高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【九大題型】解析版

專題4.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【九大題型】

【新高考專用】

?熱點(diǎn)題型歸納

【題型1三角函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用】.................................................................3

【題型2三角函數(shù)的定義域、值域與最值】............................................................5

【題型3三角函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性問題】............................................................7

【題型4三角函數(shù)的周期性問題】......................................................................9

【題型5求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、比較大小】.........................................................11

【題型6根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】..............................................................13

【題型7三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱性與奇偶性的靈活運(yùn)用】...........................................16

【題型8三角函數(shù)的零點(diǎn)問題】.......................................................................19

【題型9三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】.........................................................21

?考情分析

1、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

（1）能畫出三角函數(shù)的圖

象2023年新課標(biāo)I卷：第15題，

⑵了解三角函數(shù)的周期5分三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考的熱

性、奇偶性、最大（小）2023年天津卷：第6題，5分點(diǎn)內(nèi)容，其中三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱

值2024年新課標(biāo)I卷：第7題，性、奇偶性與單調(diào)性之間的關(guān)系則是高

⑶借助圖象理解正弦函5分考考察的重心.從近幾年的高考情況來

2024年新課標(biāo)II卷：第9題，看，比較注重對(duì)三角函數(shù)的幾大性質(zhì)之

數(shù)、余弦函數(shù)在［0,2旬上

6分間的邏輯關(guān)系的考查，試題多以選擇題、

的性質(zhì)及正切函數(shù)在2024年全國(guó)甲卷（文數(shù)）：第填空題的形式呈現(xiàn)，難度中等或偏下.

（-上的性質(zhì)13題，5分

?知識(shí)梳理

【知識(shí)點(diǎn)1三角函數(shù)的定義域與值域的求解策略】

1.三角函數(shù)的定義域的求解思路

求三角函數(shù)的定義域通常要解三角不等式（組），解三角不等式（組）常借助三角函數(shù)的圖象.

2.求解三角函數(shù)的值域（最值）常見的幾種類型：

⑴形如y=asinx+6cosx+c的三角函數(shù)化為y=/sin（0x+0）+c的形式，再求值域（最值）；

（2）形如尸asi/x+bsinx+c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinr=/,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域（最值）；

（3）形如y=asinxcosx+6（sinx±cosx）+c的三角函數(shù)，可先設(shè)?=sirtr±cosx,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域（最

值）.

【知識(shí)點(diǎn)2三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱性、奇偶性的求解思路】

1.三角函數(shù)周期的一般求法

（1）公式法；

（2）不能用公式求函數(shù)的周期時(shí)，可考慮用圖象法或定義法求周期.

2.三角函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心的求解策略

（1）對(duì)于可化為兀r）=/sin（0x+°）（或加尸/cos（0x+p））形式的函數(shù)，如果求人x）的對(duì)稱軸，只需令

TT

①x+9=5+左兀（左￡Z）（或令€OX+（p=kR*G?）,求X即可；如果求外）的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，只需令

0X+9=MT（左GZ）（或令0x+°=5+析（后GZ））,求x即可.

（2）對(duì)于可化為/（x）=/tan（0x+0）形式的函數(shù)，如果求人x）的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，只需令（ox+e=今伏GZ））,

求x即可.

3.三角函數(shù)的奇偶性的判斷方法

三角函數(shù)型奇偶性的判斷除可以借助定義外，還可以借助其圖象與性質(zhì)，在尸4sin（ox+9）中代入尸0,

若》=0則為奇函數(shù)，若y為最大或最小值則為偶函數(shù).

■7T

若了=/$也（<2>+9）為奇函數(shù)，則夕=E（左ez）；若尸isin（Ox+9）為偶函數(shù)，貝跖=7+版（左GZ）.

【知識(shí)點(diǎn)3三角函數(shù)的單調(diào)性問題的解題策略】

1.三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解方法

求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先化簡(jiǎn)成y=/sin（cux+p）形式，再求y=Asm（<a>x+（p）的單調(diào)區(qū)間，

只需把。x+p看作一個(gè)整體代入尸siwc的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把o化為正數(shù).

2.已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的解題思路

對(duì)于已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的某一部分確定參數(shù)。的范圍的問題，首先，明確已知的單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)的

單調(diào)區(qū)間的子集，其次，要確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而利用它們之間的關(guān)系可求解，另外，若是選擇

題，利用特值驗(yàn)證排除法求解更為簡(jiǎn)捷.

【方法技巧與總結(jié)】

1.對(duì)稱性與周期性

（1）正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是T個(gè)周期，相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)

稱軸之間的距離是:個(gè)周期.

