不等式（含解析）-高中數(shù)學蘇教版2024必修第一冊單元測試

第3章不等式一高中數(shù)學蘇教版必修第一冊課時優(yōu)化訓練

一、選擇題

1.已知4a?+/=6,則必的最大值為（）

335

A.-B.-C.-D.3

422

2.如果那么下列不等式中成立的是（）

11

A?，<1B.">"C.—<—Dn.—<—

bbaab

3.已知正實數(shù)滿足Q+）=,則a+4/7的最小值為（

A.9B.8C.3

4.下列結論中正確的是（）

A.若ac>be則a>bB.若a2>/,則a>b

C.若y/a>yjb,則a>bD.若則…

ab

5.如果〃<0,-l<b<0,那么下列不等式成立的是（）

K.a>ab>ab1B.ab1>ab>aC.ab>a>ab1D.ab>ab2>a

6.一元二次不等式14—的解集為（）

71、7

A.—>B.{x[-2或}

、4J4

一7]7

CJ%——<x<2>D.{x|x<——或％N2}

、4J4

17

7.已知正數(shù)滿足上+4=2,則孫的最小值為（）

%y

A.V2B.2C.20D.4

8.數(shù)學家秦九韶曾提出“三斜求積術”，即假設一個三角形的三邊長分別為。力,。,三角形

的面積S可由公式S=a）（p4）（p-c）求得，其中P為三角形周長的一半，這個公

式也被稱為海倫一秦九韶公式.現(xiàn)有一個三角形的周長為12,q=4,則此三角形面積的最

大值為（）

A.4B-4A/2C.4A/30.475

二、多項選擇題

9.已知不等式依2+2x+c>o的解集為卜|—g<x<g卜則下列選項正確的是()

A.。=—12B.c=—12C.。=2D.。=2

10.若正實數(shù)滿足2x+y=l,則下列說法正確的是()

114

A.W有最大值為上8.—+—有最小值為6+4行

8xy'_一

C.4x2+y2有最小值為gD"(y+1)有最大值為:

11.設正實數(shù)a,6滿足a+b=l,貝U()

A.土有最大值!

a+b3

8.仍有最大值1

4

C.G+振有最大值班

D.Y+Z?有最小值

4

三、填空題

12.一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金.一位顧客到店里購買10g黃金,售貨員

先將5g的祛碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡;再將5g的祛

碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡;最后將兩次稱得的黃金

交給顧客.則顧客實際得到的黃金______10g(填>、<或=)杠桿原理：動力x動力臂=

阻力x阻力臂

13.已知正實數(shù)。力滿足6+1=0,則工+4Z7的最小值是.

a

o

14.已知x>y>0,則必+——----的最小值為________.

y(x-y)

四、解答題

15.利用基本不等式求下列式子的最值：

⑴若x>0,求x+&的最小值，并求此時X的值；

(2)已知x,y>0,且x+4y=l,求孫的最大值;

(3)若0<x<己,求4x(3-2x)的最大值.

2

16.比較下列各題中兩個代數(shù)式值的大小.

(1)(尤2+1『與無4+必+］；

“、21a-b

a-b與(a>

a+b

17.解下列問題：

⑴若不等式依2+版+3>0的解集為{尤I-1<X<3},求a,b的值;

(2)若a+〃=l,a>0,5>0,求△的最小值；

ab

18.已知a>0,b>0.

(1)求〃+。+方=的最小值；

yJab

(2)若々+人=1,求」_+J■的最小值.

a+1b

19.已知Q+4/?=6(aZ?>0)

(1)證明：疝的最大值與竺^的最小值相等.

ab

⑵若巴+衛(wèi)—強〉IgM恒成立，求m的取值范圍.

a29b29a

參考答案

1.答案：B

Q

解析：由題意得，6=4〃+〃=(2〃9)+b2>2-2a-b,即〃?！度f，

當且僅當2a="即。=且，6=逝或a=-且，6=-有時等號成立，

22

所以必的最大值為士.

2

故選：B.

2.答案：B

解析：對于A：由得@>2=i,錯誤；

bb

對于B：由〃vb<0,則有〃.〃>〃./?,即正確；

對于C：由0得—a>—b>0,則根據(jù)不等式的性質有(—a)2>(―/?)2>0,即/>/,

由儲"可得，錯誤;

對于D：由qvbvO得">0,則烏<2,即工〉工,錯誤.

ababab

故選：B.

3.答案：C

解析：由條件知工+工=3,

ab

lz1O1(ca4八、1(cla46)°

3{ab)baJ\ba)

當且僅當a=2〃=1時取等號.

故選：C.

4.答案：C

解析：當Q=1,/?=2,C=-1時滿足ac>Z?c，可得〃<b，A選項錯誤;

當Q=-2,/?=—I,/>。2可得〃<匕2選項錯誤；

若G〃20，由不等式乘法性質可得a>b.C選項正確；

當a=l,Z?=2,，>工可得〃<Z?,D選項錯誤.

ab

故選：C.

5.答案：D

解析：由選項可知，僅需要比較。，ab,〃"三個數(shù)的大小，

顯然，〃<0,ab>0,ab2<0,所以必最大，由—1<Z?VO可得，0<Z?2<1,

所以一〃=〃（/一1）>o,BPab2>a,可得次?AQ">〃.故選：D.

6.答案：A

解析：不等式I4_4f2x化為4%2+.14<0,即（x+2）（4x-7）V0,解得-2<x",

4

所以原不等式的解集為{x\-2<x<^}.

故選：A.

7.答案：B

19

解析：因為都是正數(shù)，且滿足工+4=2,

%y

則2=工+工=22區(qū)，則孫22,

xy丫孫

1o

當且僅當工=4,即x=l,y=2時等號成立，

%y

所以孫的最小值為2.

