2022年北京市昌平初三（上）期末數(shù)學試卷及答案

1/12022北京昌平初三（上）期末數(shù)學一、選擇題（本題共8道小題，每小題2分，共16分）下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的.1．已知為銳角，且，那么等于A． B． C． D．2．已知，則下列各式正確的是A． B． C． D．3．拋物線的頂點坐標為A． B． C． D．4．已知反比例函數(shù)的圖象經過點，則的值為A．3 B．4 C．5 D．65．如圖，是的外接圓的直徑，若，則A． B． C． D．6．如圖，面積為18的正方形內接于，則的半徑為A． B． C．3 D．7．關于二次函數(shù)，以下說法正確的是A．當時，隨增大而減小 B．當時，隨增大而增大 C．當時，隨增大而減小 D．當時，隨增大而增大8．如圖，在平面直角坐標系中，的半徑為2，與軸，軸的正半軸分別交于點，，點，，，，均為上的點（點不與點，重合），若，則點的位置為)A．在上 B．在上 C．在上 D．在上二、填空題（本題共8道小題，每小題2分，共16分）9．寫出一個開口向下，與軸交于點的拋物線的函數(shù)表達式：．10．已知的半徑為，圓心到直線的距離為，那么直線與的位置關系是．11．若扇形的圓心角為，半徑為2，則該扇形的弧長是（結果保留．12．點，是二次函數(shù)圖象上的兩個點，則（填“”，“”或“”．13．如圖，為的直徑，弦于點，若，，則的長度為．14．已知反比例函數(shù)的圖象分布在第二、四象限，則的取值范圍是．15．如圖，，分別與相切于，兩點，是優(yōu)弧上的一個動點，若，則．16．點，，，是圖象上的點，存在時，成立，寫出一個滿足條件的值．三、解答題（本題共12道小題，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27、28題，每小題5分，共68分）17．（5分）計算：．18．（5分）如圖，在中，，，，點在上且，于點，求的長．19．（5分）已知：二次函數(shù)．（1）求出二次函數(shù)圖象的頂點坐標及與軸交點坐標；（2）在坐標系中畫出圖象，并結合圖象直接寫出時，自變量的取值范圍．20．（5分）如圖，在中，，，于點且，求的長．21．（5分）已知：如圖，為銳角三角形，．求作：一點，使得．作法：①以點為圓心，長為半徑畫圓；②以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點，兩點；③連接并延長交于點．點即為所求．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明：證明：連接，．，點在上．，．．點，在上，．（填推理的依據(jù)）．22．（5分）如圖，在平面直角坐標系中，是一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的交點．（1）求反比例函數(shù)的表達式；（2）過點且垂直于軸的直線與一次函數(shù)圖象，反比例函數(shù)圖象的交點分別為，，當時，直接寫出的取值范圍．23．（6分）居庸關位于距北京市區(qū)50余公里外的昌平區(qū)境內，是京北長城沿線上的著名古關城，有“天下第一雄關”的美譽．某校數(shù)學社團的同學們使用皮尺和測角儀等工具，測量南關主城門上城樓頂端距地面的高度，下表是小強填寫的實踐活動報告的部分內容：請你幫他計算出城樓的高度．（結果精確到，，，題目測量城樓頂端到地面的高度測量目標示意圖相關數(shù)據(jù)，，，24．（6分）如圖，是的外接圓，是的直徑，于點，是延長線上一點，且．（1）求證：是的切線；（2）連接并延長，交于點，交于點，連接．若的半徑為5，，求和的長．25．（6分）隨著冬季的到來，干果是這個季節(jié)少不了的營養(yǎng)主角，某超市購進一批干果，分裝成營養(yǎng)搭配合理的小包裝后出售，每袋成本20元．銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每天銷售量（袋與銷售單價（元之間的關系可近似地看作一次函數(shù)：，設每天獲得的利潤為（元．（1）求出與的關系式；（2）當銷售單價定為多少元時，每天可獲得最大利潤？最大利潤是多少？26．（6分）在平面直角坐標系中，點和點在二次函數(shù)的圖象上．（1）當時．①求這個二次函數(shù)的頂點坐標；②若點，在二次函數(shù)的圖象上，且，則的取值范圍是；（2）當時，求的取值范圍．27．（7分）已知，點，分別在，上，，連接，在上方作等邊，點是延長線上一點，且，連接．（1）補全圖形；（2）連接，求證：；（3）連接，交于點，請你寫出一個的值，使一定成立，并證明．28．（7分）在平面直角坐標系中，對于點，，給出如下定義：若且，我們稱點是線段的“潛力點”．已知點，．（1）在，，，中是線段的“潛力點”是；（2）若點在直線上，且為線段的“潛力點”，求點橫坐標的取值范圍；（3）直線與軸交于點，與軸交于點，當線段上存在線段的“潛力點”時，直接寫出的取值范圍．