（2）正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是3個(gè)周期.

2.與三角函數(shù)的奇偶性相關(guān)的結(jié)論

TT

（1）若產(chǎn)/sin（Gx+9）為偶函數(shù)，貝師二左乃十2（攵￡Z）；若為奇函數(shù)，貝1］夕=左兀（左￡Z）.

7T

（2）若尸4cos（GX+夕）為偶函數(shù)，則夕=左兀（左￡Z）；若為奇函數(shù)，則片左7十了（左￡Z）.

（3）若y=4tan（①x+夕）為奇函數(shù)，則夕=左兀（左￡Z）.

?舉一反三

【題型1三角函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用】

【例1】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)/(%)=cos%?ln(2%+2-%)在區(qū)間［-3n,3n］上的圖象可能是()

【解題思路】判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)/(0)>0判斷即可.

【解答過程】因?yàn)?(第)的定義域?yàn)镽,且

/(—%)=cos(—%)-ln(2-x+2X)=cosx?ln(2-x+2X)=/(%),

所以/(%)為偶函數(shù)，其函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故排除A,C.

因?yàn)?(0)=ln2>0,故排除B.

故選：D.

【變式(2024?江蘇鹽城?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)y=cos%與y=lg|%］的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.2B.3C.4D.6

【解題思路】在同一坐標(biāo)系中，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象得到交點(diǎn)個(gè)數(shù).

【解答過程】函數(shù)y=cosx與y=lg|%|都是偶函數(shù)，其中cos2n=cos4n=1,lg4n>IglO=1>lg2n,

在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)y=cos%與y=lg|%］的圖象，如下圖，

由圖可知，兩函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為6.

故選：D.

【變式1-2］(2024?山東?一模)函數(shù)/(久)=勺詈，則y=f(x)的部分圖象大致形狀是()

【解題思路】根據(jù)函數(shù)奇偶性以及％e(o,3時(shí)函數(shù)值的正負(fù)，通過排除法得答案.

【解答過程】函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽,

(e-x—l)sin(—%)_(ex—l)sinx

/"(-x)==/⑺，

e~x+lex+l

即函數(shù)y=/(%)為偶函數(shù)，排除BD;

當(dāng)xe(0,§時(shí)，/(久)=%詈竺＞0，排除C.

故選：A.

【變式1-3】(2023?河南鄭州?一模)已知函數(shù)/(久)=江+e-3g(x)=sin%,下圖可能是下列哪個(gè)函數(shù)的

圖像()

A./(x)+g(%)—2B./(%)—g(x)+2

c./(%)-gMD.聯(lián)

J【町

【解題思路】利用奇偶性和特殊點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)進(jìn)行判斷.

【解答過程】對(duì)于/(%)=e%+e-,但定義域?yàn)镽,滿足/(—%)=e-%+e%=/(%),為偶函數(shù).

同理可得：g(x)=sin%為奇函數(shù).

記九(%)=/(%)+g(x)-2,貝！J/i(一%)=/(-%)+g(-%)-2=/(%)-g(%)-2

所以九(一式)H/i(%)且九(一%)。一h(x),所以/(%)+g(%)-2為非奇非偶函數(shù)；

同理可證：/(均-g(x)+2為非奇非偶函數(shù)；f(%)?g(x)和菖為奇函數(shù).

由圖可知，圖像對(duì)應(yīng)函數(shù)為奇函數(shù)，且0</（l）Vl.

顯然選項(xiàng)A,B對(duì)應(yīng)的函數(shù)都不是奇函數(shù)，故排除；

對(duì)C:y=/（%）?g（%）=（ex+e-x）sinx,為奇函數(shù).

當(dāng)％=1時(shí)，（e+：）sinl>（e+Jsin：>^e+1^Xy>eXy>-^>l,故錯(cuò)誤；

對(duì)D,y=^-=^,為奇函數(shù).

f[x）e"+e*

當(dāng)％=1時(shí)，泮<1.故正確.

（e+2

故選：D.

【題型2三角函數(shù)的定義域、值域與最值】

【例2】（2024?廣東湛江?二模）函數(shù)/（久）=4sin（5x—J在[。，3上的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[-2,2]B.[-2,4]C.[-2V3,4]D.[-2V3,2]

【解題思路】先求得5X-2的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可容易求得結(jié)果.

【解答過程】因?yàn)閤e[。,,,所以-,引，所以sin（5x—e1卜

故f（x）=4sin（5x-習(xí)在[o*]上的值域?yàn)閇―2,4].

