黑龍江省大慶四校2025屆高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷含解析

黑龍江省大慶四校2025屆高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，，且，則（）A． B． C．1 D．22．已知點(diǎn)、．若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則使得的面積為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．3．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．4．已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．百年雙中的校訓(xùn)是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)中有這樣的一個(gè)小游戲.袋子中有大小、形狀完全相同的四個(gè)小球，分別寫有“仁”、“智”、“雅”、“和”四個(gè)字，有放回地從中任意摸出一個(gè)小球，直到“仁”、“智”兩個(gè)字都摸到就停止摸球.小明同學(xué)用隨機(jī)模擬的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生1到4之間（含1和4）取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，分別用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”這四個(gè)字，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示摸球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下20組隨機(jī)數(shù)：141432341342234142243331112322342241244431233214344142134412由此可以估計(jì)，恰好第三次就停止摸球的概率為（）A． B． C． D．6．設(shè)是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)，使（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，若，則的值等于（）A． B． C． D．8．若為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．從某市的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了部分男生，獲得了他們的身高數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)頻率分布直方圖，可知這部分男生的身高的中位數(shù)的估計(jì)值為A． B．C． D．10．若雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為()A．2 B． C． D．11．黨的十九大報(bào)告明確提出：在共享經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域培育增長(zhǎng)點(diǎn)、形成新動(dòng)能.共享經(jīng)濟(jì)是公眾將閑置資源通過(guò)社會(huì)化平臺(tái)與他人共享，進(jìn)而獲得收入的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象.為考察共享經(jīng)濟(jì)對(duì)企業(yè)經(jīng)濟(jì)活躍度的影響，在四個(gè)不同的企業(yè)各取兩個(gè)部門進(jìn)行共享經(jīng)濟(jì)對(duì)比試驗(yàn)，根據(jù)四個(gè)企業(yè)得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)畫出如下四個(gè)等高條形圖，最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟(jì)對(duì)該部門的發(fā)展有顯著效果的圖形是（）A． B．C． D．12．已知實(shí)數(shù)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知集合A＝，B＝，若AB中有且只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)______．14．已知中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，的面積為，則線段的取值范圍是__________.15．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______.16．四面體中，底面，，，則四面體的外接球的表面積為_(kāi)_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，空間幾何體中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，，平面平面，且平面平面，為中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求二面角平面角的余弦值.18．（12分）某機(jī)構(gòu)組織的家庭教育活動(dòng)上有一個(gè)游戲，每次由一個(gè)小孩與其一位家長(zhǎng)參與，測(cè)試家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣的了解程度．在每一輪游戲中，主持人給出A，B，C，D四種食物，要求小孩根據(jù)自己的喜愛(ài)程度對(duì)其排序，然后由家長(zhǎng)猜測(cè)小孩的排序結(jié)果．設(shè)小孩對(duì)四種食物排除的序號(hào)依次為xAxBxCxD，家長(zhǎng)猜測(cè)的序號(hào)依次為yAyByCyD，其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1，2，3，4四個(gè)數(shù)字的一種排列．定義隨機(jī)變量X＝（xA﹣yA）2+（xB﹣yB）2+（xC﹣yC）2+（xD﹣yD）2，用X來(lái)衡量家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣的了解程度．（1）若參與游戲的家長(zhǎng)對(duì)小孩的飲食習(xí)慣完全不了解．（?。┣笏麄?cè)谝惠営螒蛑?，?duì)四種食物排出的序號(hào)完全不同的概率；（ⅱ）求X的分布列（簡(jiǎn)要說(shuō)明方法，不用寫出詳細(xì)計(jì)算過(guò)程）；（2）若有一組小孩和家長(zhǎng)進(jìn)行來(lái)三輪游戲，三輪的結(jié)果都滿足X＜4，請(qǐng)判斷這位家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣是否了解，說(shuō)明理由．19．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為．且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，)，A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，過(guò)左焦點(diǎn)F的直線l交橢圓C于D，E兩點(diǎn)（其中D在x軸上方）．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若△AEF與△BDF的面積之比為1：7，求直線l的方程．20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，直線與曲線的交點(diǎn)為，求的值.21．（12分）已知中，角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，且（1）求角的大小；（2）求的值.22．（10分）已知函數(shù)（）（1）函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，解方程求得的值.【詳解】由于向量，，且，所以解得.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，以為底結(jié)合的面積計(jì)算出點(diǎn)到直線的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得出關(guān)于的方程，求出方程的解，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，即，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，解得，另一方面，由點(diǎn)到直線的距離公式得，整理得或，，解得或或.綜上，滿足條件的點(diǎn)共有三個(gè)．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積的計(jì)算，涉及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題．3、D【解析】

