彈性碰撞模型（解析版）-動(dòng)量守恒的十種模型解讀和針對(duì)性訓(xùn)練

動(dòng)量守恒的八種模型解讀和針對(duì)性訓(xùn)練

模型二彈性碰撞模型

模型解讀

1.碰撞過(guò)程的四個(gè)特點(diǎn)

(1)時(shí)間短：在碰撞現(xiàn)象中，相互作用的時(shí)間很短。

(2)相互作用力大：碰撞過(guò)程中，相互作用力先急劇增大，后急劇減小，平均作用力很大。

(3)位移?。号鲎策^(guò)程是在一瞬間發(fā)生的，時(shí)間極短，在物體發(fā)生碰撞的瞬間，可忽略物體的位移，認(rèn)為

物體在碰撞前后仍在同一位置。

(4)滿足動(dòng)量守恒的條件：系統(tǒng)的內(nèi)力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于外力，所以即使系統(tǒng)所受合外力不為零，外力也可以忽略,

系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒。

(5).速度要符合實(shí)際

(i)如果碰前兩物體同向運(yùn)動(dòng)，則后面物體的速度必大于前面物體的速度，即。后>u融，否則無(wú)法實(shí)現(xiàn)碰

撞。碰撞后，原來(lái)在前的物體的速度一定增大，且原來(lái)在前的物體的速度大于或等于原來(lái)在后的物體的速

度"'前后。

(ii)如果碰前兩物體是相向運(yùn)動(dòng)，則碰后兩物體的運(yùn)動(dòng)方向不可能都不改變，除非兩物體碰撞后速度均為

零。若碰后沿同向運(yùn)動(dòng)，則前面物體的速度大于或等于后面物體的速度，即”第2及/。

2.動(dòng)動(dòng)彈性碰撞

V1Vh討'V2

已知兩個(gè)剛性小球質(zhì)量分別是巾1、m2,

+m?V2—miV\+機(jī)202'，

2

—m]V1+—miV2=-m->v3+—m乙0%,

2222

3.一動(dòng)一靜”彈性碰撞模型

如圖所示，已知4、B兩個(gè)剛性小球質(zhì)量分別是巾1、m2，小球B靜止在光滑水平面上，A以初速

度火與小球B發(fā)生彈性碰撞，

^77777娘777/7_77_77_77_777盼77777_77_/7_7777姨77777〃7777展7777/

取小球/初速度火的方向?yàn)檎较?，因發(fā)生的是彈性碰撞，碰撞前后系統(tǒng)動(dòng)量守恒、動(dòng)能不變，有

7711%=叫巧+m2v2

Ill

2nli詔=2miij+-m2V2

(7711-7712)廿0

聯(lián)立解得%=,"2=

mi+mzm1+m2

討論：(1)若爪1>爪2，貝1」0<%<"0、V2>V0,物理意義：入射小球質(zhì)量大于被碰小球質(zhì)量，則入射

小球碰后仍沿原方向運(yùn)動(dòng)但速度變小，被碰小球的速度大于入射小球碰前的速度。

(2)若mi=m2,則%=0>V2=VQ,物理意義：入射小球與被碰小球質(zhì)量相等，則碰后兩球交換速度。

(3)若機(jī)1<爪2，則也<0(即也與。o方向相反)、v2<v0,物理意義：入射小球質(zhì)量小于被碰小球

質(zhì)量，則入射小球?qū)⒈环磸椈厝?，被碰小球的速度小于入射小球碰前的速度?/p>

(4)若小1爪2，則也趨近于為、趨近于2。0,物理意義：入射小球質(zhì)量比被碰小球質(zhì)量大得多，則

入射小球的速度幾乎不變，被碰小球的速度接近入射小球碰前速度的2倍，也就是說(shuō)被碰小球?qū)θ肷湫∏?/p>

的運(yùn)動(dòng)影響很小，但入射小球?qū)Ρ慌鲂∏虻倪\(yùn)動(dòng)影響不能忽略，例如用一個(gè)鉛球去撞擊一個(gè)乒乓球。

(5)若，則%趨近于一、V2趨近于0,物理意義：入射小球質(zhì)量比被碰小球質(zhì)量小得多，則

入射小球幾乎被以原速率反彈回去，被碰小球幾乎不動(dòng)，例如乒乓球撞擊鉛球。

注意：上面討論出的結(jié)果不能盲目套用，應(yīng)用的前提條件是一個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體去碰撞一個(gè)靜止的物體，且是

