導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題【八大題型】解析版-2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習

導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題專練【八大題型】

?題型歸納

【題型1同構(gòu)：利用於)與苫構(gòu)造函數(shù)1.......................................................................................2

【題型2同構(gòu)：利用作)與6"構(gòu)造函數(shù)1......................................................................................5

【題型3同構(gòu)：利用/(x)與sinx,cosx構(gòu)造函數(shù)】.................................................7

【題型4指對同構(gòu)問題】.......................................................................9

【題型5利用同構(gòu)比較大小】..................................................................13

【題型6利用同構(gòu)解決不等式恒成立問題】.....................................................15

【題型7利用同構(gòu)證明不等式】................................................................19

【題型8與零點有關(guān)的同構(gòu)問題】.............................................................25

?命題規(guī)律

1、導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要考查內(nèi)容，而導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題是高考考查的一個熱點內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出

現(xiàn)，同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)也在解答題中出現(xiàn)，通過已知等式或不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造新函數(shù)，解決比較大小、

解不等式、恒成立等問題，難度較大.

?方法技巧總結(jié)

【知識點1導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題的解題策略】

1.導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題是通過已知等式或不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造新函數(shù)，解決比較大小、解不等式、

恒成立等問題，主要有以下幾種類型：

(1)利用作)與乂構(gòu)造函數(shù)

①出現(xiàn)噴x)+VG)形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)=x%>

②出現(xiàn)^(x)-研X)形式，構(gòu)造函數(shù)尸(x)=.

(2)利用作)與d構(gòu)造函數(shù).

(3)利用/(x)與sinx,cosx構(gòu)造函數(shù).

2.同構(gòu)式的應(yīng)用

⑴在方程中的應(yīng)用：如果方程八。)=0和必尸0呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則。力可視為方程兀r)=0的兩個根.

(2)在不等式中的應(yīng)用：如果不等式的兩側(cè)呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造為一個函數(shù)，進而

利用導(dǎo)數(shù)找到和函數(shù)單調(diào)性、最值等之間的練習，來解決比較大小、解不等式、恒成立等問題.

【知識點2指對同構(gòu)問題】

1.指對同構(gòu)解決不等式問題

在解決指對混合不等式時，如恒成立求參數(shù)取值范圍或證明不等式，有一部分題是命題者利用函數(shù)單

調(diào)性構(gòu)造出來的，如果我們能找到這個函數(shù)模型(即不等式兩邊對應(yīng)的同一函數(shù))，無疑大大加快解決問題的

速度.找到這個函數(shù)模型的方法，我們稱為同構(gòu)法.

(1)五個常見變形：

xe，=ex+lnx,y==e111*-*,x+Inx=ln(xe*),x—Inx=In?.

(2)三種基本模式:

三種同構(gòu)方式

二種同構(gòu)方式,

①積型:aea^blnb

同左：aeaW(lnb)elnb……f{x)=xex,

<同右：exlnea^blnb.../(x)=x\nx,

I取對：a+Ina&Inb+In(In/?).../(x)=x+Inx.

/->?卸e。7b三種同構(gòu)方式

②商型："《前---------》

’0ax

同左：幺《片……/?=—,

aIn6八x

<同右：益&七……〃幻=1^'

取對：a—InaW\nb—In(Inb)...f(x)=x—Inx.

兩種同構(gòu)方式

③和差型：ea±a^b±\nb-------------->

(同左：ea±a>eXnb±\nb……/(x)=e%±x,

I同右：ex±Ine">Z)±In6.../(x)=x±Inx.

?舉一反三

【題型1同構(gòu)：利用於)與*構(gòu)造函數(shù)】

【例1】(2024?全國?模擬預(yù)測)已知"%)是定義在R上的偶函數(shù)，且/(2)=0,當X>0時，xf

(%)-/(%)>0,則不等式%/(%)>0的解集是()

A.(—8,—2)U(2)+8)B.(—2,2)

C.(—8,—2)U(0,2)D.(—2,0)U(2,+8)

【解題思路】構(gòu)造函數(shù)，令9(久)=號，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性求出不等式的解集即可

【解答過程】解：由題意，令g(x)=號，

???x>0時，g'(x)=>o

???g(x)在(0,+8)遞增,

1',/(-=/(%)，

???5(-x)=一9(%),

g(x)在(一8,0)遞增，

??.g(x)是奇函數(shù)，g(2)=等=0,

?e.0<%<2時，g(x)<0,%>2時，g(%)>0,

根據(jù)函數(shù)的奇偶性，一2cxV0時，g(%)>0,%V—2時，g(%)V0,

x/(x)>0,即％2g(%)>0,即g(%)>0,

?,?—2<%<?；驘o>2,

故選：D.

【變式1-1](2024?安徽?一模)已知/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且/(2)=1,當x>0時，xf(x)+f

(x)>1,則不等式△歲<0的解集為()

A.(-00,2)U(2,+oo)B.(-oo,2)U(0,2)

C.(-2,0)U(2,+oo)D.(-2,0)U(0,2)

【解題思路】設(shè)F(x)=(x)—l]由奇偶性的定義可判斷該函數(shù)的奇偶性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可求出函數(shù)的單調(diào)

性，從而可求出不等式的解集.

