出水芙蓉型-2024-2025初中數(shù)學(xué)模型（含答案）

出水芙蓉型-2024-2025初中數(shù)學(xué)模

型

出水芙蓉型

一、單選題

題目①（數(shù)學(xué)文化）我國古代著作《九章算術(shù)》中有一'‘引葭赴岸”問題:“今有池方一丈，葭生其中央，出水一

尺，引葭赴岸，適與岸齊,問水深、葭長各幾何.”其大意為:有一水池一丈見方，池中間生有一顆類似蘆葦?shù)?/p>

植物,露出水面一尺，若把它引向岸邊，正好與岸邊平齊（如圖），問水有多深，該植物有多長？其中一丈為十

尺，設(shè)水深為，尺,則可列方程為（）

In

A.（x—1）2=￡C2+52B.（x—l）2+52=rr2C.（x+l）2+52=x2D.（rc+1）2=rc2+52

題目區(qū)如圖在平靜的湖面上，有一支紅蓮BA,高出水面的部分AC為1米，一陣風(fēng)吹來，紅蓮被吹到一邊,

花朵齊及水面（即=已知紅蓮移動(dòng)的水平距離CD為3米，則湖水深為（）

A

?~4----nn

B

米B.3米C.4米D.12米

［題目區(qū)將一根長24cm的筷子,置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露出在杯子外面

長為/zcnz,則無的取值范圍是（）

A.04無412B,12</z<13C.ll</i<12D.12W九424

題目1將一根20cm的細(xì)木棍放入長，寬，高分別為4cm,3cm,12cm的長方體盒子中，則細(xì)木棍露在外面

題目回如圖是一個(gè)飲料罐,下底面半徑是5，上底面半徑是8,高是12,上底面蓋子的中心有一個(gè)小圓孔,則

一條到達(dá)底部的直吸管在罐內(nèi)部分a的長度（罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計(jì)）的取值范圍是

A.12&a<13B.124Q&15C.54aW12D.54a&13

題目自如圖是一圓柱形玻璃杯,從內(nèi)部測(cè)得底面直徑為12cm，高為16cm，現(xiàn)有一根長為25cm的吸管任意

放入杯中，則吸管露在杯口外的長度最少是（）

B.5cmC.9cmD.25—2V73cm

原目I如圖，八年級(jí)一班的同學(xué)準(zhǔn)備測(cè)量校園人工湖的深度,他們把一根竹竿AB豎直插到水底,此時(shí)竹竿

AB離岸邊點(diǎn)。處的距離CD=0.8米.竹竿高出水面的部分人。長0.2米，如果把竹竿的頂端A拉向岸邊

點(diǎn)。處,竿頂和岸邊的水面剛好相齊，則人工湖的深度BD為（）

A.1.5米B.1.7米C.1.8米D.0.6米

題目畫如圖是一個(gè)圓柱形飲料罐，底面半徑是5,高是12,上底面中心有一個(gè)小圓孔,則一條到達(dá)底部的直

吸管在罐內(nèi)部分以的長度（罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計(jì)）范圍是（）

A.12<a<13B.12<a<15C.5WaW12D.5<a<Z3

題目回如圖，是一種飲料的包裝盒，長、寬、高分別為4cm、3cm、12cm，現(xiàn)有一長為16cm的吸管插入盒的

底部，則吸管漏在盒外面的部分%（cm）的取值范圍為（）

A.3<7i<4B.3<7i<4C.2WhW4D.h=4

［題目10］如圖所示，將一根長為24cm的筷子，置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露

在外面的長為Zicm,則無的取值范圍是（）

A.0<7i<llB.ll</i<12C.h>12D.0<7i<12

二、填空題

題目口口如圖，有一個(gè)透明的直圓柱狀的玻璃杯，現(xiàn)測(cè)得內(nèi)徑為5cm,高為12cm,今有一支15cm的吸管任

意斜放于杯中，若不考慮吸管的粗細(xì),則吸管露出杯口外的長度最少為.

題目工J將一根長為15cm的很細(xì)的木棒置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形杯中，木棒露在杯子外

面的部分長度，的范圍是.

