甘肅省慶陽市2025屆高三年級上冊階段性調研測試（一模）數(shù)學試題（含答案）

甘肅省慶陽市2025屆高三上學期階段性調研測試（一模）

數(shù)學試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.若集合4={5,6,9,10,14},B={6,9,12,15,16],則An8中元素的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

2.已知復數(shù)z=-5-2G則Z2的實部為（）

A.20B.21C.-21D.-20

3.若雙曲線卷-5=1的右支上一點P到右焦點的距離為9,貝UP到左焦點的距離為（）

A.3B.12C.15D.3或15

4.已知某圓臺的上底面半徑為1,下底面半徑為2,高為2平,則該圓臺的體積為（）

岑%

A,6^71B.C.7國D.yTT

5.函數(shù)外嗎=lg（10-2/的值域為（）

A.(-oo,l]B.(0,1]c（。尚D.(-嗎

6.在平行四邊形4BCD中,AB=2AE,BF=2FC,則麗=()

A.2AB+^ADQ.^AB+^ADC.^AB+2ADD.2AB+2AD

7.若銳角。滿足sinJcos。+cos20=則tan36=()

4D—Z

A-7B-3C-Hu.11

8.已知函數(shù)/'（%）的定義域為R,/（/（X+y））=/（%）+/（y）,/（I）=1,則下列結論錯誤的是（）

A./（0）=0B.f。）是奇函數(shù)

C./（2024）=2024D./㈤的圖象關于點&0）對稱

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知橢圓M：%2+^-=1,則（）

A.M的焦點在%軸上B.M的焦距為10

C.M的離心率為甯D.M的長軸長是短軸長的5倍

10.設函數(shù)/'（久）=2sin（2"x-§（72eN*）的最小正零點為an,貝！|（）

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A）（久）的圖象過定點（0,—避）B./Q）的最小正周期為券

C.{a,J是等比數(shù)列D.{4}的前10項和為需

11.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內容用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于2兀

與多面體在該點的面角之和的差，其中多面體的面的內角叫做多面體的面角.角度用弧度制表示.例如：正

四面體每個頂點均有3個面角，每個面角均為全故其各個頂點的曲率均為2兀-3x?7T.如圖，在正方體

中，AB=逆,貝!］（）

A.在四面體ABC/中，點4的曲率為號

B.在四面體ABCDi中，點的曲率大于答77T

C.四面體4BCD1外接球的表面積為127r

D.四面體ABCDi內切球半徑的倒數(shù)為4e+3"

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.己知一組數(shù)據(jù)1,2,3,3,5,1,6,8,則這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為；若從這組數(shù)據(jù)中任意

抽取2個數(shù)據(jù)，則這2個數(shù)據(jù)不相等的概率為.

13.為了讓自己漸漸養(yǎng)成愛運動的習慣，小明10月1日運動了5分鐘，從第二天開始，每天運動的時長比前

一天多2分鐘，則從10月1日到10月的最后一天，小明運動的總時長為分鐘.

14.若過圓。/+0-2）2=產&>0）外一點「（2,-2）作圓。的兩條切線，切點分別為4B,且|4切=胃，則

r=.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.（本小題13分）

在"BC中，AB—5,AC=4^/3,A=，.

（1）求BC的長；

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(2)設。為4C邊上一點，且8。=3,求sin/BD4.

16.(本小題15分)

如圖，AEl^ABCD,平面力BCD,四邊形力BCD為正方形，E,F位于平面48CD的兩側.

(1)證明：平面BDF1平面4ECF.

(2)若CF=2,AE=3,AD=4,求平面ABF與平面4ECF夾角(銳角)的余弦值.

17.(本小題15分)

貴妃杏是河南省靈寶市黃河沿岸地區(qū)的一種水果，其果實個大似鵝蛋，外表呈橙黃色，陽面有暈.貴妃杏

口感甜美，肉質實心鮮嫩多汁，營養(yǎng)豐富，是河南省的知名特產之一.已知該地區(qū)某種植園成熟的貴妃杏

(按個計算)的質量M(單位：克)服從正態(tài)分布Nd，/)，且p(96<M<106)=0.7,P(94<M<96)=0.1.從

該種植園成熟的貴妃杏中選取了10個，它們的質量(單位：克)為101,102,100,103,99,98,100,99,97,101,這

10個貴妃杏的平均質量恰等于〃克.

