高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十一章計(jì)數(shù)原理隨機(jī)變量及分布列課時(shí)訓(xùn)練

第十一章計(jì)數(shù)原理、隨機(jī)變量及分布列第1課時(shí)分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理一、填空題1.三個(gè)人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下．由甲開始踢，經(jīng)過3次傳遞后，毽子又被踢回給甲．則不同的傳遞方式共有________種．答案：2解析：(列舉法)傳遞方式有甲→乙→丙→甲；甲→丙→乙→甲．2.將甲、乙、丙等六人分配到高中三個(gè)年級，每個(gè)年級2人．要求甲必須在高一年級，乙和丙均不在高三年級，則不同的安排種數(shù)為________．答案：9解析：若甲、乙在高一年級，則丙一定在高二年級，此時(shí)不同的安排種數(shù)為3；若甲、丙在高一年級，則乙一定在高二年級，此時(shí)不同的安排種數(shù)為3；若甲在高一年級，乙、丙在高二年級，此時(shí)不同的安排種數(shù)為3，所以由分類計(jì)數(shù)原理知不同的安排種數(shù)為9.3.現(xiàn)有4名同學(xué)去聽同時(shí)進(jìn)行的3個(gè)課外知識講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個(gè)講座，不同選法的種數(shù)是________．答案：81解析：每個(gè)同學(xué)都有3種選擇，所以不同選法共有34＝81(種).4.五名學(xué)生爭奪四項(xiàng)比賽的冠軍(冠軍不并列)，獲得冠軍的可能性有________種．答案：625解析：獲得冠軍的可能情況有5×5×5×5＝625(種)．5.4位同學(xué)從甲、乙、丙3門課程中選修1門，則恰有2人選修課程甲的不同選法有________種．答案：24解析：分三步，第一步先從4位同學(xué)中選2人選修課程甲，共有Ceq\o\al(2,4)種不同選法；第二步給第3位同學(xué)選課程，有2種選法；第三步給第4位同學(xué)選課程，也有2種不同選法．故共有Ceq\o\al(2,4)×2×2＝24(種)．6.如圖所示2×2方格，在每一個(gè)方格中填入一個(gè)數(shù)字，數(shù)字可以是1，2，3，4中的任何一個(gè)，允許重復(fù)．若填入A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字，則不同的填法共有________種．ABCD答案：96解析：可分三步：第一步，填A(yù)，B方格的數(shù)字，填入A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字有6種方式(若方格A填入2，則方格B只能填入1；若方格A填入3，則方格B只能填入1或2；若方格A填入4，則方格B只能填入1或2或3)；第二步，填方格C的數(shù)字，有4種不同的填法；第三步，填方格D的數(shù)字，有4種不同的填法．由分步計(jì)數(shù)原理得不同的填法總數(shù)為6×4×4＝96(種)．7.現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)不同顏色的旗各三面，每次升一面、兩面或三面在某一旗桿上縱向排列，共可以組成________種不同的旗語信號．答案：39解析：懸掛一面旗共可以組成3種旗語信號；懸掛兩面旗共可以組成3×3＝9(種)旗語信號；懸掛三面旗共可以組成3×3×3＝27(種)旗語信號．由分類計(jì)數(shù)原理知，共有3＋9＋27＝39(種)旗語信號．8.將3個(gè)不同的小球放入編號分別為1，2，3，4的盒子內(nèi)，則4號盒子中至少有一個(gè)球的放法有________種．答案：37解析：根據(jù)題意，將3個(gè)不同的小球放入編號分別為1，2，3，4的盒子內(nèi)，有4×4×4＝64(種)放法，而4號盒子中沒有球，即3個(gè)小球放在1，2，3號的盒子內(nèi)，有3×3×3＝27(種)放法．所以4號盒子中至少有一個(gè)球的放法有64－27＝37(種)．9.從0，1，2，3，4，5，6七個(gè)數(shù)字中，任意取出三個(gè)不同的數(shù)字，作為二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系數(shù)，可得________個(gè)不同的二次函數(shù)．答案：180解析：由分步計(jì)算原理，可得6×6×5＝180(個(gè))不同的二次函數(shù)．10.為舉辦校園文化節(jié)，某班推薦2名男生、3名女生參加文藝技能培訓(xùn)，培訓(xùn)項(xiàng)目及人數(shù)分別為：樂器1人，舞蹈2人，演唱2人，每人只參加一個(gè)項(xiàng)目，并且舞蹈和演唱項(xiàng)目必須有女生參加，則不同的推薦方案的種數(shù)為________．(用數(shù)字作答)答案：24解析：若參加樂器培訓(xùn)的是女生，則各有1名男生及1名女生分別參加舞蹈和演唱培訓(xùn)，共有3×2×2＝12(種)方案；若參加樂器培訓(xùn)的是男生，則各有1名男生、1名女生及2名女生分別參加舞蹈和演唱培訓(xùn)，共有2×3×2＝12(種)方案，所以共有24種推薦方案．如圖，用4種不同的顏色對圖中5個(gè)區(qū)域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數(shù)為________．答案：96解析：按區(qū)域1與3是否同色分類．(1)區(qū)域1與3同色：先涂區(qū)域1與3，有4種方法，再涂區(qū)域2，4，5(還有3種顏色)，有Aeq\o\al(3,3)種方法．∴區(qū)域1與3涂同色，共有4Aeq\o\al(3,3)＝24(種)方法．(2)區(qū)域1與3不同色：第一步，涂區(qū)域1與3，有Aeq\o\al(2,4)種方法，第二步，涂區(qū)域2有2種方法，第三步，涂區(qū)域4只有1種方法，第四步，涂區(qū)域5有3種方法．∴這時(shí)共有Aeq\o\al(2,4)×2×1×3＝72(種)方法．故由分類計(jì)數(shù)原理，不同的涂色種數(shù)為24＋72＝96.二、解答題12.書架的第一層有6本不同的數(shù)學(xué)書，第二層有6本不同的語文書，第三層有5本不同的英語書．(1)從這些書中任取1本，有多少種不同的取法？(2)從這些書中任取1本數(shù)學(xué)書，1本語文書，1本英語書共3本書的不同的取法有多少種？(3)從這些書中任取3本，并且在書架上按次序排好，有多少種不同的排法？解：(1)因?yàn)楣灿?7本書，從這些書中任取1本，共有17種取法．(2)分三步：第一步，從6本不同的數(shù)學(xué)書中取1本，有6種取法；第二步，從6本不同的語文書中取1本，有6種取法；第三步：從5本不同的英語書中取1本，有5種取法．由分步計(jì)數(shù)原理知，取法總數(shù)N＝6×6×5＝180(種)．(3)實(shí)際上是從17本書中任取3本放在三個(gè)不同的位置上，完成這個(gè)工作分三個(gè)步驟，第一步：從17本不同的書中取1本，放在第一個(gè)位置，有17種方法；第二步：從剩余16本不同的書中取1本，放在第二個(gè)位置，有16種方法；第三步：從剩余15本不同的書中取1本，放在第三個(gè)位置，有15種方法．由分步計(jì)數(shù)原理知，排法總數(shù)N＝17×16×15＝4080(種)．13.如圖是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，現(xiàn)在用四種顏色給這四個(gè)直角三角形區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方法有多少種？解：如圖，設(shè)四個(gè)直角三角形順次為A，B，C，D，按A→B→C→D順序涂色，下面分兩種情況：(1)A，C不同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不與A，C同色，所以D可以從剩余的2種顏色中任意取一色)：有4×3×2×2＝48(種)；(2)A，C同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不與A，C同色，所以D可以從剩余的3種顏色中任意取一色)：有4×3×1×3＝36(種)．