高考數(shù)學(xué)核心知識與技巧速記手冊（含答案及解析）

高考數(shù)學(xué)核心知識與技巧速記手冊

目錄

技巧01權(quán)方和不等式的應(yīng)用

技巧02普通型糖水不等式的應(yīng)用

技巧03對數(shù)型糖水不等式的應(yīng)用

技巧04基本不等式鏈的應(yīng)用

技巧05“奇函數(shù)+常函數(shù)”的最大值+最小值

技巧06“奇函數(shù)+常函數(shù)”的/（a）+/（-a）

技巧07已知函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象

技巧08已知函數(shù)圖象判斷函數(shù)解析式

技巧09兩類經(jīng)典超越不等式比較函數(shù)值大小關(guān)系

技巧10泰勒不等式比較函數(shù)值大小關(guān)系

技巧11不等式放縮合集比較函數(shù)值大小關(guān)系

技巧12函數(shù)對稱性的應(yīng)用

技巧13解不等式（含分段函數(shù)）的應(yīng)用

技巧14整數(shù)解的應(yīng)用

技巧15零點(diǎn)的應(yīng)用

技巧16切線與公切線的應(yīng)用

技巧17端點(diǎn)效應(yīng)（必要性探索）

技巧18函數(shù)凹凸性

技巧19洛必達(dá)法則

技巧20導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問題

技巧21半角公式的應(yīng)用

技巧22萬能公式的應(yīng)用

技巧23正余弦平方差公式的應(yīng)用

技巧24三角函數(shù)異名伸縮平移

技巧25“爪子定理”的應(yīng)用

技巧26系數(shù)和（等和線）的應(yīng)用

技巧27極化恒等式的應(yīng)用

技巧28奔馳定理與三角形四心的應(yīng)用

技巧29角平分線定理的應(yīng)用

技巧30張角定理的應(yīng)用

技巧31點(diǎn)對稱問題

技巧32圓中的切線問題

技巧33圓錐曲線中焦點(diǎn)弦的應(yīng)用

技巧34圓錐曲線中中點(diǎn)弦的應(yīng)用

技巧35復(fù)數(shù)的模長及最值的應(yīng)用

技巧36柯西不等式的應(yīng)用

技巧01權(quán)方和不等式的應(yīng)用及解題技巧

權(quán)方和不等式的初級應(yīng)用：若a,b,x,y>Q則—+,>二十勾當(dāng)且僅當(dāng)—=-時(shí)取等.

xyx+yxy

（注：熟練掌握權(quán)方和不等式的初級應(yīng)用，足以解決高考中的這類型最值問題的秒殺）

1.已知且2a+b=3,則」不+—彳的最小值為（）

2a—12b—1

Q1

A.1B.yC.9D.y

27/22

2.已知正數(shù)y,z滿足力+p+z=1,則一%—H--H----------餐一的最小值為

y+2zz+2xx+2y------

3.已知力+2g+3z+4u+5。=30,求/+2y2+3z2+4n2+5d的最小值為

技巧02普通型糖水不等式的應(yīng)用

1.糖水不等式定理，若a>b>Q,m>0,則一定有-^22L>—

a+ma

通俗的理解：就是a克的不飽和糖水里含有b克糖，往糖水里面加入m克糖，則糖水更甜;

2.糖水不等式的倒數(shù)形式，設(shè)a>b>0,m>0,則有：與〉？±%

bb+m

1.（2020?全國?統(tǒng)考高考真題）已知55<84,134<85.設(shè)a=log53,b=log85,c=logi38M（）

A.a<b<cB.bVaVcC.bVcVaD.c<Za<b

技巧03對數(shù)型糖水不等式的應(yīng)用

（1）設(shè)nEN+,且則有l(wèi)ogn+in<logn+2（n+1）

（2）設(shè)a>b>l,m>0,則有l(wèi)ogab<loga+m（6+m）

（3）上式的倒數(shù)形式:設(shè)a>b>l,m>0,則有l(wèi)og6a>log6+m（a+rn）

1.（2022.全國.統(tǒng)考高考真題）已知9m=10,a=10m-ll,b=8M—9,則（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

技巧04基本不等式鏈的應(yīng)用

基本不等式鏈：小儀濟(jì)〉2Tg>0,b>0）,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立.