彈性碰撞。

4.”一動(dòng)一靜”彈性碰撞模型的類比應(yīng)用

廣義地講，“碰撞”就是一種相互作用，彈性碰撞模型的應(yīng)用不僅僅局限于“碰撞”，如果相互作用前后

系統(tǒng)滿足動(dòng)量守恒、動(dòng)能不變，具備了這一特征的物理過(guò)程，就可理解為“彈性碰撞”過(guò)程，就可以類比彈性

碰撞的規(guī)律解題。

如圖所示，光滑水平地面上靜止放置由彈簧相連的木塊a和B,開始時(shí)彈簧處于原長(zhǎng)，現(xiàn)給a一個(gè)向

右的瞬時(shí)沖量，讓a開始以速度%向右運(yùn)動(dòng)，若瓶4>瓶8，則當(dāng)彈簧再次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，木塊a和B通過(guò)

彈簧相互作用，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒，A和B之間的相互作用可以視為彈性碰撞，彈簧再次恢復(fù)原

長(zhǎng)時(shí)，相當(dāng)于木塊a與木塊B之間的彈性碰撞結(jié)束，則此時(shí)a、B的速度分別為以=等黑也，vB=

，由于，所以此時(shí)力的速度向右，且a的速度小于B的速度。

--為

[TpwwwvwjT]

7777/77777777777777777777777777777'

處理碰撞問(wèn)題的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

(1)選取動(dòng)量守恒的系統(tǒng)：若有三個(gè)或更多個(gè)物體參與碰撞，要合理選取所研究的系統(tǒng)。

(2)弄清碰撞的類型：彈性碰撞、完全非彈性碰撞還是其他非彈性碰撞。

(3)弄清碰撞過(guò)程中存在的關(guān)系：能量轉(zhuǎn)化關(guān)系、幾何關(guān)系、速度關(guān)系等。

碰撞的可能性

【典例分析】

【典例】(2024江西吉安一中期末)如圖所示，內(nèi)壁光滑的圓弧軌道ABC固定在豎直面內(nèi)，與在光滑的水

平面相切于A點(diǎn)，。是圓心，OA、0B分別是豎直半徑和水平半徑，ZCOB=37°?甲、乙兩小球（均視為質(zhì)

點(diǎn)）靜置在A點(diǎn)的右側(cè)，乙的質(zhì)量為3m,現(xiàn)讓甲獲得一個(gè)水平向左的速度2v0,甲、乙發(fā)生彈性碰撞，碰

剛結(jié)束時(shí)甲、乙的速度正好等大反向，然后乙從A點(diǎn)進(jìn)入圓弧軌道向上運(yùn)動(dòng)，重力加速度大小為g,

sn37°=0.6,cos37°=0.8o

（1）求甲球的質(zhì)量；

（2）若乙球到達(dá)C點(diǎn)（即將離開軌道還未離開軌道）與圓弧軌道間的彈力剛好為0,則圓弧軌道的半徑為

多少？

（3）在第（2）問(wèn)中，當(dāng)乙球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，重力的瞬時(shí)功率為多少。