所以不同的涂色方法共有84種．第2課時(shí)排列與組合一、填空題1.若Aeq\o\al(3,n)＝6Ceq\o\al(4,n)，則n＝________．答案：7解析：eq\f(n！,（n－3）！)＝6×eq\f(n！,（n－4）！×4！)，得n－3＝4，解得n＝7.2.5人站成一排，甲、乙兩人必須站在一起的不同排法有________種．答案：48解析：可先排甲、乙兩人，有Aeq\o\al(2,2)＝2(種)排法，再把甲、乙兩人與其他三人進(jìn)行全排列，有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)排法，由分步計(jì)數(shù)原理，得一共有2×24＝48(種)排法．3.用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為________．答案：72解析：由題可知，五位數(shù)要為奇數(shù)，則個(gè)位數(shù)只能是1，3，5.分為兩步：先從1，3，5三個(gè)數(shù)中選一個(gè)作為個(gè)位數(shù)有Ceq\o\al(1,3)種，再將剩下的4個(gè)數(shù)字排列得到Aeq\o\al(4,4)，則滿足條件的五位數(shù)有Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(4,4)＝72(個(gè))．4.5位同學(xué)站成一排照相，其中甲與乙必須相鄰，且甲不能站在兩端的排法總數(shù)是________種．答案：36解析：分三類：甲站第2個(gè)位置，則乙站1，3中的一個(gè)位置，不同的排法有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝12(種)；甲站第3個(gè)位置，則乙站2，4中的一個(gè)位置，不同的排法有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝12(種)；甲站第4個(gè)位置，則乙站3，5中的一個(gè)位置，不同的排法有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝12(種)．故共有12＋12＋12＝36(種)．5.某電視臺一節(jié)目收視率很高，現(xiàn)要連續(xù)插播4個(gè)廣告，其中2個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益宣傳廣告，要求最后播放的必須是商業(yè)廣告，且2個(gè)商業(yè)廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式有________種．答案：8解析：分三步進(jìn)行分析：第一步，最后一個(gè)排商業(yè)廣告有Aeq\o\al(1,2)種；第二步，在前兩個(gè)位置選一個(gè)排第二個(gè)商業(yè)廣告有Aeq\o\al(1,2)種；第三步，余下的兩個(gè)排公益宣傳廣告有Aeq\o\al(2,2)種．根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，可得不同的播放方式共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝8(種)．6.用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為________．答案：36解析：由題可知，五位數(shù)為奇數(shù)，則個(gè)位數(shù)只能是1，3；分為兩步：先從1，3兩個(gè)數(shù)中選一個(gè)作為個(gè)位數(shù)有Ceq\o\al(1,2)種，再將中間3個(gè)位置中選一個(gè)放入0，剩下的3個(gè)數(shù)字排列得到Aeq\o\al(3,3)，則滿足條件的五位數(shù)有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝36(個(gè))．7.某大學(xué)的8名同學(xué)準(zhǔn)備拼車去旅游，其中大一、大二、大三、大四每個(gè)年級各2名，分乘甲、乙兩輛汽車，每車限坐4名同學(xué)(乘同一輛車的4名同學(xué)不考慮位置)，其中大一的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4名同學(xué)中恰有2名同學(xué)是來自同一年級的乘坐方式共有________種．答案：24解析：分類討論，有2種情形．孿生姐妹乘坐甲車，則有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＝12(種)乘車方式；孿生姐妹不乘坐甲車，則有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＝12(種)乘車方式．由分類計(jì)數(shù)原理，得共有24種乘車方式．8.甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是________．(用數(shù)字作答)答案：336解析：若7個(gè)臺階上每一個(gè)只站一人，則有Aeq\o\al(3,7)種；若有一個(gè)臺階有2人，另一個(gè)是1人，則共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,7)種，因此共有不同的站法種數(shù)是336.9.用1，2，3，4，5，6組成六位數(shù)(沒有重復(fù)數(shù)字)，要求任何相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同，且1和2相鄰，這樣的六位數(shù)的個(gè)數(shù)是________．(用數(shù)字作答)答案：40解析：本小題主要考查排列組合知識．依題先排除1和2的剩余4個(gè)元素有2Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝8種方案，再向這排好的4個(gè)元素中插入1和2捆綁的整體，有Aeq\o\al(1,5)種插法，∴不同的安排方案共有2Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,5)＝40(種)．10.由0，1，2，…，9這十個(gè)數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，十位數(shù)字與千位數(shù)字之差的絕對值等于7的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是________．答案：280解析：當(dāng)十位數(shù)字為0，千位數(shù)字為7時(shí)，四位數(shù)的個(gè)數(shù)是Aeq\o\al(2,8)；當(dāng)十位數(shù)字與千位數(shù)字為1，8時(shí)，四位數(shù)的個(gè)數(shù)是Aeq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,2)；當(dāng)十位數(shù)字與千位數(shù)字為2，9時(shí)，四位數(shù)的個(gè)數(shù)是Aeq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,2)，故所求的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是Aeq\o\al(2,8)＋Aeq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,2)＝280.11.身穿紅、黃兩種顏色衣服的各有兩人，身穿藍(lán)色衣服的有一人，現(xiàn)將這五人排成一行，要求穿相同顏色衣服的人不能相鄰，則不同的排法種數(shù)共有________種．答案：48解析：分類計(jì)數(shù)原理，按紅紅之間有藍(lán)無藍(lán)兩類來分：(1)當(dāng)紅紅之間有藍(lán)時(shí)，則有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,4)＝24(種)；(2)當(dāng)紅紅之間無藍(lán)時(shí)，則有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝24(種)．