長(zhǎng)沙市雨花區(qū)2023年九年級(jí)上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期末試題與參考答案

9/26長(zhǎng)沙市雨花區(qū)2023年九年級(jí)上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期末試題與參考答案一、選擇題本大題共10小題，每小題3分，滿分30分。1.下列幾種著名的數(shù)學(xué)曲線中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．【詳解】解：A、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱的圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱的圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱的圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．2.下列事件中是必然發(fā)生的事件是（）．A.打開(kāi)電視機(jī)，正播放新聞B.通過(guò)長(zhǎng)期努力學(xué)習(xí)，你會(huì)成為數(shù)學(xué)家C.從一副撲克牌中任意抽取一張牌，花色是紅桃D.某校在同一年出生的有367名學(xué)生，則至少有兩人的生日是同一天【答案】D【分析】根據(jù)必然事件和隨機(jī)事件的定義即可解答．【詳解】解：必然事件就是一定發(fā)生的事件，即發(fā)生的概率是1的事件．A、B、C選項(xiàng)可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，是隨機(jī)事件．故不符合題意；D、是必然事件．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)事件和必然事件，掌握必然事件和隨機(jī)事件的定義是解題的關(guān)鍵．3.若二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1），且拋物線過(guò)（0，3），則二次函數(shù)的解析式是（）A.y=-（x-2）2-1 B.y=-（x-2）2-1C.y=（x-2）2-1 D.y=（x-2）2-1【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式求解析式.【詳解】解:設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-h）2+k因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1），所以二次函數(shù)的解析式為y=a（x-2）2-1，把（0，3）分別代入得a=1，所以y=（x-1）2-1．故選C4.如圖，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以點(diǎn)C為圓心的圓與AB相切，則⊙C的半徑為（）A.2.3 B.2.4 C.2.5 D.2.6【答案】B【詳解】試題分析：在△ABC中，因?yàn)锳B=5，BC=3，AC=4，所以AC2+BC2=32+42=52=AB2，所以∠C=90°，如圖：設(shè)切點(diǎn)為D，連接CD，因?yàn)锳B是⊙C的切線，所以CD⊥AB，因?yàn)镾△ABC=AC×BC=AB×CD，所以AC×BC=AB×CD，即CD===，所以⊙C的半徑為，故選B．考點(diǎn)：圓的切線的性質(zhì)；勾股定理．5.如圖，四邊形中，，若，則等于（）A.2︰7 B.5︰7 C.3︰7 D.2︰5【答案】D【分析】過(guò)D作交于G，交于H，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)先求出，從而得到的長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出的值．【詳解】解：過(guò)D作交于G，交于H．則，所以，因?yàn)椋运?，所以．故選：D．6.如圖，正方形中，是的中點(diǎn)，是邊上的一點(diǎn)，下列條件中，不能推出與相似的是（）A. B. C.是的中點(diǎn) D.【答案】C【分析】利用兩三角形相似的判定定理逐一判斷即可．【詳解】A．，根據(jù)正方形性質(zhì)得到∠B=∠C，可以得到∽，不合題意；B.，根據(jù)正方形性質(zhì)得到∠B=∠C，根據(jù)同角的余角相等，得到，從而有∽，不合題意；C．P是BC的中點(diǎn)，無(wú)法判斷與相似，符合題意；D．，根據(jù)正方形性質(zhì)得到，又因?yàn)椤螧=∠C，則∽，不合題意．故選：C7.已知反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)和二次函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象得出b＜0，逐一分析四個(gè)選項(xiàng)，根據(jù)二次函數(shù)圖象的開(kāi)口以及對(duì)稱軸與y軸的關(guān)系，拋物線與y軸的交點(diǎn)，即可得出a、b、c的正負(fù)，由此即可得出一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的象限，再與函數(shù)圖象進(jìn)行對(duì)比即可得出結(jié)論．【詳解】解：因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的圖象在二、四象限，所以b＜0，A、因?yàn)槎魏瘮?shù)圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，交y軸的負(fù)半軸，所以a＞0，b＜0，c＜0，所以一次函數(shù)圖象應(yīng)該過(guò)第一、二、四象限，A錯(cuò)誤；B、因?yàn)槎魏瘮?shù)圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，所以a＜0，b＞0，所以與b＜0矛盾，B錯(cuò)誤；C、因?yàn)槎魏瘮?shù)圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸y軸右側(cè)，所以a＜0，b＞0，所以與b＜0矛盾，C錯(cuò)誤；D、因?yàn)槎魏瘮?shù)圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，交y軸的負(fù)半軸，所以a＜0，b＜0，c＜0，所以一次函數(shù)圖象應(yīng)該過(guò)第一、二、四象限，D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷是解題的關(guān)鍵，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想．