【解答過程】解：設(shè)F(x)=肛〃》—1],則k(x)=「(x)x+/(x)—1>0,

即F(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，因為/'(尤)在R上為偶函數(shù)，即f(一x)=f(x)，

則/(_2)T=f(2)T=0,F(-2)=F(2)=0,由F(—x)=一打/(—x)_1]=-F(x),

得F(x)在R上為奇函數(shù)，所以F(x)在R上單調(diào)遞增，與」<。等價于｛尸高￡,

當%>0時，F(xiàn)Q)=x[/(x)-1]<0=F(2),則0<x<2；

當x<0時，F(xiàn)(x)=x[f(x)-1]<0=F(-2),則x<—2；

綜上所述，區(qū)受<0的解集為(—8,—2)U(0,2),

故選:B.

【變式1-2](23-24高二下?天津南開?期中)已知f(x)是定義在(一8,0)0(0,+8)上的奇函數(shù)，若對于任意

12

的xe(0,+8),都有2/0)+刀/(乂)>o成立，且「(2)=5，則不等式/(X)—哀>0解集為()

A.(2,+oo)B.(-2,0)U(0,2)

C.(0,2)D.(-2,0)U(2,+oo)

【解題思路】令9(%)=%2/(x),首先判斷g(x)的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)函數(shù)的

單調(diào)性解函數(shù)不等式.

【解答過程】令g(X)=x2/(x)1%e(-oo,o)u(0,+oo),

因為f(x)是定義在(一8,0)u(0,+8)上的奇函數(shù)，即/(f)=-/(%),

?1?g(-%)=(-X)2/(-X)=-X2f(x)=-g(x),二g(x)=%2/■(%)是奇函數(shù)：

又當x>。時，g(x)=2xf(x)+x2f'(x)=%[2/(%)+%/;(%)]>0,

gQ)在(0,+8)上單調(diào)遞增，g(x)在(一8,0)上單調(diào)遞增；

-1

又f(2)=5，???9⑵=22/⑵=2,

2

對于不等式/(%)—巨>0，又％€(—8,0)u(0,+8),所以%2W(0,+8),

所以不等式《)一套〉0等價于爐/⑺-2>0,即//㈤>2,即g(x)>g(2),

所以x>2,即不等式/(%)—m>0解集為(2,+8).

故選：A.

【變式1-31⑵-24高二下?湖北武漢?期中)/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，有x廣(%)+2/(尤)>0

恒成立，貝U()

A./(I)>4/(2)B./(-1)<4/(-2)

C.4/(2)<9/(3)D.4/(-2)<9/(-3)

【解題思路】令g(x)=x2/(x).求導(dǎo)，根據(jù)xr(x)+2/(x)>0,得到9(久)=/f(x)在(0,+8)上遞增，再根

據(jù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，得到9(%)在(-8,0)上的單調(diào)遞增求解.

【解答過程】解：令g。)=x2f(x),

則0(%)=x[xf@)+2f(x)],

因為無廣(x)+2/0)>0,

所以g'(x)>o,

則9。)=在(0,+8)上遞增,

又y=/是偶函數(shù)，且/'(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以g(x)=K2y(X)是定義在R上的奇函數(shù)，

則g(x)在(—8,0)上單調(diào)遞增，

所以g(2)>g(i)，即4/(2)>/(1),故A錯誤；

g(—l)>g(—2),即/(—1)>4/(—2),故B錯誤；

9(3)>g(2),即9/(3)>4/(2),故C正確；

9(—2)>g(—3),即4/(一2)>9/(-3),故錯誤,

故選：C.

【題型2同構(gòu)：利用"r)與片構(gòu)造函數(shù)】

【例2】(2024?湖北武漢?一模)若函數(shù)fQ)的定義域為R,滿足f(0)=2,VxGT?,都有/Q)+尸(%)>1,

則關(guān)于久的不等式/(K)>+1的解集為()

A.{x\x>0}B.{x\x>e}C.{x\x<0}D.{x|0<x<e}

【解題思路】依題意可得修/。)>^+1,構(gòu)造函數(shù)尸(x)=e?(W—e，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合

單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，即可得解.

x

【解答過程】不等式/(X)>ef+loeV(x)>e+l,

依題意令F(x)=exf(x)-ex,

"f(%)+f'(x}>1,f(x)+f'(x)—1>0,

F(x)=ez/(x)+ez/"(x)—ex=ex[/(x)+f'(x]—1]>0,

???函數(shù)F(x)在R上是增函數(shù)，又/(0)=/(0)-1=1,

二不等式9/(%)>M+1,即ex/(x)—ex>1,即F(x)>F(O),由函數(shù)單調(diào)性可知x>0,

所以不等式/(x)>e-x+1的解集為{x|x>0].

