)果精確到0.1）.（參考數(shù)據(jù)：

sin58°?0.85,cos58°?0.53,tan58°?1.60,sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75）

【答案】（1）25.5km⑵47.3km

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟悉掌握三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

（1）用正弦三角函數(shù)求解即可.

（2）結(jié)合第一問，求解CE長度，用正切三角函數(shù)求解即可.

【詳解】（1）解：由題意得，NE=90。,

■.■ZBAE^58o,AB=30km,

BE=/B-sin58°x30x0.85=25.5（km）.

（2）=

CE=BE+BC=35.5（km）

.?.￡>￡■=C￡tan37°?35.5-0.75?47.3(km).

4.(2023?山東青島?模擬預(yù)測)如圖，在航線/的兩側(cè)分別有觀測點A和8,點A到航線/的距離為2km,點3位于點A

北偏東60。方向且與A相距10km處.現(xiàn)有一艘輪船從位于點B南偏西76。方向的C處，正沿該航線自西向東航行，5min

后該輪船行至點A的正北方向的。處.

A

⑴求觀測點8到航線/的距離；

⑵求該輪船航行的距離CO的長(結(jié)果精確到0」km).(參考數(shù)據(jù)：6=1.732,sin76°?0.97,cos76°?0.24,

tan76°?4.01)

【答案】(l)3km(2)3.4km

【分析】本題考查解直角三角形應(yīng)用的問題.

(1)圖中已將觀測點3到航線/的距離用輔助線8E表示出來，要求BE,先求出。4,OB,再在RtA08￡中，求出5E

即可.

(2)RtA/OD中求出OD,在RM30E中求出OE,進而可求出。E,在Rt^CBE中，根據(jù)/CB￡=76。，BE=3km,

求出CE,則CD=CE-DE.

【詳解】(1)解：設(shè)與/交于點O.

在RtA/OD中,

VZOAD=60°,4D=2(km),

c/AD/［、

:.OA=---------=4A(km).

cos60°'7

vy45=10(km),

:.OB=AB-OA=6{km).

在RtABQE中，ZOBE=ZOAD=60°,

BE=OB-cos60°=3(km).

答：觀測點5到航線/的距離為3km.

(2)在RtA/OD中,OD=AD-tan60°=273(km),

在RLBOE中，OE=3E.tan6(r=36(km),

DE=OD+OE=5坦(km).

在RMCBE中，NCBE=76°,BE=3km,

/.CE=BE?tan/CBE=3tan76°.

:.CD=CE-DE^3tan760-56a3.4(km).

???該輪船航行的距離CD的長為3.4km.

5.(2024?重慶大渡口?一模)某送貨司機在各站點間上門送貨的平面路線如圖所示：A-B-C-D.已知點3在點/

的北偏東45。方向3.6km處，點。在點3的正東方2.4km處，點。在點C的南偏東30。方向，點。在點力的正東方.(參

考數(shù)據(jù)：V2?1.414,6gl.732,ab2.449)

⑴求線段CD的長度；（結(jié)果精確到0.01km）

（2）已知送貨司機在送貨過程中全程保持10加/s的速度勻速行駛，若現(xiàn)在有急件需要在16分鐘內(nèi)從/點運送到。點,

則送貨司機按既定路線N-8-C-D進行運送能否按時送達？（送貨司機在各站點停留的時間忽略不計）

【答案】(1)2.94km；(2)能

【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，正確構(gòu)造直角三角形從而利用解直角三角形的相關(guān)知識

求解是解題的關(guān)鍵.

(1)分別過點8、C作BE，于￡,C尸，于尸,得到四邊形BEFC是矩形，BE=CF,利用=3.6km，NBAE=45°

求出BE,即CV,從而利用NDC尸=30。求出CD；

(2)先算出總路程，再除以速度得到送貨時間，與16分鐘比較即可得解.

【詳解】(1)分別過點2、。作于E,于尸,

北

依題意可知：BC//AD,NR4E=45°,ZDCF=30a,/8=3.6km,BC=2.4km,

ZCBE=ZAEB=ZBEF=ZEFC=ZCFD=BCF=90°,四邊形8EFC是矩形，BE=CF,

V^5=3.6km,NBAE=45。,：.BE=CF=ABsinZBAE=3.6x)

又,,,ZDCF=30°,

CF

.CD=乂卡=警?1.2X2.449=2.9388。2.9《kn)

一~7~—"、—行—v乙

1,cos/DCF735

(2)16分鐘=960秒,

VAB=3.6km,SC=2.4km,CD?2.94km,

/.ylJ8+JBC+CZ)?3.6+2.4+2.94=8.94(kni),

AB+BC+CD8.94x1000

從/點運送到。點的時間為:=894(s)<960(s),

10

，送貨司機按既定路線/-3-(7-。進行運送能按時送達.

