高考數學專項復習：函數與導數?？級狠S解答題

專題07函數與導數?？級狠S解答題

【目錄】

...................................................................................................................................................................2

....................................................................................................................................................................3

...................................................................................................................................................................3

.................................................................................................................................................................16

考點一：含參數函數單調性討論.................................................................16

考點二：導數與數列不等式的綜合問題..........................................................18

考點三：雙變量問題..........................................................................23

考點四：證明不等式..........................................................................27

考點五：極最值問題..........................................................................32

考點六：零點問題............................................................................37

考點七：不等式恒成立問題....................................................................41

考點八：極值點偏移問題與拐點偏移問題.........................................................45

考點九：利用導數解決一類整數問題............................................................51

考點十：導數中的同構問題....................................................................54

考點十一：洛必達法則.........................................................................59

考點十二：導數與三角函數結合問題.................................................................................................................................62

本節(jié)內容在高考中通常以壓軸題形式出現，常見的有函數零點個數問題、不等式證明問題、不等式存

在性問題等，綜合性較強，難度較大.在求解導數綜合問題時，通常要綜合利用分類討論、構造函數、等價

轉化、設而不求等思想方法，同時聯(lián)系不等式、方程等知識，思維難度大，運算量不低.可以說，只要考生

啃下本節(jié)這個硬骨頭，就具有了強大的邏輯推理、數學運算、數據分析、直觀想象等核心素養(yǎng).

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

2023年I卷第19題，12分【命題預測】

2023年甲卷第21題，12分函數與導數是高中數學的重要考查內

不等式

容，同時也是高等數學的基礎，其試題的難

2023年天津卷第20題，16分

度呈逐年上升趨勢，通過對近十年的高考數

2022年II卷第22題，12分學試題，分析并歸納出五大考點：

2023年乙卷第21題，12分(1)含參函數的單調性、極值與最值；

極最值

2023年n卷第22題，12分(2)函數的零點問題；

2022年北京卷第20題，12分(3)不等式恒成立與存在性問題；

恒成立與有解2021年天津卷第20題，16分(4)函數不等式的證明.

2020年I卷第21題，12分(5)導數中含三角函數形式的問題

2022年甲卷第21題，12分其中，對于函數不等式證明中極值點偏移、

隱零點問題、含三角函數形式的問題探究和

零點問題2022年I卷第22題，12分

不等式的放縮應用這四類問題是目前高考函

2022年乙卷第20題，12分數與導數壓軸題的熱點.

含參函數的單調性

極值

函數與導數常考壓軸解答題［《:__________________

零占

不等式恒成立與存在性問題

函數不等式

1、對稱變換

主要用來解決與兩個極值點之和、積相關的不等式的證明問題.其解題要點如下：（1）定函數（極

值點為/）,即利用導函數符號的變化判斷函數單調性，進而確定函數的極值點沏.

（2）構造函數，即根據極值點構造對稱函數"⑴"/⑴一〃2%一"），若證'%》其，則令

尸（x）=/（x）—/（徑）

X.

（3）判斷單調性，即利用導數討論“（X）的單調性.

（4）比較大小，即判斷函數尸J）在某段區(qū)間上的正負，并得出/（X）與/。％0一%）的大小關系.

（5）轉化，即利用函數/（%）的單調性，將八＞）與八2%0一%）的大小關系轉化為I與2/一”之間

的關系，進而得到所證或所求.

fr\再+“2|玉+/2+%

【注意】若要證明〔21的符.號問題，還需進一步討論2與X。的大小，得出2所在

的單調區(qū)間，從而得出該處導數值的正負.

構造差函數是解決極值點偏移的一種有效方法，函數的單調性是函數的重要性質之一，它的應用貫穿

于整個高中數學的教學之中.某些數學問題從表面上看似乎與函數的單調性無關，但如果我們能挖掘其內

在聯(lián)系，抓住其本質，那么運用函數的單調性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數的單

調性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據題目的特點，構造一個

適當的函數，利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能

獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效

2、應用對數平均不等式Inxi-ln%2證明極值點偏移：

①由題中等式中產生對數；

X]—x2

②將所得含對數的等式進行變形得到lnx「lnx2.