故選：A.

【變式2-1](2024?全國?模擬預(yù)測)已知f(久)是可導(dǎo)的函數(shù)，且((幻<f(x)對于xeR恒成立，則下列不等

式關(guān)系正確的是()

A./(I)>e/(0),/(2023)<e2023/(0)B./(I)<e/(0),/(I)>e2/(-1)

C./(I)<e/(0),/(I)<e2/(-1)D./(I)<e/(0),/(2023)>e2023/(0)

【解題思路】構(gòu)造。(%)=等，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，從而比較出大小關(guān)系，得到正確答案.

【解答過程】A選項，設(shè)9(%)=祟，則g'(x)=尸⑸?。)，

，

■■f'(x)<f(x),.?.(g(x)<0,即g(x)在R上單調(diào)遞減，

???g⑴<g(0),即?<甥，即/(I)<e/(O),故選項A不正確;

D選項，g(2023)<g(0),即/轡<嚕2,BP/(2023)<e2023/(0),故選項D不正確；

B選項，9(1)<9(—1),即號<等，即/(l)<e2/(-1),故選B不正確.

綜上：C選項正確.

故選：C.

【變式2-2](23-24高二下?江蘇南京?期中)已知函數(shù)fCc)及其導(dǎo)函數(shù)r(x)定義域均為R,且f(X)—尸(口

>0,f(0)=e,則關(guān)于x的不等式f(x)>e，+i的解集為()

A.{x\x>0}B.{x\x<0}C.{x\x<e}D.{x\x>e]

【解題思路】設(shè)g(x)=等，求導(dǎo)確定函數(shù)g(x)的單調(diào)性，再由已知得g(0)=e,則不等式可轉(zhuǎn)化為g(x)>g

(0),即可得解集.

【解答過程】設(shè)9(%)=券，則g'(x)=⑸<0,所以g(x)在R上單調(diào)遞減，

又9(0)=等=e，原不等式/'(%)>e%+i可化為e*g(x)>ex+1,即g(x)>e=g(0),

所以x<0,即不等式/(x)>e*+i的解集為{x|x<0}.

故選：B.

【變式2-3](23-24高二下?河南駐馬店?期末)已知定義在R上的偶函數(shù)/(X)滿足：

)+/(-%-1)=0,e4/(2022)=l,若/(久)>f'(—x),則關(guān)于x的不等式/(%+2)>2的解集為()

A.(4,+oo)B.(-co,4)C.(-co,3)D.(3,+00)

【解題思路】根據(jù)定義在R上的偶函數(shù)/■(>)滿足/'(x-l)+/(-%-1)=0可得/■(%)的周期，構(gòu)造函數(shù)g(x)

=e7(x),再將/(X+2)>《轉(zhuǎn)化為關(guān)于9(%)的不等式，根據(jù)/(x)>r(-x)得到g(W的單調(diào)性再求解即可

【解答過程】因為定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足/(x—g)+/(—x—1)=0,

故，(%-》+/(“+D=3

故/(%+1-1)+/(%+2+1)=°，BP/(x+1)+/(%+|)=0,

所以f(x—9=f(x+|),即f(x)的周期為3.

又e4f(2022)=1,故e6f(3x672+6)=e?,即e6f⑹=e2.

因為f(x)>f(-x)=-/'(%),即f(x)+f(x)>0,

故構(gòu)造函數(shù)g(x)=則g，(x)=eX|/(x)+r(x)]>0,且g(6)=e6/(6)=e?.

綜上有g(shù)(x)=eXf(x)在R上單調(diào)遞增,且g(6)=e2.

又f(x+2)>上即寫等>白，g(x+2)〉e2=g(6),所以x+2>6,解得久>4

故選：A.

【題型3同構(gòu)：不！J用Hx)與sinx,cosx構(gòu)造函數(shù)】

【例3】(2023?重慶九龍坡?二模)已知偶函數(shù)/(*)的定義域為(冶3)，其導(dǎo)函數(shù)為尸Q),當時,

有r(x)cos久+fQ)sinx>0成立，則關(guān)于x的不等式/'(x)>2f仁)?cosx的解集為()

【解題思路】構(gòu)造函數(shù)9(%)=黑。<%<p利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的偶函數(shù)性質(zhì)解抽象不等式.

【解答過程】構(gòu)造函數(shù)gQ)=段,0<x<p

,、_r(%)cosK-f(X)(cosEr_尸QQcosK+/O)sin%n

9')cos2%COS2X'

所以函數(shù)9(久)=震在陪)單調(diào)遞增，

因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以函數(shù)。(%)=震也為偶函數(shù)，

且函數(shù)9(久)=照在[。4)單調(diào)遞增，所以函數(shù)g(x)=震在(冶,0)單調(diào)遞減，

因為無€(—,。所以cosx>0,

關(guān)于X的不等式/(X)>2/(升COSX可變?yōu)檎?gt;烏，也即g(x)>渥)，

所以g(l%l)>g(?則[解得]vx<1或_]<x<-p

故選:C.