???

1.(2022.全國?統(tǒng)考高考真題)若名,0滿足3?+/一絢=],則()

A.x+y^lB.x+2C./+/42D.x2+1

技巧05”奇函數(shù)+常函數(shù)”的最大值+最小值

在定義域內(nèi)，若F(rc)=/(力)+/.,其中于(x)為奇函數(shù),幺為常數(shù)，則最大值A(chǔ)1,最小值7n有M-\-m=

2A

即M-\-m=2倍常數(shù)

1.(2023上?江蘇?高三模擬)已知分別是函數(shù)=-bx+sin.x+1的最大值、最小

值，則M+m=

2.已知函數(shù)/(%)=ax3—In(Vrr2+1+x)+3sin力+7,cG[—2023,2023]的最大值為AT'，最小值為m,則

M+m=.

3.函數(shù)/(⑼=等』：,/?[—5,5],記/(力的最大值為河，最小值為zn,則M+m

e+e

加)=^±^=^^+2

1+efe°+e-"

技巧06“奇函數(shù)+常函數(shù)”的/(Q)+/(-a)

在定義域內(nèi)，若斤(c)=/3)+4,其中/(乃為奇函數(shù)，A為常數(shù)，有/(a)+/(—a)=24

即/9)+/(—&)=2倍常數(shù)

1.(全國?高考真題)已知函數(shù)/⑺=111(/1+72—力)+=4,則/(—Q)=.

2.已知函數(shù)/㈤=In產(chǎn)+上工，則/(2)+/(—工)=____.

J.ee

技巧07已知函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象解

特值與極限

?72=1.414,V3=1.732,V5=2.236,V6=2.45,77=2.646

②e=2.71828,e2=7.39,e2=Ve=1.65

③Ini=0,ln2=0.69,ln3=1.1,Ine=l,lnVe=]

④sinl=0.84,cosl=0.54,sin2=0.91,cos2=-0.42

特別地：當(dāng)力一0時(shí)sinx=x

例如：sinO.l=0.099~0.1,sin0.2=0.199~0.2,sin0.3=0.296~0.3

當(dāng)力一＞0時(shí)cosrc=1

cosO.l=0.995xl,cos(—0.2)=0.980?1

1.函數(shù)y=（3“一3-"）cos/在區(qū)間［―的圖象大致為（）

B.

兀X

2

D.

技巧08已知函數(shù)圖象判斷函數(shù)解析式

1.（2022?全國.統(tǒng)考高考真題）如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間［-3,3］的大致圖像，則該函數(shù)

是（）

-2sina;

技巧09兩類經(jīng)典超越不等式比較函數(shù)值大小關(guān)系???

+ex^ex,1——Inx4力-1,In力W—

xe

1.已知。=襦,匕=一瑞,0=111需，則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a<b〈cB.a〈c〈bC.c<a<bD.b<aVc

技巧10泰勒不等式比較函數(shù)值大小關(guān)系

常見函數(shù)的泰勒展開式：

23nn+1

⑴e』l+言+言+而+…+梟+"其中

個(gè)2丁3nn+1/i\i

nnn+

(2)ln(l+6)=x--+--H(-l)-嬴+兄,，其中Rn=(-l)———(y—7—)；

2!3!n!(n+1)!'1+ux)

352fc-l2fc+l

(3)sina:=a;--+—------卜㈠尸儂_])!+兄，其中心=(-1)*^fc+l)!C°S'

242fc-22k

⑷COSA1—了+方—…+(-L尸91+其中&=(—1》西7cos%;

(5)—^—=1+x+re2H---Fa;n+o(rcn);

1—x

(6)(1+x)n=l+nx-\-0/+o(a:2);

(7)tanx=x+^-+磊力5H---bo(x2n);

O-LO

(8)〃1+力=1+-^-X---1力2+--------\-O(Xn).