③利用對數平均不等式來證明相應的問題.

3、比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構造函數利用函數的單調性證明

題中的不等式即可.

1.（2023?新高考I）已矢口函數=+。）一%.

（1）討論/（幻的單調性；

（2）證明：當〃>0時，f（x）>2lna+-.

2.(2023?乙卷)已知函數/(%)=+a)ln(l+x).

x

(1)當a=T時，求曲線y=/(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

(2)是否存在a,b,使得曲線y=關于直線x=6對稱，若存在，求a,b的值，若不存在，說明理

X

由；

(3)若“X)在(0,+8)存在極值，求”的取值范圍.

3.(2023?甲卷)已知/(x)=ax-空手，xe(0,-).

cosx2

(1)若4=8,討論/(x)的單調性；

(2)若/(x)<sin2x恒成立，求a的取值范圍.

4.(2023?天津)已知函數/(x)=d+3加(x+1).

x2

(I)求曲線y=/(x)在x=2處的切線斜率；

(II)當x>0時，求證：/(x)>1；

(III)證明：—<ln(n!)-(n+—)lnn+n?1.

5.(2023?新高考H)(1)證明：當0<x<l時，x-x2<sinx<x；

(2)已知函數/(x)=cosax-/〃(l-x?),若x=0為/(x)的極大值點，求a的取值范圍.

6.(2022?甲卷)己知函數/(無)=---lnx+x-a.

x

(1)若〃x)...O,求a的取值范圍；

(2)證明：若“X)有兩個零點再，x2,貝|王9<1.

7.(2022?新高考II)已知函數/(x)=xe"-e"

(1)當a=l時，討論/(x)的單調性；

(2)當x>0時，/(x)<-l,求a的取值范圍；

(3)設聯(lián)wN*,證明：下L+—=+...+^—>\(〃+1).

8.(2021?天津)已知a>0,函數/'(x)=ax-xe”.

(1)求曲線/(x)在點(0,/(0))處的切線方程；

(2)證明函數/(x)存在唯一的極值點；

(3)若加,使得〃x)?。+6對任意的工€及恒成立，求實數6的取值范圍.

考點一：含參數函數單調性討論

.岬件M結

1、導函數為含參一次型的函數單調性

導函數的形式為含參一次函數時，首先討論一次項系數為0,導函數的符號易于判斷，當一次項系數

不為雪，討論導函數的零點與區(qū)間端點的大小關系，結合導函數圖像判定導函數的符號，寫出函數的單調

區(qū)間.

2、導函數為含參二次型函數的單調性

當主導函數(決定導函數符號的函數)為二次函數時，確定原函數單調區(qū)間的問題轉化為探究該二次

函數在給定區(qū)間上根的判定問題.對于此二次函數根的判定有兩種情況：

(1)若該二次函數不容易因式分解，就要通過判別式來判斷根的情況，然后再劃分定義域；

(2)若該二次函數容易因式分解，令該二次函數等于零，求根并比較大小，然后再劃分定義域，判

定導函數的符號，從而判斷原函數的單調性.

3、導函數為含參二階求導型的函數單調性

當無法直接通過解不等式得到一階導函數的符號時，可對“主導”函數再次求導，使解題思路清晰.“再

構造、再求導”是破解函數綜合問題的強大武器.

在此我們首先要清楚了"（X）、/'（X）、/（X）之間的聯(lián)系是如何判斷原函數單調性的.

（1）二次求導目的：通過了"（X）的符號，來判斷/>'（>）的單調性；

（2）通過賦特殊值找到/（x）的零點，來判斷/（X）正負區(qū)間，進而得出/（x）單調性.