參考答案一、選擇題（本題共8道小題，每小題2分，共16分）下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的.1．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解．【解答】解：，為銳角，．故選：．【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關鍵是掌握幾個特殊角的三角函數(shù)值．2．【分析】比例的性質：內項之積等于外項之積，依此即可求解．【解答】解：、由可得，故選項正確；、由可得，故選項錯誤；、由可得，故選項錯誤；、由可得，故選項錯誤．故選：．【點評】本題考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是解題的關鍵．3．【分析】根據(jù)頂點式的坐標特點，直接寫出頂點坐標即對稱軸．【解答】解：拋物線是頂點式，根據(jù)頂點式的坐標特點可知，頂點坐標為，故選：．【點評】此題考查了二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)的頂點坐標為，對稱軸為．4．【分析】把點坐標代中即可求出的值．【解答】解：反比例函數(shù)的圖象經過點，，，故選：．【點評】本題考查了反比例函數(shù)上點的坐標特征，熟知反比例函數(shù)圖象上各點的坐標一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關鍵．5．【分析】根據(jù)圓周角定理推論：直徑所對圓周角為直角、同圓中等弧所對圓周角相等即可得到結論．【解答】解：是的外接圓的直徑，點，，，在上，，，是的外接圓的直徑，，，故選：．【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，由圓周角定理得到，是解題的關鍵．6．【分析】連接、，則為等腰直角三角形，由正方形面積為18，可求邊長為，進而可得半徑為3．【解答】解：如圖，連接，，則，四邊形是正方形，，是等腰直角三角形，正方形的面積是18，，，故選：．【點評】本題考查了正多邊形和圓、正方形的性質、構造等腰直角三角形是解題的關鍵．7．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點式可以得出圖象的對稱軸和開口方向，從而確定函數(shù)的增減性．【解答】解：拋物線的解析式為，該拋物線的對稱軸為直線，開口向下，當時，隨增大而增大，當時，隨增大而減小，故選：．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質，關鍵是要牢記頂點式與圖象的關系．8．【分析】如圖，過點作軸于點，過點作軸于點，過點作軸于點，利用勾股定理求出、、的值，觀察點的坐標變化規(guī)律即可得出答案．【解答】解：如圖，過點作軸于點，過點作軸于點，過點作軸于點，，，，，，，，，，，，，，，，，，由圖可知：隨著角度逐漸變小，點、、的橫坐標逐漸增大，縱坐標逐漸減小，，點在上．故選：．【點評】本題考查了圓的性質，坐標與圖形性質，勾股定理，運用勾股定理求出、、的坐標是解題關鍵．二、填空題（本題共8道小題，每小題2分，共16分）9．【分析】開口向下可確定二次項系數(shù)小于0，與軸交于點可確定常數(shù)項為1．【解答】解：設二次函數(shù)的解析式為，該函數(shù)的圖象開口向下，，可以取，當，，，滿足條件的一個函數(shù)為，故答案為：，（答案不唯一）．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關系，關鍵是要牢記系數(shù)和圖象開口，頂點，對稱軸，坐標軸交點之間的關系．10．【分析】由題意得出，根據(jù)直線和圓的位置關系的判定方法判斷即可．【解答】解：的半徑為，如果圓心到直線的距離為，，即，直線與的位置關系是相交．故答案為：相交．【點評】本題考查了直線和圓的位置關系的應用；注意：已知的半徑為，如果圓心到直線的距離是，當時，直線和圓相離，當時，直線和圓相切，當時，直線和圓相交．11．【分析】利用弧長公式計算即可．【解答】解：扇形的圓心角為，半徑為2，扇形的弧長．故答案為：．【點評】此題考查弧長公式：，關鍵是記住弧長公式，屬于中考基礎題．12．【分析】由于知道二次函數(shù)的解析式，且知道、兩點的橫坐標，故可將兩點橫坐標分別代入二次函數(shù)解析式求出、的值，再比較即可．【解答】解：把、代入二次函數(shù)得，；，所以．故答案為．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，要明確：二次函數(shù)圖象上點的坐標符合函數(shù)解析式．13．【分析】根據(jù)垂徑定理由得到，再根據(jù)勾股定理計算出．【解答】解：連接，，，直徑，，在中，，故答案為：3．【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．14．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質，由即可解得答案．【解答】解：反比例函數(shù)的圖象分布在第二、四象限，．解得．故答案是：．【點評】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質：當時，圖象分別位于第一、三象限；當時，圖象分別位于第二、四象限．15．【分析】連接、，根據(jù)切線的性質得到，，根據(jù)四邊形的內角和定理求出，再根據(jù)圓周角定理計算，得到答案．【解答】解：連接、，，分別與相切于，兩點，，，，，，故答案為：65．【點評】本題考查的是切線的性質、圓周角定理，掌握圓的切線垂直于經過切點的半徑是解題的關鍵．16．【分析】根據(jù)題意當時，則，由，得到，解得．