2o16

由泰勒公式，我們得到如下常用的不等式：

D1+力,1+7+,sinre>7—,

乙o

cosx>1—^-x2,\nx《c-1,e^-1>x,

tana;>%力,〃1+力41+■力，ln(l+a;)Wx,

o/

常見函數(shù)的泰勒展開式:

結(jié)論1ln(l+x(x>—1).

結(jié)論2ln/4%—1(%>0).

結(jié)論31——\nx(x>0).

x

結(jié)論4<In--------=>-----<ln(l+rc).

1+x1___J1+x

1+x

結(jié)論51+x^ex;ex^—^—(a:<l);——Wln(l+a;)Wx(x>—l).

1—x1+2

結(jié)論6e*>1+x(xER)；

結(jié)論7e-x>l-x(xER)

結(jié)論8-^—>ex(x<l).

1—x

結(jié)論9-^<6'(2：>1).

1—x

1.(2022年新1卷高考真題第7題)設(shè)&=0.卜°」，6=1，°=—1110.9貝1」()

9

A.a<b<cB.c<b<aC.c<(z<&D.a<c<6

2.(2022.全國.統(tǒng)考高考真題)已知。=擊力=(3051,(2=45111：,則()

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

技巧口不等式放縮合集比較函數(shù)值大小關(guān)系

sinrc<re<tanrc,xE(0號)

Ina:<Vx---力>1),Ina?>Vx------^(0<rr<1),

y/Xy/X

Inx<](/一▲)(2>1),Inx>-^-^——)(0<rc<1),

Ina?>—^"*2+2c—>1),In/V—^~￡c2+2力—^-(0VcV1)

2(6-1)/、i2(%—1)zr、

Inx>----：一(力>1),Inx<----；一(0V/V1)

x+1x-\-l

放縮程度綜合

1——<!(力——)<Vx---VInxV~<--^-x2+2x—T—1(0V%V1)

x2'x7y/xx+122

1——<--^-x2+2x—~<Inrr<-----—)<x—1(1V/V2)

x22x+1^/x2'x7

--^-x2+2x—1-V1——<—^―~~VIn/<Vx---V—<x—l(rc>2)

22xx-\-lJx2'xJ

1.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)設(shè)a=0.1e°”=(，c=—ln0.9,貝I](

y

A.a<6<cB.cVbVaC.cVaVbD.a<c<6

2.(2022.全國.統(tǒng)考高考真題)已知a=~|^~,b=cos],c=4sin；,則)

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

技巧12函數(shù)對稱性的應(yīng)用

1.(全國?高考真題)設(shè)函數(shù)夕=/3)的圖像與夕=2計(jì)。的圖像關(guān)于直線夕=—3;對稱，且/(—2)+/(—4)=

1,則a=()

A.-1B.1C.2D.4

技巧13解不等式(含分段函數(shù))的應(yīng)用

[(全國?高考真題)設(shè)函數(shù)/(/)=ln(l+㈤)——J,則使/Q)>/(2x-l)成立的x的取值范圍是

1+x

A.(y,l)B.(-oo[)U(1,+oo)

C-(一(4)D.(—00,一3)U(p+◎

技巧14整數(shù)解的應(yīng)用

1.已知關(guān)于力的不等式皿化―坳4+k］3>。恰有一個(gè)整數(shù)解,則實(shí)數(shù)卜的取值范圍為()

ln31ln3ln2

A，JB.C.-3D.

L548/8

技巧15零點(diǎn)的應(yīng)用

L(全國?高考真題)已知函數(shù)/Q)=X2-2X+a(e，T+e-^1)有唯一零點(diǎn)，則a=

A.瑪1B.f1C.11D.l

技巧16切線與公切線的應(yīng)用

1.(2021.全國.統(tǒng)考高考真題)若過點(diǎn)(a,b)可以作曲線夕=^的兩條切線，則()

A.eb<aB.ea<bC.0<a<e6D.0<b<ea

2.(全國?高考真題)若直線y=kc+b是曲線y=lnc+2的切線，也是曲線y=InQ+1)的切線，則b=

技巧17端點(diǎn)效應(yīng)(必栗性探索)

端點(diǎn)效應(yīng)的類型

1.如果函數(shù)/(久)在區(qū)間［a,b］上，/(2)>0恒成立，則/(a)>0或f⑹>0.