■^題型特訓

例1.（2023?河北承德?高三校聯(lián)考期中）已知函數〃H=x（l-almO（0*0）.

⑴討論〃x）的單調性；

f（x]=lwc-—ax2-ax（aGR）

例2.（2023?廣東廣州?高三廣東廣雅中學?？茧A段練習）已知2

⑴討論“X）的單調性；

例3.（2023?全國?高三專題練習）已知函數〃x）=lm+（l-a）x+l（aeR）,討論函數〃⑼的單調性.

考點二：導數與數列不等式的綜合問題

規(guī)律總結

在解決等差、等比數列綜合問題時，要充分利用基本公式、性質以及它們之間的轉化關系，在求解過

程中要樹立“目標意識，，，“需要什么，就求什么“，并適時地采用“巧用性質，整體考慮”的方法.可以達到

減少運算量的目的.

題型特訓

/(x)=ln(x+l)--------

例4.(2023?遼寧?高三校聯(lián)考階段練習)已知函數/x+1.

(1)當a=l時，求/(X)的極值；

(2)若/(go,求。的值;

sin——+sin——+???+sin—<ln2(〃￡N*)

⑶求證：〃+1?+22n7.

例5.（2023?廣東?高三校聯(lián)考階段練習）設/（x）="/+cosx-l,aeR

⑴當“一兀時，求函數以X）的最小值；

a>]_

⑵當“一2時，證明：/（x"0；

11?14/*一

cos—+cos—+L+cos—>〃——nGN,H>1

（3）證明：23n3V7.

例6.（2023?天津北辰?高三天津市第四十七中學校考階段練習）已知函數/（x）=x（21nx+l）-ax+a

（1）當。=1時，求曲線，=在點0J⑴）處的切線方程；

⑵當x>1時，求使/（X）>°恒成立的最大偶數a.

,X3

sinx^.x-----/\_-/\

⑶已知當xWO時，6總成立.令g（xbsmx,若在g（町的圖像上有一點列

歹gH，=1，2,LeN,”21）..k（i=\2n-1}E左>”7

H12刀,若直線44+i的斜率為5（zT，&求證：/=i6

考點三：雙變量問題

?規(guī)律總結

破解雙參數不等式的方法：

一是轉化，即由已知條件入手，尋找雙參數滿足的關系式，并把含雙參數的不等式轉化為含單參數的

不等式；

二是巧構函數，再借用導數，判斷函數的單調性，從而求其最值；

三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應用到雙參不等式，即可證得結果.

Mk題型特訓

例7.（2023?湖北荊門?高三荊門市龍泉中學校聯(lián)考階段練習）已知函數/（司=111（如^,加是大于。的

常數.記曲線，在點（占'/a））處的切線為/,/在無軸上的截距為4,%>0.

1

V-_

⑴當1e,%=1時，求切線/的方程;

$--->----

(2)證明：1mm

f(x)=lnx-(m+l]x+—mx2

例8.(2023?海南海口?高三海南中學?？茧A段練習)已知函數2.

⑴當加＞°時，討論函數“X)的單調性；

2

g(x)=f(x)--mxv

⑵若函數2有兩個零點為，%2,且求證：-e-l(其中e是自然對數的底

數).

1

/(x)=x\nx-x——ax

例9.(2023?廣東廣州?高三華南師大附中?？茧A段練習)設函數2的兩個極值點分

別為X,4(再＜-)

(1)求實數。的取值范圍；

(2)若不等式再e恒成立，求正數4的取值范圍(其中e=2.71828…為自然對數的底數).

考點四：證明不等式

?規(guī)律總結

利用導數證明不等式問題，方法如下：

（1）直接構造函數法：證明不等式/（x）＞g（x）（或/（M＜g（x））轉化為證明/（x）-g（x）＞°（或

/（X）-g（x）＜0）,進而構造輔助函數〃=

（2）適當放縮構造法：一是根據已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；

（3）構造“形似”函數，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.