中考練場

1.(2023?湖北恩施?中考真題)小王同學(xué)學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)后，通過觀察廣場的臺階與信號塔之間的相對位置，他

認為利用臺階的可測數(shù)據(jù)與在點A,B處測出點。的仰角度數(shù)，可以求出信號塔。E的高.如圖，NB的長為5m,高BC

為3m.他在點A處測得點。的仰角為45。，在點8處測得點。的仰角為38.7。，A,B,C,D,E在同一平面內(nèi).你認為

小王同學(xué)能求出信號塔。E的高嗎？若能，請求出信號塔的高；若不能，請說明理由.(參考數(shù)據(jù)：sin38.7。。0.625,

cos38.7°?0.780,tan38.7°*0.80,結(jié)果保留整數(shù))

【答案】能求出信號塔。E的高，信號塔?！甑母邽?1m；

【分析】過8作2尸，DE,垂足為尸，根據(jù)勾股定理及等腰直角三角形的性質(zhì)=進而設(shè)OE=xm根據(jù)銳角三

角函數(shù)解答即可.

【詳解】解：過3作3尸_1?！?垂足為尸，

VZACB=90°,ZEDA=90°,，四邊形BCE尸是矩形，/.CE=BF,EF=BC.

,.?/8的長為5m,高8c為3m,：.EF=BC=3m.

在RtA^5C中，AC=」AB。-BC?=A/52-32=4(m).

VZDEA=9Q0,/DAE=45。,：.ZADE=45°.AE=DE.二設(shè)/￡=DE=;nn.

Z)F=(x-3)m,CE=BF=(x+4)m.tanZDBF=.

BF

X—3x—3

'：/DBF=38.7。，tan38.7°?0.80,Atan38.7°=------.A0.8=-------.Ax=31.即信號塔的。E高為31m.

x+4x+4

...能求出信號塔?！甑母?，信號塔DE的高為31m.

D

CAE

【點睛】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，掌握銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?遼寧?中考真題）暑假期間，小明與小亮相約到某旅游風(fēng)景區(qū)登山，需要登頂600m高的山峰，由山底/處

先步行300m到達8處，再由8處乘坐登山纜車到達山頂。處.已知點4B.D,E,尸在同一平面內(nèi)，山坡NB的坡

角為30。，纜車行駛路線BD與水平面的夾角為53°（換乘登山纜車的時間忽略不計）

（1）求登山纜車上升的高度。E；

⑵若步行速度為30m/min,登山纜車的速度為60向min,求從山底/處到達山頂。處大約需要多少分鐘（結(jié)果精確

到0.1min）

（參考數(shù)據(jù)：sin53°x0.80,cos53°20.60,tan53°a1.33）

【答案】（1）登山纜車上升的高度OE=450m；（2）從山底/處到達山頂。處大約需要19.4min.

【分析】（1）過3點作/于C,BELDF于E,則四邊形成戶。是矩形，在Rt448C中，利用含30度的直角

三角形的性質(zhì)求得8c的長，據(jù)此求解即可；

（2）在中，求得8。的長，再計算得出答案.

【詳解】（1）解：如圖，過3點作3CL4F于C,BE上DF于E,則四邊形是矩形,

D

在RtZ\/BC中，ZACB=90°,NN=30°,AB=300m,EF=BC=-AB=l50m,

2

尸-￡尸=600-150=450（m）,答：登山纜車上升的高度?！?450m；

DE450

(2)解：在RtZkBOE中，ZDEB=90°,/DBE=53。，DE=450m,：.BD=---------=——=562.5(m),

sin53°0.81)

...從山底/處到達山頂。處大約需要：翳=19.375?49.4（min）,

答：從山底/處到達山頂Z）處大約需要19.4min.

【點睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解題關(guān)鍵.

3.（2023?貴州?中考真題）貴州旅游資源豐富.某景區(qū)為給游客提供更好的游覽體驗，擬在如圖①景區(qū)內(nèi)修建觀光索

道.設(shè)計示意圖如圖②所示，以山腳A為起點，沿途修建/8、。兩段長度相等的觀光索道，最終到達山頂。處，中

途設(shè)計了一段與"平行的觀光平臺8C為50m.索道48與相的夾角為15。，CD與水平線夾角為45。，43兩處的水

平距離/E為576m,DF1AF,垂足為點尸.（圖中所有點都在同一平面內(nèi)，點4￡、尸在同一水平線上）

（1）求索道N5的長（結(jié)果精確到1m）；

（2）求水平距離"的長（結(jié)果精確至Ulm）.