(1)求〃.

(2)求P(100<MS104).

(3)甲和乙都從該種植園成熟的貴妃杏中隨機選取1個，若選取的貴妃杏的質量大于100克且不大于104克，

則贈送1個貴妃杏；若選取的貴妃杏的質量大于104克，則贈送2個貴妃杏.記甲和乙獲贈貴妃杏的總個數(shù)

為X,求X的分布列與數(shù)學期望.

18.(本小題17分)

已知動點P在拋物線C:y2=2px(p>0)上，(2(-2,3),點P到C的準線的距離為d,且d+|PQ|的最小值為

5.

(1)求C的方程；

(2)若過點(1,0)的直線，與C交于48兩點，且直線Q4的斜率與直線QB的斜率之積為-今求珀勺斜率.

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19.(本小題17分)

定義：對于函數(shù)f(%),g0),若Va,b,ce(0,+8),f(a)+/(b)>g(c),則稱“人嗎一g(x)”為三角形函數(shù).

(1)已知函數(shù)/'(X)=x-lnx,若g(x)為二次函數(shù)，llg(2-x)=g(x),寫出一個g(x),使得“f(x)-g(x)”為

三角形函數(shù)；

(2)已知函數(shù)/(%)=言e(0,+8),若“/(%)—/(%)”為三角形函數(shù)，求實數(shù)t的取值范圍；

(3)若函數(shù)/(、)=ln(%++%,證明："/(%)-gQO”為三角形函數(shù).(參考數(shù)據(jù)：ln|

X0.405)

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參考答案

1.5

2.B

3.C

4.B

5.D

6.C

7.C

8.D

9.BC

IQ.ACD

11.ABD

12.3；g

13,1085

14.2或4

15.⑴

在"BC中，AB=5,AC=4圾4=*

由余弦定理得：BC=y)AB2+AC2—2.AB-ACcosA=[52+(4避尸—2x5x4避x宇=

(2)

在“8。中，由正弦定理得一廣怒，

所以sin/BDA=叱川)=2=|.

B

ADC

16.(1)

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因為力El平面ABCD,CFJ.平面ABCD,

所以AE〃CF,

所以點4片。尸四點共面，

因為4E1平面4BCD,BDu平面4BCD,

所以BD1AE,

因為四邊形4BCD為正方形，

所以BD1AC,

又4EnA。=A,AE,ACu平面4ECF,

所以BD_L平面AECF,

因為BDu平面BDF,

所以平面BDF1平面AECF；

(2)

因為4E1平面ABC。，AB,ADu平面ABC。，

所以4E1AB,AE1AD,

因為四邊形ABCD為正方形，所以AB1AD,

以點4為原點，以說，前,版為居％z軸的正方向，建立空間直角坐標系,

因為CF=2,AE=3,AD=4,

則4(0,0,0),5(4,0,0),F(4,4,-2),

所以同=(4,0,0),而=(4,4,一2),

設平面4BF的法向量為何=(a,b,c),

-AB-0,,f4cz-0

則n(方?而=O'故(4a+46—2c=0，

令c=2,可得b—1,<2=0,

故帚=(0,1,2)為平面力BF的一個法向量，

因為BD_L平面4ECF,

所以而=(-4,4,0)為平面2ECF的一個法向量，

設平面4BF與平面4ECF夾角為仇

所以cos。=|cosBD,m|=|瑞扁卜百山=手

所以平面4BF與平面力ECF夾角(銳角)的余弦值為相.

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17.⑴

101+102+100+103+99+98+100+99+97+101.??

〃=-------------Yd-------------------------=10°：

(2)

因為〃=100,所以P(104<M<106)=P(94<M<96)=0.1,

所以P(100<M<104)=0,7-01=0.3.

⑶

設1人獲贈貴妃杏的個數(shù)為y,貝葉(丫=0)=0.5,P(y=1)=03,P(Y=2)=0.2.

