變量間的相關關系及回歸模型-2025高考數學一輪復習（二）

第三節(jié)成對數據的統(tǒng)計分析

第1課時變量間的相關關系及回歸模型

■課程標準

1.結合實例，了解樣本相關系數的統(tǒng)計含義，了解樣本相關系數與標準化數據向量夾角的關系.

2.結合實例，會通過相關系數比較多組成對數據的相關性.

3.結合具體實例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數的統(tǒng)計意義，了解最小二乘原理，掌握一元線

性回歸模型參數的最小二乘估計方法.

4.針對實際問題，會用一元線性回歸模型進行預測.

口----------必備知識系統(tǒng)梳理基礎重落實---------課前自修

I_____知___識___?__逐____點___夯____實_______________________________________________________________J__________

知識梳理

1.變量的相關關系

(1)相關關系：若兩個變量之間有關系，但又不是函數關系，這種關系稱為相關關系；

(2)相關關系的分類：①從整體上看，當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值也呈現(xiàn)增加的趨勢，就

稱這兩個變量________;

②當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值呈現(xiàn)減小的趨勢，則稱這兩個變量_______；

提醒注意相關關系與函數關系的區(qū)別：函數關系是一■種確定的關系，而相關關系是一■種非確定的關系.(3)

線性相關：如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關或負相關，而且散點落在附近，就稱這兩個變量線性

相關.

2.樣本相關系數

對于變量X和變量》設經過隨機抽樣獲得的成對樣本數據為(X1,%),(X2,>2)，…，Cxn,yn)>若無

與y存在線性相關關系，可用樣本相關系數r定量分析它們的相關程度的強弱.

(1)樣本相關系數

n__

2(Xi-x)(yi-y)

r=,i=i,:

fn2fn2,

(2)樣本相關系數廠的性質

①當廠>0時，稱成對樣本數據相關；當r<0時，稱成對樣本數據相關；當廠=0時，稱成對樣本

數據間沒有線性相關關系；

②樣本相關系數r的取值范圍為.當IrI越接近1時，成對樣本數據的線性相關程度越;

當I川越接近0時，成對樣本數據的線性相關程度越.

3.一元線性回歸模型

(1)經驗回歸直線：從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，稱

兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做經驗回歸直線；

n_n_

八-z(%i-x)(yi-y)Yxiyi-nxy4

(2)經驗回歸方程為夕=bx+6,其中------——=嗎----—JS=y—hx；

X(%i-x)Xxf—rix

i=li=l

n

(3)通過求。=E(V—2的最小值而得到經驗回歸直線的方法，即使得樣本數據的點到回歸直線的

i=l

距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法.

4.判斷回歸模型的擬合效果

由成對樣本數據(尤"?)(i=l,2,…，w)按照最小二乘法得到經驗回歸方程夕=6尤+4,其中y叫做觀測

值，夕叫做預測值，殘差2=y一夕.相對于樣本點(孫弘)的隨機誤差瓦=%—%=%—Cbxi+a).

(1)殘差分析法

①作殘差圖：作圖時縱坐標為，橫坐標可以選為樣本編號，或國數據，或%數據，這樣作出的圖形稱

為殘差圖；

②殘差分析：殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越

窄，說明模型擬合精度越高，經驗回歸方程的預報精度越高.

n2

ccZ(力一%)/n\

(2)決定系數(爐)法：R2=IT-----J其中夕=工￡%).爐的值越趨近于I,模型的擬合效果越好.

z(.yi-y)\ni=i'

i=l

對點自測

1.判斷正誤.(正確的畫r”，錯誤的畫“x”)

(1)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學水平與學生的水平成正相關關系.()

(2)散點圖是判斷兩個變量相關關系的一種重要方法和手段.()

(3)經驗回歸直線夕=5尤+a至少經過點(X1,力)，(X2,>2),…，Cxn,yn)中的一個點.()

(4)樣本相關系數的絕對值越接近1,成對樣本數據的線性相關程度越強.()

2.兩個變量的相關關系有①正相關，②負相關，③不相關，則下列散點圖從左到右分別反映的變量間的相關關

系是()

A.①②③B.②③①

C.②①③D.①③②

3.對于尤，y兩變量，有四組成對樣本數據，分別算出它們的樣本相關系數廠如下，則線性相關性最強的是

()

A.-0.82B.0.78

C.-0.69D.-0.87

4.在對兩個變量x,y進行回歸分析時有下列步驟：①對所求出的經驗回歸方程作出解釋；②收集數據(沏,

9)，i=l,2,n；③求經驗回歸方程；④根據所收集的數據繪制散點圖.則下列操作順序正確的是

()

A.①②④③B.③②④①

C.②③①④D.②④③①

5.已知尤，y的取值如下表，已知y與x具有線性相關關系，且經驗回歸方程為9=0.95戈+4,貝值=.