因此，這五個(gè)人排成一行，穿相同顏色衣服的人不能相鄰，則有48種排法．二、解答題12.一種團(tuán)體競技比賽的積分規(guī)則是：每隊(duì)勝、平、負(fù)分別得2分、1分、0分．已知甲球隊(duì)已賽4場，積4分．在這4場比賽中，甲球隊(duì)勝、平、負(fù)(包括順序)的情況共有多少種？解：由題意，甲隊(duì)積4分分三類情況：①2勝2負(fù)，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝6(種)；②1勝2平1負(fù)，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,3)＝12(種)；③0勝4平0負(fù)，有Ceq\o\al(4,4)＝1(種)．綜上可知共有6＋12＋1＝19(種)情況．13.某國際旅行社共有9名專業(yè)導(dǎo)游，其中6人會英語，4人會日語，若在同一天要接待5個(gè)不同的外國旅游團(tuán)隊(duì)，其中3個(gè)隊(duì)要安排會英語的導(dǎo)游，2個(gè)隊(duì)要安排會日語的導(dǎo)游，則不同的安排方法共有多少種？解：依題意，導(dǎo)游中有5人只會英語，3人只會日語，1人既會英語又會日語．按只會英語的導(dǎo)游分類：①3個(gè)英語導(dǎo)游從只會英語人員中選取，則有Aeq\o\al(3,5)Aeq\o\al(2,4)＝720(種)；②3個(gè)英語導(dǎo)游從只會英語的導(dǎo)游中選2名，另一名由既會英語又會日語的導(dǎo)游擔(dān)任，則有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,3)＝360(種)．故不同的安排方法共有Aeq\o\al(3,5)Aeq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,3)＝1080(種)．第3課時(shí)二項(xiàng)式定理一、填空題1.(2016·北京卷)在(1－2x)6的展開式中，x2的系數(shù)為________．(用數(shù)字作答)答案：60解析：由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)·(－2)rxr可知，x2的系數(shù)為Ceq\o\al(2,6)(－2)2＝60.2.(2016·山東卷)若(ax2＋eq\f(1,\r(x)))5的展開式中x5的系數(shù)是－80，則實(shí)數(shù)a＝________．答案：－2解析：因?yàn)門r＋1＝Ceq\o\al(r,5)(ax2)5－r(eq\f(1,\r(x)))r＝Ceq\o\al(r,5)a5－rx10－eq\f(5,2)r，所以由10－eq\f(5,2)r＝5得r＝2，因此由Ceq\o\al(2,5)a5－2＝－80得a＝－2.3.在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax－\f(b,x)))eq\s\up12(n)(ab≠0，且a，b為常數(shù))的展開式中，含x項(xiàng)的系數(shù)為10a3b2，則n＝________．答案：5解析：由題意，得展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)為Ceq\o\al(2,n)a3b2，則由Ceq\o\al(2,n)a3b2＝10a3b2，即Ceq\o\al(2,n)＝10，解得n＝5.4.在(eq\f(x,2)－eq\f(1,\r(3,x)))n的展開式中，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256，則展開式中常數(shù)項(xiàng)是________．答案：7解析：依題意，得2n＝256，則n＝8，則(eq\f(x,2)－eq\f(1,\r(3,x)))8展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(8－r)·(－1)rx8－eq\f(4,3)r，令8－eq\f(4,3)r＝0，則r＝6，因此展開式中的常數(shù)項(xiàng)T7＝Ceq\o\al(6,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)(－1)6＝7.5.若多項(xiàng)式x2＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，則a9＝________．答案：－10解析：因?yàn)閤2＋x10＝[(x＋1)－1]2＋[(x＋1)－1]10，所以a9＝Ceq\o\al(1,10)×(－1)＝－10.6.在(1＋x)6(1＋y)4的展開式中，記xmyn項(xiàng)的系數(shù)為f(m，n)，則f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝________．答案：120解析：由題意可得f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(0,4)＋Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(0,6)Ceq\o\al(3,4)＝20＋60＋36＋4＝120.7.設(shè)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7，則代數(shù)式a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＋6a6＋7a7的值為________．答案：－14解析：對已知等式的兩邊求導(dǎo)，得－14(1－2x)6＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4＋6a6x5＋7a7x6，令x＝1，有a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＋6a6＋7a7＝－14.8.已知多項(xiàng)式(3x－1)7＝a0x7＋a1x6＋a2x5＋a3x4＋a4x3＋a5x2＋a6x＋a7，則|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a6|＋|a7|＝________．答案：16384解析：求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a6|＋|a7|的值相當(dāng)于求(3x＋1)7的系數(shù)和．即令x＝1，|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a6|＋|a7|＝47＝16384.9.設(shè)二項(xiàng)式(x－eq\f(a,\r(x)))6(a>0)的展開式中x3的系數(shù)為A，常數(shù)項(xiàng)為B.若B＝4A，則a的值是________．答案：2解析：Tr＋1＝(－1)rCeq\o\al(r,6)x6－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(x))))eq\s\up12(r)＝(－1)rarCeq\o\al(r,6)x6－eq\f(3,2)r，令6－eq\f(3,2)r＝3，得r＝2，則A＝(－1)2a2Ceq\o\al(2,6)＝15a2.令6－eq\f(3,2)r＝0得r＝4，則B＝(－1)4a4Ceq\o\al(4,6)＝15a4.由B＝4A得15a4＝4×15a2，又a＞0，則a＝2.10.已知(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且a0＋a1＋a2＋…＋an＝126，那么(eq\r(x)－eq\f(1,\r(x)))n的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為________．