2025年中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型專項(xiàng)訓(xùn)練：圓的證明與計(jì)算（原卷版）

專題05圓的證明與計(jì)算

目錄

熱點(diǎn)題型歸納.........................................................................................1

題型01隱圓模型......................................................................................1

題型02圓與相似.....................................................................................3

題型03圓與全等.....................................................................................5

題型04圓的計(jì)算.....................................................................................6

中考練場(chǎng).............................................................................................9

熱點(diǎn)題型歸納

題型01隱圓模型

【解題策略】

定點(diǎn)定長(zhǎng)的隱圓定弦定角的隱圓對(duì)角互補(bǔ)的隱圓

點(diǎn)A為定點(diǎn)，點(diǎn)B為動(dòng)點(diǎn)，且AB若線段AB的長(zhǎng)度及其所對(duì)的N

若四邊形ABCD對(duì)角互補(bǔ)則A、B、C、

長(zhǎng)度固定則點(diǎn)B的軌跡是以點(diǎn)AACB的大小不變，則點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌

D四點(diǎn)共圓。

為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓。跡是以AB為弦的圓。

【典例分析】

例1.（2023?浙江?中考真題）如圖，在四邊形/BCD中，AD//BC,ZC=45°,以NB為腰作等腰直角三角形A4E,頂

點(diǎn)E恰好落在CD邊上，若AD=1,則CE的長(zhǎng)是（）

A.J2B.—C.2D.1

2

例2.（2023?山東泰安?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtZik/08的一條直角邊08在x軸上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為

（-6,4）；RtACO。中，ZCOD=90°,OD=473,ZD=30°,連接3C,點(diǎn)M是2C中點(diǎn)，連接將RMC。。以點(diǎn)。

為旋轉(zhuǎn)中心按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最小值是（）

A.3B.6后-4C.2713-2D.2

【變式演練】

1.（23-24九年級(jí)上?湖北武漢?模擬訓(xùn)練）如圖，已知等邊的邊長(zhǎng)為10,點(diǎn)P是43邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)/、

8不重合）.直線/是經(jīng)過點(diǎn)尸的一條直線，把。8C沿直線/折疊，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)".當(dāng)P8=8時(shí)，在直線/變

化過程中，則△NCQ面積的最大值為.

2.（2022?湖北武漢?三模）在AABC中，ABAC=60°,BC=26，點(diǎn)D為AC上一動(dòng)點(diǎn)、,AB=2CD,則的最小值

是.

3.（2023?陜西咸陽?一模）如圖，在Y43CD中，=/。=6,點(diǎn)尸在YN8CO內(nèi)運(yùn)動(dòng)，連接P4PB,PC,若

AAPB=ZABC=60°,則PA+PC的最大值為.

4.（2023?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形48co中，4B=3,BC=4,E為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為4E中點(diǎn)、,G為

DE上一點(diǎn)、,BF=FG,則CG的最小值為.

題型02圓與相似

【解題策略】

對(duì)于面寫i似植緒書的藤杳詞函「廨蔻軒荽汪熹豌察丁芬橋面形「把復(fù)系的畫形芬廨成冗不算床1形廠通過添加

輔助線補(bǔ)全或構(gòu)造基本圖形

i麗芬而

例.（2023?湖北黃石?中考真題）如圖，48為OO的直徑，D4和OO相交于點(diǎn)尸，ZC平分ND48,點(diǎn)C在。。上，

且CD_LZM,4c交BF于點(diǎn)、P.

D

⑴求證：co是。。的切線;

⑵求證：ACPC=BC2;

AF

(3)已知BO?=3尸PDC,求——的值.

AB

【變式演練】

1.(2023?湖南湘西?二模)如圖，是。。的直徑，點(diǎn)C,。在。。上，4D平分NC4B,交BC于點(diǎn)E,連接50.

(1)求證：△BED~AABD.

3

(2)當(dāng)tanN/3C=w，且/3=10時(shí)，求線段的長(zhǎng).

(3)點(diǎn)G為線段/E上一點(diǎn)，且3G平分/ABC,若GE=母,BG=3,求CE的長(zhǎng).

2.(2024?陜西西安?一模)如圖，是。。的直徑，點(diǎn)。在直徑48上(。與42不重合)，CD_LN3且CD=,

連接C5,與。。交于點(diǎn)尸，在CD上取一點(diǎn)E,使E尸與O。相切.

(1)求證：EF=EC；

⑵若。是CM的中點(diǎn)，AB=4,求3尸的長(zhǎng).

題型03圓與全等

【解題策略】

對(duì)于圓與全等相結(jié)合的綜合問題，解題時(shí)要注意觀察、分析圖形，把復(fù)雜的圖形分解成幾個(gè)基本圖形，通過添加

輔助線補(bǔ)全或構(gòu)造基本圖形

【典例分析】

例.(2023?湖北襄陽?中考真題)如圖，在中，AB=AC,。是8C的中點(diǎn)，。。與N2相切于點(diǎn)。，與8C交于

點(diǎn)、E,F,DG是。。的直徑，弦GF的延長(zhǎng)線交/C于點(diǎn)且GC.