【變式3-1](2023?全國?模擬預(yù)測)已知定義在(—,3上的函數(shù)/(%)滿足/(—%)=/(%)，當％c(o,y時,

不等式/(%)sin%+，Q)cos%V0恒成立(((%)為/(%)的導(dǎo)函數(shù))，若acosl=/(—1),bcos|=/(—InVe),

0=2?則()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【解題思路】構(gòu)造函數(shù)G(x)=祟，分析函數(shù)G(x)的奇偶性及其在(0弓)上的單調(diào)性，可得出a=G(l),

b=G&),c=G(g,結(jié)合函數(shù)G(x)在(0,()上的單調(diào)性可得出a、b、c的大小關(guān)系.

【解答過程】由題意得函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)G(K)=瞿，

所以(/(%))'=/QQcosx+fQQsin%

I)Vcos%/COS2X

易知當工?0,勺時，G口)V0,所以函數(shù)GQ)在(0q)上單調(diào)遞減.

因為acosl=/(_1)=/(I),則a=W=G(l),

由bcos,=/(—InVe)=~=/(?，則b==G?,

且c=2f?=%=G?

因為函數(shù)6(切在(01)上單調(diào)遞減，且0<：<1<X?

所以G@)>G(l)>G(p,即b>a>c,

故選：C.

【變式3-2](23-24高二上?重慶沙坪壩?期末)已知r(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，/(%)-/(-%)=0,且對于

任意的久€(0,勺有尸(x)cosx>/(-x)sin(—比).則下列不等式一定成立的是()

A,中(-3</(7)叫

B.O制4

C.f(-1)<V2/Qcosl

D-算⑵”(Y)

【解題思路】設(shè)9。)=托，%e(0,5,根據(jù)已知條件，利用導(dǎo)數(shù)得到g(x)為增函數(shù)，由g(3<g瑜可推出

COSX乙乙。

A正確；由g《)<9(》可推出B不正確；由g(3<g(l)可推出C不正確；由g(》〈g(5可推出D不正確.

【解答過程】因為對于任意的xe(0弓)有r(%)cos久>f(—%)sin(-x).又/'(%)—/(—久)=0,—sinx=sin

(—x),

所以尸(%)cos%+/(x)sinx>0,

設(shè)g(%)=震，*e(o,》,則g3_/,(x)cosx—/(x)(—sinx)_r(X)cosc+f(F)sirEr

COS2%cos2%

因為當qW(03時,//(x)cosx+/(x)sinx>0,所以>0,

所以g(%)在(0")上為增函數(shù)，

因為所以例)<遍)，所以名<緊，所以毋。(偌(c尾，所以受(_?</(_拉(4故A

26

正確；

因為標也所以9管)<*)，所以熊<名，所以出◎(守玲，所以何(Y)〈何(一》故B不

64

正確；

因為:<1，所以9()<9(1)，所以熊〈得，所以coslf6)<,(l),所以魚cosl/(》</(—1),故C

4

不正確；

因為H，所以*)<熙)，所以,(墨，所以》(》<,(今，所以身(》</(—)故D不正確；

故選：A.

【變式3-3](2024?河南信陽?一模)已知函數(shù)y=/(%)對％€(0,兀)均滿足r(%)sin%-/(%)cos%=5—1,其

中廣(%)是/(%)的導(dǎo)數(shù)，則下列不等式恒成立的是()

卜,何?！错艬./?<?/?

C府)〈信)D.爭⑵</停)

【解題思路】根據(jù)給定的等式，構(gòu)造函數(shù)并探討其單調(diào)性，再逐項計算判斷作答.

【解答過程】xe(o,兀)，令g(x)=祟，求導(dǎo)得：。口)=3稱爹迎”呆，

當％W(0,1)時夕(%)>0,當久W(1,71)時夕(%)V0,因此函數(shù)9(%)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,兀)上單調(diào)遞減,

對于A,0<J<^<1,貝即何(3</g),A正確；

對于B,1<瀉<兀,則g(D，即府)>毋(。B錯誤；

對于C,14<曰<兀，則g(?>g(5),即慮)>f停)，C錯誤;

對于D,1<5<夸<兀，則雁)>g停)，即李府)>/?(勃D錯誤.

故選：A.

【題型4指對同構(gòu)問題】

【例4】(2024?陜西安康?模擬預(yù)測)若存在x6(0,+oo),使得不等式a?/+%2e。/+而久成立，則實數(shù)a

的取值范圍為()

A-L+8)B.匕,+8)C.D.(一8,』

【解題思路】將原不等式變形為不%2)2—eax2>(In第下—elnx,令f(%)=%2—ex,則/(a/)>/(In%),然后

利用導(dǎo)數(shù)判斷出f(%)在R上遞減，所以將問題轉(zhuǎn)化為a/<In%在久E(0,+8)上有解，即a<詈在％G(0,+oo)

上有解，再構(gòu)造函數(shù)九(%)=野。>0),利用導(dǎo)數(shù)求出其小大值即可.