2.如果函數(shù)/(c)在區(qū)問［a,b］.h,f(x)>0恒成立,且/(a)=0(或/(b)=0),則f<a)>0(或((6)W0).

3.如果函數(shù)/3)在區(qū)間［a,b］上,/(/)>0恒成立，且/(&)=0,尸3)=0(或/0)=0,/(?40)。則尸

(a)>0(或/ff(fe)<0).

1.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)為r)=ax-史呼口G(0,丹

cosx'2

(1)當(dāng)a=8時(shí)，討論/(%)的單調(diào)性；

(2)若f(x)<sin2/恒成立，求a的取值范圍.

技巧18函數(shù)凹凸性解題技巧

凹函數(shù)：對于某區(qū)間內(nèi)都有幺吟號&).

凸函數(shù):對于某區(qū)間內(nèi)V.,g,都有以吟以叨＜/("&).

1.在△ABC中，求sinA+sinB+sinC的最大值.

2.丹麥數(shù)學(xué)家琴生(Jense⑴是19世紀(jì)對數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家,特別是在函數(shù)的凹凸性與不

等式方面留下了很多寶貴的成果.設(shè)函數(shù)/(尤)在(a,b)上的導(dǎo)函數(shù)為((±),r(c)在(a,b)上的導(dǎo)函數(shù)

為尸㈤,若在(a,b)上/㈤V0恒成立，則稱函數(shù)/(土)在(a,b)上為“凸函數(shù)”.已知/(⑼=ex-xlnx

-松川在(1,4)上為“凸函數(shù)”，則實(shí)數(shù)小的取值范圍是()

4

A.(e-1,+8)B.[e-l,+oo)C.[e-^,+oo)D.廿一0+8

技巧19洛必達(dá)法則

法則1若函數(shù)和gQ)滿足下列條件:

(1)更?/(C)=。及1期。(C)=0；

⑵在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，/(力)與g(力)可導(dǎo)且g'Q)WO;

SB廣⑸一

⑶盤g，⑸一

那么lim邛?=lim^Y=1白型

EQg(x)①-。g'(力)0

法則2若函數(shù)f（a）和g（c）滿足下列條件:

（1）1四/（2）=0°及更?。ⅲ?%；

（2）在點(diǎn)Q的去心鄰域內(nèi)，/（3?）與g（力）可導(dǎo)且g'Q）WO;

廣⑺j

⑶吟西j

那么=心=生型

「。g（x）…g，（x）00

L（全國高考）已知上<+->白+-恒成立，求k的取值范圍

X-\-LXX—1X

2.（全國高考）VcG（0,+oo）,e“-1一/一。力2>0恒成立，求a的取值范圍

技巧20導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問題

1.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)/（/）=-Inx-\-x-a.

（1）若/（力））0,求Q的取值范圍；

（2）證明：若/（名）有兩個(gè)零點(diǎn)處22,則力巡2VL

技巧21半角公式的應(yīng)用

sina1—cosa

s.ma=±.上『8S六土丐型,tan(=±1—cosa

T1+cosor1+cosasma

1+A/5^mil?a(

1.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）已知a為銳角，cost?——，則sm萬=()?

A3一左-1+V5c3—孤n—1

B.。4

88T~

技巧22萬能公式的應(yīng)用

2tanyl-tan2f2tan-1-

sin/=-------C--O-SC=--------------------tanrc=----------

l+tan2yl+tan2yl-tan2f???