［題目叵〕《九章算術(shù)》卷九“勾股”中記載:今有戶不知高廣，竿不知長短，橫之不出四尺,縱之不出二尺，斜之

適出，問戶斜幾何，意思是:一根竿子橫放，竿比門寬長出四尺;豎放,竿比門高長出二尺,斜放恰好能出去，

則竿長是尺.

：整月過如圖,在水池的正中央有一根蘆,池底長10尺，它高出水面1尺,如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它

的頂端恰好到達(dá)池邊的水面則這根蘆葦?shù)拈L度是.

題目但如圖，一個(gè)池塘，其底面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦AB生長在它的中央，高出水面的部分

BC為1尺.如果把這根蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，蘆葦?shù)捻敳緽恰好碰到岸邊的則這根

蘆葦?shù)拈L度是尺.

題目16［將一根長為24cm的筷子置于底面直徑為12cm，高為16cm的圓柱形水杯中，則筷子露在杯子外面

的最短長度為cm.

題目□力現(xiàn)將一支長20cm的金屬筷子（粗細(xì)忽略不計(jì)）放入一個(gè)長和寬分別為8cm,6cm的長方體水槽中,

要使水完全淹沒筷子，則水槽中的水深至少為cm.

題158］《九章算術(shù)》中一道“引葭赴岸”問題:“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問

水深，葭長各幾何?”題意是:有一個(gè)池塘，其地面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦AC生長在它的中央，

高出水面部分BC為1尺，如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳俊Ｇ『门龅桨?/p>

邊的。處（如圖），水深和蘆葦長各多少尺？則該問題的水深是尺.

題目?我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題:“今有池方一丈，葭（加d）生其中央，出水一尺，

引葭赴岸，適與岸齊問水深幾何?”（注:丈、尺是長度單位，1丈=10尺）這段話翻譯成現(xiàn)代漢語，即為:如

圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為1丈的正方形,在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺,如果把這根

蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面.則水池里水的深度是尺.

三、解答題

題目㈤讀詩求解“出水3尺一紅蓮，風(fēng)吹花朵齊水面，水面移動(dòng)有6尺，求水深幾何請(qǐng)你算”.

趣目a我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題:“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺,引葭赴

岸，適與岸齊，問水深幾何?”（注:丈、尺是長度單位，1丈=io尺，1尺=!米），這段話翻譯城現(xiàn)代漢語，即

為:如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為一丈的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果

把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，則水池里水的深度是多少米？請(qǐng)你用所

學(xué)知識(shí)解答這個(gè)問題.

題目電（古代數(shù)學(xué)問題）印度數(shù)學(xué)家什迦邏（1141年-1225年）曾提出過“荷花問題”，該問題是:“平平湖水

清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立,忽被強(qiáng)風(fēng)吹一邊;“漁人觀看忙向前,花離原位二尺遠(yuǎn);能算諸

君請(qǐng)解題，湖水如何知深淺？”請(qǐng)用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)回答這個(gè)問題.

題目23）如圖，一個(gè)直徑為12cm（即BC=12cm）的圓柱形杯子，在杯子底面的正中間點(diǎn)E處豎直放一根筷

子，筷子露出杯子外2cm（即FG=2cm），當(dāng)筷子GE倒向杯壁時(shí)（筷子底端不動(dòng)）,筷子頂端正好觸到杯。,

求筷子GE的長度.

題目24］如圖，一個(gè)直徑為12cm的杯子，在它的正中間豎直放一根筷子，筷子漏出杯子外2cm，當(dāng)筷子倒向

杯壁時(shí)（筷子底端不動(dòng)），筷子頂端正好觸到杯口，求筷子長度.

題t㈤一株荷葉高出水面1米，一陣風(fēng)吹來，荷葉被吹得貼著水面，這時(shí)它偏離原來的位置有2米遠(yuǎn)，如圖

所示,求荷葉的高度和水面的深度.

出水芙蓉型

一、單選題

[>1口（數(shù)學(xué)文化）我國古代著作《九章算術(shù)》中有一“引葭赴岸”問題:“今有池方一丈，葭生其中央，出水一

尺,引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何.”其大意為:有一水池一丈見方,池中間生有一顆類似蘆葦?shù)?/p>

植物,露出水面一尺，若把它引向岸邊，正好與岸邊平齊（如圖），問水有多深，該植物有多長？其中一丈為十

尺，設(shè)水深為，尺,則可列方程為（）

B.(Z-1)2+52=S2C.(z+1)2+52=x2D.(re+1)3=?2+52

【答案】。

【詳解】解:如圖，由題意得：AC=工尺,BC=與BE=5尺,CD=1尺，AB=AD=Q+1）尺，AD_LBC,

則在RtAABC中，由勾股定理得：AB2=AC2+BC2，即（2+1）2=X2+52,故選：D.