故選：B.

【變式2-1]（2024?河南鄭州一模）已知函數(shù)“久）=2sin（3%—習(xí)（3>0）在上的值域?yàn)閇―1,2],貝必

的取值范圍為（）

a[Q]B,[|,1]C,[|,|]D,[|,1]

【解題思路】根據(jù)題意可得3乂一？6[--*再利用值域可限定-+2解得3的取值范

oLoZ6J2266

圍為居?

【解答過程】由久e[o圖及3>0可得3久—V[-2十一引

根據(jù)其值域?yàn)閇—1,2],且2sin（—習(xí)=—1,

由正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可得mwir+g

ZZoo

即可得gw葭w/解得gw3w*

故選：B.

【變式2-2］（2024?安徽安慶?二模）已知函數(shù)/（%）=2COS2O）X+sin2cox-13>0）的圖象關(guān)于點(diǎn)0）對(duì)

稱，且/（%）在（05）上沒有最小值，則3的值為（）

1357

A.-B.-C.-D.-

2222

【解題思路】先化簡(jiǎn)解析式，根據(jù)對(duì)稱性可得3=2k-gkez,再結(jié)合最小值點(diǎn)即可求解.

【解答過程】/（x）=2cos+sin2wx-1=cos2tox+sin2wx=V2sin（23比+：），

因?yàn)閒（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)g,0）對(duì)稱，

所以/（?=岳in管+習(xí)=0,

故kEZ,即3=2k—；,k￡Z,

當(dāng)23%+:=—］+2MI,即％=—"kEZ時(shí)，函數(shù)f（汽）取得最小值，

因?yàn)?（%）在（05）上沒有最小值，

所以篙*,即e

8a38

由3=2々一解得k<3故k=1,得3=j.

ZO1OL

故選：B.

【變式2-3］（2024?內(nèi)蒙古包頭一模）已知函數(shù)/（%）=Asin（ajx+力（4>0,3>0,［如<的最大值為2,

其圖象上相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離為全且/⑸的圖象關(guān)于點(diǎn)（-2。）對(duì)稱，則f（x）在區(qū)間［o圖上的最

小值為（）

A.-V3B.-1C.-2D.0

【解題思路】利用題目條件求出f（x）的解析式，然后討論f（x）在［上的單調(diào)性即可.

【解答過程】由條件知4=2,2=3,sin（―53+9）=0,

從而/=3=2,sin（0-］）=0,

所以夕——=ku,kCZ,即0=fcii+—,kGZ,

66

又因?yàn)閕/ivm，故A：=o,w=g

LO

這說明f(x)=2sin(2x+J,該函數(shù)在［O局上遞增，在［黑］上遞減.

又八0)=1,/g)=-1,所以f(x)在區(qū)間［(J,"上的最小值為一L

故選：B.

【題型3三角函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性問題】

【例3】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/O)=3sin(3x+J+l,則下列結(jié)論不正確的是()

A.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)借,1)對(duì)稱

B.若f(x+t)是偶函數(shù)，貝=g+

C.f(x)在區(qū)間［0,4上的值域?yàn)椋郇D9,|］

D./(尤)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱

【解題思路】代入驗(yàn)證法判斷函數(shù)n>)的圖象的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸，進(jìn)而判斷選項(xiàng)AD；求得/的值判斷選

項(xiàng)B；求得/O)在區(qū)間僅，9上的值域判斷選項(xiàng)C.

【解答過程】對(duì)于A：/g)=3sin(3xg+g+l=l,

則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)偌,1)對(duì)稱，故A正確.

對(duì)于B：因?yàn)?'(%+t)=3sin［3(x+t)+弓+1=3sin(3x+3t+§+1是偶函數(shù)，

所以3t+F=kn+三,keZ,即t="+g,keZ,故B正確.

6239

對(duì)于C：當(dāng)［o，l時(shí)，3x+。低,胃sin(3x+§e昌,1|,

所以/(%)=3sin(3x+J+1e

即f(x)在區(qū)間［0圖上的值域?yàn)椴贰保?故C錯(cuò)誤.

對(duì)于D：當(dāng)x=E時(shí)，3%+E=3XE+E='

96962

則f(x)的圖象關(guān)于直線》=］對(duì)稱，故D正確.

故選：C.

【變式3-1］(2024?貴州黔南?二模)若函數(shù)f(x)=cos為偶函數(shù)，貝切的值可以是()

A.—B.—C.TTD.-

632

【解題思路】由題意可知：x=0為函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸，結(jié)合余弦函數(shù)對(duì)稱性分析求解.