（4）對數單身狗，指數找基友

（5）凹凸反轉，轉化為最值問題

（6）同構變形

/（x）=ln（l+x）+—

例10.（2023?河北-高三校聯(lián)考期中）已知函數*2.

⑴當xe（0,+co）時，比較與x的大小;

2(小

2

g(x)=cosx+土/e=g(6)T(a>0/>0)證明：/出）+l＞g（°+l）

(2)若函數2,且IJ

例11.（2023?四川達州?統(tǒng)考一模）已知函數-x+1.

⑴若MH在（°，"上有唯一零點，求加的取值范圍；

（2）若MH訓/）對任意實數x恒成立，證明：加%（%）>-.+3加-1

例12.（2023?安徽安慶?高三安徽省太湖中學?？茧A段練習）已知函數/（x）=-G2+3+21nx

⑵若函數的極大值為2,求實數。的值;

.z<0

（3）在（2）的條件下，方程/（力=加存在兩個不同的實數根三何，證明：I2J

考點五：極最值問題

利用導數求函數的極最值問題.解題方法是利用導函數與單調性關系確定單調區(qū)間，從而求得極最

值.只是對含有參數的極最值問題，需要對導函數進行二次討論，對導函數或其中部分函數再一次求導，

確定單調性，零點的存在性及唯一性等，由于零點的存在性與參數有關，因此對函數的極最值又需引入新

函數，對新函數再用導數進行求值、證明等操作.

題型特訓

例13.（2023?江蘇?統(tǒng)考一模）已知實數。函數/（x）=xln"-"lnx+（x-e）-,e是自然對數的底數.

⑴當a=e時，求函數〃x）的單調區(qū)間;

（2）求證：/（X）存在極值點%,并求方的最小值.

2

f(x\=x\nx-—x+(a-\]X,記X。為函數“X）的極值

例14.(2023?全國?模擬預測)已知。＞1,函數2

點.

--</

（1）若%是極小值點，證明：2

⑵若為是極大值點，證明：V2?-l<x0<2（2a-l）

例15.（2023?湖北武漢?高三華中師大一附中?？计谥校┮阎瘮祻SI無）有三個極值點

再，％2，*3且項<%2<芻

（1）求實數上的取值范圍;

/（-一/（占）之卜

（2）若2是A”的一個極大值點，證明：三一%e

考點六：零點問題

規(guī)律總結

函數零點問題的常見題型：判斷函數是否存在零點或者求零點的個數；根據含參函數零點情況，求參

數的值或取值范圍.

求解步驟：

第一步：將問題轉化為函數的零點問題，進而轉化為函數的圖像與X軸（或直線歹=左）在某區(qū)間上的

交點問題；

第二步：利用導數研究該函數在此區(qū)間上的單調性、極值、端點值等性質，進而畫出其圖像；

第三步：結合圖像判斷零點或根據零點分析參數.

題型特訓

f（x}=-\nx-ax（a>0）

例16.（2023?廣東?高三校聯(lián)考階段練習）己知x,e為自然對數的底數.

（1）若函數/（X）在x=e處的切線平行于x軸，求函數/（x）的單調區(qū)間;

（）若函數（）在

2/X上有且僅有兩個零點，求實數。的取值范圍.

例17.（2023?全國?模擬預測）己知函數一

⑴當。T時，求曲線”X）在點（1J⑴）處的切線方程.

（2）若〃x）有兩個零點，求實數。的取值范圍.

例18.（2023?北京順義?高三校考階段練習）已知函數/（x）=xe'.

⑴求曲線，=〃x）在點（0J（0））處的切線方程和“X）的極值；

⑵證明""一e一或在（1，+°°）恒為正；

⑶證明：當陽門時，曲線G：V=與曲線02：V=lnx+x+m至多存在一個交點.