利用輔助角公式,化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性,并采用整體法,可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，由，解得，即函?shù)的增區(qū)間為，所以當(dāng)時(shí)，增區(qū)間的一個(gè)子集為.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了輔助角公式,考查正弦型函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,重點(diǎn)在于把握正弦函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)對(duì)于整體法的應(yīng)用,使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn),難度較易.4、B【解析】

畫出可行域，根據(jù)可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離，求得的取值范圍.【詳解】由約束條件作出可行域是由，，三點(diǎn)所圍成的三角形及其內(nèi)部，如圖中陰影部分，而可理解為可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，顯然原點(diǎn)到所在的直線的距離是可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值，此時(shí)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值，此時(shí).所以的取值范圍是.故選：B【點(diǎn)睛】本小題考查線性規(guī)劃，兩點(diǎn)間距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想，應(yīng)用意識(shí).5、A【解析】

由題意找出滿足恰好第三次就停止摸球的情況，用滿足恰好第三次就停止摸球的情況數(shù)比20即可得解.【詳解】由題意可知當(dāng)1，2同時(shí)出現(xiàn)時(shí)即停止摸球，則滿足恰好第三次就停止摸球的情況共有五種：142，112，241，142，412.則恰好第三次就停止摸球的概率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中隨機(jī)數(shù)的應(yīng)用和古典概型概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

利用向量運(yùn)算可得，即，由為的中位線，得到，所以，再根據(jù)雙曲線定義即可求得離心率.【詳解】取的中點(diǎn)，則由得，即；在中，為的中位線，所以，所以；由雙曲線定義知，且，所以，解得，故選：D【點(diǎn)睛】本題綜合考查向量運(yùn)算與雙曲線的相關(guān)性質(zhì)，難度一般.7、B【解析】

由函數(shù)的奇偶性可得，【詳解】∵其中為奇函數(shù)，也為奇函數(shù)∴也為奇函數(shù)∴故選：B【點(diǎn)睛】函數(shù)奇偶性的運(yùn)用即得結(jié)果，小記，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)有：①奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù)；②奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)；③奇函數(shù)÷奇函數(shù)=偶函數(shù)；④偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù)；⑤偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)；⑥奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù)；⑦奇函數(shù)÷偶函數(shù)=奇函數(shù)8、B【解析】

首先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值將復(fù)數(shù)化為，求出，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】，，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第二象限.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)的概念、特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

由題可得，解得，則，，所以這部分男生的身高的中位數(shù)的估計(jì)值為，故選C．10、C【解析】

利用圓心到漸近線的距離等于半徑即可建立間的關(guān)系.【詳解】由已知，雙曲線的漸近線方程為，故圓心到漸近線的距離等于1，即，所以，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求法，求雙曲線離心率問(wèn)題，關(guān)鍵是建立三者間的方程或不等關(guān)系，本題是一道基礎(chǔ)題.11、D【解析】根據(jù)四個(gè)列聯(lián)表中的等高條形圖可知，圖中D中共享與不共享的企業(yè)經(jīng)濟(jì)活躍度的差異最大，它最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟(jì)對(duì)該部門的發(fā)展有顯著效果，故選D．12、D【解析】

根據(jù)題意，對(duì)于函數(shù)分2段分析：當(dāng)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析可得①，當(dāng)，由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得，在上恒成立，變形可得②，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，分析可得③，聯(lián)立三個(gè)式子，分析可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

當(dāng)，若為增函數(shù)，則①，

當(dāng)，若為增函數(shù)，必有在上恒成立，

變形可得：，

又由，可得在上單調(diào)遞減，則，

若在上恒成立，則有②，

若函數(shù)在上單調(diào)遞增，左邊一段函數(shù)的最大值不能大于右邊一段函數(shù)的最小值，則需有，③

聯(lián)立①②③可得：.

故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)以及應(yīng)用，注意分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

利用AB中有且只有一個(gè)元素，可得，可求實(shí)數(shù)a的值.【詳解】由題意AB中有且只有一個(gè)元素，所以，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，集合交集的運(yùn)算本質(zhì)是存同去異，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).14、【解析】

設(shè)，利用正弦定理，根據(jù)，得到①，再利用余弦定理得②，①②平方相加得：，轉(zhuǎn)化為有解問(wèn)題求解.【詳解】設(shè)，所以，即①由余弦定理得，即②，①②平方相加得：，即，令，設(shè)，在上有解，所以，解得，即，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于難題.15、【解析】

根據(jù)遞推公式，以及之間的關(guān)系，即可容易求得，再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，求得其最大值，則參數(shù)的范圍可求.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得.所以.因?yàn)?，則，兩式相減，可得，即，則.兩式相減，可得.所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，所以，則.令，則.當(dāng)時(shí)，，數(shù)列單調(diào)遞減，而，，，故，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，涉及數(shù)列單調(diào)性的判斷，屬綜合困難題.16、【解析】