題目團(tuán)如圖在平靜的湖面上，有一支紅蓮BA,高出水面的部分AC為1米，一陣風(fēng)吹來，紅蓮被吹到一邊,

花朵齊及水面（即AB=OB）,已知紅蓮移動(dòng)的水平距離CD為3米，則湖水深。8為（）

A.通米B.3米C.4米D.12米

【答案】。

【詳解】解:在Rt^BCD中，設(shè)%,BD=AB=九+1,3,

由勾股定理得：BD?=BC^+CE）2,^（h+1）2=/I2+32,

解得：/z=4.故選：。.

題目④將一根長24cm的筷子，置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露出在杯子外面

長為秘山,則無的取值范圍是（）

A.04無W12B.12<無<13C.11&九412D.12</i<24

【答案】。

【詳解】當(dāng)筷子與杯底垂直時(shí)無最大，無最大=24—12=12(cm).

當(dāng)筷子與杯底及杯高構(gòu)成直角三角形時(shí)九最小，

如圖所示：此時(shí)，AB=^/AC2+BC'2=V122+52=13(cm),

故％=24—13=ll(cm).

故九的取值范圍是：11cm412cm.故選：C*.

題目⑷將一根20cm的細(xì)木棍放入長，寬，高分別為4cm,3cm,12cm的長方體盒子中，則細(xì)木棍露在外面

的最短長度為().

A.8B.7C.6D.5

【答案】B

【詳解】解:按如圖所示的方法放置細(xì)木棒，露在盒子外面的部分才最短.

在RtACDE中，由勾股定理，得CE=府守=5(cm).

在Rt^BCE中，由勾股定理,

得BC=y/CE2+BE2=V52+122=13(cm),

此時(shí)露在盒子外面的部分為＞15=20-13=7(cm).故選B.

：＞f可如圖是一個(gè)飲料罐，下底面半徑是5，上底面半徑是8,高是12,上底面蓋子的中心有一個(gè)小圓孔,則

一條到達(dá)底部的直吸管在罐內(nèi)部分a的長度(罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計(jì))的取值范圍是

A.12<a<13B.12WaW15C.5WaW12D.5WaW13

【答案】A

【詳解】解：由題意可得：

a的最小長度為飲料罐的高，即為12,

當(dāng)吸管斜放時(shí)，如圖，此時(shí)a的長度最大，即為4B,

?.?下底面半徑是5,

AAB=V52+122=13,

.?.&的取值范圍是124<2W13,

故選：A.

題目五］如圖是一圓柱形玻璃杯，從內(nèi)部測(cè)得底面直徑為12cm，高為16cm，現(xiàn)有一根長為25cm的吸管任意

放入杯中，則吸管露在杯口外的長度最少是（）

A.6cmB.5cmC.9cmD.25—2V73cm

【答案】B

【詳解】如圖，沿杯子的底面直徑縱向切開，則當(dāng)吸管在矩形的對(duì)角線所在直線上時(shí)，杯內(nèi)吸管最長，則吸管

露出杯口的長度最小，由勾股定理得：杯內(nèi)吸管的長度為：V122+162=20（cm）

所以吸管露出杯口外的長度最少為25—20=5（cm）;故選:B.

/

16cm

12cm

題目I如圖，八年級(jí)一班的同學(xué)準(zhǔn)備測(cè)量校園人工湖的深度，他們把一根竹竿AB豎直插到水底,此時(shí)竹竿

離岸邊點(diǎn)。處的距離8=0.8米.竹竿高出水面的部分人。長0.2米，如果把竹竿的頂端人拉向岸邊

點(diǎn)。處,竿頂和岸邊的水面剛好相齊，則人工湖的深度BD為（）

A.1.5米B.1.7米C.1.8米D.0.6米

【答案】4

【詳解】解:設(shè)BD的長度為力小，則AB=BC=（x+Q.2）m,

在滅方△COB中，0.82+4=3+0.2）2,解得￡=1.5.故選：4

題目回如圖是一個(gè)圓柱形飲料罐,底面半徑是5,高是12,上底面中心有一個(gè)小圓孔,則一條到達(dá)底部的直

吸管在罐內(nèi)部分以的長度（罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計(jì)）范圍是（）

A.12<a<13B.12<a<15C.5<a<12D.5<a<Z3

【答案】A

【詳解】解：a的最小長度顯然是圓柱的高12,最大長度根據(jù)勾股定理，得：V52+122=13.

