2025年中考數(shù)學思想方法復習【分類討論】圓中的分類討論思想（原卷版）

圓中的分類討論思想

知識方法精講

1.圓周角定理

（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上.②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不

可.

（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的

圓心角的一半.

推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.

（3）在解圓的有關問題時，常常需要添加輔助線，構成直徑所對的圓周角，這種基本技能

技巧一定要掌握.

（4）注意：①圓周角和圓心角的轉化可通過作圓的半徑構造等腰三角形.利用等腰三角形

的頂點和底角的關系進行轉化.②圓周角和圓周角的轉化可利用其“橋梁”——圓心角

轉化.③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條

件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一條弧所對的圓周角和圓心角.

2.圓內接四邊形的性質

（1）圓內接四邊形的性質：

①圓內接四邊形的對角互補.

②圓內接四邊形的任意一個外角等于它的內對角（就是和它相鄰的內角的對角）.

（2）圓內接四邊形的性質是溝通角相等關系的重要依據(jù)，在應用此性質時，要注意與圓周

角定理結合起來.在應用時要注意是對角，而不是鄰角互補.

3.點與圓的位置關系

（1）點與圓的位置關系有3種.設O。的半徑為心點尸到圓心的距離8=力則有：

①點尸在圓外

②點尸在圓上Qd=r

①點尸在圓內QdO

（2）點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的

關系可以確定該點與圓的位置關系.

（3）符號“Q”讀作“等價于”，它表示從符號的左端可以得到右端，從右端也可

以得到左端.

4.三角形的外接圓與外心

(1)外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓.

(2)外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心.

(3)概念說明：

①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個頂點.

②銳角三角形的外心在三角形的內部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角

三角形的外心在三角形的外部.

③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接

圓只有一個，而一個圓的內接三角形卻有無數(shù)個.

5.直線與圓的位置關系

(1)直線和圓的三種位置關系：

①相離：一條直線和圓沒有公共點.

②相切：一條直線和圓只有一個公共點，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫圓的切線，

唯一的公共點叫切點.

③相交：一條直線和圓有兩個公共點，此時叫做這條直線和圓相交，這條直線叫圓的割線.

(2)判斷直線和圓的位置關系：設。。的半徑為心圓心。到直線/的距離為乩

①直線I和。。相交

②直線I和。。相切=d=r

③直線I和。。相離八

6.切線的性質

(1)切線的性質

①圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.

②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點.

③經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

(2)切線的性質可總結如下：

如果一條直線符合下列三個條件中的任意兩個,那么它一定滿足第三個條件，這三個條件是:

①直線過圓心；②直線過切點；③直線與圓的切線垂直.

(3)切線性質的運用

由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系.簡記作：

見切點，連半徑，見垂直.

7.切線的判定與性質

（1）切線的性質

①圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.

②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點.

③經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

（2）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

（3）常見的輔助線的：

①判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點”或“過圓心作這條直線的垂線”；

②有切線時，常常“遇到切點連圓心得半徑”.

8.分類討論思想

每個數(shù)學結論都有其成立的條件，每一種數(shù)學方法的使用也往往有其適用范圍，在我們

所遇到的數(shù)學問題中，有些問題的結論不是唯一確定的，有些問題的結論在解題中不能以統(tǒng)

一的形式進行研究，還有些問題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣字母的取值不

同也會影響問題的解決，由上述幾類問題可知，就其解題方法及轉化手段而言都是一致的，

即把所有研究的問題根據(jù)題目的特點和要求，分成若干類，轉化成若干個小問題來解決，這

種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數(shù)學思想，稱之為分類討論思想。

一.選擇題（共9小題）

1.（2021秋?崇川區(qū)校級月考）48是。。的弦，ZAOB=60°,則弦所對的圓周角是（

）

A.30°B.60°C.150。或30°D.60。或140。

2.（2020秋?灤陽市期末）已知A48C是半徑為2的圓內接三角形，若BC=2拒,貝|N/的

度數(shù)為（）

A.30°B.60°C.120°D.60°或120°

3.N8是。。的弦，ZAOB=80°,則弦所對的圓周角是（）

A.40°B.140?；?0°C.20°D.20°或160°

4.已知在半徑為2的中，圓內接AA8C的邊48=26,則/C的度數(shù)為（）

A.60°B.30°C.60°或120°D.30°或150°

5.如圖，。。的半徑為1,是。。的一條弦，且/2=百，則弦48所對圓周角的度數(shù)

B.60°C.30°或150°D.60°或120°

6.（2021秋?孝南區(qū)月考）點尸到。。的最近點的距離為2c〃?，最遠點的距離為7cm,則O。

的半徑是（）

A.5cm或9cmB.2.5cmC.4.5cmD.2.5cm或4.5cm

7.一個點到圓的最小距離為4cm,最大距離為9c〃z,則該圓的半徑是（)

A.2.5cm6.5cmB.2.5cmC.6.5cmD.5cm或13cm

8.一個點到圓的最小距離為6c冽，最大距離為9c冽，則該圓的半徑是（)

A.1.5cmB.7.5cmC.1.5CM或7.5cmD.3cm或15cm

9.（2020秋?麗水期末）已知A48c外接圓的半徑為2,BC=2^3,則//的度數(shù)是（）

A.120°B.30。或120。C.30。或60°D.60°或120°

二.填空題（共7小題）

10.（2020秋?佳木斯期末）。。的半徑為5cm,AB,CD是。。的兩條弦，ABI/CD,

AB=8cm,CD=6cm.則AB和CD之間的距離為.

11.（2020?棗陽市校級模擬）在半徑為2的。。中，弦N8的長為2,則弦48所對的圓周

角的度數(shù)為一.

12.（2021秋?臺安縣期中）一個已知點尸到圓周上的最長距離是9,最短距離是3,則此圓

的半徑是—.

13.平面上一點尸到。。上一點的距離最長為7c加，最短為3c%，則。。的半徑為cm.

14在RtAABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4.若以C點為圓心，r為半徑所作的圓與斜

邊只有一個公共點，貝-的取值范圍是—.

15.（2022秋?武漢期末）如圖，PM,PN分別與OO相切于4,3兩點，C為OO上異

于N,B的一點，連接/C,BC.若/尸=58。，則N/C3的大小是

AM

16.如圖，RtAABC中，ZC=90°,AC=3,點。在邊5c上，CD=1,BD=3.點尸是

線段ND上一動點，當半徑為1的。尸與A43C的一邊相切時，4P的長為.

CD

三.解答題(共2小題)

17.(2021秋?新榮區(qū)月考)綜合與實踐

問題情境：數(shù)學活動課上，老師出示了一個直角三角板和量角器，把量角器的中心。點放

置在NC的中點上，DE與直角邊NC重合，如圖1所示，ZC=90°,BC=6,AC=8,OD=3,

量角器交/B于點G,F,現(xiàn)將量角器。E繞點C旋轉，如圖2所示.

(1)點C到邊48的距離為

(2)在旋轉過程中，求點。到距離的最小值.

(3)若半圓。與RtAABC的直角邊相切，設切點為K,求3K的長.

18.如圖1,平行四邊形48CD中，AB=8,BC=4,//2C=60。.點尸為射線2C上一

點，以8P為直徑作。。交45、DC于E、尸兩點.設OO的半徑為x.

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