8.關(guān)于頻率與概率有下列幾種說(shuō)法：①“明天下雨的概率是90%”表示明天下雨的可能性很大；②“拋一枚硬幣正面朝上的概率為”表示每拋兩次就有一次正面朝上；③“某彩票中獎(jiǎng)的概率是1%”表示買10張?jiān)摲N彩票不可能中獎(jiǎng)；④“拋一枚硬幣正面朝上的概率為”表示隨著拋擲次數(shù)的增加，“拋出正面朝上”這一事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在附近，正確的說(shuō)法是（）A.②④ B.②③ C.①④ D.①③【答案】C【分析】分別利用概率的意義分析得出答案．【詳解】①“明天下雨的概率是90%”表示明天下雨的可能性很大；正確；②“拋一枚硬幣正面朝上的概率為”表示每拋兩次就有一次正面朝上；錯(cuò)誤；③“某彩票中獎(jiǎng)的概率是1%”表示買10張?jiān)摲N彩票不可能中獎(jiǎng)；錯(cuò)誤；④“拋一枚硬幣正面朝上的概率為”表示隨著拋擲次數(shù)的增加，“拋出正面朝上”這一事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在附近，正確．故選C．9.如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G三點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線交BC于點(diǎn)M，切點(diǎn)為N，則DM的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】A【詳解】解：連接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，因?yàn)椤螦=∠B=90°，CD=AB=4，因?yàn)锳D，AB，BC分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G三點(diǎn)，所以∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，所以四邊形AFOE，F(xiàn)BGO是正方形，所以AF=BF=AE=BG=2，所以DE=3，因?yàn)镈M是⊙O的切線，所以DN=DE=3，MN=MG，所以CM=5-2-MN=3-MN，在Rt△DMC中，DM2=CD2+CM2，所以（3+NM）2=（3-NM）2+42，所以NM=，所以DM=3+=，故選A．10.拋物線對(duì)稱軸為直線，其部分圖象交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，如圖所示，則下列結(jié)論：①；②；③（m為任意實(shí)數(shù)）；④點(diǎn)是該拋物線上的點(diǎn)，且．其中正確的有（）①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④【答案】A【分析】由拋物線的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，依據(jù)根的判別式可知b2?4ac與0的關(guān)系，可判斷①；根據(jù)對(duì)稱軸推理a、b關(guān)系，可判斷②；根據(jù)當(dāng)x=?1時(shí)，拋物線有最大值，即得出對(duì)于任意實(shí)數(shù)m均有a?b+c?am2+bm+c，可判斷③．根據(jù)拋物線的遞增情況，判斷函數(shù)值的大小，可判斷④．【詳解】解：①圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，依據(jù)根的判別式可知b2?4ac>0，正確；②拋物線的對(duì)稱軸為直線x=?1，即，所以2a?b=0，正確；③圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線x=?1，所以x=?1時(shí)，y=a?b+c有最大值，對(duì)于任意實(shí)數(shù)m均有a?b+c?am2+bm+c，即a?b?m(am+b)，正確；④因?yàn)?，y3)在拋物線上的對(duì)稱點(diǎn)為(，y3)，因?yàn)?，所以y2>y3>y1，錯(cuò)誤；故選：A【點(diǎn)睛】本題考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，要求會(huì)利用對(duì)稱軸的范圍求2a與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運(yùn)用．二、填空題本大題共6小題，每小題3分，滿分18分。11.反比例函數(shù)y＝（m＋2）x的圖象分布在第二、四象限內(nèi)，則m的值為_(kāi)_____．【答案】m=-3【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義可得m2?10＝?1，根據(jù)函數(shù)圖象分布在第二、四象限內(nèi)，可得m＋2＜0，然后求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，m2?10＝?1且m＋2＜0，解得m1＝3，m2＝?3且m＜?2，所以m＝?3．故答案為：?3．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的定義，反比例函數(shù)的性質(zhì).對(duì)于反比例函數(shù)y＝（k≠0），（1）k＞0，反比例函數(shù)圖象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函數(shù)圖象在第二、四象限內(nèi)．12.已知扇形的圓心角為120°，面積為12π，則扇形的半徑是______．【答案】6【分析】根據(jù)扇形的面積公式S=，得R=．【詳解】根據(jù)扇形的面積公式，得R===6，故答案為6．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是能夠靈活運(yùn)用扇形的面積公式．13.哥哥與弟弟玩一個(gè)游戲：三張大小、質(zhì)地都相同的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，將標(biāo)有數(shù)字的一面朝下，哥哥從中任意抽取一張，記下數(shù)字后放回洗勻，然后弟弟從中任意抽取一張，計(jì)算抽得的兩個(gè)數(shù)字之和，若和為奇數(shù)，則弟弟勝；若和為偶數(shù)，則哥哥勝，你認(rèn)為_(kāi)_____獲勝的可能性更大．