1.在OBC中，tanf=3tanA,則焉+焉的最小值為()

A.4B.2V5C.4V5D.16

技巧23正余弦平方差公式的應(yīng)用

正弦平方差公式：sin2A—sin2B=sin(A+B)sin(A—B)

余弦平方差公式：cos2A—sin2B=cos(A+B)cos(A—B)

1.已知sina=《,sin0=貝!Jsin(a+6)sin(a—￡)=

/o

技巧24三角函數(shù)異名伸縮平移

通常用sinx=cos力一^)進(jìn)行正弦化余弦，用cosx=進(jìn)行余弦化正弦

1.若要得到函數(shù)/(1)=sin(^2j;+-|-)的圖象，只需將函數(shù)g(c)=cos(2力+小的圖象()

A.向左平移食個(gè)單位長度B.向右平移食個(gè)單位長度

C.向左平移當(dāng)個(gè)單位長度D.向右平移等個(gè)單位長度

OO

技巧25“爪子定理”的應(yīng)用

L(全國?高考真題)設(shè)。為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且瑟=3司，則()

A.AD=-^AB+^ACB.AD=^-AB-^-AC

OOoo

C.AD=^-AB+^-ACD.AD=^-AB-^-AC

oooo

BCD???

技巧26系數(shù)和（等和線）的應(yīng)用

1.（全國?高考真題）在矩形ABCD中，48=1,40=2,動點(diǎn)P在以點(diǎn)。為圓心且與相切的圓上.

若前=1荏+〃屈，則1+〃的最大值為

A.3B.2V2C.V5D.2

2.邊長為2的正六邊形ABCDEF中，動圓Q的半徑為1,圓心在線段CD（含短點(diǎn)）上運(yùn)動，P是圓Q上

及其內(nèi)部的動點(diǎn)，設(shè)向量=存+nCA）,則小+h的取值范圍是（）

A.（1,2]B.[5,6]C.[2,5]D.[3,5]

技巧27極化恒等式的應(yīng)用

1.（全國?高考真題）設(shè)向量落不滿足根+同=根一同=述,則4=（）

A.1B.2C.3D.5

2.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）正方形ABCD的邊長是2,E是的中點(diǎn)，則正?面5=（）

A.V5B.3C.2V5D.5

技巧28奔馳定理與三角形四心的應(yīng)用

1.（寧夏?高考真題）已知O,N,P在ZVLBC所在平面內(nèi)，且|》|=\OB\=|兀而+而+旃=0,且

聞?而=屈?無=無?百，則點(diǎn)O,N,P依次是AABC的（）

（注:三角形的三條高線交于一點(diǎn)，此點(diǎn)為三角型的垂心）??

A.重心外心垂心B.重心外心內(nèi)心C.外心重心垂心D.外心重心內(nèi)心

2.(江蘇?高考真題)。是平面上一定點(diǎn)，4、B、。是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足OP=OA+

"e[0,+8),則p的軌跡一定通過△ABC的）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

技巧29角平分線定理的應(yīng)用

角平分線定理

(1)在AABC中，AD為ABAC的角平分線，則有惡AC

JDL)CD

2b義cxcos/烏。

⑵40=..........———

b+c

（3）AL>2=ABXAC-BDXCD（庫斯頓定理）

⑷ABS^BD

ACS^ACD

1.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)在△ABC中，ABAC=60°,AB=2,BC=V6,的角平分線交BC

于。，則AD=.

技巧30張角定理的應(yīng)用

張南定理s’11』!sinasin（a+'）

ABACAD

1.如圖，已知40是kABC中ABAC的角平分線,交邊于點(diǎn)D.

???

A

H

（1）用正弦定理證明：*=黑；

jT-CyjLxCy

（2）若/BAC=120°,AB=2,4C=1,求的長.

2.在△ABC中，角所對的邊分別為a、b、c,已知點(diǎn)。在BC邊上,

AD±AC,sinABAC=AB=3^2,AD=3,則CD=

o

技巧31點(diǎn)對稱問題

上/、丫工去碇AI-c認(rèn)q4G上隊(duì)J?-/2A（Ax+By+（7）2B（Ax-\-By-\-C）\

點(diǎn)（企,y）關(guān)于直線Ax+By+C=0的對稱點(diǎn)坐標(biāo)力---—,y------------------

VA2+B2A2+B2）

L點(diǎn)（6,—1）關(guān)于直線21—g+4=0的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是.