【解答過程】由+%之e。*+[/%,得(a%2)2—e"2n

22lnx

所以(a%2)2—eax>(inx)—e,

令f(%)=x2—ex,則(a/)2—eax2>(In%)2—e111%可化為f(a%2)>/([口%),

f'(x)=2x—ex,令=尸(%)=2%—ex,則

g'(X)=2—ex,令g'(%)=2—ex=0,得%=ln2,

當％Vln2時,>0,當％>ln2時,g'(%)V0,

所以/'(%)在(一8,ln2)上遞增，在(ln2,+8)上遞減，

所以廣。)<f(ln2)=21n2—2<0,

所以/(%)在R上遞減,

所以a/<]n%在久e(0,+8)上有解，

所以Q<臀在％E(。，+8)上有解，

令h(x)=—(x>0),貝怩⑺=—>0),

由"(x)>0,得1—21nx>0,得0<x<正，

由//(%)<0,得1—21nx<0,得x>正，

所以八(久)在(0,4司上遞增，在(、6+8)上遞減，

所以八(x)max==(，

所以a<,，

故選：D.

【變式4-1](2024?廣東深圳?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=此％+1偌-2,若恒成立，則正實數(shù)a

的取值范圍是()

A.0<a<eB.a>e2C.a>eD.a>2e

【解題思路】不等式整理為個+Ina)+e%+】na+>ln(x+2)4-*(計2),構(gòu)造函數(shù)g(%)=%+ex,利用單調(diào)性

得到Ina>ln(%+2)—%,再構(gòu)造k(%)=ln(%+2)—%,進而得到Ina>k(%)max=再從而Q>e.

【解答過程】/(x)=aex2>0,ex+lna+Ina>ln(x+2)+2,且a>0,

兩邊加上%得,ex+lna+(%+Ina)>ln(x+2)+(%+2)=ln(x+2)+eln<x+2),

設(shè)gQ)=汽+e"則=1+ex>0,所以g(%)單調(diào)遞增，

???x+Ina>In(%+2),即Ina>ln(x+2)—x,

[1

令k(x)=ln(x+2)-x,則A(x)=7^-1=-/,

?."(%)的定義域是(-2,+oo),

.?.當xe(―2,—1)時，k'{x)>0,k(x)單調(diào)遞增，當xe(—1,+8)時，k'(x)<0,kQ)單調(diào)遞減，

.,.當％=-1時，k(x)取得極大值即為最大值，k(x)max=fc(—1)=1,

???Ina>fc(%)max=1，???a〉e.

故選：C.

【變式4-2](2024?江西贛州?二模)已知函數(shù)/(%)=e"+1,g(%)=(1若之g(%),則左的

取值范圍為()

A.(0,e]B.[e,+8)C.卜+8)D.(0,1]

kx

【解題思路】根據(jù)己知條件，有Ine^x-(e+1)>(1+%)lnx(%>0),構(gòu)造函數(shù)h(x)=(1+x)lnx

(x>0),將問題轉(zhuǎn)化為為世機》)？〃")Q>0),對函數(shù)求導(dǎo)，通過函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值從而求解.

【解答過程】因為/'(%)=ekx+1,所以kf(x)=fc(ekx+1),

由kf(x)>g")得k(e-+1)>(H-I)lnx(x>0),

gp/cx(ete+1)>(1+x)lnx(x>0),

即Ine^?e+i)>(i+x)lnx(x>0),

構(gòu)造函數(shù)h(%)=(1+x)lnx(x>0),

Ine丘?(efcx+1)>(1+x)lnx(%>0)可化為/i(e以)>h(x)(%>0),

因為"(X)=In%+[+l(%>0),令t(%)=In%+[+l(%>0),

11V_1

則=或一彰=丁(%>0),令?%)=0,解得x=L

所以xe(o,i)時，火乃<0,t(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,

所以X6(1,+8)時，t,(x)>0,t(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以X=1時，t(x)取得最小值，spt(x)min=t(l)=2>0,

所以t(x)>。在xe(0,+8)上恒成立，即〃(無)>。在x6(0,+8)上恒成立，

所以八(久)在xG(0,+8)上單調(diào)遞增，

因為無心丘)2Mx)(x>0),

所以e&x>x(X>0),kx>Inx(%>0),fc>(%>0),

令m(x)=￥(x>0),則加(x)=(x>0).

令m'(x)=0,即1—lnx=0,解得x=e,

所以4e(0,e)時,m'(x)>0,m(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,

%e(e,+8)時，?n"(x)<0,m(x)在(0,e)上單調(diào)遞減,

所以x=e時，zn(x)取得最大值，即6(x)max=^(e)=：,

所以所以kN：.

故選：C.