【解答過程】由題意可知：*=0為函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸，

則-g+0=/CTC^/CG,則0=ku+]GZ?

對(duì)于選項(xiàng)A：令0=加+合乎解得/c=.Z,不合題意；

對(duì)于選項(xiàng)B：令3=所1+]二手解得/c=l€Z,符合題意；

對(duì)于選項(xiàng)C：令3=出1+]=71,解得k=|《Z,不合題意；

對(duì)于選項(xiàng)D：令0=而+2=?解得/c=j￡Z,不合題意；

32.6

故選：B.

【變式3-2](2021甘肅隴南?一模)下列函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為刀=三+k11水€2的是()

A./(x)=sin§B./(x)=cos(x+g)

C./(%)=sin(2x—D.f(x)=cos(2%§

【解題思路】

根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱軸，利用整體代入的方法可求出A、C中函數(shù)的對(duì)稱軸方程，利用余弦函數(shù)的對(duì)稱軸,

利用整體代入的方法可求出B、D中函數(shù)的對(duì)稱軸方程，即得答案.

【解答過程】對(duì)于A,7'(x)=sin(x-§,令x—]=]+kir,keZ,即久=聾+/rrr,keZ,

即f(%)的對(duì)稱軸方程為x="+kn,keZ,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,/(%)=cos(%+詈)，令％+g=n+/rn,k€Z,即％=]+/m,kEZ,

即/(%)的對(duì)稱軸方程為％=]+/nr,kEZ,B正確；

對(duì)于C,f(%)=sin(2%—：),令2%—￡=]+/m,k€Z,即％=]+g/rn:,kEZ,

即n>)的對(duì)稱軸方程為％=c錯(cuò)誤；

對(duì)于D,/(%)=cos(2%+勺，令2x+三=kgkE,Z,即％=—已+k€Z,

即/(%)的對(duì)稱軸方程為久=->ifc^/cGZ,D錯(cuò)誤；

oZ

故選：B.

【變式3-3](2024?廣東佛山?二模)已知函數(shù)f(x)=sin(s+5?〉0)在糖，當(dāng)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，且

34L

"?)=/(半)，則"久)圖象的一條對(duì)稱軸是()

OO

.7ncIlir_13ir八15TI

A.x=——B.x=——C.x=——D.x=——

121288

【解題思路】由函數(shù)的零點(diǎn)情況，求出3的取值范圍，再利用給定等式分析判斷函數(shù)圖象的對(duì)稱軸即可得解.

【解答過程】由函數(shù)f(x)=sin(3x+])在匕號(hào)]有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，

得w與*〈齊，解得re?,由，則金,

又/■?)=/(牛)，而?！~當(dāng)T=TT時(shí)，3=2,f(x)=sin(2x+》

oooo3

由3w[%當(dāng),得2%+md年],當(dāng)2%+；n,2n,3n時(shí)，/(%)=0,

423033

即函數(shù)/(x)在K，手]有3個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，

因此久==是函數(shù)/(X)圖象的一條對(duì)稱軸，即g3+9=9+kTt,keN,解得3="臀，

o83221

當(dāng)々N2時(shí)，60>y,當(dāng)k=o時(shí)，O)=-^-<p均不符合題意；

當(dāng)憶=1時(shí)，3=1,得7=手，則/(%)圖象的對(duì)稱軸為X=』+!=等.

3ZoZo

故選：C.

【題型4三角函數(shù)的周期性問題】

【例4】(2024?天津?一模)下列函數(shù)中，以]為周期，且在區(qū)間(%§上單調(diào)遞增的是()

A./(%)=sin|x|B./(%)=|sin2x|

C./(%)=cos|x|D./(x)=|cos2%|

【解題思路】結(jié)合函數(shù)周期性的定義與正弦函數(shù)及余弦函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可得.

【解答過程】對(duì)A：f(0)=sin|0|=0,/停)=sin司=1w/(0),故/(%)=sin㈤不以/為周期，故A錯(cuò)誤;

對(duì)B：/(%+])=|sin(2%+n)|=|sin2x|=/(%),故/(%)=|sin2%|以'為周期，

當(dāng)以時(shí)，2xG由丫=sin%在&穹上單調(diào)遞減，

且丫=$也%>0,故/(久)=|sin2%|在(H)上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；

對(duì)C：/(0)=cos|0|=1,/g)=cos司=0W/(0),故/(%)=cos|%|不以'為周期，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D：+^)=|cos(2x+TT)|=|cos2x|=/(x),故/Xx)=|cos2x|以］為周期,

當(dāng)％G(若)時(shí),2久式鴻)，由y=cosx在上單調(diào)遞減，

但y=cosx<0,故％G(H)時(shí)，/(%)=|cos2x|=—cos2x,

故f(x)=|cos2%|在G，9上單調(diào)遞增，故D正確.