答案：－20解析：令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋an＝2＋22＋…＋2n＝2×eq\f(2n－1,2－1)＝2n＋1－2＝126?2n＋1＝128?2n＋1＝27?n＝6，又Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(eq\r(x))6－r(－eq\f(1,\r(x)))r＝Ceq\o\al(r,6)(－1)rx3－r，所以由3－r＝0得r＝3，則常數(shù)項(xiàng)為－Ceq\o\al(3,6)＝－20.二、解答題11.求證：(1)32n＋2－8n－9能被64整除(n∈N*)；(2)3n＞(n＋2)·2n－1(n∈N*，n＞2)．證明：(1)∵32n＋2－8n－9＝32·32n－8n－9＝9·9n－8n－9＝9(8＋1)n－8n－9＝9(Ceq\o\al(0,n)8n＋Ceq\o\al(1,n)8n－1＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)·8＋Ceq\o\al(n,n)·1)－8n－9＝9(8n＋Ceq\o\al(1,n)8n－1＋…＋Ceq\o\al(n－2,n)82)＋9×8n＋9－8n－9＝9×82(8n－2＋Ceq\o\al(1,n)·8n－3＋…＋Ceq\o\al(n－2,n))＋64n＝64[9(8n－2＋Ceq\o\al(1,n)8n－3＋…＋Ceq\o\al(n－2,n))＋n]，∴32n＋2－8n－9能被64整除．(2)∵n∈N*，且n＞2，∴3n＝(2＋1)n展開后至少有4項(xiàng)．(2＋1)n＝2n＋Ceq\o\al(1,n)·2n－1＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)·2＋1≥2n＋n·2n－1＋2n＋1＞2n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n－1，∴3n＞(n＋2)·2n－1(n∈N*，n＞2)．12.二項(xiàng)式(2x－3y)9的展開式中，求：(1)二項(xiàng)式系數(shù)之和；(2)各項(xiàng)系數(shù)之和；(3)所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和．解：設(shè)(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.(1)二項(xiàng)式系數(shù)之和為Ceq\o\al(0,9)＋Ceq\o\al(1,9)＋Ceq\o\al(2,9)＋…＋Ceq\o\al(9,9)＝29.(2)令x＝1，y＝1，得各項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.(3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－…－a9＝59，將兩式相加，得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝eq\f(59－1,2)，即為所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和．13.(2017·徐州第一學(xué)期期末)已知等式(1＋x)2n－1＝(1＋x)n－1(1＋x)n.(1)求(1＋x)2n－1的展開式中含xn的項(xiàng)的系數(shù)，并化簡：Ceq\o\al(0,n－1)Ceq\o\al(n,n)＋Ceq\o\al(1,n－1)Ceq\o\al(n－1,n)＋…＋Ceq\o\al(n－1,n－1)Ceq\o\al(1,n)；(2)求證：(Ceq\o\al(1,n))2＋2(Ceq\o\al(2,n))2＋…＋n(Ceq\o\al(n,n))2＝nCeq\o\al(n,2n－1).(1)解：(1＋x)2n－1的展開式中含xn的項(xiàng)的系數(shù)為Ceq\o\al(n,2n－1).由(1＋x)n－1(1＋x)n＝(Ceq\o\al(0,n－1)＋Ceq\o\al(1,n－1)x＋…＋Cn－1n－1xn－1)(Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)x＋…＋Ceq\o\al(n,n)xn)可知，(1＋x)n－1(1＋x)n的展開式中含xn的項(xiàng)的系數(shù)為Ceq\o\al(0,n－1)Ceq\o\al(n,n)＋Ceq\o\al(1,n－1)Ceq\o\al(n－1,n)＋…＋Ceq\o\al(n－1,n－1)Ceq\o\al(1,n).所以Ceq\o\al(0,n－1)Ceq\o\al(n,n)＋Ceq\o\al(1,n－1)Ceq\o\al(n－1,n)＋…＋Ceq\o\al(n－1,n－1)Ceq\o\al(1,n)＝Ceq\o\al(n,2n－1).(2)證明：當(dāng)k∈N*時(shí)，kCeq\o\al(k,n)＝k·eq\f(n！,k?。╪－k）！)＝eq\f(n！,（k－1）！（n－k）！)＝n·eq\f(（n－1）！,（k－1）?。╪－k）！)＝nCeq\o\al(k－1,n－1).所以(Ceq\o\al(1,n))2＋2(Ceq\o\al(2,n))2＋…＋n(Ceq\o\al(n,n))2第4課時(shí)離散型隨機(jī)變量及分布列、超幾何分布一、填空題1.已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(k,15)，k＝1，2，3，4，5，則P(0.5＜X＜2.5)＝________．答案：0.2解析：P(0.5＜X＜2.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(1＋2,15)＝eq\f(1,5)＝0.2.2.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列如下表所示：X012Paeq\f(1,3)eq\f(1,6)F(x)＝P(X≤x)，則當(dāng)x的取值范圍是[1，2)時(shí)，F(xiàn)(x)＝________.答案：eq\f(5,6)解析：∵a＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝1，∴a＝eq\f(1,2).∵x∈[1，2)，∴F(x)＝P(X≤x)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).3.設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為X－101Peq\f(1,2)1－2qq2則q＝________．答案：1－eq\f(\r(2),2)解析：由分布列的性質(zhì)知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－2q≥0，,q2≥0，,\f(1,2)＋1－2q＋q2＝1，))所以q＝1－eq\f(\r(2),2).4.在含有3件次品的10件產(chǎn)品中，任取4件，則取到次品數(shù)X＝2的概率為________．答案：eq\f(3,10)解析：由題意，X服從超幾何分布，其中N＝10，M＝3，n＝4，所以分布列為P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,3)·Ceq\o\al(4－k,7),Ceq\o\al(4,10))，k＝0，1，2，3.即X0123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)5.若P(x≤x2)＝1－β，P(x≥x1)＝1－α，其中x1＜x2，則P(x1≤x≤x2)＝________．答案：1－(α＋β)解析：由分布列性質(zhì)可有P(x1≤x≤x2)＝P(x≤x2)＋P(x≥x1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β)．6.甲、乙兩隊(duì)在一次對抗賽的某一輪中有3個(gè)搶答題，比賽規(guī)定：對于每一個(gè)題，沒有搶到題的隊(duì)伍得0分，搶到題并回答正確的得1分，搶到題但回答錯誤的扣1分(即得－1分)．若X是甲隊(duì)在該輪比賽獲勝時(shí)的得分(分?jǐn)?shù)高者勝)，則X的所有可能取值是________．答案：－1，0，1，2，3解析：X＝－1，甲搶到一題但答錯了，而乙搶到了兩個(gè)題都答錯了；X＝0，甲沒搶到題，乙搶到3個(gè)題且答錯至少2個(gè)題或甲搶到2題，但答時(shí)一對一錯，而乙搶到一個(gè)題目并答錯；X＝1，甲搶到1題且答對，乙搶到2個(gè)題目且至少答錯一個(gè)或甲搶到3題，且1錯2對；X＝2，甲搶到2題均答對；X＝3，甲搶到3題均答對．