技巧32圓中的切線問題

1.經(jīng)過點(diǎn)（1,0）且與圓4+才—丘—2g+3=0相切的直線方程為

2.過圓/+才=1上點(diǎn)P（—與，亨）的切線方程為

3.過點(diǎn)P（2,1）作圓/+/=4的兩條切線，切點(diǎn)分別為人、B,則直線方程是,

技巧33圓錐曲線中焦點(diǎn)弦的應(yīng)用

1.過雙曲線式—靖=4的右焦點(diǎn)尸作傾斜角為150°直線，交雙曲線于48兩點(diǎn),求弦長|人日.

2.（山東?統(tǒng)考高考真題）斜率為心的直線過拋物線C：y2=

C交于4，3兩點(diǎn)，則\AB\=.

???

技巧34圓錐曲線中中點(diǎn)弦的應(yīng)用

22

1.（全國?高考真題）已知橢圓（+7/.=1（。9。）的右焦點(diǎn)為F（3,。）,過點(diǎn)尸的直線交橢圓于

兩點(diǎn).若4B的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1,—1）,則E的方程為（）

力2

A尤+尤=12y「人?Ig—1DU

4536C27+18-1

十189

2.（重慶?高考真題）直線，與圓/2+娟+2c—4,+a=0（aV3）相交于兩點(diǎn)4,弦的中點(diǎn)為（0,1）,

則直線，的方程為

3.（江蘇?高考真題）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為尸（。,0）,直線y=x-l與其相交于M,N

兩點(diǎn)，若AW中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為■，則此雙曲線的方程是（）

O

A//R/2;2-1Cy1_n22y2_

B-T-yD-T-y-1

技巧35復(fù)數(shù)的模長及最值的應(yīng)用

1.（全國高考）設(shè)2="7,則卜|=（）

1+22

A.2B.V3C.V2D.1

2.已知z滿足|z+5—12i|=3.則|z|的最大值是（）

A.3B.10C.20D.16

技巧36柯西不等式的應(yīng)用

1.函數(shù)/（力）=AA?+4+/a?—47+5的最小值為.

2.已知名,y,z滿足c+g+z=l,則力,+4靖+9/的最小值為.

???