【解析】

（1）設(shè)甲球的質(zhì)量為M,碰撞剛結(jié)束時(shí)設(shè)甲、乙兩球的速度分別為“，V,由彈性碰撞規(guī)律可得

Mx2Vo=M（一v）+3mv

222

1M（2V0）=^Mv+^x3mv

綜合解得

M=m,v=%

（2）設(shè)圓弧軌道的半徑為R,把乙球在C點(diǎn)的重力分別沿著CO和垂直CO正交分解，則沿著CO方向的分

力為

Gy=3mgsin37°

若乙球到達(dá)C點(diǎn)（即將離開軌道還未離開軌道）與軌道間的彈力剛好為0,則Gy充當(dāng)向心力，則有

3mv2

Gc

R

乙球從A到C由機(jī)械能守恒定律可得

1x3^-lx2

3機(jī)g(R+Rsin37°)=3mv

22c

綜合解得

(3)乙從A到8由機(jī)械能守恒定律可得

3mgR=—x3mv2--x3mv^

乙在B點(diǎn)重力的瞬時(shí)功率為

P=-3mgvB

綜合可得

9V19

P=---

【針對(duì)性訓(xùn)練】

1.(2024年4月北京東城區(qū)模擬)如圖所示，質(zhì)量為河、傾角為。的光滑斜劈置于光滑水平地面上，質(zhì)量

為根的小球第①次和第②次分別以方向水平向右和水平向左、大小均為%的初速度與靜止的斜劈相碰，碰

撞中無(wú)機(jī)械能損失。重力加速度用g表示，下列說(shuō)法正確的是

第①次

O-*

A.這兩次碰撞過(guò)程小球和斜劈組成的系統(tǒng)動(dòng)量都守恒

B.第②次碰撞后斜劈的速度小于2"%SIMe

M

C.第②次碰撞過(guò)程中地面對(duì)斜劈的支持力等于［M+m)g

D.第①次碰撞前、后小球的速度方向一定在同一直線上；第②次碰撞前、后小球速度方向與斜面法線的夾

角一定相等

【答案】B

【解析】第①次碰撞過(guò)程小球和斜劈組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，而第②次碰撞過(guò)程小球和斜劈組成的系統(tǒng)在水

平方向動(dòng)量守恒，豎直方向動(dòng)量不守恒，A錯(cuò)誤；設(shè)第②次碰撞后斜劈的速度為V,小球的速度大小為vi，

與水平方向的夾角為a,且a>2。，小球與斜劈在水平方向動(dòng)量守恒，由%VO=A/V+TMVICOSa,由機(jī)械能守

恒定律，-mv^=~Mv2+-mv^,聯(lián)立解得：丫<型網(wǎng)二0,B正確。

222M

由于第②次碰撞后小球斜向上拋出，所以第②次碰撞過(guò)程中地面對(duì)斜劈的支持力大于（M+機(jī)）g,C錯(cuò)誤;

第①次碰撞前、后小球的速度方向一定在同一直線上；第②次碰撞前、后小球相對(duì)斜劈的速度方向與斜面

法線的夾角一定相等，相對(duì)地面的速度方向與斜面法線的夾角不相等，D錯(cuò)誤。

2.（2024山東濟(jì)南歷城二中質(zhì)檢）半徑為R的豎直放置的光滑半圓軌道如圖所示，質(zhì)量為3m的小球B靜

止在軌道最低點(diǎn)，質(zhì)量為加的小球A從軌道邊緣由靜止下滑，A、B間碰撞為彈性碰撞，則（）

A.A、B兩球總動(dòng)量一直不變

B.碰撞前A球重力的功率一直變大

C.A、B兩球此后的碰撞位置一定還在軌道最低點(diǎn)

D.每次碰撞前的瞬間，兩球?qū)壍缐毫σ欢ㄏ嗟?/p>

【參考答案】C

【名師解析】

A、B兩球碰撞時(shí)動(dòng)量守恒，故A錯(cuò)誤；

球A在下滑過(guò)程初始時(shí)刻速度為0,瞬時(shí)功率為0,最低點(diǎn)速度方向與重力方向垂直，所以瞬時(shí)功率為0,

所以碰撞前A球重力的功率先增大后減小，故B錯(cuò)誤；

假設(shè)碰撞前A球的速度為l,碰后A球的速度為％、B球的速度為馬，則

mv0=mvx+3mv2

12-I--2

—mv[+—?imv2

解得

_v0V—%

巧v一5,“萬(wàn)

所以會(huì)再次在最低點(diǎn)發(fā)生碰撞，且有

mvi+3mv2=mv[+3mv^

1211々21，211々fl

—mv.H—=—mv,H3mv0

21222122

解得第二次碰撞后的速度為

=-%、v/=0

此后如此循環(huán)，故C正確；

由于兩球質(zhì)量不同，每隔一定的周期，兩球碰撞前速度大小相等，根據(jù)牛頓第二定律

FN-mg=m^-

K

所以壓力會(huì)不相等，故D錯(cuò)誤。

3.（2024湖南名校期末聯(lián)考）（14分）質(zhì)量為m的鋼板B與直立輕彈簧的上端連接，彈簧下端固定在

地上.平衡時(shí)，彈簧的壓縮量為X。,如圖所示.一質(zhì)量為21n的物塊A從鋼板正上方距離為3x0處自由落下，打在

鋼板上。

（1）若兩物體發(fā)生的是彈性碰撞，則碰撞后A、B兩物體的速度vi、V2為多少？

（2）若兩物體發(fā)生的是完全非彈性碰撞，碰撞后一起向下運(yùn)動(dòng)，但不粘連.它們到達(dá)最低點(diǎn)后又向上運(yùn)動(dòng).且物