【變式4-31(2024?甘肅蘭州?二模)若關(guān)于x的不等式e，+%+21*>mx2+Ina恒成立，則實數(shù)m的最大

值為()

A.1B.yC.fD.e2

【解題思路】對所給不等式適當變形，利用同構(gòu)思想得出InmWx—21mc對于任意x>0恒成立，進一步構(gòu)

造函數(shù)9(x)利用導(dǎo)數(shù)分析最值即可求出結(jié)果.

【解答過程】由題意可得%>0,m>0,

ex+x+21n1>mx2+Imn恒成立等價于e*4-x>mx2+Inm-21n：=ein(m')+]n(m/)恒成立，

令/'(%)=ex+x,x>0,

則尸(%)=ex+l>0恒成立，

所以f(x)在定義域內(nèi)嚴格單調(diào)遞增，

所以若有/(%)>/(皿加/))成立，則必有%>ln(mx2)=Inm+21nx恒成立，

即Inzn<%—21n%對于任意%>0恒成立，

令g(%)=X—2\nx,x>0,

則g'O)=i--=—

令9'(久)=0=>x=2,

所以當0<x<2時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；當x>2時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

所以g(x)min=g(2)=2—21n2=Inp

從而Inm<1卡，所以?n的取值范圍為nt<9，即實數(shù)m的最大值為9，

故選：B.

【題型5利用同構(gòu)比較大小】

【例5】(2024?湖南益陽?三模)若a=21n(l,b=0.21,c=tan0.21,則()

A.b<c<aB.a<c<bC.c<a<bD.a<b<c

【解題思路】首先通過構(gòu)造函數(shù)得到當。V%<]時，tanx>%,再通過構(gòu)造函數(shù)/O)=x-ln(l+%),0<%<

5進一步得到x>ln(l+x),%e[o，I，可比較大小.

【解答過程】根據(jù)題意，a=21nl,l=lnl.12=ln(l+0.21),

設(shè)九(%)=tanx—x,0<x<^,

=c°s-：sinx)sinx_]=3_1><尤<三

kJcos2%cos2x2

所以h(%)=tan%—%在(05)上單調(diào)遞增，

所以九(汽)=tanx—x>g(0)=0,即tan%>x,0<%<p

令/(%)=x-ln(l+%),0<x<^,則/(久)=1一書=充>。，

所以/(%)=%—ln(l+%)在(0弓)上單調(diào)遞增，

從而/(')=%—ln(l+%)>f(0)=0,即％+

所以tan%>%>ln(l+%),%￡(05)，

從而當％=0.21時，c=tan0,21>0,21>a=lnl.21.

故選：D.

【變式5-1](2024?陜西安康?模擬預(yù)測)若0V%iV%2<1，則()

X2X1X1

A.e+ln%i>e+lnx2B.e久2+In%!<e+lnx2

X1X2X12

C.x2e>x^eD.x2e<x^

【解題思路】根據(jù)選項構(gòu)造兩個函數(shù)f(x)=e=Inx,g⑺=三,再利用導(dǎo)數(shù)思想，來研究在(0,1)上是否是

單調(diào)函數(shù)，即可作出選項判斷.

111

【解答過程】令/(%)=ex-Inx,則((%)=ex-令九(%)=ex-則"(%)=ex+—>。恒成立，

即—(%)=心一：在定義域(0,+8)上單調(diào)遞增，且尸0=ee-e<0/(1)=e-1>0,

因此在區(qū)間G，l)上必然存在唯一久0,使得「(尤0)=0,

所以當xe(o,a)時f(x)單調(diào)遞減，當xe(xo，l)時了(%)單調(diào)遞增，故a,B均錯誤；

令9(%)=亍，g'(x)=e『)，當0<%<1時,g'(x)<0,

???9(久)在區(qū)間(0,1)上為減函數(shù)，

QX1QX2_

0<%!<X2<1/**?—>—，即%2《1>%1口2,/.選項C正確，D不正確.

故選：C.

【變式5-2](2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測)設(shè)a=lnl.01,b=sinO.Ol,c=+，則a,b,c大小關(guān)系

()

A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.a<c<b

x

【解題思路】通過證明ln(l+%)>芾％G(0,1)確定見C的大小關(guān)系；通過證明sin%>ln(l+%)確定a力的大

小關(guān)系.

【解答過程】令/(%)=ln(l+%)—捻,%E(。,1)，

??,/'(%)=吉一君^=言^>°，所以/(%)在(0,1)上單調(diào)遞增，

所以/(%)>/(0)=0,即ln(l+%)>W，xG(0,1),

.-.ln(l+0.01)=所以a>a

令9(%)=sin%-ln(l+%),%G(0,1),

g'(.x)=cosx-4-/i(x)=g'(x)=cos%--,xe(0,1),

12

h'(x)=-sinx+^^j,令丫=〃(%),則y'=-cosx—^^<0,

所以“(%)在％E(0,1)上單調(diào)遞減，/ir(0)=1>0,"(1)=—sinl+[V—sin]+[=—[V0,

所以存在唯一孫W(0,1),使得“(配)=0,即當％^(。，配)時，h'(x)>0,當％￡(%o,l)時，”(%)<0,

即九(%)在(0,久o)上單調(diào)遞增，在(%o，l)上單調(diào)遞減，所以僅%)的最小值為h(0),h(l)中一個，而h(0)=0,

/i(l)=cosl—|>cos^—1=0,所以h(%)>h(0)=0,即)(%)>0,

所以g(%)在(0,1)上單調(diào)遞增，所以g(%)>g(0)=0,

即sin%>ln(l+%),xe(0,1),

所以sinO.Ol>lnl.01,即b>a.