故選：D.

【變式4-1](2023?湖南長(zhǎng)沙?一模)已知函數(shù)/(%)=sin(a)x-(1<o)<2),若存在汽力冷eR,當(dāng)%一%2I=

2冗時(shí)，f(血)=(3)=。，則函數(shù)/(%)的最小正周期為()

A.—B.—C.2nD.4互

33

【解題思路】由題意可得出結(jié)合1<a<2,可得3=|,再由三角函數(shù)最小正周期的公式即可

得出答案.

【解答過程】因?yàn)榇嬖冢?，第2ER,當(dāng)|%1—第21=2互時(shí)，/(%1)=/(%2)=0，

所以k,—=k,—=2JT,kEZ,即3=—,/CEZ,

20)2

又因?yàn)?V3<2,則k=3,所以3=g,

所以函數(shù)/(%)的最小正周期為：T=^=y,

2

故選：B.

【變式4-2](2024?安徽馬鞍山?三模)記函數(shù)/(%)=sin(3%+￡)3>0)的最小正周期為T,若]<TVn,

且/(%)<(*,則3=()

C84

10一--

B.33D.3

【解題思路】由最小正周期]<7<n可得2<3<4,再由/⑴W1⑶即可得於+]=]+k7T,keZ,即

可求得3=1

【解答過程】函數(shù)f(x)的最小正周期]<7<m貝%<§<n，解得2<3<4；

又了⑶<\f⑶,即x=券函數(shù)f(x)的一條對(duì)稱軸,

所以2to+—=—+kn,keZ,解得3=—+8fc,/cGZ.

8623

又2<3V4,當(dāng)k=0時(shí)，to=1.

故選：C.

【變式4-3］（2023?內(nèi)蒙古赤峰?三模）定義運(yùn)算如果，［=ad—bc,f（x）=廳5山（』+切（3>。，。<

0滿足等式bsin。=cos“，函數(shù)/'（x）在（0,習(xí)單調(diào)遞增，則3取最大值時(shí)，函數(shù)/（x）的最小正周期

為（）

A.3nB.TTCfD.2n

【解題思路】求出函數(shù)f（X）的解析式，根據(jù)已知條件求出0的值，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于3的

不等式組，解出3的取值范圍，可得出3的最大值，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得結(jié)果.

1oS

【解答過程】/（x）=2sin（3x+（p）=10sin（3%+<p）-10,

因?yàn)閂ising=cos/,所以，tanw=—,

而OVgV/所以0=*即/（%）=lOsin（3%+習(xí)一10,

當(dāng)久C（0,5時(shí)，^<a）x+^<^a）+^,

K.ITIT

{yD，解得0<3號(hào)，

當(dāng)3取最大值現(xiàn)寸，/O）的最小正周期T=生=3TT,

3

故選：A.

【題型5求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、比較大小】

【例5】（2024?青海?模擬預(yù)測(cè)）下列區(qū)間中，函數(shù)/（X）=3sin（%+；）單調(diào)遞增的區(qū)間是（）

A-M）B.尊書

C管為D.5,2皿）

【解題思路】首先求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，再根據(jù)選項(xiàng)判斷.

【解答過程】令2kn—2Wx+工W2/CTT+2，fcGZ,2/cir——<x<2kir+/cGZ,

24244

當(dāng)k=0時(shí)，增區(qū)間是卜與用，當(dāng)k=l時(shí)，增區(qū)間是降胃

其中只有管蓍）是增區(qū)間的子集.

故選：C.

【變式5-1］（2023?陜西?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)“無）=5皿（2%+卬）在％=?處取得到最大值，則/"（>）的一個(gè)單

調(diào)遞增區(qū)間是（）

A-（8瀉）B.（冷）C,信若）D,得穹

【解題思路】根據(jù)函數(shù)的最值結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可得9=2皿+標(biāo)eZ,即/O）=sin（2%+J）,進(jìn)而求/（x）

的單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合選項(xiàng)分析判斷.

【解答過程】因?yàn)榘?）=sin（2x+/在x=］處取得到最大值，則/=sing+<p）=l,

可得U+（p=2fcii+*,kGZf解得0=2/CTTkGZ,

所以/（%）=sin（2x+2fcn+］）=sin（^2x+：）,々EZ,

令2/CTC——2%+”<2fen+—,fcGZ,解得/CTT—U<%<ku-{■—,kGZ,

26236

所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（kir-g,kTT+力，k€z,

令k=。3可得（一篇，管1），

故ABC錯(cuò)誤，D正確.