塊與鋼板回到O點(diǎn)時(shí)，還具有向上的速度.求物塊向上運(yùn)動(dòng)到達(dá)的最高點(diǎn)與O點(diǎn)的距離.已知彈性勢(shì)能Ep與形變x

的關(guān)系式為=—日2

P2

【名師解析】：（1）物塊與鋼板碰撞時(shí)的速度

70---------------2

A、B兩物體發(fā)生彈性碰撞有:

(2m)vo=(2m)vi+mv2----------------1

222

—(2m)v0=—(2m)v1+^-mv2---------1

得％----------------------1

（2）kxo=mg-----------------------------------1

平衡位置彈性勢(shì)能-------------1

設(shè)V3表示質(zhì)量為2m的物塊與鋼板碰撞后開始一起向下運(yùn)動(dòng)的速度，則有

2mvo=3mv3-2設(shè)回到彈簧原長(zhǎng)

位置兩物體的速度為V4,取平衡位置重力勢(shì)能為0,貝U：

11

E+22----------2

P2G加)丫3=3mgx0+-(3m)v4

當(dāng)質(zhì)量為2m的物塊與鋼板一起回到O點(diǎn)時(shí)，彈簧的彈力為零,物塊與鋼板只受到重力作用，加速度為g.

一過(guò)O點(diǎn)，鋼板受到彈簧向下的拉力作用，加速度大于g.由于物塊與鋼板不粘連，物塊不可能受到鋼板的拉力,

其加速度仍為g.故在O點(diǎn)物塊與鋼板分離,分離后，物塊以速度V4豎直上升，則由以上各式解得，物塊向上運(yùn)動(dòng)

所到最高點(diǎn)與O點(diǎn)的距離為

-------------2

4.（2024遼寧省葫蘆島期末）如圖所示，一半徑為R=0.8m的四分之一光滑圓弧軌道與光滑水平軌道cd

在d處平滑連接，且與足夠長(zhǎng)的粗糙水平軌道仍在同一豎直平面內(nèi)。在湖的最右端放置一個(gè)質(zhì)量M=4kg

的木板，其上表面與cd等高，木板與軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)〃1=01，質(zhì)量加Q=2kg的滑塊Q置于

軌道上且與c點(diǎn)距離為6m?，F(xiàn)在圓弧軌道的最高點(diǎn)處由靜止釋放一質(zhì)量加p=6kg的滑塊P,一段時(shí)間后滑

塊P與Q發(fā)生彈性正碰，碰撞時(shí)間極短。從P與Q碰撞結(jié)束開始計(jì)時(shí)，3s末Q從木板左端飛出（飛出后立

即被取走，對(duì)其他物體的運(yùn)動(dòng)不造成影響）。已知P、Q與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為〃2=02,滑塊P、Q

均可視為質(zhì)點(diǎn)，最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力相等，g取lorn*,求：

（1）碰撞后P、Q速度的大小和方向；

（2）木板的長(zhǎng)度￡；

（3）若P滑塊滑上木板的瞬間，地面變?yōu)楣饣?，?wèn)P滑塊能否從木板左端滑離木板？

若能，求P從木板左端滑離時(shí)的速度；若不能，求P滑塊相對(duì)木板靜止時(shí)P滑塊木板上的位置距木板右端

的距離A%1?

【參考答案】（1）2m/s,6m/s,方向均水平向左；（2）8m；（3）不能，0.4m

【名師解析】

（1）滑塊P釋放到與Q碰前,根據(jù)動(dòng)能定理有

c12

mpgR=—mpv?