所以力>a>c.

故選：B.

Xix2X3-1

【變式5-3](2024?安徽?三模)已知實數(shù)萬1，乂2/3滿足二五=e^—l=不高7=而，則()

A.%1V%2<%3B.%1V%3Vx2

x

C.X2<x3<X1D.%2<%1V3

【解題思路】求出乂1,%2,%3，構(gòu)造函數(shù)/'(x)=%2—1-21nx,利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，比較出％3>%2，構(gòu)造函

數(shù)g(x)=Inx—(1—9，比較出％2>%1，即可求解.

【解答過程】依題意=G2=Jl+%3=1Q5,則久I=2(1—=21nl.05,X3=1.052—L

令/(x)=%2—1—21nx,故,(X)=2(x-?(x+i)

故當X>1時，ro)>0/00在(I,+8)上單調(diào)遞增，

故/'(1.05)>0,則%3>%2.令g(x)=lnx_(!._：),

則g'(?=詈，故當%>1時，>。應(yīng)(久)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

則9(1.05)>。則#2>為.

綜上所述：右>尤2>久「

故選：A.

【題型6利用同構(gòu)解決不等式恒成立問題】

【例6】(2024?內(nèi)蒙古?三模)已知函數(shù)/'(%)=必—a%+21nx.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若a>0/(%)<e。'恒成立，求a的取值范圍.

［解題思路］(1)求導(dǎo)得r(X)=2，?+2,分類討論可求單調(diào)區(qū)間；

(2)由已知可得*久2+in%2<eax+ax,令g(%)=ex+x,可得g(ln/)<g(ax),進而由g(%)單調(diào)性可得

等wf,求得函數(shù)等的最大值即可.

【解答過程】(1)/(%)的定義域為(0,+8)/(x)=2x—a+1=2’丁2,

關(guān)于％的方程2/—ax+2=0,A=a2—16,

當一4<aW4時，A<0,((%)20,所以/"(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

當a<-4時，A>0,此時產(chǎn)1+"2二5:。=打<0,%2<0,

f,(x}>0,所以f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

當a>4時，則xi=仁岑三02=小嚴是方程2——ax+2=0的兩根.

又K1%2=1，%1+工2=￡>0,所以0VV%2，

令尸Q)>0,解得x<心竽道或X>史亨邁，

令廣(久)<0,解得a7：T6<x<a+V：-也,

所以f(x)在(0,佇喑目和(電浮邁,+8)上單調(diào)遞增，在(巴亨道，生乎逅)上單調(diào)遞減.

(2)由/(X)<eax,可得/+21nx<eax+ax,即eL+In%2<eax+ax.

令g(x)=ex+x,易知g(x)單調(diào)遞增.

由ein/+)nx2<eax+的可得gQn/)<g(ax),則In/<ax,即號<

設(shè)h(x)=?，則％'(x)=當x>e時，h'(x)<0,/i(x)單調(diào)遞減，

當0<X<e時，"(X)>0,無(X)單調(diào)遞增，所以八(X)max=詈=3

所以羥3則a的取值范圍為［|,+8).

【變式6-1］(2024?廣西貴港?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=aeax_mx+:a+i.

(l)當a=1時，請判斷f(x)的極值點的個數(shù)并說明理由；

(2)若/(%)>2a2-a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【解題思路】(1)先求f'(x),得(0)=胃警，再設(shè)八(%)=+In久，通過對〃(久)符號的分析，得到

r(x)的單調(diào)性，再判斷r(x)=0的解的情況，分析函數(shù)了(久)的極值點的情況.

(2)先把原不等式化成axe0^—[In(ox)+1]+CZK22a2%恒成立,利用換元法，設(shè)t=a久，則16(0,+8),

問題轉(zhuǎn)化為2aWet—手+1恒成立.再設(shè)g(w=ex—早，利用(1)的結(jié)論求g(x)的最小值.

x

【解答過程】(1)當a=l時，/(X)=e-?,xe(0,+8),

所以尸(乃=^+矍=號”，

1

令h(%)=x2ex+Inx,則"(%)=(x2+2x)ex+

當%e(0,+8)時，/i,(x)>0,???h(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又???帕)=1_也2V0,又1)=e,.??九⑺存在唯一零點%°,且久oE&l),

當％E(0,%0)時，-(%)<0,/(%)在(0,%0)上單調(diào)遞減，

當％e(%o,+8)時，1(%)>0,/(汽)在(%(),+8)單調(diào)遞增.

???/(%)有一個極小值點久o，無極大值點.