7.從裝有3個(gè)紅球，2個(gè)白球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)其中有X個(gè)紅球，則隨機(jī)變量X＝1的概率為________．答案：0.6解析：P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,5))＝0.6.8.已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝i)＝eq\f(i,2a)(i＝1，2，3，4)，則P(2＜X≤4)＝________．答案：eq\f(7,10)解析：由分布列的性質(zhì)得eq\f(1,2a)＋eq\f(2,2a)＋eq\f(3,2a)＋eq\f(4,2a)＝1，則a＝5.所以P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq\f(3,10)＋eq\f(4,10)＝eq\f(7,10).9.從裝有除顏色外沒有區(qū)別的3個(gè)黃球、3個(gè)紅球、3個(gè)藍(lán)球的袋中摸3個(gè)球，設(shè)摸出的3個(gè)球的顏色種數(shù)為隨機(jī)變量X，則P(X＝2)＝________．答案：eq\f(9,14)解析：X＝2，即摸出的3個(gè)球有2種顏色，其中一種顏色的球有2個(gè)，另一種顏色的球有1個(gè)，故P(X＝2)＝eq\f(Aeq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(9,14).10.袋中共有6個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有1個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率為________．答案：eq\f(2,5)解析：1個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球分別記為a1，b1，b2，c1，c2，c3，從袋中任取兩球共有a1，b1；a1，b2；a1，c1；a1，c2；a1，c3；b1，b2；b1，c1；b1，c2；b1，c3；b2，c1；b2，c2；b2，c3；c1，c2；c1，c3；c2，c315種，滿足兩球顏色為一白一黑有6種，概率為eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).二、解答題11.從集合M＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取三個(gè)元素構(gòu)成子集{a，b，c}．(1)求a，b，c中任意兩數(shù)之差的絕對值均不小于2的概率；(2)記a，b，c三個(gè)數(shù)中相鄰自然數(shù)的組數(shù)為X(如集合{3，4，5}中3和4相鄰，4和5相鄰，X＝2)，求隨機(jī)變量X的分布列及其數(shù)學(xué)期望E(X)．解：(1)從9個(gè)不同的元素中任取3個(gè)不同元素，為古典概型．記“a，b，c中任意兩數(shù)之差的絕對值均不小于2”為事件A，其基本事件總數(shù)n＝Ceq\o\al(3,9).由題意，a，b，c均不相鄰，利用插空法得，事件A包含基本事件數(shù)m＝Ceq\o\al(3,7).故P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(3,7),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(5,12).所以，a，b，c中任意兩數(shù)之差的絕對值均不小于2的概率為eq\f(5,12).(2)X012Peq\f(5,12)eq\f(1,2)eq\f(1,12)所以E(X)＝0×eq\f(5,12)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,12)＝eq\f(2,3).12.某中學(xué)有4位學(xué)生申請A，B，C三所大學(xué)的自主招生．若每位學(xué)生只能申請其中一所大學(xué)，且申請其中任何一所大學(xué)是等可能的．(1)求恰有2人申請A大學(xué)的概率；(2)求被申請大學(xué)的個(gè)數(shù)X的概率分布列與數(shù)學(xué)期望E(X)．解：(1)記“恰有2人申請A大學(xué)”為事件A，P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)×22,34)＝eq\f(24,81)＝eq\f(8,27).(2)X的所有可能值為1，2，3.P(X＝1)＝eq\f(3,34)＝eq\f(1,27)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4)×Aeq\o\al(2,3)＋3×Aeq\o\al(2,3),34)＝eq\f(42,81)＝eq\f(14,27)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)×Aeq\o\al(3,3),34)＝eq\f(36,81)＝eq\f(4,9).X的概率分布列為X123Peq\f(1,27)eq\f(14,27)eq\f(4,9)所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝1×eq\f(1,27)＋2×eq\f(14,27)＋3×eq\f(4,9)＝eq\f(65,27).13.某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎促銷，規(guī)定凡在該超市購物滿400元的顧客，均可獲得一次摸獎機(jī)會．摸獎規(guī)則如下：獎盒中放有除顏色不同外其余完全相同的4個(gè)球(紅、黃、黑、白)．顧客不放回的每次摸出1個(gè)球，若摸到黑球則摸獎停止，否則就繼續(xù)摸球．按規(guī)定摸到紅球獎勵20元，摸到白球或黃球獎勵10元，摸到黑球不獎勵．(1)求1名顧客摸球2次摸獎停止的概率；(2)記X為1名顧客摸獎獲得的獎金數(shù)額，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：(1)設(shè)“1名顧客摸球2次停止摸獎”為事件A，則P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3),Aeq\o\al(2,4))＝eq\f(1,4)，故1名顧客摸球2次停止摸獎的概率為eq\f(1,4).(2)隨機(jī)變量X的所有取值為0，10，20，30，40.P(X＝0)＝eq\f(1,4)，P(X＝10)＝eq\f(Aeq\o\al(1,2),Aeq\o\al(2,4))＝eq\f(1,6)，P(X＝20)＝eq\f(Aeq\o\al(2,2),Aeq\o\al(3,4))＋eq\f(1,Aeq\o\al(2,4))＝eq\f(1,6)，P(X＝30)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2),Aeq\o\al(3,4))＝eq\f(1,6)，P(X＝40)＝eq\f(Aeq\o\al(3,3),Aeq\o\al(4,4))＝eq\f(1,4)，所以隨機(jī)變量X的分布列為X010203040Peq\f(1,4)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,4)所以E(X)＝0×eq\f(1,4)＋10×eq\f(1,6)＋20×eq\f(1,6)＋30×eq\f(1,6)＋40×eq\f(1,4)＝20.第5課時(shí)獨(dú)立性及二項(xiàng)分布一、填空題1.周老師上數(shù)學(xué)課時(shí)，給班里同學(xué)出了兩道選擇題，她預(yù)估計(jì)做對第一道題的概率為0.80，做對兩道題的概率為0.60，則預(yù)估計(jì)做對第二道題的概率為________．答案：0.75解析：記做對第一道題為事件A，做對第二道題為事件B，則P(A)＝0.80，P(AB)＝0.60，因?yàn)樽鰧Φ谝坏馈⒌诙李}這兩個(gè)事件是相互獨(dú)立的，所以P(AB)＝P(A)P(B)，即P(B)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(0.60,0.80)＝0.75.2.