高考數(shù)學(xué)核心知識與技巧速記手冊

目錄

技巧01權(quán)方和不等式的應(yīng)用

技巧02普通型糖水不等式的應(yīng)用

技巧03對數(shù)型糖水不等式的應(yīng)用

技巧04基本不等式鏈的應(yīng)用

技巧05“奇函數(shù)+常函數(shù)”的最大值+最小值

技巧06“奇函數(shù)+常函數(shù)”的/（a）+/（-a）

技巧07已知函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象

技巧08已知函數(shù)圖象判斷函數(shù)解析式

技巧09兩類經(jīng)典超越不等式比較函數(shù)值大小關(guān)系

技巧10泰勒不等式比較函數(shù)值大小關(guān)系

技巧11不等式放縮合集比較函數(shù)值大小關(guān)系

技巧12函數(shù)對稱性的應(yīng)用

技巧13解不等式（含分段函數(shù)）的應(yīng)用

技巧14整數(shù)解的應(yīng)用

技巧15零點(diǎn)的應(yīng)用

技巧16切線與公切線的應(yīng)用

技巧17端點(diǎn)效應(yīng)（必要性探索）

技巧18函數(shù)凹凸性

技巧19洛必達(dá)法則

技巧20導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問題

技巧21半角公式的應(yīng)用

技巧22萬能公式的應(yīng)用

技巧23正余弦平方差公式的應(yīng)用

技巧24三角函數(shù)異名伸縮平移

技巧25“爪子定理”的應(yīng)用

技巧26系數(shù)和（等和線）的應(yīng)用

技巧27極化恒等式的應(yīng)用

技巧28奔馳定理與三角形四心的應(yīng)用

技巧29角平分線定理的應(yīng)用

技巧30張角定理的應(yīng)用

技巧31點(diǎn)對稱問題

技巧32圓中的切線問題

技巧33圓錐曲線中焦點(diǎn)弦的應(yīng)用

技巧34圓錐曲線中中點(diǎn)弦的應(yīng)用

技巧35復(fù)數(shù)的模長及最值的應(yīng)用

技巧36柯西不等式的應(yīng)用

技巧01權(quán)方和不等式的應(yīng)用及解題技巧

權(quán)方和不等式的初級應(yīng)用：若a,b,x,y>0則—+—>^a+b^當(dāng)且僅當(dāng)—=—時(shí)取等.

xyx+yxy

（注：熟練掌握權(quán)方和不等式的初級應(yīng)用，足以解決高考中的這類型最值問題的秒殺）

1.已知且2a+6=3,則占+J的最小值為（）

_Q

A.1B.-C.9D.

【詳解】因?yàn)?a+6=3,所以4Q+2b=6

由權(quán)方和不等式上+殳當(dāng)9+4可得

xyx-ry

1?1—41_22儼(2+iy

a—126—14a—42b—14a—42b—14a—4+26—1

當(dāng)且僅當(dāng)/^=白彳，即a=1,b=,時(shí)，等號成立.【答案】C

4a—426—163

2.已知正數(shù)*,“z滿足x+"+z=L則恚+春+備的最小值為——

【分析】根據(jù)權(quán)方和不等式可得解.

【詳解】因?yàn)檎龜?shù)了，0滿足/+g+z=l,

所以/+—+京〉」

y

當(dāng)且僅當(dāng)一--人即―之時(shí)取等號，故答案為《

v+2zz+2x

3.已知為+2g+3z+4“+5。=30,求/+2寸+3k+4u2+5/的最小值為

【分析】應(yīng)用權(quán)方和不等式即可求解.

/+2#+3/+4/+5/=￥+字+卑+1+雪

12345

【詳解】,v

O+2g+3z+4“+5”)_301

-1+2+3+4+5~1F~

當(dāng)且僅當(dāng)x—y—z—u—v時(shí)取等號，故答案為：60

技巧02普通型糖水不等式的應(yīng)用

1.糖水不等式定理，若a>b>0,m>0,則一定有EZL>_L

a+ma

通俗的理解：就是a克的不飽和糖水里含有b克糖，往糖水里面加入m克糖，則糖水更甜;

2.糖水不等式的倒數(shù)形式，設(shè)a>b>0,m>0,則有：告>與±2&

bb+m

45

1.（2020?全國?統(tǒng)考高考真題）已知55V8。13<8.^a=log53,b=log85,c=log138,JJllJ（）

A.a<fe<cB.bVaVcC.b<eVaD.c<a<6

【詳解】???

In3ln3+ln卷In譽(yù)in5ln3ln3+ln卷In罟ln8

n=------------=----<7---=h乂n=---<5---------=----<7----=C

ln5ln5+in|ln8ln8'ln5ln5+ln^,lnl3lnl3

用排除法，選Ao

技巧03對數(shù)型糖水不等式的應(yīng)用

(1)設(shè)nEN+,且？1>1,則有l(wèi)ogn+in<logn+2(n+1)

(2)設(shè)Q>b>l,m>0,則有l(wèi)og/Vloga+m(b+m)

(3)上式的倒數(shù)形式:設(shè)a>b>l,m>0,則有l(wèi)ogba>logb+m(a+m)

1.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)已知9m=10,Q=1(T—11/=8小一9,則()

A.a>0>feB.a>fe>0C.b>a>0D.6>0>a

【詳解】對數(shù)型糖水不等式

因?yàn)?M=10,所以m=log910.在上述推論中取a=9,6=10,可得m=log910>log10ll=Igll,且m

=logglO<10g89.

所以a=10m-11>10lgn-11=0,fe=8m-9<8log99-9=0,即a>0>b,選4

技巧04基本不等式鏈的應(yīng)用

基本不等式鏈：yj。>Vab>12](a〉Q,fe>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立.