(參考數(shù)據(jù)：sinl5°?0.25,cosl5°?0.96,tan15°~0.26,72?1.41)

【答案】(l)600m(2)1049m

【分析】（1）根據(jù)的余玄直接求解即可得到答案；

（2）根據(jù)/8、CD兩段長度相等及與水平線夾角為45。求出C到。尸的距離即可得到答案;

【詳解】（1）解：：兩處的水平距離/E為576m,索道與"的夾角為15。，

AB=AE=2=600m；

cosl500.96

（2）解：C。兩段長度相等，CD與水平線夾角為45。，

CD=600m,CG=C￡>cos45°=600x—=600x—=423m,

22

=^+50+^=576+50+423=1049m；

【點睛】本題考查解直角三角形解決實際應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握幾種三角函數(shù).

4.（2023?遼寧丹東?中考真題）一艘輪船由西向東航行，行駛到/島時，測得燈塔5在它北偏東31。方向上,繼續(xù)向

東航行10nmile到達C港，此時測得燈塔3在它北偏西61。方向上，求輪船在航行過程中與燈塔8的最短距離.，（結(jié)果

精確到0.Inmile）（參考數(shù)據(jù):sin31°?0.52,cos31°~0.86,tan31°?0.60,sm61°?0.87,cos61°?0.48,tan61°-1.80）.

【答案】輪船在航行過程中與燈塔8的最短距離為4.2nmile

【分析】過點8作8。_L/C于點D,則NABD=31。,/CAD=61°,進而得出AD。Q.6BD,CD°1.83。，根據(jù)AC1Onmile,

得出4。+?！?gt;=0.62。+1.88。=10,即可求解.

【詳解】解：過點5作于點D,

?.?AE1AC,CF±AC,

???BD〃AE〃CF,

：.ZABD=31O,ZCBD=61°,

：.AD=BD-tanNABD=BD-tan31°?0.6BD,CD=BD-tanACBD=5。?tan61。b1.88。，

*.*AC=1Onmile,

???AD+CD=0.6BD+\.SBD=10,

25

解得：BD=—nmile,

6

BD?4.2nmile,

答：輪船在航行過程中與燈塔B的最短距離為4.2nmile.

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確畫出輔助線，構(gòu)造直角三角形，熟練掌握解直

角三角形的方法和步驟.

5.（2023?湖北?中考真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形/BCD,斜面坡

度，=3:4是指坡面的鉛直高度在'與水平寬度3尸的比.已知斜坡CD長度為20米，ZC=18°,求斜坡48的長.（結(jié)

果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：sin18°~0.31,cos18°~0.95,tan18°?0.32）

【答案】斜坡的長約為10米

【分析】過點。作DEL8C于點E,在RtADEC中，利用正弦函數(shù)求得DE=6.2,在RM/BF中，利用勾股定理即可

求解.

【詳解】解：過點。作。EL3C于點E,則四邊形4DEF是矩形,

在RtADEC中，CD=20,ZC=18°,

￡>￡,=CD-sinZC=20xsinl8°?20x0.31=6.2.；.AF=DE=6.2.

Ap3?--------------55

—=-,...在RtA/8產(chǎn)中，AB=^AF2+BF2=-^F=-x6.2?10（米）.

BF433

答：斜坡48的長約為10米.

【點睛】此題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的

關(guān)鍵.

6.(2023?山東青島?中考真題)太陽能路燈的使用，既方便了人們夜間出行，又有利于節(jié)能減排.某校組織學(xué)生進行

綜合實踐活動——測量太陽能路燈電池板的寬度.如圖，太陽能電池板寬為AB,點。是48的中點，OC是燈桿.地

面上三點。，￡與C在一條直線上，DE=1.5m,EC=5m.該校學(xué)生在。處測得電池板邊緣點2的仰角為37。，在E

處測得電池板邊緣點2的仰角為45。.此時點/、8與E在一條直線上.求太陽能電池板寬的長度.(結(jié)果精確到

343

0.1m.參考數(shù)據(jù)：sin37°~y,cos37°?-,tan37°,72?1.41）

【答案】1.4m

【分析】過點3作于點H,過點3作8OC于點尸，先證△BE”和△OEC均為等腰直角三角形，四邊形

廣為矩形，AOB尸為等腰直角三角形，設(shè)AF=xm,則OF=ca=xm,EH=BH=(5-x)m,DH=(6.5-x)m,然后

在Rt△e汨中，利用tan/8Z>〃=也得］=/三，由此解出x=0.5,再利用勾股定理求出03即可得的長.

DH46.5-x

【詳解】解：過點B作出/于點打，過點3作8月，O