高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：指、對、冪數(shù)比較大小問題【七大題型】（新高考專用）

重難點04指、對、幕數(shù)比較大小問題【七大題型】

【新高考專用】

?題型梳理

【題型1利用單調(diào)性比較大小】................................................................2

【題型2中間值法比較大小】...................................................................2

【題型3作差法、作商法比較大小】............................................................3

【題型4構(gòu)造函數(shù)法比較大小】................................................................3

【題型5數(shù)形結(jié)合比較大小】...................................................................3

【題型6含變量問題比較大小】................................................................4

【題型7放縮法比較大小】.....................................................................4

?命題規(guī)律

從近幾年的高考情況來看，指、對、幕數(shù)的大小比較問題是高考重點考查的內(nèi)容之一，是高考的熱點

問題，主要以選擇題的形式考查，往往將暴函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等混在一起，進(jìn)行排序

比較大小.這類問題的主要解法是利用函數(shù)的性質(zhì)與圖象來求解，解題時要學(xué)會靈活的構(gòu)造函數(shù).

?知識梳理

【知識點1指、對、塞數(shù)比較大小的一般方法】

1.單調(diào)性法：當(dāng)兩個數(shù)都是指數(shù)哥或?qū)?shù)式時，可將其看成某個指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)或幕函數(shù)的函數(shù)值,

然后利用該函數(shù)的單調(diào)性比較，具體情況如下：

①底數(shù)相同，指數(shù)不同時，如〃和小，利用指數(shù)函數(shù)y=優(yōu)的單調(diào)性；

②指數(shù)相同，底數(shù)不同時，如玉”和石，利用幕函數(shù)y=x"單調(diào)性比較大?。?/p>

③底數(shù)相同，真數(shù)不同時，如log.%和log。％，利用指數(shù)函數(shù)log.X單調(diào)性比較大小.

2.中間值法：當(dāng)?shù)讛?shù)、指數(shù)、真數(shù)都不同時，要比較多個數(shù)的大小，就需要尋找中間變量0、1或者其

它能判斷大小關(guān)系的中間量，然后再各部分內(nèi)再利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小，借助中間量進(jìn)行大小關(guān)系的判

定.

3.作差法、作商法：

(1)一般情況下，作差或者作商，可處理底數(shù)不一樣的對數(shù)比大小；

(2)作差或作商的難點在于后續(xù)變形處理，注意此處的常見技巧與方法.

4.估算法：

(1)估算要比較大小的兩個值所在的大致區(qū)間；

(2)可以對區(qū)間使用二分法(或利用指對轉(zhuǎn)化)尋找合適的中間值，借助中間值比較大小.

5.構(gòu)造函數(shù)法：

構(gòu)造函數(shù)，觀察總結(jié)“同構(gòu)”規(guī)律，很多時候三個數(shù)比較大小，可能某一個數(shù)會被可以的隱藏了“同構(gòu)”

規(guī)律，所以可能優(yōu)先從結(jié)構(gòu)最接近的的兩個數(shù)來尋找規(guī)律，靈活的構(gòu)造函數(shù)來比較大小.

6、放縮法：

(1)對數(shù)，利用單調(diào)性，放縮底數(shù)，或者放縮真數(shù)；

(2)指數(shù)和基函數(shù)結(jié)合來放縮；

(3)利用均值不等式的不等關(guān)系進(jìn)行放縮.

?舉一反三

【題型1利用單調(diào)性比較大小】

【例1】(2023?陜西商洛?統(tǒng)考一模)已知。=0.91-1,6=1。84，。=1。8工2,貝|()

233

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>a>c

22

5

【變式1-1](2023?四川南充?模擬預(yù)測)已知a=d,b=Q）,c=logz2,貝！J（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

231

【變式1-2](2023.廣東廣州?統(tǒng)考二模)已知a=3s,b=2"c=43,則(）

A.c<a<bB.b<c<a

C.b<a<cD.c<b<a

【變式1-3］（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知。=Inmb=logs",c=V^ln2,貝Ua,b,c的大小關(guān)系是（）

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【題型2中間值法比較大小】

【例2】（2023?陜西寶雞?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知。=61"234,。=。噸通巴c=（|）,則（）

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b

【變式2-1］（2023上?天津河?xùn)|?高三?？茧A段練習(xí)）已知a=2—log23,b=2-log34,c=log23+log34,

貝IJ（）

A.c<a<bB.b<a<c

C.a<b<cD.c<b<a

2024

【變式2-2］（2023上?河南開封?高一?？茧A段練習(xí)）已知a=logi2023,b=log20232021c=2023~,

3

則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>a>b

【變式2-3]（2023?浙江嘉興?統(tǒng)考二模）已知a=l.lL2/=I21,"Li,則（）

A.c<b<aB.a<b<c

C.c<a<bD.a<c<b

【題型3作差法、作商法比較大小】

2

[例3]（2023?山東青島?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知％=log32,y=log43,z=弓）、則久、y、z的大小關(guān)系為（）