故選：D.

【變式5?2】（2023?貴州,模擬預(yù)測(cè)）已知a=sinl,b=sin-,c=sin2,貝（J（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【解題思路】根據(jù)誘導(dǎo)公式，得到sin2=sin（n-2）,結(jié)合y=sin%在（04）上是增函數(shù)，即可求解.

【解答過程】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得sin2=sin（7i—2）,

因?yàn)?V1V冗一2V|V》且丫=sin汽在（0弓）上是增函數(shù)

所以sinl<sin（ir-2）<sin|,即a<cVb.

故選：D.

【變式5-3］（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（%）=sing-%）,g（%）=cos（'一則使得/（g（%））和g（/（%））

都單調(diào)遞增的一個(gè)區(qū)間是（）

A.信）B.（籍）C.（鴻）D.（碧）

【解題思路】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，判斷各選項(xiàng)是否正確.

【解答過程】當(dāng)X從m增加至哈時(shí)，f(x)從0遞減到-39(久)從。遞增到1,

63LZ

所以/(0(%))從sing-苧)遞減到sin仁一1}g(f(%))從g遞減到cos(-1一》A錯(cuò)誤；

當(dāng)久從凈加到削寸，/(%)從一捷減到—爭(zhēng)g(%)從1遞減到今

所以/(9(%))從sin償-1)遞增到sing-亨)，從cos遞減到cos(-手-1),B錯(cuò)誤;

當(dāng)%從凈加到爭(zhēng)寸，/(%)從一手遞減到-1,g(%)從日遞減到去

所以/(g(%))從sing—斗)遞增到sin(］—1!)，g(/(%))從cos(-§遞減到cos(—1—］),C錯(cuò)誤；

當(dāng)％從爭(zhēng)曾加到整時(shí)，/(%)從?1遞增到-金g(%)從播減到0,

362Z

所以/'(。⑼從sin(己一3遞增到(，g(f(x))從cos(-1一§遞增到cos(-苧一§,D正確；

故選：D.

【題型6根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】

［例6］(2023?天津?二模)若函數(shù)/(%)=2sin(3x+f(3>0)在區(qū)間［-鼠］上具有單調(diào)性,則3的最大值

是()

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】由第的范圍確定3%+￡的范圍，分別討論/(%)單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的情況，根據(jù)正弦型函數(shù)單

調(diào)性的判斷方法可構(gòu)造不等式組求得3的范圍，進(jìn)而確定最大值.

【解答過程】當(dāng)久￡卜(用時(shí)，3%+￡E［―+1;

廣/+合冶+25

若/(久)在卜,3上單調(diào)遞增，則(keZ),

I加+1號(hào)+2kn

解得：窗二；?？诨?，又3>。，.??若不等式組有解,

解得：Y<k<3］卜=0,則。<3W2；

63

n?

/1T.1T.—1T.2kn

——6co4-6->-+

若汽x)在卜,3上單調(diào)遞減，2(kGZ),

則1T?IT_3TT.?-?j

-o)+-<——F2/cn

662

解得：^-<8；12k又口>。，?諾不等式組有解，貝總21啜；?！?/p>

解得：—|<上<一，，與kez矛盾，.?"(>)在［—晨］上單調(diào)遞減不成立;

綜上所述：36（0,2］,則3的最大值為2.

故選：B.

【變式6-1］（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（久）=5也（3刀+§（3>0）的周期為7,且滿足T>2m若

函數(shù)/Q）在區(qū)間色,力不單調(diào)，則3的取值范圍是（）

A.口)B.

C.(”)D.&1)

【解題思路】由函數(shù)f（x）在區(qū)間自（）不單調(diào)，轉(zhuǎn)化為在弓,｛）上存在對(duì)稱軸，求出對(duì)稱軸方程，建立不等式

組求解即可.

【解答過程】已知/(久)=sin(3%+§(3>0),

.-IT-n-._ku-}--

殳3x+—=ku+—(fc6Z),解倚％=---,(fcGZ)

32o)

則函數(shù)/(X)對(duì)稱軸方程為尤=*,(keZ)

???函數(shù)f(x)在區(qū)間(屁)不單調(diào)，

*,?—<-----<—,(kGZ),解得4/cH—VtoV6k+1,/c€Z,

6(x)43

又由T>2n,且3>0,得0V3V1,

故僅當(dāng)k=0時(shí)，|<3<1滿足題意.