考點七：不等式恒成立問題

■L規(guī)律總結

1、利用導數研究不等式恒成立問題的求解策略：

ci）通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，從而求出參數的取值范圍；

（2）利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題；

（3）根據恒成立或有解求解參數的取值時，一般涉及分離參數法，但壓軸試題中很少碰到分離參數

后構造的新函數能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論

法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.

2、利用參變量分離法求解函數不等式恒（能）成立，可根據以下原則進行求解：

（I）VxeZ）；m</（x）<?w</（x）min；

（2）Vxe。，〃壯

（3）3xeDt””（“）0〃7</（%濡；

（4）=

3、不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉化：

一般地，已知函數>=/（乂），xe[。，句，V=g（x）,xe[c,d]

⑴若可右口旬，氣中，力，有〃xJ<g（X2）成立，則/（X）111ax<g（XLm；

（2）若與e[。㈤，*2有/（X）<g（*2）成立，則/（Ma；

（3）若明叫4，'力，有/5）<g（x2）成立，則/（Um<g（Mmax;

（4）若依右皿句，*2e[c，d],有〃xj=g（電）成立，則/（X）的值域是g（x）的值域的子集.

例19.（2023?河北張家口?高三河北省尚義縣第一中學校聯(lián)考階段練習）已知函數

g（x）=（%2+1）,巴1￡R

⑴求函數戶g（x）在（°名⑼）處的切線方程.

|g（xj-g（x2）|

<

?（2x---------2x\2加-1

⑵對任意9/€（0，+°°）,當再時，不等式（e"-尸）恒成立，求實數％的取值范圍.

f(x\=--ax2+6zx-ex,g(x)=(x-l)ex

例20.(2023?河南?高三校聯(lián)考期末)已知函數2''

（1）若/（X）的圖象在點（°J（°））處的切線平行于無軸，求/（X）的單調區(qū)間;

⑵若當QO時，〃x）4g（x）恒成立，求實數。的取值范圍.

例21.（2023?浙江湖州?高三?？计谀┮阎瘮?（x）=，"?-lnx在定義域內有兩個不同的零點

^，々（演<X1）

，?

2

0<m<—

（1）求證：e

⑵已知左>0,若存在不等式而.庶>3+”對任意的否,馬總成立，求上的取值范圍.

考點八：極值點偏移問題與拐點偏移問題

規(guī)律總結

1、極值點偏移的相關概念

所謂極值點偏移，是指對于單極值函數，由于函數極值點左右的增減速度不同，使得函數圖像沒有對

稱性.若函數/（X）在”處取得極值，且函數了=/（燈與直線了=6交于4%/），8（出涉）兩點，則

初的中點為〃（可㈤而往往…丁.如下圖所示.

圖1極值點不偏移圖2極值點偏移

極值點偏移的定義：對于函數'=/（"）在區(qū)間（生切內只有一個極值點看,方程/（X）的解分別為

為、X?,且（1）若2、°,則稱函數了=〃?在區(qū)間（西戶2）上極值點工。偏移;

（2）若2°,則函數>=/（x）在區(qū)間（三，%）上極值點/左偏，簡稱極值點%。左偏；（3）若

X1+X2<3

2°,則函數了=〃>）在區(qū)間（為戶2）上極值點％0右偏，簡稱極值點/右偏.

^題型特訓

/（x）=XH---

例22.（2023?江西?統(tǒng)考模擬預測）已知函數1.

⑴討論"X）的單調性；

（2）若占A%,且/（石）=/（%2）=2,證明：0<m<e,且再+工2<2

例23.已知函數/（x）=2歷1—3%2—15.

（1）求曲線>=/（x）在點（1,/（1））處的切線方程；

（2）若關于x的不等式/（%）,,（〃-3）工2+（2。-13）工-2恒成立，求整數4的最小值;

（3）若正實數石,%滿足/（X）+/（X2）+4（X；+工；）+12（%+%）=4,證明:玉+々…2.