A.x>y>zB.y>x>zC.z>y>xD.y>z>x

【變式3-1]（2023?云南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知a=logi69,b=log2516,c=e-2,則（）

A.b>a>cB.b>c>a

C.c>b>aD.c>a>b

【變式3-2】（2023?貴州六盤水?統(tǒng)考模擬預(yù)測）若。=等，6=等，?=野，貝|（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【變式3-3]（2023?全國?模擬預(yù)測）已知a=log8.i4,b=log3,ie,c=ln2,1?則（）

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<a<bD.b<c<a

【題型4構(gòu)造函數(shù)法比較大小】

【例4】（2023?福建寧德??？寄M預(yù)測）記a=e而，6=迎+1,c=-lmi+2,貝U（）

e

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.a<c<b

c

【變式4-1]（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知實數(shù)a,滿足小+log2a=0,2023一"=log2023^^=

log7V6,貝!j（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

【變式4-2]（2023?全國?模擬預(yù)測）已知a=log（）Q9618，b=底-房,c=1嗎+京貝U（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

【變式4-3]（2023?全國?模擬預(yù)測）設(shè)a=0.21nl0,b=0.99,c=O.9e01,則（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【題型5數(shù)形結(jié)合比較大小】

【例5】（2022?廣東茂名.統(tǒng)考一模）已知居y,z均為大于0的實數(shù)，且2,=3〉=logsZ,貝卜,y,z大小關(guān)系

正確的是（）

A.x>y>zB.x>z>y

C.z>x>yD.z>y>x

【變式5-1］（2023上?四川?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知Q+log2a=4/+log3b=c+log4C=3,則（）

A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.c>a>b

【變式5-2］（2023上?廣東江門?高一統(tǒng)考期末）已知/（無）=6了—％—2,g{x}=logix-x-2,%。）=

一%一2的零點分別是a,b,c,則a,b,c的大小順序是（）

A.a>b>cB.c>b>aC.b>c>aD.b>a>c

【變式5-3］（2022?河南?統(tǒng)考一模）已知。=M/=^,。=（夜）所，則這三個數(shù)的大小關(guān)系為（）

A.c<b<aB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【題型6含變量問題比較大小】

【例6】（2022上?江西吉安?高三統(tǒng)考期末）已知實數(shù)a,b,c,滿足lnb=ea=c,則〃，b,c的大小關(guān)系

為（）

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>c>aD.a>c>b

【變式6-11（2022上?湖北?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知a,b,c均為不等于1的正實數(shù)，且Inc=a\nbf\na=Mnc,

貝ija,仇c的大小關(guān)系是（）

A.c>a>bB.b>c>a

C.a>b>cD.a>c>b

【變式6-2］（2022上?江蘇南通?高三統(tǒng)考期中）已知正實數(shù)a,b,c滿足e。+2。=e。+e—。，b=log23+

log86,c+log2c=2,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

b

【變式6-3］（2023上?遼寧丹東?高三統(tǒng)考期末）設(shè)根>1,logma=m=c,若a,b,?；ゲ幌嗟龋瑒t（）

A.a>1B.cWeC.b<c<aD.（c-/））（c—a）<0

【題型7放縮法比較大小】

【例7】（2023?全國?模擬預(yù)測）已知a=log2ir,b=ln4,c=0.6-15,則（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<a<b

【變式7-1］（2023上?安徽?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知a=g—VI7,6=63,c=log53—|log35,則（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<a<b

2

【變式7-2]（2023上?江蘇泰州?高一泰州中學(xué)?？计谥校┮阎齻€互不相等的正數(shù)a,hc滿足a=elb=

a）

log23+log96,c=log^（2+1）,（其中e=2.71828…是一個無理數(shù)），則a,b,c的大小關(guān)系為

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.c<b<a

設(shè)a=0.7康，。=（募）：c=a+高則（

【變式7-3]（2023上?福建漳州?高一?？计谥校?/p>

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>c>bD.b>c>a

05605

1.（2023?天津?統(tǒng)考高考真題）若a=1.01,b=1.01°-tc=O.6,則見《c的大小關(guān)系為（）

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>b>cD.b>a>c

0,7

2.（2022?天津?統(tǒng)考高考真題）已知a=2。"，b=（|）?c=log2貝I（）

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

3.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）設(shè)a=0