【答案】哥哥【分析】列舉出所有情況，看兩張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的情況占所有情況的多少即可求得哥哥贏的概率，進(jìn)而求得弟弟贏的概率，比較即可．【詳解】解：列樹(shù)狀圖得：共有9種情況，和為偶數(shù)的有5種，所以哥哥贏的概率是，那么弟弟贏的概率是，所以哥哥獲勝的可能性更大．故答案為：哥哥．【點(diǎn)睛】本題考查的利用列表法與畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求解隨機(jī)事件的概率，如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率，注意本題是放回實(shí)驗(yàn)．解決本題的關(guān)鍵是得到相應(yīng)的概率，概率相等就公平，否則就不公平．14.如圖，在半徑為10cm的⊙O中，AB＝16cm，弦OC⊥AB于點(diǎn)C，則OC等于______cm．【答案】6【分析】連接OA，如圖，先利用垂徑定理得到AC=BC=AB=8，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算OC的長(zhǎng)．【詳解】解：連接OA，如圖，因?yàn)镺C⊥AB，所以AC=BC=AB=8，在Rt△OAC中，OC==6（cm）．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。部疾榱斯垂啥ɡ恚?5.已知二次函數(shù)自變量與函數(shù)值之間滿足下列數(shù)量關(guān)系．則代數(shù)式的值等于______．【答案】【分析】由表格可得拋物線對(duì)稱軸為直線，然后根據(jù)對(duì)稱性可求時(shí)的值，進(jìn)而求解．【詳解】解：由題可得拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，拋物線對(duì)稱軸為直線，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，時(shí)，即．故答案為：．16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線、分別與雙曲線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)、，若的面積為3，則___________．【答案】4【分析】作軸于，軸于，如圖，先根據(jù)反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題表示出，，，，利用反比例函數(shù)的幾何意義得，則，于是根據(jù)梯形的面積公式得到，然后解方程即可．【詳解】解：作軸于，軸于，如圖，解方程組得或，則，，解方程組得或，則，，，而，，，．故答案為4．三、解答題本大題共9小題，滿分72分。17.當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)的值為0？【答案】或【分析】令，則，再解一元二次方程即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，所以，所以，，解得：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是求解二次函數(shù)值，掌握“求解二次函數(shù)值的方法”是解本題的關(guān)鍵．18.如圖，正六邊形的中心為原點(diǎn)O，頂點(diǎn)在x軸上，半徑為．求其各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F(xiàn)（－1，）【分析】過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸，垂足為G，連接OE，得出△OED是正三角形，再利用Rt△OEG中，OG＝OE，EG＝，得出結(jié)論．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸，垂足為G，連接OE，因?yàn)镺E=OD，∠EOD=，所以△OED是正三角形，∠EOG＝60°，∠OEG＝30°，因?yàn)镺E＝2cm，∠OGE＝90°，所以O(shè)G＝OE＝1cm，EG＝＝＝cm，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，），又由題意知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0），由圖形的對(duì)稱性可知A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），F(xiàn)（－1，）．故這個(gè)正六邊形ABCDEF各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F(xiàn)（－1，）．【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的對(duì)稱性，直角三角形30°的角所對(duì)的邊等于斜邊的一半，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用這些性質(zhì)．19.在某一時(shí)刻，測(cè)得一根高為的竹竿的影長(zhǎng)為，同時(shí)測(cè)得一棟樓的影長(zhǎng)為，這棟樓的高度是多少？【答案】這棟樓的高度是54m．【分析】根據(jù)同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成正比即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)這棟樓的高度為hm，因?yàn)樵谀骋粫r(shí)刻，測(cè)得一根高為1.8m的竹竿的影長(zhǎng)為3m，同時(shí)測(cè)得一棟樓的影長(zhǎng)為90m，所以，解得：h=54（m）．答：這棟樓的高度是54m．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，熟知同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成正比是解答此題的關(guān)鍵．20如圖，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，拋物線經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)．