P、Q發(fā)生彈性碰撞，則有

mpvp=mpv'p+mQvQ

=|WPVP2=+1WQVQ

解得

Vp=2m/s

vQ=6m/s

方向均水平向左

(2)滑塊Q碰后到c點(diǎn)用時(shí)。，則有

滑塊P碰后到C點(diǎn)用時(shí)，2,則有

乙=—=3s

耳

滑塊Q滑上木板勻減速運(yùn)動(dòng)，則有

-//2mQgZ3=mQVQ-mQvQ

-//2mQgxQ=|fflQvJ

根據(jù)題意有

t3=t—tx=2s

解得

VQ=2m/s

xQ=8m

由于

所以木板處于靜止?fàn)顟B(tài)則木板的長(zhǎng)度為

L=XQ=8m

(3)滑塊Q滑落木板后，滑塊P滑上木板，滑塊P做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，木板做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，令二者共

速用時(shí)務(wù),則有

〃2加pg=mpaP

以2加pg=m?aP

V共=Vp—Op，。=。2’0

解得

Qp=2m/s2

2

a2-3m/s

t?！?.4s

令P相對(duì)木板的相對(duì)位移為Ax,則有Ax="共—汕

22

解得

Ax=0.4m<L-8m

可知，P不能滑落木板，距木板右端的距離0.4m

5.（2024江蘇泰州3月調(diào)研）如圖所示，可視為質(zhì)點(diǎn)的兩個(gè)小物塊A、B并排放在粗糙水平面上，一根輕

繩一端固定于水平面上的。點(diǎn)，另一端系在小物塊A上。已知機(jī)人=1kg,MB=3kg,A、B與水平面間的動(dòng)

摩擦因數(shù)〃=0.2,輕繩長(zhǎng)/=0.314m,g取lOrn/s?,乃取3.14且12=1?！，F(xiàn)給A一個(gè)向左的初速度

v0=2V6m/s,使其繞。點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)一周時(shí)與B發(fā)生彈性碰撞。求：

（1）A剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)所受輕繩拉力的大小耳；

（2）A與B碰前瞬間的加速度大小a；

（3）A與B碰后B滑行的距離s。

2

【參考答案】（1）%=76.43N；⑵a=2V641m/s;（3）5=Im

【名師解析】（1）A剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)輕繩拉力提供向心力

FT=^AJ-

解得輕繩拉力的大小

FT=76.43N

（2）設(shè)A與B碰前瞬間的速度為v,根據(jù)動(dòng)能定理

2

一〃%g,2加=；mAv-1mAv?

解得

v=4m/s

此時(shí)繩子的拉力為

2

呼二如L

根據(jù)牛頓第二定律

2

^F^+(//fflAg)=mAa

解得

a=2j641mzs之

（3）根據(jù)動(dòng)量守恒

mv

mAv=加A4+B2

根據(jù)機(jī)械能守恒

1mV212,12

~A+-mBV2

解得

v2=2m/s

B的加速度

2

aB=jiig=2m/s

A與B碰后B滑行的距離

2

s==Im

2aB

6.（2024河北保定部分學(xué)校期末）如圖所示，固定在豎直平面內(nèi)的軌道由傾角。可調(diào)的傾斜軌道/8、足

夠長(zhǎng)的水平軌道2C和半徑為R=0.3m的豎直圓軌道構(gòu)成，P為圓軌道的最高點(diǎn)，段軌道粗糙，其余軌道

光滑，各段軌道均平滑連接，當(dāng)傾角9=30。時(shí)，質(zhì)量為加i=0.6kg的物塊。恰好能沿軌道勻速下滑。現(xiàn)將

傾角調(diào)為560。，讓物塊。從距水平面2C高度為〃=1.2m處?kù)o止滑下，過(guò)一段時(shí)間后與靜止在水平軌道2C

上的物塊6發(fā)生彈性碰撞，若物塊。、6均可視為質(zhì)點(diǎn)，物塊a始終不會(huì)脫離軌道，取重力加速度

g=10m/s2,求：

(1)物塊a與軌道N2間的動(dòng)摩擦因數(shù)；

(2)物塊a第一次經(jīng)過(guò)圓軌道最高點(diǎn)尸時(shí)對(duì)軌道的壓力大??；

(3)若物塊。只經(jīng)過(guò)一次P點(diǎn)且能與物塊6發(fā)生兩次碰撞，求物塊6的質(zhì)量