故選：C.

【變式6-2](2024?浙江?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=4sin(3x+(p)(a)>0,\(p\<]),f(x)<f(x)+

f管—久）=0,f（x）在停工）上單調(diào)，則3的最大值為（）.

A.3B.5C.6D.7

【解題思路】根據(jù)/0）<可知直線X=，為f（x）圖象的對(duì)稱軸，根據(jù)/（X）+/得—x）=0可得/'（X）

的對(duì)稱中心為管,0）,結(jié)合三角函數(shù)的周期性可得3=2k+l,kEN,再根據(jù)f（x）在C，居）上單調(diào)，可得0<

co<12,逐一驗(yàn)證當(dāng)3取到最大值11,9,7時(shí)，求解隼，檢驗(yàn)在上單調(diào)性看是否滿足，即可得答案.

【解答過程】V/（X）<上仁）|,...直線X=］為f（x）圖象的對(duì)稱軸,

+—=0，?,?/（尤）的對(duì)稱中心為管,。），

2TT一

???-l-+--2-kTF=--------IT=-￡,k7ETV“,r

4362

???rTr-r=-2-1T=—2TT,k7GNn,?

2fc+l3

，3=2k+1,kEN.

又/（X）在寫鬻上單調(diào)，42"V=3

T——之一，，0<3<12,

36

又3=2k+1,kEN,

???當(dāng)3=11時(shí)，/（久）=Zsin（ll%+0）,因?yàn)橹本€％￡為八式）圖象的對(duì)稱軸,

6

所以11x—+(p=—+kn,k￡Z,

解得<p=—g+kir,fcGZ,又|如<],所以0=-],則/'(x)=Asin(llx—

當(dāng)久")時(shí)，11%冶e(等,等)，則((久)在尊為上不單調(diào)，舍去；

當(dāng)3=9時(shí)，/(x)=Xsin(9x+(p),因?yàn)橹本€x=三為f(x)圖象的對(duì)稱軸，

6

所以9X：+(p=]+fell,fc6Z,

解得cp=-IT+/CR,fcGZ,又101VM所以0=0,M/(x)=i4sin9x,

當(dāng)時(shí)，9xe(3n,等)，則所)在&用上不單調(diào)，舍去；

.?.當(dāng)3=7時(shí)，/(x)=Asin(7x+W),因?yàn)橹本€x=三為/(x)圖象的對(duì)稱軸，

所以7x：+年=1+kivfk￡Z,

解得叩=-g+E,fc6Z,又|@|v],所以9=泉?jiǎng)t/(%)=4sin(7x+§,

當(dāng)女(瑞)時(shí)，7%+頻得芳)，則用)在(獴)上單調(diào).

則3的最大值為7.

故選：D.

【變式6-3](2023?浙江?模擬預(yù)測(cè))定義min{a,/?}={，：：：設(shè)函數(shù)/(%)=min{sin3%,cos3%}(3>0),

可以使n>)在(工()上單調(diào)遞減的3的值為()

A.B.[2,3]c.加D.[3,4]

【解題思路】分段寫出函數(shù)f(x)解析式，并確定單調(diào)遞減區(qū)間，再借助集合的包含關(guān)系求解作答.

._r3n,2/CTTTI,2k.it、

sintox,xG------1-----,----1-----)

4coo)4a)

【解答過程】依題意，以x)=

_TT,2kn5ir_2Mi、''

COS60X,XGR----1-----,----1-----)

4a)343o)

函數(shù)〃>)的遞減區(qū)間是［―券+碼，一方+也］，［:+碼,工+碼］,kez,

4a)a)2834a)333

~r曰TI2knTT2kn_p.5nTT_n,2knTV,2/kCTuT—0

于是(五，5)=【一3直+,工，一亮+_工]n或Sz，5)Er^+―<^+—nkeZ，

o)

一1"1------7724k9(0<a)<4k—1]

即4：工*kez,解得/一三34軌一1,由24k9^..1,得乂k<l,無解；

(一五+丁及(55

^-+—<24k3CO<a)<4k+2i7

或《髭2M:，k￡Z,解得學(xué)+|<3<軌+2,由24k3」此「，得一3<k〈j則k=?；騥=l,

2L_|_Z"71>E55--r-十/24

<COCJL)2

當(dāng)k=0時(shí)，|<(D<2,當(dāng)k=l時(shí)，y<(D<6,選項(xiàng)C滿足，ABD不滿足.

故選：C.