已知盒中裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球、5個(gè)黑球，它們大小形狀完全相同，現(xiàn)需一個(gè)紅球，甲每次從中任取一個(gè)不放回，在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率為________．答案：eq\f(1,3)解析：事件A：“第一次拿到白球”，事件B：“第二次拿到紅球”，則P(A)＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)，P(AB)＝eq\f(2,10)·eq\f(3,9)＝eq\f(1,15)，故P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(1,3).3.設(shè)隨機(jī)變量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，則P(X＝3)＝________．答案：eq\f(5,16)解析：X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，由二項(xiàng)分布可得，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(5,16).4.(2017·徐州期末改編)甲、乙、丙分別從A，B，C，D四道題中獨(dú)立地選做兩道題，其中甲必選B題，則甲選做D題，且乙、丙都不選做D題的概率為________．答案：eq\f(1,12)解析：設(shè)“甲選做D題，且乙、丙都不選做D題”為事件E.甲選做D題的概率為eq\f(Ceq\o\al(1,1),Ceq\o\al(1,3))＝eq\f(1,3)，乙、丙不選做D題的概率都是eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,4))＝eq\f(1,2).則P(E)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,12)，即甲選做D題，且乙、丙都不選做D題的概率為eq\f(1,12).5.一射手對同一目標(biāo)獨(dú)立地射擊四次，已知至少命中一次的概率為eq\f(80,81)，則此射手每次射擊命中的概率為________．答案：eq\f(2,3)解析：由題意可知該射手對同一目標(biāo)獨(dú)立地射擊了四次全都沒有命中的概率為1－eq\f(80,81)＝eq\f(1,81)，設(shè)該射手每次射擊命中的概率為p，則(1－p)4＝eq\f(1,81)，所以p＝eq\f(2,3).6.有3位同學(xué)參加某項(xiàng)測試，假設(shè)每位同學(xué)能通過測試的概率都是eq\f(1,2)，且各人能否通過測試是相互獨(dú)立的，則至少有2位同學(xué)能通過測試的概率為________．答案：eq\f(1,2)解析：記“至少有2位同學(xué)能通過測試”為事件A，則其包含的事件為“恰好有2位同學(xué)能通過測試”或“恰好有3位同學(xué)能通過測試”，而每位同學(xué)不能通過測試的概率都是1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，且相互獨(dú)立，故P(A)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＋Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,2).7.某種電路開關(guān)閉合后，會出現(xiàn)紅燈或綠燈閃爍，已知開關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈閃爍的概率是eq\f(1,2)，兩次閉合都出現(xiàn)紅燈閃爍的概率為eq\f(1,6).則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈閃爍的條件下第二次出現(xiàn)紅燈閃爍的概率為________．答案：eq\f(1,3)解析：設(shè)事件A：第一次閉合后出現(xiàn)紅燈閃爍；事件B：第二次閉合出現(xiàn)紅燈閃爍．則P(A)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(1,6)，故滿足條件的P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,6),\f(1,2))＝eq\f(1,3).8.甲、乙兩人同時(shí)報(bào)考某一所大學(xué)，甲被錄取的概率為0.6，乙被錄取的概率為0.7，兩人是否被錄取互不影響，則其中至少有一人被錄取的概率為________．答案：0.88解析：因?yàn)榧住⒁覂扇耸欠癖讳浫∠嗷オ?dú)立，又因?yàn)樗笫录膶α⑹录椤皟扇司幢讳浫　?，由對立事件和相互?dú)立事件概率公式知，P＝1－(1－0.6)(1－0.7)＝1－0.12＝0.88.9.設(shè)隨機(jī)變量X～B(2，p)，η～B(4，p)．若P(X≥1)＝eq\f(5,9)，則P(η≥2)的值為________．答案：eq\f(11,27)解析：由P(X≥1)＝eq\f(5,9)，得Ceq\o\al(1,2)p(1－p)＋Ceq\o\al(2,2)p2＝eq\f(5,9)，即9p2－18p＋5＝0，解得p＝eq\f(1,3)或p＝eq\f(5,3)(舍去)，∴P(η≥2)＝Ceq\o\al(2,4)p2(1－p)2＋Ceq\o\al(3,4)p3(1－p)＋Ceq\o\al(4,4)p4＝6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＋4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)×eq\f(2,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(4)＝eq\f(11,27).二、解答題10.某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(3,5).現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A，乙組研發(fā)新產(chǎn)品B.設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立．(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；(2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤120萬元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤100萬元．求該企業(yè)可獲利潤的分布列．解：記E＝{甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功}，F(xiàn)＝{乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功}，由題設(shè)知P(E)＝eq\f(2,3)，P(eq\o(E,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)，P(F)＝eq\f(3,5)，P(eq\o(F,\s\up6(－)))＝eq\f(2,5)，且事件E與F，E與eq\o(F,\s\up6(－))，eq\o(E,\s\up6(－))與F，eq\o(E,\s\up6(－))與eq\o(F,\s\up6(－))都相互獨(dú)立．(1)記H＝{至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功}，則eq\o(H,\s\up6(－))＝eq\o(E,\s\up6(－))eq\o(F,\s\up6(－))，于是P(eq\o(H,\s\up6(－)))＝P(eq\o(E,\s\up6(－)))P(eq\o(F,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，故所求的概率為P(H)＝1－P(eq\o(H,\s\up6(－)))＝1－eq\f(2,15)＝eq\f(13,15).