~a+~b

1.（2022.全國.統(tǒng)考高考真題）若，，“滿足/+靖一（）

A./+yWlB.x+y2C.d+/W2D.x2+y2^l

【詳解】由基本不等式鏈:

可得ab《（義乎『W9五（a,b￡7?）,

對于

由a?+才一,夕=1可變形為，（2+9）2-1=3wgW3（工；」）,

解得一2&力+g<2,當(dāng)且僅當(dāng)*=y=—1時(shí)，力+0=—2,當(dāng)且僅當(dāng)c=g=l時(shí)，力+g=2,所以71錯(cuò)誤,

石正確；

對于。

212

【法一】由/+/—圖=1可變形為（^+娟）—1=曲&'2",解得力2+才42,當(dāng)且僅當(dāng)力=0=±1時(shí)取

等號，所以。正確

【法二】由小+才>2（當(dāng)）2,叼&（坐）2,得/一致+/>2（三『一（坐）2,

又因?yàn)樾∫怀?才=1,所以即?(/+g)Yi，%+g02.

【法三】x2-xy+y2=(x+g)2—3xy>(i+y)2-=!(/+療,

又因?yàn)?2—力0+#=1,所以《(力+g)241,力+gW2.

【答案】：

技巧05“奇函數(shù)+常函數(shù)”的最大值+最小值

在定義域內(nèi)，若_F(%)=f(x)+/.,其中f(x)為奇函數(shù)，A為常數(shù)，則最大值JVf,最小值7n有M+m=

2A

即M+772=2倍常數(shù)

1.(2023上?江蘇?高三模擬)已知分別是函數(shù)施如;題幽?陵+sin.v+1的最大值、最小

值，則M+m=

M+772=2倍常數(shù)=2

2.已知函數(shù)/(力)=ax3—In(Vrc2+1+x)+3sinx+7,xG[—2023,2023]的最大值為Af,最小值為m,則

M+m=

【法一】M+m=2倍常數(shù)=14

【法二】M+m=2/(0)=14

3.函數(shù)/(⑼=里士:，2；6[-5,5]，記/(/)的最大值為最小值為館,則M+m=

e+e

oxI^—xx^-x

/(T)=3e+e=e—e2

e"+eFe"+ef

【法一】M+m=2倍常數(shù)=4

【法二】M-\-m=2/(0)=4

技巧06“奇函數(shù)+常函數(shù)”的*a)+/(—a)

在定義域內(nèi)，若F(工)=/(/)+力,其中于(x)為奇函數(shù)，A為常數(shù)，有/(Q)+/(—Q)=2A

即/(Q)+/(—Q)=2倍常數(shù)

2

1.(全國?高考真題)已知函數(shù)/(力)=ln(Vl+x—x)+1,/(a)=4,則/(—Q)=.

In(SL+，—力)在定義域內(nèi)為奇函數(shù)

所以/(Q)+/(—Q)=2倍常數(shù)=2,解得/(—Q)=—2

【答案】-2???

2.已知函數(shù)/（c）=In沖至+上攵,則/（二）+/（--）=

J.xxee

于（x）=In+——1,In和工在定義域內(nèi)為奇函數(shù)

1—xx11+—-xx

【答案】-2

技巧07已知函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象解

特值與極限

①2=1.414,笆4=1.732,75=2.236,76=2.45,"=2.646

②e=2.71828,e2=7.39,/=Ve=1.65

@lnl=0,ln2=0.69,ln3=1.1,Ine=l,lnVe=

④sinl=0.84,cosl=0.54,sin2=0.91,cos2=—0.42

特別地：當(dāng)名一0時(shí)sinx=x

例如：sinO.l=0.099右0.1,sin0.2=0.199~0.2,sin0.3=0.296~0.3

當(dāng)名―0時(shí)cos/=1

cosO.l=0.995xl,cos（—0.2）=0.980七1

1.函數(shù)0=（3工一3f）cosx在區(qū)間的圖象大致為（）

三'_7C兀X

7"T2

三o

令/（力）—