【題型7三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱性與奇偶性的靈活運(yùn)用】

【例7】(2024?河南新鄉(xiāng),三模)已知函數(shù)/(%)=cos(cox+@)(0<o)<10,0<(p<n)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

是力信0),點(diǎn)B(04)在/㈤的圖象上，下列說法錯(cuò)誤的是()

A./(%)=cos(2x+§B.直線x=稱是/(x)圖象的一條對(duì)稱軸

O

C.”X)在博節(jié)］上單調(diào)遞減D./(%+()是奇函數(shù)

【解題思路】

由『(0)=曰可得W=5由對(duì)稱中心力&0)可求得3=2,從而知函數(shù)f(x)的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的圖

象與性質(zhì)，逐一分析選項(xiàng)即可.

【解答過程】因?yàn)辄c(diǎn)B(O,?)在f(X)的圖象上，所以/0)=COS0=f.又0<a<m所以a=；.

因?yàn)?⑶圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是4保0),所以爺+：="—kEZ,

則3=2+8k,卜62.又0<3<10,所以3=2,則/(無)=cos(2久+9，A正確.

，管)=cos多=0,則直線”='^不是/'(x)圖象的一條對(duì)稱軸，B不正確，

當(dāng)為€片,啕時(shí)，2x+?e［2U,3可，f(x)單調(diào)遞減，C正確.

/(%+己)=cos(2"+9=—sin2K,是奇函數(shù)，D正確，

故選：B.

【變式7-1](2024?天津?模擬預(yù)測(cè))已知f(x)=sin(3%+打9)(3>0,|初<§為偶函數(shù),。(久)：sin(3%+

⑼，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為()

①3=

②若g(x)的最小正周期為3m則3=|；

③若g(x)在區(qū)間(0,元)上有且僅有3個(gè)最值點(diǎn)，則”的取值范圍為刻；

④若g(；)=圣則3的最小值為2.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【解題思路】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.

【解答過程】對(duì)于①：若/(%)=sin(3x+]+0)(3>0,lw[<])為偶函數(shù)，

貝哈+3=,+k",k€Z,即<p=，+kir,kEZ,又|*|<—,所以w=*故①正確；

對(duì)于②：若g(x)的最小正周期為3TT且3>0,則7=空=3冗，所以3=$故②正確；

對(duì)于③：由％E(0,71),60>0,得3%+2E1,371+當(dāng)，

6\66/

若9(%)在區(qū)間(0m)上有且僅有3個(gè)最值點(diǎn)，

則mV371+解得gV3工學(xué)，故③正確；

對(duì)于④：因?yàn)間(%)=sin(3%+J,若gg)=singa+§=今

貝《3+/=]+2/rn或=-y+2/CTT,/CGZ,

解得3=I"+8/c或3=2+8/c,kcZ,

又3>0,所以3的最小值為I，故④錯(cuò)誤.

故選：A.

【變式7-2](2024?河北唐山?一模)已知函數(shù)/(%)=|sina%|+cosa)x(a)>0)的最小正周期為兀則()

A./0)在卜會(huì)[單調(diào)遞增B.(子,0)是f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心

C./(久)在[-沅]的值域?yàn)閇1,@D.x是/(%)的一條對(duì)稱軸

【解題思路】由函數(shù)f(x)的最小正周期為兀，求出3=2,再代入化簡(jiǎn)/(X),畫出f(x)的圖象，再對(duì)選項(xiàng)一一

判斷即可得出答案.

【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)/(%)的最小正周期為兀，所以3=2,

sin2x+cos2xfxE[fcn,-+fcn]

所以函數(shù)/(久)=|sin2x|+cos2x=-,2

—sin2x+cos2%,xGQ+kuji+fcnj

fV2sin(2x+^-\,xG\kn,~+fcul

即六x)="A2」1,作出函數(shù)/(x)的圖象，

I—V2sin\2x--j,%e(彳+kn,ir+/cnj

如下圖所示：

對(duì)于A,由圖可知，/⑺在卜精]單調(diào)有增有減，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由圖象可知，f(x)無對(duì)稱中心，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由圖象可知，(0)為偶函數(shù)，當(dāng)xe[o,Q,

2%+旨片胃所以sin(2x+￡)6憐1],

所以&sin(2x+￡)e[l,回，所以/(久)在卜沅]的值域?yàn)閇1閥，故C正確；

對(duì)于D,由圖象可知，f(x)的對(duì)稱軸為x=孩,keZ,故D錯(cuò)誤.

故選：C.

【變式7-3](2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)=cosx-工，現(xiàn)給出