【解答】解：，對稱軸為軸，，、不在對稱軸的異側，，當時，則，，，，，，故答案為：1（答案不唯一）．【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，根據(jù)題意設出、的值，代入解析式即可求得的值．三、解答題（本題共12道小題，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27、28題，每小題5分，共68分）17．【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入進行計算即可．【解答】解：．【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．18．【分析】由得到，然后得到，再利用相似三角形的性質求得的長．【解答】解：于點，，，，，，，，，，．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟知垂直的定義得到．19．【分析】（1）將函數(shù)解析式化為頂點式求解頂點坐標，令求圖象與軸交點坐標．（2）通過觀察拋物線在軸下方的取值范圍求解．【解答】（1）解：，拋物線頂點坐標為．令，則．解得，．圖象與軸交點坐標為，，．（2）如圖，當時，自變量的取值范圍為．【點評】本題考查二次函數(shù)與軸的交點，解題關鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關系．20．【分析】在和中，分別求出、、，再利用線段的和差關系求出．【解答】解：于點，，為直角三角形．中，，，，．中，，，．．．【點評】本題考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關系是解決本題的關鍵．21．【分析】（1）根據(jù)要求作圖即可；（2）根據(jù)圓周角定理求解即可．【解答】解：（1）如圖所示．（2）證明：連接，．，點在上．，．．點，在上，．（一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半），．故答案為：，，一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半．【點評】本題主要考查作圖—復雜作圖，解題的關鍵是掌握圓周角定理．22．【分析】（1）把代入，求出，得到點坐標，再將點坐標代入反比例函數(shù)解析式即可求得的值；（2）先畫出兩函數(shù)的圖象，再根據(jù)時，即可得出的取值范圍．【解答】解：（1）把代入，得，，解得，點坐標為．把代入，得，，解得．所以反比例函數(shù)表達式為．；（2）一次函數(shù)的圖象與的圖象相交于點和．觀察函數(shù)圖象可知：過點且垂直于軸的直線與一次函數(shù)圖象，反比例函數(shù)圖象的交點分別為，，當時，，則的取值范圍是或．【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用數(shù)形結合是解題的關鍵．23．【分析】設為，根據(jù)三角函數(shù)列方程求得的值，進而求出即可．【解答】解：根據(jù)題意，得，，設為，在中，，，，在中，，又，，解得，，答：城樓頂端距地面約為．【點評】本題主要考查解直角三角形的知識，熟練利用三角函數(shù)求值是解題的關鍵．24．【分析】（1）連接．根據(jù)圓周角定理和同角的余角相等可得．然后由切線的判定方法可得結論；（2）由垂徑定理及三角形的中位線定理可得，．然后根據(jù)相似三角形的判定與性質可得答案．【解答】（1）證明：連接．，．于點，．．．，．．是半徑，是的切線．（2）于點，為中點．為中點，為的中位線．，．．．，．【點評】此題考查的是切線的判定與性質、勾股定理、相似三角形的判定與性質、垂徑定理及圓周角定理，正確作出輔助線是解決此題關鍵．25．【分析】（1）由利潤每袋利潤銷量求解．（2）將函數(shù)解析式化為頂點式求解．【解答】解：（1）由題意可得．與的關系式為．（2），，且，當時，．答：當銷售單價定為每袋30元時，每天可獲得最大利潤，最大利潤是200元．【點評】本題考查二次函數(shù)的應用，解題關鍵是通過題意列出等式，掌握求二次函數(shù)求最值的方法．26．【分析】（1）①利用待定系數(shù)法即可求得解析式，把解析式化成頂點式即可求得頂點坐標；②根據(jù)二次函數(shù)的增減性和對稱性即可得到的取值范圍；（2）分兩種情況討論，根據(jù)題意得到關于的不等式組，解不等式組即可求得．【解答】解：（1）當時．①把點代入，得，二次函數(shù)表達式為，所以頂點坐標為；②拋物線．開口向上，對稱軸為直線，點關于直線的對稱點為，點，在二次函數(shù)的圖象上，且，或，故答案為：或；（2）將點，代入，可得，．當時，有兩種情況：①若把，代入可得此時不等式組無解．②若把，代入可得解得．所以．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，分類討論是解題的關鍵．27．【分析】（1）根據(jù)題意補全圖形；（2）在上截取，連接，證明，根據(jù)全等三角形的性質得到，，根據(jù)鄰補角的定義證明即可；（3）根據(jù)等腰三角形的性質和判定定理得到，再證明，結合圖形證明結論．【解答】（1）解：補全圖形如圖1所示；（2）證明：如圖2，在上截取，連接，為等邊三角形，，，，，，，在和中，，，，，，；（3）解：時，，證明如下：