(2)設(shè)企業(yè)可獲利潤為X(萬元)，則X的可能取值為0，100，120，220.因?yàn)镻(X＝0)＝P(eq\o(E,\s\up6(－))eq\o(F,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，P(X＝100)＝P(eq\o(E,\s\up6(－))F)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5)，P(X＝120)＝P(Eeq\o(F,\s\up6(－)))＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15)，P(X＝220)＝P(EF)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).故所求的分布列為X0100120220Peq\f(2,15)eq\f(1,5)eq\f(4,15)eq\f(2,5)11.某考生從6道預(yù)選題中一次性隨機(jī)的抽取3道題作答，其中4道填空題，2道解答題．(1)求該考生至少抽到1道解答題的概率；(2)若所抽取的3道題中有2道填空題，1道解答題．已知該考生答對每道填空題的概率為eq\f(2,3)，答對每道解答題的概率為eq\f(1,2)，且各題答對與否相互獨(dú)立．用X表示該考生答對題的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：(1)記該考生至少抽到1道解答題為事件A，則P(A)＝1－P(A)＝1－eq\f(Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(3,6))＝1－eq\f(1,5)＝eq\f(4,5).(2)X所有的可能取值為0，1，2，3.P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(1,18)；P(x＝1)＝Ceq\o\al(1,2)·eq\f(2,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(2)·eq\f(1,2)＝eq\f(5,18)；P(X＝2)＝Ceq\o\al(1,2)·eq\f(2,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))·eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(8,18)＝eq\f(4,9)；P(X＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)·eq\f(1,2)＝eq\f(2,9).所以X的分布列為X0123Peq\f(1,18)eq\f(5,18)eq\f(4,9)eq\f(2,9)所以E(X)＝0×eq\f(1,18)＋1×eq\f(5,18)＋2×eq\f(4,9)＋3×eq\f(2,9)＝eq\f(33,18).12.在一次數(shù)學(xué)考試中，第21題和第22題為選做題．規(guī)定每位考生必須且只需從其中選做一題．設(shè)4名考生選做每一道題的概率均為eq\f(1,2).(1)求其中甲、乙兩名考生選做同一道題的概率；(2)設(shè)這4名考生中選做第22題的考生個(gè)數(shù)為X，求X的分布列．解：(1)設(shè)事件A表示“甲選做第21題”，事件B表示“乙選做第21題”，則甲、乙兩名考生選做同一道題的事件為“AB＋eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))”，且事件A與事件B相互獨(dú)立．故P(AB＋eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)P(B)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(1,2).(2)隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，4，且X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，則P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(4－k)＝Ceq\o\al(k,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)(k＝0，1，2，3，4)．故隨機(jī)變量X的分布列為X01234Peq\f(1,16)eq\f(1,4)eq\f(3,8)eq\f(1,4)eq\f(1,16)13.在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1000元，此作物的市場價(jià)格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如下表：作物產(chǎn)量(kg)300500概率0.50.5作物市場價(jià)格(元/kg)610概率0.40.6(1)設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤，求X的分布列；(2)若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率．解：(1)設(shè)A表示事件“作物產(chǎn)量為300kg”，B表示事件“作物市場價(jià)格為6元/kg”，由題設(shè)知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4因?yàn)槔麧櫍疆a(chǎn)量×市場價(jià)格－成本，500×10－1000＝4000，500×6－1000＝2000，300×10－1000＝2000，300×6－1000＝800.所以X所有可能的取值為4000，2000，800.P(X＝4000)＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P(X＝2000)＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B)＋P(A)P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2.則X的分布列為X40002000800P0.30.50.2(2)設(shè)Ci表示事件“第i季利潤不少于2000元”(i＝1，2，3)，由題意知C1，C2，C3相互獨(dú)立，由(1)知，P(Ci)＝P(X＝4000)＋P(X＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1，2，3)，3季的利潤均不少于2000元的概率為P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C33季中有2季的利潤不少于2000元的概率為P(eq\o(C,\s\up6(－))1C2C3)＋P(C1eq\o(C,\s\up6(－))2C3)＋P(C1C2eq\o(C,\s\up6(－))3)＝3×0.82×0.2＝0.384.所以，這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率為0.512＋0.384＝0.896.第6課時(shí)離散型隨機(jī)變量的均值與方差一、填空題1.設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其概率分布列如下表：X－101P0.51－eq\f(3q,2)q2則q＝________．答案：eq\f(1,2)解析：∵隨機(jī)變量的概率非負(fù)且隨機(jī)變量取遍所有可能值時(shí)相應(yīng)的概率之和等于1，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.5＋1－\f(3,2)q＋q2＝1①，,0＜1－\f(3,2)q＜1②，,q2＜1③.))解得q＝eq\f(1,2)或1，而把q＝1代入②③不合題意，舍去，∴q＝eq\f(1,2).2.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(1,5)(k＝2，4，6，8，10)，則V(X)＝________．