即a的取值范圍是12Wa<13.故選：4

題目可如圖,是一種飲料的包裝盒，長、寬、高分別為4cm、3cm、12cm，現(xiàn)有一長為16cm的吸管插入盒的

底部，則吸管漏在盒外面的部分Mem）的取值范圍為（）

A.3</z<4B.3</z<4C.24無<4D./i=4

【答案】B

【詳解】①當(dāng)吸管放進(jìn)杯里垂直于底面時(shí)露在杯口外的長度最長，最長為16-12=4（cm）;

②露出部分最短時(shí)與底面對(duì)角線和高正好組成直角三角形，

底面對(duì)角線長=V32+42=5cm,高為12cm,

由勾股定理可得：杯里面管長=A/52+122=13cm，則露在杯口外的長度最短為16—13=3（cm）,

.?.343W4;故選:B.

題目10）如圖所示，將一根長為24cm的筷子，置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露

在外面的長為拉cm,則九的取值范圍是（）

A.0V九411B.ll</i<12D.0</i<12

【答案】B

【詳解】解：當(dāng)筷子與杯底垂直時(shí)無最大，無最大=24—12=12cm.

當(dāng)筷子與杯底及杯高構(gòu)成直角三角形時(shí)無最小，

如圖所示：

此時(shí)，AB=y/AC2+BC2=V122+52=13cm,

九=24-13=11cm.

，九的取值范圍是11cm4無412cm.故選：8.

二、填空題

題目口□如圖，有一個(gè)透明的直圓柱狀的玻璃杯，現(xiàn)測(cè)得內(nèi)徑為5cm,高為12cm,今有一支15cm的吸管任

意斜放于杯中，若不考慮吸管的粗細(xì),則吸管露出杯口外的長度最少為.

【答案】2cm

【詳解】解：?.?CD=5cm,AD=12cm,乙4。。=90°,

AC=A/52+122=13cm,

露出杯口外的長度最少為=15—13=2cm.

故答案為：2cm.

題目12］將一根長為15cm的很細(xì)的木棒置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形杯中，木棒露在杯子外

面的部分長度力的范圍是.

【答案】2cm&3cm

【詳解】如圖所示：

B

??,將一根長為15cm的筷子置于底面直徑為5cm,高為12cm的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長為

xcm

???力最長是筷子的長度減去杯子的高度，力最短是筷子的長度減去杯子斜邊長度

???由勾股定理得,杯子斜邊長度=V52+122=13cm

???15-134力415-12

?,?24/43

故答案為：2cm4力&3cm.

題目包《九章算術(shù)》卷九“勾股”中記載:今有戶不知高廣，竿不知長短，橫之不出四尺,縱之不出二尺，斜之

適出，問戶斜幾何，意思是:一根竿子橫放，竿比門寬長出四尺;豎放，竿比門高長出二尺，斜放恰好能出去，

則竿長是尺.

【答案】10

【詳解】解：設(shè)竹竿多尺，則圖中BD=2.

:.BC=BE—CE=缶-4(x>4),CD=CF-DF=x-2(x>2),

在直角三角形BCD中，/BCD=90°,

由勾股定理得：BC2+CD2=BD1,

所以(比一4)2+(%—2)2=x2,

整理，得力2—126+20=0,

因式分解，得(力一10)(T—2)=0,

解得力i=10,力2=2,

?/a;>4,

力=10.

答：竹竿為10尺.

故答案為：10.