例24.（2023?陜西漢中?高三西鄉(xiāng)縣第一中學校聯(lián)考期中）己知函數,*-x,g（x）=lnx-x

⑴求函數g（x）的極值；

⑵若“（x）=/（x）-g（x）,求函數〃（X）的最小值;

⑶若"有兩個零點多，“2,證明：Xlx2<l

例25.（2023?重慶渝中?高三統(tǒng)考期中）已知函數/（x）=xlnx-a/+x,"eR

（1）若函數/（X）是減函數，求。的取值范圍；

8

（2）若,（X）有兩個零點不歷，且％2>2W，證明：

考點九：利用導數解決一類整數問題

一規(guī)律放結

分離參數、分離函數、半分離

題型特訓

例26.（2023?貴州黔東南?高三?？计谀┮阎瘮怠▁）=xlnx+2,g（x）=ax2+2ax

（1）當。=1時，求證：〃x）+g（x）>4x；

⑵若尸（X）是函數“X）的導函數，且"'（X）4g（x）在定義域（°，+8）內恒成立，求整數0的最小值.

例27.（2023?湖北武漢?高三華中師大一附中?？计谥校┮阎瘮怠▁）=e'+si"-xsinx,xe[一私0]

⑴求/（X）的零點個數；

⑵若初一/（x）*°恒成立，求整數上的最大值.

f（x\-aex~2g（“）XH---F2

例28.（2023?浙江?高三校聯(lián)考階段練習）已知函數,（叼,X

為自然對數底數.

lnx<-——

（1）證明：當'>1時，22尤；

⑵若不等式〃x）>g（”對任意的xe（°，+°°）恒成立，求整數。的最小值.

考點十：導數中的同構問題

規(guī)律總結

1、同構式：是指除了變量不同，其余地方均相同的表達式

2、同構式的應用:

（1）在方程中的應用：如果方程，（"）二°和/伍）二°呈現同構特征，則aU可視為方程

/（尤）=°的兩個根

（2）在不等式中的應用：如果不等式的兩側呈現同構特征，則可將相同的結構構造為一個函數，進

而和函數的單調性找到聯(lián)系.可比較大小或解不等式.〈同構小套路>

①指對各一邊，參數是關鍵；②常用“母函數"：/（x）=e，±x；尋找“親戚函數，，是關鍵;

③信手拈來湊同構，湊常數、3參數；④復合函數（親戚函數）比大小，利用單調性求參數范圍.

（3）在解析幾何中的應用：如果'（苞/1）''卜2/2）滿足的方程為同構式，則48為方程所表示曲

線上的兩點.特別的，若滿足的方程是直線方程，則該方程即為直線力8的方程

（4）在數列中的應用：可將遞推公式變形為“依序同構”的特征，即關于與（4T〃一0的同構

式，從而將同構式設為輔助數列便于求解

題型特訓

例29.已知函數/（x）=x+2+〃歷（冰）.

（I）求函數/（x）的單調區(qū)間；

（II）設a>0,tE[3,4],若對任意％],x2e（0,1],且再，々，都有I/（再）一/（工2）1<...—I?求實

%1X2

數4的取值范圍.

例30.已知函數/(x)=x-e3x

（1）求曲線歹=/（x）在點（0,/（0））處的切線方程;

(2)若對任意的x＞0,/(X)-歷X...(Q+2)x+l恒成立，求實數Q的取值范圍.

例31.已知函數/(%)="-QX和g(x)=qx-加:有相同的最小值.

(1)求Q；

(2)證明：存在直線＞=其與兩條曲線＞=/(%)和〉=g(x)共有三個不同的交點，并且從左到右的三

個交點的橫坐標成等差數列.

考點十一：洛必達法則

?規(guī)律總結

法則1、若函數〃x)和g(x)滿足下列條件:

⑴吧〃汴°及吧g(、)=°

(2)在點°的去心鄰域(。一口a)u(a，a+s)內,/⑴與g(x)可導且g'(x)H0；

而44

lim