X0134

y2.24.34.86.7

尸考點?分類突破口----------精選考點典例研析技法重悟通---------T課堂演練

1—________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

變量間相關關系的判斷

(師生共研過關

【例1】(1)某商家今年上半年各月的人均銷售額(單位：千元)與利潤率統(tǒng)計表如下：

月份123456

人均銷售額658347

利潤率(%)12.610.418.53.08.116.3

根據表中數據，下列說法正確的是()

A.利潤率與人均銷售額成正比例函數關系B.利潤率與人均銷售額成反比例函數關系

C.利潤率與人均銷售額成正相關關系D.利潤率與人均銷售額成負相關關系

(2)已知變量x和y滿足關系y=-0.卜+1,變量y與z正相關.下列結論中正確的是()

A.x與y正相關，％與z負相關B.尤與y正相關，尤與z正相關

C.x與y負相關，x與z負相關D.x與y負相關，x與z正相關

聽課記錄_______________________________

解題技法

判定兩個變量相關性的方法

(1)畫散點圖：點的分布從左下角到右上角，兩個變量正相關；點的分布從左上角到右下角，兩個變量負相

關；

(2)樣本相關系數：當廠>0時，正相關；當r<0時，負相關；|川越接近于1,相關性越強；

(3)經驗回歸方程：當時，正相關；當B<0時，負相關.

E訓練

1.下列關系不屬于相關關系的是()

A.森林中的同一類樹木，其橫截面直徑與高度之間的關系

B.球的體積與表面積的關系

C.父母的身高與子女身高的關系

D.人的身高與體重的關系

2.對四組數據進行統(tǒng)計，獲得如圖所示的散點圖，關于其樣本相關系數的比較，正確的是()

3535

303()

2525

2020

1515

1()1()

5.3

00

51()1520253()355101520253035

樣本相關系數為。樣本相關系數為二

(1)(2)

3533

3()30

2525

2020

1515

1()1()

55

00

51()152025303551()1520253035

樣本相關系數為7樣本相關系數為。

(3)(4)

A.r2<^4<0<f3<riB.r4<^r2<0<ri<F3

C.r4<r2<0<r3<nD.r2<r4<0<ri<r3

1考點二

【例2】(2022?全國乙卷19題)某地經過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計一林區(qū)某種

樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積(單位：m2)和材積量(單位：

m3),得到如下數據：

樣本號，12345678910總和

根部橫截

0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

面積尤

材積量》0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并計算得￡婷=0.038,23^=1.6158,2%M=0.2474.

i=li=li=l

(1)估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關系數(精確到0.01)；

(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2.已知

樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數據給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值.

Z(xi-x)(yi-y)

附:相關系數i=l=,VL896=1.377.

r=In2n

2

z(咫一元)x(刃一歹)

i=li=i

解題技法

樣本相關系數廠的統(tǒng)計含義及應用

(1)由r的正、負可判斷成對樣本數據中兩相關變量是正相關還是負相關；

(2)可根據IrI的大小從量的角度判斷成對樣本數據是否具有線性相關性，進而可知能否用經驗回歸方程進

行分析和預測；

(3)當I*W0.25時，即便求得了經驗回歸方程也沒有任何統(tǒng)計意義.

Q訓練

某沙漠地區(qū)經過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數量有所增加.為調查該地區(qū)某種野生動物的數量，

將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調查得到樣本數

據(尤,?，9)(/=1,2,…，20),其中即和9分別表示第，個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野

2020202020

生動物的數量，并計算得Z蒼=60,29=1200,Z(汨一元產=80,2(M—歹)2=9000,￡(%,—%)(%

i=li=li=li=li=l

-y)=800.

(1)求該地區(qū)這種野生動物數量的估計值(這種野生動物數量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數量的平均數

乘以地塊數)；

(2)求樣本(xi,yi)(z=l,2,20)的相關系數(精確到0.01)；

(3)根據現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數

量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由.

n__

Z(%i-x)(yi-y)

附：r=I匚1，V2-1.414.

n2n、2

Z(Xi-x)Z(”一歹)

Ji=ii=i

經驗回歸模型

(定向精析突破

考向7線性經驗回歸問題

【例3】某研究機構為調查人的最大可視距離y(單位：米)和年齡無(單位：歲)之間的關系，對不同年

齡的志愿者進行了研究，收集數據得到下表：

X2025303540

y167160150143130

(1)根據上表提供的數據，求出y關于x的經驗回歸方程；

(2)根據(1)中求出的經驗回歸方程，估計年齡為50歲的人的最大可視距離.

nn__

八I(芍一元)(“一?)Ixiyi-nxy

參考公式：經驗回歸方程夕=以+6中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為b=j----------------------

X(%i—x)Xxf—nx2

i=li=l

a=y-bx.