由題意畫出圖形，補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，求其對(duì)角線長(zhǎng)，可得四面體外接球的半徑，則表面積可求．【詳解】解：如圖，在四面體中，底面，，，可得，補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，則過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為1，1，，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，則三棱錐的外接球的半徑為1．其表面積為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球表面積的求法，補(bǔ)形是關(guān)鍵，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，，，要證明平面，只需證明面∥面即可.（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別計(jì)算面的法向量，面的法向量可取，并判斷二面角為銳角，再利用計(jì)算即可.【詳解】（1）證明：分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，，.由平面平面，且交于，平面，有平面，由平面平面，且交于，平面，有平面，所以∥，又平面，平面，所以∥平面，由，有，∥，又平面，平面，所以∥平面，由∥平面，∥平面，，所以平面∥平面，所以∥平面（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以為軸，以為軸，以為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系由面，所以面的法向量可取，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，，，設(shè)面的法向量，所以，取，二面角的平面角為，則為銳角.所以【點(diǎn)睛】本題考查由面面平行證明線面平行以及向量法求二面角的余弦值，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，在做此類題時(shí)，一定要準(zhǔn)確寫出點(diǎn)的坐標(biāo).18、（1）（?。áⅲ┓植急硪?jiàn)解析；（2）理由見(jiàn)解析【解析】

（1）（i）若家長(zhǎng)對(duì)小孩子的飲食習(xí)慣完全不了解，則家長(zhǎng)對(duì)小孩的排序是隨意猜測(cè)的，家長(zhǎng)的排序有種等可能結(jié)果，利用列舉法求出其中滿足“家長(zhǎng)的排序與對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字完全不同”的情況有9種，由此能求出他們?cè)谝惠営螒蛑校瑢?duì)四種食物排出的序號(hào)完全不同的概率．

（ii）根據(jù)（i）的分析，同樣只考慮小孩排序?yàn)?234的情況，家長(zhǎng)的排序一共有24種情況，由此能求出X的分布列．

（2）假設(shè)家長(zhǎng)對(duì)小孩的飲食習(xí)慣完全不了解，在一輪游戲中，P（X＜4）=P（X=0）+P（X=2）=，三輪游戲結(jié)果都滿足“X＜4”的概率為，這個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性很小，從而這位家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣比較了解．【詳解】（1）（i）若家長(zhǎng)對(duì)小孩子的飲食習(xí)慣完全不了解，則家長(zhǎng)對(duì)小孩的排序是隨意猜測(cè)的，先考慮小孩的排序?yàn)閤A，xB，xC，xD為1234的情況，家長(zhǎng)的排序有＝24種等可能結(jié)果，其中滿足“家長(zhǎng)的排序與對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字完全不同”的情況有9種，分別為：2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，∴家長(zhǎng)的排序與對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字完全不同的概率P＝．基小孩對(duì)四種食物的排序是其他情況，只需將角標(biāo)A，B，C，D按照小孩的順序調(diào)整即可，假設(shè)小孩的排序xA，xB，xC，xD為1423的情況，四種食物按1234的排列為ACDB，再研究yAyByCyD的情況即可，其實(shí)這樣處理后與第一種情況的計(jì)算結(jié)果是一致的，∴他們?cè)谝惠営螒蛑校瑢?duì)四種食物排出的序號(hào)完全不同的概率為．（ii）根據(jù)（i）的分析，同樣只考慮小孩排序?yàn)?234的情況，家長(zhǎng)的排序一共有24種情況，列出所有情況，分別計(jì)算每種情況下的x的值，X的分布列如下表：X02468101214161820P（2）這位家長(zhǎng)對(duì)小孩的飲食習(xí)慣比較了解．理由如下：假設(shè)家長(zhǎng)對(duì)小孩的飲食習(xí)慣完全不了解，由（1）可知，在一輪游戲中，P（X＜4）＝P（X＝0）+P（X＝2）＝，三輪游戲結(jié)果都滿足“X＜4”的概率為（）3＝，這個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性很小，∴這位家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣比較了解．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．19、（1）（2）．【解析】

（1）利用離心率和橢圓經(jīng)過(guò)的點(diǎn)建立方程組，求解即可.（2）把面積之比轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可求.【詳解】解：（1）設(shè)焦距為2c，由題意知：；解得，所以橢圓的方程為.（2）由（1）知：F(﹣1，0)，設(shè)l：，D(，)，E(，)，＜0＜①，，，②；③；由①②得：，，代入③得：，又，故，因此，直線l的方程為．【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓方程的求解及橢圓中的面積問(wèn)題，橢圓方程一般利用待定系數(shù)法，建立方程組進(jìn)行求解，面積問(wèn)題的合理轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).2