題目紅如圖,在水池的正中央有一根蘆，池底長10尺，它高出水面1尺,如果把這根蘆葦拉向水池一邊,它

的頂端恰好到達(dá)池邊的水面則這根蘆葦?shù)拈L度是

【詳解】解：設(shè)水深為C尺，則蘆葦長為（2+1）尺，

根據(jù)勾股定理得:一+（學(xué)）2=（2+1）2,

解得：a?=12,

蘆葦?shù)拈L度=t+1=12+1=13（尺）,

故答案為：13尺.

震月西如圖，一個(gè)池塘，其底面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦生長在它的中央，高出水面的部分

BC為1尺.如果把這根蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，蘆葦?shù)捻敳緽恰好碰到岸邊的則這根

蘆葦?shù)拈L度是尺.

【答案】13

【詳解】解:設(shè)蘆葦長48=48,=,尺，則水深47=Q-1）尺，

因?yàn)榈酌媸沁呴L為10尺的正方形，所以B'C=5尺

在Rt^AB'C中，52+（工-1）2=x2,

解之得①=13,

即蘆葦長13尺.

故答案為：13.

題目16［將一根長為24cm的筷子置于底面直徑為12cm，高為16cm的圓柱形水杯中，則筷子露在杯子外面

的最短長度為cm.

【答案】4

【詳解】解:杯子內(nèi)筷子的最大長度是：V122+162=20cm

則筷子露在杯子外面的最短長度是：24—20=4（cm）,

故答案為：4.

題目□力現(xiàn)將一支長20cm的金屬筷子（粗細(xì)忽略不計(jì)）放入一個(gè)長和寬分別為8cm,6cm的長方體水槽中,

要使水完全淹沒筷子，則水槽中的水深至少為cm.

【答案】103

【詳解】解:如圖，由題意可得，EF=Q,FH=8,EL=20,

DC

：.EH=V82+62=10,（cm）,

故水槽中的水深至少為：LH=-JEIJ-EH2=V202-102=V300=10遍（cm）,

故答案為：

題目電《九章算術(shù)》中一道“引葭赴岸”問題:“今有池一丈,葭生其中央，出水一尺,引葭赴岸，適與岸齊，問

水深，葭長各幾何?”題意是:有一個(gè)池塘，其地面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦AC生長在它的中央，

高出水面部分為1尺，如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳?。恰好碰到?/p>

邊的。'處（如圖），水深和蘆葦長各多少尺？則該問題的水深是尺.

【答案】12

【詳解】解:依題意畫出圖形,

設(shè)蘆葦長？①尺，

則水深A(yù)B=Q-1）尺，

；C'E=1Q尺,

.?.?！?5尺，

在Rt/\AC'B中，根據(jù)勾股定理得，

52+3—1）2=/,

25+z2—2s+1=z2

解得c=13,即蘆葦長13尺，

水深為12尺,

故答案為：12.

題目①）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題:“今有池方一丈，葭。近）生其中央，出水一尺，

引葭赴岸,適與岸齊問水深幾何?”（注:丈、尺是長度單位，1丈=10尺）這段話翻譯成現(xiàn)代漢語，即為:如

圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為1丈的正方形,在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺,如果把這根

蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面.則水池里水的深度是尺.

【詳解】設(shè)這個(gè)水池深,尺，

由題意得，X2+52=(2+I),,解得：,=12

答:這個(gè)水池深12尺.

故答案為：12.

三、解答題

題目叵讀詩求解“出水3尺一紅蓮，風(fēng)吹花朵齊水面，水面移動(dòng)有6尺，求水深幾何請(qǐng)你算”.

【答案】4.5尺

【詳解】設(shè)水深A(yù)P=2尺，PB=PC=Q+3)尺，

根據(jù)勾股定理得：P^+AC2^PC2,X2+62=(x+3)2.解得：竄=4.5,

答：水深4.5尺.

題目叵我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題:“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺,引葭赴

岸，適與岸齊，問水深幾何?”(注:丈、尺是長度單位，1丈=10尺，1尺=：米)，這段話翻譯城現(xiàn)代漢語,即

為:如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為一丈的正方形,在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果

把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，則水池里水的深度是多少米？請(qǐng)你用所

學(xué)知識(shí)解答這個(gè)問題.

【答案】4米

【詳解】解:設(shè)水池里水的深度是2尺，

由題意得，rc2+52=(c+1)2,解得：a;=12,

12x；=4米

O

答：水池里水的深度是4米.

題目?（古代數(shù)學(xué)