故選：B.

8.答案：C

解析：由題意得/?+c=8,p=6,

則S=^6（6-4）（6-Z?）（6-c）=2A/3X，（6-b）（6-C）〈石（6-b+6-C）=4-^3,

當且僅當Z,=c=4時，等號成立，此時三角形的面積有最大值，且最大值為4石.

故選：C.

9.答案：AC

解析：由于不等式改2+2x+c>o的解集為］

所以x=—'和％=」,是方程依2+2x+c=o的兩個實數(shù)根，

32

故」+J_=二且」xJ.=￡，解得q=T2，c=2,

32a32a

故選：AC.

10.答案：ABC

解析：對于A：因為2x+y=122戶二日'則孫＜￡，當且僅當2x=y,即x=；,y=；時取

等號，故A正確，

對于8J+百=口+婦±2=生+)+6)2、戶+6=6+40,當且僅當把=?，

xyxyyxyxyx

即X=交T,y=2-V2時取等號，故B正確，

,2

對于C：因為2x；y4『x；y2,則4x2+F2g,當且僅當2x=y,即x=；,y=；時取等

號，故C正確，

—12

對于D：因為x(y+l)=gx2x(y+l)＜gx2芯+?+1)=g,

當且僅當2x=y+l,即x=；,y=0時取等號，這與x,y均為正實數(shù)矛盾，故D錯誤，

故選：ABC.

11.答案：BD

解析：正實數(shù)a,6滿足a+b=l,即有a+

可得0＜出7＜L，即有小〈益=’，A錯，B正確，

4a+b2

由+yfb=《a+b+2y=Jl+2JabVJl+2x—=yf2,C錯,

由〃3+人3=(a+”)(〃2+Z?2-ab^=a2+b2-ab=(a+Z?)2-3ab=1-3ab2；,D正確,

綜上可得BD均正確.

12.答案：＞

解析：由于天平兩臂不等長，可設天平左臂長為。，右臂長為4則a=b.

再設先稱得黃金為郎后稱得黃金為yg,^bx=5a，ay^5b,.-.x=—,y=~,

ba

.一+丁=加+也=5七+勺之5、2、回=10,當且僅當q=幺即a=b時等號成立，但

bayba）\baba

a^b，等號不成立，即x+y>10.因止匕,顧客購得的黃金大于10g.

故答案為：〉.

13.答案：9

解析：a>0^b>0^ab—b+l=0^

,1^1,14

:.b=----->0,—+4Z?=—+-----,

1-aaa1-a

設尤=a〉0，y=l_a>0，可得x+y=l，

mi1“714114、/、

則一+46=—+—=—+―x(x+y)

axy(尤yj

=5+h+”25+2用豆=9,

xyyxy

當y=2x時，當“=”成立，即工+4b的最小值是9,

a

故答案為：9.

14.答案：12

9、2936

X2-\-----------2XH-----------------y—X2H....-

解析：y(尤-y)y+(%-y)x，當且僅當％=2y的時候取

2

又當+-22、"當=⑵當且僅當x=V6的時候取“.

xVx

綜上，當x=2y=V6的時候，不等式取“=”條件成立,此時最小值為12.

故答案為：12.

15.答案：（1）4,九=2；

16

9

⑶2.

2

解析：(1)%+3@舊=，當且僅當x=2時取等,

故最小值為4,止匕時光=2；

(]-4y+4y)2

(2)(l-4y)-4yI2j1,當且僅當y=Lx=工時取等,

孫=。-4y)y=-----~-<---------------------82

16

故孫最大值為工.

16

(3)4x(3—2x)=2.2x(3—2x)W2產+；-=|,當且僅當》=|_時取等,

故所求最大值為2.

2

16.答案：(1)(/+1『NX4+爐+1

22

(2)a-b；a-b

a2+Z?2a-\-b

解析：(1)(X2+1)2-(X4+X2+1)=X4+2X2+1-(X4+X2+1)=X2>0,

.-.(X2+1)2>x4+x2+1?

p.a1-b1a-b2)(〃+。)(〃一〃乂/十/)2ab(a-b)

a1+b2a+b^a2+Z?2)(^z+Z?)++/)(^a-^-b^a2+/?2)

*.9a>b>Oy

:.2ab>0^a-b>Q^a+b>0^a2+b2>0,

2ab(a-b)

則(a+b)(〃2+,2)>0,

〃2—/?2d~b

；,-------->--------

a2+Z?2a+b

I7.答案：⑴r=一i

b=2

(2)9

解析：⑴?不等式加+/?x+3>0的解集為{x[T<x<3},

???/和3是方程.2+法+3=0的兩個實根,

a——1

b=2

(2)=l又〃

144x_b4alb4a-

?—I—二a+7b)=5+—+——>c5+2J-------=9,

abbab\ab

1

b_4aa——

3

當且僅當a6即<時等號成立,

a+b=1b=-

3

所以工+士的最小值為9.

ab

18.答案:(1)4

(2)8

解析：（1）因為a>0,6>0,

所以。+Z?d■->2y[ab+>2-、4,

y/aby/aby

a=b,

當且僅當,cL2即a=》=l時等號成立,

2、ctb—I—,

yjab

7

所以4+/?+-^=的最小值為4.

y/ab

(2)因為a>O,b>O,a+b=l,

9119「［（。+）可

所以----\--=—+—1+

〃+1b2\a+\b

。+9ba+1小+2.9ba+1'

W1----1----=8?

a+1ba+\b,

a+b=l,

當且僅當9b〃+1BPa人=工時