答案：8解析：∵E(X)＝eq\f(1,5)(2＋4＋6＋8＋10)＝6，∴V(X)＝eq\f(1,5)[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.3.某老師從課本上抄錄一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列如下表：X123P？??？請小牛同學(xué)計(jì)算x的數(shù)學(xué)期望．盡管“！”處完全無法看清，且兩個(gè)“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個(gè)“？”處的數(shù)值相同．據(jù)此，小牛給出了正確答案E(X)＝________．答案：2解析：設(shè)“？”處的數(shù)值為x，則“！”處的數(shù)值為1－2x，則E(X)＝1·x＋2×(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x＝2.4.同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功，則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是________．答案：eq\f(3,2)解析：由題意知，試驗(yàn)成功的概率p＝eq\f(3,4)，故X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,4)))，所以E(X)＝2×eq\f(3,4)＝eq\f(3,2).5.若離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表：X01Peq\f(a,2)eq\f(a2,2)則X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝________．答案：eq\f(1,2)解析：∵分布列中概率和為1，∴eq\f(a,2)＋eq\f(a2,2)＝1，即a2＋a－2＝0，解得a＝－2(舍去)或a＝1，∴E(X)＝eq\f(1,2).6.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X～B(n，p)．若E(X)＝30，V(X)＝20，則p＝________．答案：eq\f(1,3)解析：依題可得E(X)＝np＝30且V(X)＝np(1－p)＝20，解得p＝eq\f(1,3).7.拋擲兩枚骰子，當(dāng)至少一枚5點(diǎn)或一枚6點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功，則在10次試驗(yàn)中成功次數(shù)的均值為________．答案：eq\f(50,9)解析：拋擲兩枚骰子，當(dāng)兩枚骰子不出現(xiàn)5點(diǎn)和6點(diǎn)時(shí)的概率為eq\f(4,6)×eq\f(4,6)＝eq\f(4,9)，所以至少有一次出現(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)的概率為1－eq\f(4,9)＝eq\f(5,9)，用X表示10次試驗(yàn)中成功的次數(shù)，則隨機(jī)變量X滿足二項(xiàng)分布X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(5,9)))，E(X)＝10×eq\f(5,9)＝eq\f(50,9).8.設(shè)整數(shù)m是從不等式x2－2x－8≤0的整數(shù)解的集合S中隨機(jī)抽取的一個(gè)元素，記隨機(jī)變量X＝m2，則x的數(shù)學(xué)期望E(X)＝________．答案：5解析：由不等式x2－2x－8≤0，得－2≤x≤4，∴S＝{－2，－1，0，1，2，3，4}，∴X＝0，1，4，9，16，其分布列為X014916Peq\f(1,7)eq\f(2,7)eq\f(2,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)∴E(X)＝0×eq\f(1,7)＋1×eq\f(2,7)＋4×eq\f(2,7)＋9×eq\f(1,7)＋16×eq\f(1,7)＝eq\f(35,7)＝5.9.一個(gè)人將編號為1，2，3，4的四個(gè)小球隨機(jī)放入編號為1，2，3，4的四個(gè)盒子，每個(gè)盒子放一個(gè)小球，球的編號與盒子的編號相同時(shí)叫做放對了，否則叫做放錯了．設(shè)放對個(gè)數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為________．答案：1解析：將四個(gè)不同小球放入四個(gè)不同盒子，每個(gè)盒子放一個(gè)小球，共有Aeq\o\al(4,4)種不同放法，放對的個(gè)數(shù)X可取的值有0，1，2，4，其中P(X＝0)＝eq\f(9,Aeq\o\al(4,4))＝eq\f(3,8)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)×2,Aeq\o\al(4,4))＝eq\f(1,3)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Aeq\o\al(4,4))＝eq\f(1,4)，P(X＝4)＝eq\f(1,Aeq\o\al(4,4))＝eq\f(1,24)，E(X)＝0×eq\f(3,8)＋1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,4)＋4×eq\f(1,24)＝1.二、解答題10.某校舉辦校園科技文化藝術(shù)節(jié)，在同一時(shí)間安排《生活趣味數(shù)學(xué)》和《校園舞蹈賞析》兩場講座．已知A，B兩學(xué)習(xí)小組各有5位同學(xué)，每位同學(xué)在兩場講座中任意選聽一場．A組1人選聽《生活趣味數(shù)學(xué)》，其余4人選聽《校園舞蹈賞析》；B組2人選聽《生活趣味數(shù)學(xué)》，其余3人選聽《校園舞蹈賞析》．(1)若從此10人中任意選出3人，求選出的3人中恰有2人選聽《校園舞蹈賞析》的概率；(2)若從A，B兩組中各任選2人，設(shè)X為選出的4人中選聽《生活趣味數(shù)學(xué)》的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)．解：(1)設(shè)“選出的3人中恰有2人選聽《校園舞蹈賞析》”為事件M，則P(M)＝eq\f(Ceq\o\al(2,7)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(21,40).所以選出的3人中恰有2人選聽《校園舞蹈賞析》的概率為eq\f(21,40).(2)X可能的取值為0，1，2，3，P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(9,50)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(12,25)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(1,25)，故P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝eq\f(3,10).所以X的分布列為X0123Peq\f(9,50)eq\f(12,25)eq\f(3,10)eq\f(1,25)所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq\f(9,50)＋1×eq\f(12,25)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,25)＝eq\f(6,5).11.甲、乙、丙三名同學(xué)參加歌唱、圍棋、舞蹈、閱讀、游泳5個(gè)課外活動，每個(gè)同學(xué)彼此獨(dú)立地選擇參加3個(gè)活動，其中甲同學(xué)喜歡唱歌但不喜歡下棋，所以必選歌唱，不選圍棋，另在舞蹈、閱讀、游泳中隨機(jī)選2個(gè)，同學(xué)乙和丙從5個(gè)課外活動中任選3個(gè)．(1)求甲同學(xué)選中舞蹈且乙、丙兩名同學(xué)未