依題意可得X的可能取值為0,1,2,3,4,

P(X=0)=0.5x0.5=0.25,

P(X=1)=0.5x0.3x2=0.3,

P(X=2)=0.32+0.5x0.2x2=0.29,

P(X=3)=0.3x0.2x2=0.12,

P(X=4)=0.2X0.2=0.04,

則X的分布列為

X01234

P0.250.30.290.120.04

所以E(X)=0x0.25+1X0.3+2x0.29+3X0.12+4x0.04=1.4.

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18.(1)

設拋物線C的焦點為尸出0),由拋物線的定義可得|PF|=d,

則d+\PQ\=\PF\+\PQ\>\FQ\,

當Q,P,F三點共線且點P在線段QF上時，|PF|+|PQ|取得最小值5,

22

則|FQ|=J(E+2)+3=5,整理得(尹2)2=16,解得p=4或p=—12,

因為p>0,所以p=4,故。的方程為y2=8x.

(2)

設過點(1,0)的直線=my+l,A(x1,y1),B(x2,y2).

聯(lián)立H二篇+1，消元得儼-8ay-8=0,則｛先:「二8嗎

小小I_yi_3丫2_3______(yi-3)(y2-3)______工

出也4?KQB=五不?豆”=(myi+3)(my2+3)=一了

2

得(m2+2)yiy2+(37n—6)(yi+y2)+27=—8(m+2)+8m(3m—6)+27=0,

代入韋達定理得：(加2+2)(-8)+(3m-6)(8m)+27=-8(m2+2)+8m(3m-6)+27=0,

化簡得167n2-48血+11=0=>(4m-1)(4m—11)=0,

得m=3或坐

故/的斜率為4或

19.⑴

由/(%)=%—In%,xE(0,+8),

[y_1

得r(x)=1--=-,令f，(x)=0,解得久=1.

當0<x<(時,f'(x)<0,/'(X)在(0,1)上單調遞減;

當%>1時,[(x)>0,/(%)在(1,+8)上單調遞增.

所以/(久)min=f(D=1.

因為g(x)為二次函數(shù)，且g(2—x)=g(x),所以g(x)的對稱軸為x=1,

設9(久)=ax2-2ax+c(a40),

要使為三角形函數(shù)，只要2/Q)min>gQ)max，

取a=-l,c=0,則g(X)=一久之+2x=—(x—l)2+1,

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gQ)max=g(l)=1，滿足2/(1)=2>1=5(1),

則Va,b,ce(0,+oo),y(a)+/(&)>2/(1)>g⑴>g(c),即/'(a)+f(b)>g(c)成立.

故若/(x)=x-lnx,取g(x)=-x2+2x,可使得久)”為三角形函數(shù).

(答案不唯一，參考函數(shù)g(x)=-a(x-l)2+c,a>0,c<2,寫出任意一個滿足題意的g(x)都可以)

(2)

所)=厚=1+*-0,+8),

①當t=2時，f(x)=1,

則任意Va/,cG(0,+oo),/(a)+f(b)=2>1=/(c),故af(x)-f(x)n為三角形函數(shù).

②當t>2時，由久>。,2，+2>3,。<露

J</t—2<t—2tt—2t+1

^'OFT2-K/?<1+—=

要使“為三角形函數(shù)，

由2義12寄，解得t<5,

則有Va,6,cG(0,+8),/(a)+/(b)>22寄>/(c),

所以2<t<5；

③當t<2時，則詈(就§<0，寄<八嗎<1，

要使"八久)一/(久)”為三角形函數(shù)，由2xg」Nl,解得t號，

則有Va,6,cG(0,+8),/(a)+/(6)>2(寄)21>/(c),

所以，Wt<2；

綜上所述，實數(shù)t的取值范圍為限,5].

(3)

/(%)=久一In%,x€(0,+8).

由⑴知,/(%)min=/(l)=1,

則任意a/6(0,+8),/(a)+/(6)>2/(1)=2；

下面證明gQ)max<2.

由g(%)=ln(x+1)—xlnx+x,xG(0,+oo),

則g'O)=^j^—lnx-1+1=^-