（1）求該拋物線的解析式；（2）求拋物線與x軸的另一交點(diǎn)A及其頂點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）【分析】（1）先求出直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)解析式；（2）令，利用因式分解法解方程，即可得到拋物線與x軸的另一交點(diǎn)橫坐標(biāo)，將對(duì)稱軸橫坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可得到頂點(diǎn)縱坐標(biāo)．【小問(wèn)1詳解】解：將代入得，則，將代入得，則，將、分別代入得解得，故該拋物線的解析式為．【小問(wèn)2詳解】解：，當(dāng)時(shí)，或，故拋物線與x軸的另一交點(diǎn)；對(duì)稱軸為直線，將代入得，則頂點(diǎn)坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查了求二次函數(shù)解析式、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，掌握待定系數(shù)法求解析式是解題關(guān)鍵．21.如圖，根據(jù)小孔成像的科學(xué)原理，當(dāng)像距（小孔到像的距離）和物高（蠟燭火焰高度）不變時(shí)，火焰的像高（單位：）是物距（小孔到蠟燭的距離）（單位：）的反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）若火焰的像高為，求小孔到蠟燭的距離．【答案】（1）（2）【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；（2）把代入反比例函數(shù)解析式，求出y的值即可．【小問(wèn)1詳解】由題意設(shè)，把，代入，得．所以關(guān)于的函數(shù)解析式為．【小問(wèn)2詳解】把代入，得．所以小孔到蠟燭的距離為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式以及求函數(shù)值，能正確掌握待定系數(shù)法是解答本題的關(guān)鍵．22.如圖，E是矩形的邊上的點(diǎn)，交于O．（1）求證：；（2）已知與的面積分別為2和8，求四邊形的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）38【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可得，從而可得；（2）由與的面積分別為2和8，根據(jù)等高的兩三角形的面積之比等于底之比，可以求出，由就可以求出的面積就可以求出的面積，從而求出四邊形的面積．【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)榫匦?，所以，所以．【小?wèn)2詳解】由與的和邊上的高相等，所以，因?yàn)榕c的面積分別為2和8，所以．因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以，，，所以．因?yàn)?，所以，所以．所以，所以，所以．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，等高的兩三角形的面積的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)由等高的兩三角形的面積關(guān)系入手是解答本題的關(guān)鍵．23.在不透明的袋子里裝有2個(gè)紅球、1個(gè)藍(lán)球（除顏色外其余都相同）．（1）第一次任意摸出一個(gè)球（不放回），第二次再摸出一個(gè)球，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求兩次摸到一紅一藍(lán)的概率．（2）若向袋中再放入若干個(gè)同樣的藍(lán)球，攪拌均勻后，使從袋中摸出一個(gè)藍(lán)球的概率為，求后來(lái)放入袋中的藍(lán)球個(gè)數(shù)．【答案】（1）；（2）9個(gè)【分析】（1）根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖后，數(shù)出可能的結(jié)果總數(shù)及兩次摸到不同顏色球的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率的意義可得解；（2）設(shè)放入x個(gè)藍(lán)球，再根據(jù)概率的意義得到方程，解方程后可以得解．【詳解】解：(1)如圖所示，共有6種可能結(jié)果，每種結(jié)果發(fā)生的可能性相等；其中兩次摸到不同顏色球包含其中4種結(jié)果，所以兩次摸到不同顏色球的概率為；(2)設(shè)放入x個(gè)藍(lán)球，由題意，得：，解得：x=9，經(jīng)檢驗(yàn)，x=9是原方程的解，所以，放入袋中的藍(lán)球?yàn)?個(gè)．24.如圖，已知，⊙O的半徑，弦AB，CD交于點(diǎn)E，C為的中點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)的直線交AB延長(zhǎng)線與點(diǎn)F，且DF=EF．（1）如圖①，試判斷DF與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖②，連接AC，若AC∥DF，BE=AE，求CE的長(zhǎng)．【答案】（1）DF與⊙O相切，理由見(jiàn)解析；（2）CE=2．【分析】（1）如圖，作輔助線；證明∠ODC+∠CDF=90°，即可解決問(wèn)題．（2）如圖，作輔助線；證明OH⊥AB，AH=4λ，此為解題的關(guān)鍵性結(jié)論；證明CE=λ；列出方程r2=（r-3λ）2+（4λ）2，求出λ=r=×=2，即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）DF與⊙O相切．如圖1，連接OC、OD；因?yàn)镃為弧AB中點(diǎn)，所以O(shè)C⊥AB，∠OCE+∠AEC=90°；所以DF=EF，所以∠FDE=∠FED=∠AEC；因?yàn)镺A=OC，所以∠OCE=∠ODC，所以∠ODC+∠CDF=90°，即OD⊥DF，所以DF與⊙O相切．（2）如圖2，連接OA、OC；由（1）知OC⊥AB，所以AH=BH；因?yàn)锳C∥DF，所以∠ACD=∠CDF；而EF=DF，所以∠DEF=∠CDF=∠ACD，所以AC=AE；設(shè)AE=5λ，則BE=3λ，所以AH=4λ，HE=λ，AC=AE=5λ；所以由勾股定理得：CH=3λ；CE2=CH2+HE2=9λ2+λ2，所以CE=λ；在直角△AOH中，由勾股定理得：AO2=AH2+OH2