(2),?"(％)=aeax—ln%+^a+1>2a2—Q恒成立，

axeax—[In(ax)+1]>2a2x—a%恒成立，axeax—[In(ax)+1]+ax>2a2%恒成立.

令t=a、，貝(JtE(O,+8),???2a4e「一電4+1恒成立.

設(shè)g(%)=e%.......—,由(1)可知g(%)的最小值為g(%o).

x-lnx

又八(久0)=%oe°+lnx0=0，???%oe&=—=—^lnx0=—e°ln%o.(*)

設(shè)m(%)=%e%，當%>0時，mf(x)=(%+l)ex>0,???m(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

???x0e弓,1),/.x0>0,-lnx0>0,

由(*)知7n(%o)=ni(—In%。)，???x=—lnx，BPex°=7-.

00x0

/、1+ln久。11-Xo

???g(%o)=eXn-.............=———=41,

八u，%ox0x0

2a<1+1=2,a<1,又a>0,

：,a的取值范圍為(0,1].

【變式6-2](2024?天津武清?模擬預(yù)測)已知/(%)=a*—(久之0,。>0且。。1).

(1)當a=2時，求/(%)在％=0處的切線方程；

(2)當a=e時，求證：/(%)在(e,+8)上單調(diào)遞增；

(3)設(shè)a>e,已知V%E停Ina,+8),有不等式/(%)20恒成立，求實數(shù)Q的取值范圍.

【解題思路】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線斜率，由點斜式求切線方程；

(2)PX)在(e,+8)上單調(diào)遞增，即廣(X)20在(e,+8)上恒成立，通過構(gòu)造函數(shù)求最值的方法證明.

(3)不等式f(x)20恒成立，即野W野，通過構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性求最值的方法，求不等式恒成立時實數(shù)

。的取值范圍.

【解答過程】(1)當a=2時，/(%)=2X—x2,/'(x)=2xln2—2x(%>0),

所以k=f(0)=ln2,/(0)=20-02=1,

所以切線方程為y-1=ln2(x-0),即y=ln2-x+1.

(2)當a=e時，/(%)=ex—xe,

則,(X)=e*—exe-1=e(ex-1—xe-1),

要證明/(%)在(e,+8)上單調(diào)遞增，

只需證明/'(%)>。在(e,+8)上恒成立，

則只需證eAi>嚴-1,即只需證％—1>(e—l)lnx.

設(shè)gQ)=X-1—(e-l)lnx(x>e),則只需證g(%)>0

因為g'(%)=1~~T~>1—~T~=：>°，所以g(%)在(e,+8)單調(diào)遞增，

所以%e(e,+8)時g(%)>g(e)=0,即％e(e,+8)時，>0成立,

所以r(%)>0，所以/(%)在(e,+8)上單調(diào)遞增.

(3)/(%)之0,即談二巴兩邊取對數(shù)得：x\na>alnx,艮哼.

設(shè)九㈤=號"(%)=1-%令"(久)=0,得％=e,

當工Ae時，"(%)V0,九(%)單調(diào)遞減.

又因為Q>e,所以汽N￡lna>?>e,/i(%)在(e,+8)單調(diào)遞減，

由野〈野，則aWx在+8)恒成立，即

上式等價于421=譬，即八⑷>八?),

由以久)在(e,+8)單調(diào)遞減，所以e<a4e2.

即實數(shù)Q的取值范圍為(e,e2].

【變式6-3](2024?河北?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=aln%—%.

(1)討論/(%)的單調(diào)性；

(2)證明：當a>。時，/(%)<(^-1.

【解題思路】(1)先明確函數(shù)定義域和求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)結(jié)構(gòu)特征對a進行a<0和a>0的分類討論導(dǎo)數(shù)正負

即可得單調(diào)性.

(2)證/'(x)W(?)-1=f(x)max4—1，故問題轉(zhuǎn)化成證alna-aW(￡)-l(a>0)=lng)-(9)

+1<0,接著構(gòu)造函數(shù)g(x)=\nx-x+l(x>0)研究其單調(diào)性和最值即可得證.

【解答過程】(1)由題函數(shù)定義域為(o,+oo),r(乃=?一1=?，

故當a<。時，r(x)<0恒成立，所以函數(shù)/'(X)在(0,4-8)上單調(diào)遞減；

當a>。時，/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減，令/''(%)=0=>x=a,

則》e(0,a)時，尸(x)>0；x6(a,+8)時，f'(x)<0,

所以函數(shù)/(久)在(0,a)上單調(diào)遞增，在(a,+8)上單調(diào)遞減，

綜上，當aWO時，函數(shù)f(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減；當a>0時，函數(shù)f(%)在(0,a)上單調(diào)遞增，在(a,+8)

上單調(diào)遞減.

(2)由(1)當a>0時，函數(shù)/(X)在(0,a)上單調(diào)遞增，在(a,+8)上單調(diào)遞減，

故f(久)<f(a)=alna—a在(0,+8)上恒成