解題技法

線性回歸分析問題的解題策略

(1)利用公式，求出回歸系數有；

(2)利用經驗回歸直線過樣本點的中心求系數式；

（3）利用經驗回歸方程進行預測，把回歸方程看作一次函數，將解釋變量x的值代入，得到預測變量夕的值.

考向2非線性經驗回歸問題

【例4】“綠水青山就是金山銀山”的理念推動了新能源汽車產業(yè)的迅速發(fā)展.以下表格和散點圖反映了近幾

年某新能源汽車的年銷售量情況.

年份20192020202120222023

年份代碼X12345

某新能源汽車年銷售量y/萬輛1.55.917.732.955.6

60:年銷售量y/萬輛

*

40■

*

20?

*

02345屋份代碼工

（1）請根據散點圖判斷，y^bx+a與中哪一個更適宜作為年銷售量y關于年份代碼x的回歸方程類

型；（給出判斷即可，不必說明理由）

（2）根據（1）的判斷結果及表中數據，建立y關于尤的經驗回歸方程，并預測2024年該新能源汽車的年銷

售量精確到0.1）

55

參考數據：9=22.72,2（W,—iv）2=374,工（w,—w）（j,—y）=851.2（其中陰=婢）.

i=li=l

解題技法

有些非線性回歸分析問題并不給出經驗公式，這時我們可以畫出已知數據的散點圖，把它與學過的各種函

數（賽函數、指數函數、對數函數等）的圖象進行比較，挑選一種跟這些散點擬合得最好的函數，用適當的變

量進行變換，如通過換元或取對數等方法，把問題化為線性回歸分析問題，使之得到解決.

q訓練

1.已知變量X與》且觀測數據如下表（其中6.5>44>6>1,a+b=6）,則由該觀測數據算得的經驗回歸

方程可能是（）

X12345

y6.5a4b1

A.y=0.4A-+2.3B.y=2x~2.4

C.y=-2x+9.5D.夕=-0.3尤+0.44

2.數獨是源自18世紀瑞士的一種數學游戲，玩家需要根據9義9盤面上的已知數字，推理出所有剩余空格的數

字，并滿足每一行、每一列、每一個粗線宮（3X3）內的數字均含1?9,且不重復.數獨愛好者小明打算報名

參加“絲路杯”全國數獨大賽初級組的比賽，賽前小明在某數獨APP上進行一段時間的訓練，每天的解題平

均速度y（秒）與訓練天數無（天）有關，經統(tǒng)計得到如表的數據：

X（天）1234567

y（秒）990990450320300240210

（1）現(xiàn)用y=a+2作為經驗回歸模型，請利用表中數據，求出該經驗回歸方程；

（2）請用第（1）題的結論預測，小明經過100天訓練后，每天解題的平均速度約為多少秒?

77

笏考數據（其中ti=E）：Z砂尸1845,￡=0.37,2珞―7冒=0.55.

參考公式：對于一組數據（兩，VI）,（"2,V2），…，（說，%），其經驗回歸直線。=2+6"的斜率和截距

n

XuiV[—nuv

的最小二乘估計公式分別為6=弓----一，a=v-pu.

Xuf—nu2

i=l

刻畫擬合效果

（師生共研過關

【例5】假定小麥基本苗數x與成熟期有效穗y之間存在相關關系，今測得5組數據如下:

X15.025.830.036.644.4

y39.442.942.943.149.2

若由最小二乘法計算得經驗回歸方程為y=0.29x+347

（1）計算各組殘差，并計算殘差平方和；

（2）求出，并說明回歸模型擬合效果的好壞.

5

參考數據：20一歹）2=50.18.

i=l

解題技法

刻畫擬合效果的三種方法

（1）殘差圖法：殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內說明選用的模型比較合適；

（2）殘差平方和法：殘差平方和￡（%—%）之越小，模型的擬合效果越好；

i=l

n2

CI（月一9i）

（3）決定系數法：K=1一早-------越接近1,表明模型的擬合效果越好.

I（力一步）

i=l

E訓練

1.在一元線性回歸模型￥=法+。+?中，下列說法正確的是（）

A.Y=bx+a+e是一次函數

B.響應變量y是由解釋變量尤唯一確定的

C.響應變量y除了受解釋變量X的影響外，可能還受到其他因素的影響，這些因素會導致隨機誤差e的產生

D.隨機誤差e是由于計算不準確造成的，可通過精確計算避免隨機誤差e的產生

2.現(xiàn)代物流成為繼勞動力、自然資源外影響企業(yè)生產成本及利潤的重要因素.某企業(yè)去年前八個月的物流成本和

企業(yè)利潤的數據（單位：萬元）如下表所示：

月份1234

物流成本尤83