(1)求證：/C是。。的切線；

(2)若。石=2,GH=3,求5R的長(zhǎng)/.

【變式演練】

1.(2023?廣東汕頭?一模)如圖，內(nèi)接于OO.48是直徑，過點(diǎn)A作直線血W,且是。。的切線.

(1)求證：ZMAC=ZABC.

(2)設(shè)。是弧/C的中點(diǎn)，連接8。交/C于點(diǎn)G,過點(diǎn)、D作DEJ./B于點(diǎn)、E,交4c于點(diǎn)F.

①求證：FD=FG.

②若BC=3,48=5,試求NE的長(zhǎng).

2.(2022?安徽?模擬預(yù)測(cè))如圖，。。中兩條弦NO,BC互相垂直，垂足為H,M為的中點(diǎn)，連接W并延長(zhǎng)交

CD于點(diǎn)N.

⑴求證：MNLCD；

⑵連接OM,求察的值.

題型04圓的計(jì)算

【解題策略】

對(duì)于圓的計(jì)算的綜合問題，解題時(shí)要注意觀察、分析圖形，把復(fù)雜的圖形分解成幾個(gè)基本圖形，通過添加輔助線

補(bǔ)全或構(gòu)造基本圖形

【典例分析】

例.（2023?遼寧丹東?中考真題）如圖，已知48是。。的直徑，8。是。。的弦，點(diǎn)P是。。外的一點(diǎn)，PC,垂

足為點(diǎn)C,尸C與2D相交于點(diǎn)E,連接尸且PD=PE,延長(zhǎng)尸。交8/的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.

（1）求證：尸。是。。的切線;

74

(2)若。尸=4,PE、,COSZPFC=-,求成的長(zhǎng).

【變式演練】

1.（2023?天津河?xùn)|?一模）如圖，48為OO的切線，C為切點(diǎn)，。是O。上一點(diǎn),過點(diǎn)。作。尸_L48,垂足為尸，DF

交。。于點(diǎn)E.

圖（2

（1）如圖①，若/。=34。，求/DE。的度數(shù);

（2）如圖②，連接并延長(zhǎng)交G。于點(diǎn)G,連接CG,OD,若NDOE=2NCGE,的半徑為5,求CG的長(zhǎng).

2.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）如圖，48為。。的直徑，點(diǎn)。為。。上一點(diǎn)，過點(diǎn)8作。O切線交4D延長(zhǎng)線于

點(diǎn)C,CE平分2/C3,CE,BD交于F.

A

(1)求證：BE=BF■,

(2)若。。半徑為2,sin,求。尸的長(zhǎng)度.

3.(2024?陜西西安?一模)如圖，/￡是。。的直徑，弦CB與AE交于■點(diǎn)、F,過點(diǎn)/的切線交C5的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，點(diǎn)

3是。尸的中點(diǎn).

(1)求證：AAFB=ZC；

(2)若OO的半徑為4,48=5,求上\

4.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))如圖，在。中，AB=AC,以48為直徑的交2c于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作。。的切

線DE,交ZC于點(diǎn)￡,NC的反向延長(zhǎng)線交。。于點(diǎn)廠.

F

（1）求證：DEIAC,

（2）若N￡+D￡=12,。。的半徑為10,求"的長(zhǎng)度.

中考練場(chǎng)

3

1.（2023?湖北鄂州?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，OA=OB=3y/5,點(diǎn)C為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，BC=-,

連接ZC,點(diǎn)M是線段/C上的一點(diǎn)，且滿足CM:九伍=1:2.當(dāng)線段（W取最大值時(shí)，點(diǎn)"的坐標(biāo)是（）

2.（2023?四川宜賓?中考真題）如圖，A/BC和是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，把“DE以A為中心

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)〃為射線BD、CE的交點(diǎn).若AB=6AD=1.以下結(jié)論：

①BD=CE；②BDLCE；

③當(dāng)點(diǎn)E在加的延長(zhǎng)線上時(shí)，兒幻=三心；

2

④在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)線段也最短時(shí)，AAEC的面積為;.

其中正確結(jié)論有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.（2023?內(nèi)蒙古?中考真題）如圖，是。。的直徑，￡為。。上的一點(diǎn)，點(diǎn)C是淞的中點(diǎn)，連接5C,過點(diǎn)C的

直線垂直于5E的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，交加的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.

⑴求證：尸C為。。的切線；

（2）若尸C=2岳O，PB=10,求BE的長(zhǎng).

4.（2023?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）如圖，AB為OO的直徑,，E是。。上的兩點(diǎn)，延長(zhǎng)N8至點(diǎn)C,連接CO,ZBDC=ZA.

(1)求證：AACDSADCB；

⑵求證：co是。。的切線；

3

(3)若tan￡=g,ZC=10,求。。的半徑.

5.(2023?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題)如圖，是。。的直徑，C是O。上一點(diǎn)過點(diǎn)。作