《高考數(shù)學壓軸題通法訓練•高分必刷系列》專題12三角函數(shù)（全題型壓軸題）含答案及解析

專題12三角函數(shù)（全題型壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①三角函數(shù)的圖象與性質 1②函數(shù)的圖象變換 2③三角函數(shù)零點問題（解答題） 3④三角函數(shù)解答題綜合 6①三角函數(shù)的圖象與性質1．（2023春·遼寧大連·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（，，）在區(qū)間上單調(diào)，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．2．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學?？级＃┮阎?，若對任意實數(shù)都有，其中，則的所有可能的取值有（

）A．2個 B．4個 C．6個 D．8個3．（2023春·湖北恩施·高一利川市第一中學校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，且，都有，則的取值范圍可能是（

）A． B． C． D．4．（2023春·河南駐馬店·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若對任意的，當時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍（

）A． B． C． D．5．（2023·海南海口·?？寄M預測）已知定義在R上的奇函數(shù)與偶函數(shù)滿足，若，則的取值范圍是.6．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高一景德鎮(zhèn)一中?？计谀┮阎x在上的偶函數(shù)，當時滿足，關于的方程有且僅有6個不同實根，則實數(shù)的取值范圍是.7．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)，若，對于任意的都有，且在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值為.8．（2023春·江西宜春·高一上高中學校考期中）已知函數(shù)在上有兩個不同的零點，則滿足條件的所有m的值組成的集合是．②函數(shù)的圖象變換1．（2023春·四川綿陽·高一四川省綿陽南山中學?？计谥校┤舭押瘮?shù)的圖象向左平移（）個單位長度后，得到的圖象，則m的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2023·福建寧德·?？寄M預測）已知函數(shù)圖象的相鄰的對稱軸之間的距離為2，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度﹐再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍﹐縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式為（

）A． B．C． D．3．（2023·陜西西安·西安市大明宮中學?？寄M預測）將的圖象向左平移個單位長度后與函數(shù)的圖象重合，則的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預測）若將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，函數(shù)圖象關于原點對稱，則.5．（2023春·江蘇南京·高二?？计谀┮阎瘮?shù)的最小正周期為，，且的圖象關于點中心對稱，若將的圖象向右平移個單位長度后圖象關于軸對稱，則實數(shù)的最小值為.6．（2023春·上海普陀·高一上海市宜川中學?？计谥校⒑瘮?shù)的圖像向左平移個單位后得到函數(shù)，若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則．③三角函數(shù)零點問題（解答題）1．（2023春·四川綿陽·高一綿陽南山中學實驗學校?？茧A段練習）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變，得到的圖象，若在區(qū)間上至少有2個零點.當取得最小值時，對，都有成立，求的取值范圍.2．（2023春·四川成都·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，且的最小正周期為.(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若函數(shù)在有且僅有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.3．（2023春·四川達州·高一四川省萬源中學?？计谥校┮阎?，(1)求以及的單調(diào)減區(qū)間；(2)若在上有唯一解，求的取值范圍.4．（2023春·四川遂寧·高一射洪中學?？茧A段練習）已知函數(shù)的最大值為，與直線的相鄰兩個交點的距離為.將的圖象先向右平移個單位，保持縱坐標不變，再將每個點的橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數(shù).(1)求的解析式.(2)若，且方程在上有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.5．（2023春·福建福州·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的對稱中心；(2)先將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度，再將所得圖像上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖像，設函數(shù)，試討論函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)．6．（2023春·福建福州·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)的圖象上相鄰兩個最高點的距離為．(1)求函數(shù)的圖象的對稱軸；(2)若函數(shù)在內(nèi)有兩個零點，求m的取值范圍及的值．7．（2023春·江西·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，且．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點，求的取值范圍和的值．8．（2023春·湖北咸寧·高一統(tǒng)考期末）已知的部分圖象如圖所示，兩點是與軸的交點，為該部分圖像上一點，且的最大值為4；

(1)求的解析式；(2)將圖像向左平移個單位得到的圖像，設在上有三個不同的實數(shù)根，求的值.④三角函數(shù)解答題綜合1．（2023春·四川成都·高一四川省成都列五中學校考階段練習）已知為坐標原點，對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的伴隨向量，同時稱函數(shù)為向量的伴隨函數(shù).(1)設函數(shù)，試求的伴隨向量；(2)記向量的伴隨函數(shù)為，求當且時，的值；(3)已知將（2）中的函數(shù)的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的倍，再把整個圖象向右平移個單位長度得到的圖象，若存在，使成立，求a的取值范圍.2．（2023·全國·高一專題練習）已知為坐標原點，對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的聯(lián)合向量，同時稱函數(shù)為向量的聯(lián)合函數(shù)．(1)設函數(shù)，試求函數(shù)的聯(lián)合向量的坐標；(2)記向量的聯(lián)合函數(shù)為，當且時，求的值；(3)設向量，的聯(lián)合函數(shù)為，的聯(lián)合函數(shù)為，記函數(shù)，求在上的最大值．3．（2023春·河南駐馬店·高一統(tǒng)考期末）已知向量.(1)當時，函數(shù)取得最大值，求的最小值及此時的解析式；(2)現(xiàn)將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象.已知是函數(shù)與圖象上連續(xù)相鄰的三個交點，若是銳角三角形，求的取值范圍.4．（2023春·四川成都·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位得到的圖象，.(1)若，求；(2)若對任意，存在使得成立，求實數(shù)的取值范圍.5．（2023春·福建泉州·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小值；(2)設函數(shù)，記最大值為，最小值為，若實數(shù)滿足，如果函數(shù)在定義域內(nèi)不存在零點，試求實數(shù)的取值范圍.6．（2023春·湖北武漢·高一校聯(lián)考期中）對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù)．記向量的相伴函數(shù)為．(1)當且時，求的值；(2)當時，不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

專題12三角函數(shù)（全題型壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①三角函數(shù)的圖象與性質 1②函數(shù)的圖象變換 9③三角函數(shù)零點問題（解答題） 12④三角函數(shù)解答題綜合 20①三角函數(shù)的圖象與性質1．（2023春·遼寧大連·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（，，）在區(qū)間上單調(diào)，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】，，，在區(qū)間單調(diào)，，，，，，，，，，，，，，，，.故選：A.2．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學?？级＃┮阎?，若對任意實數(shù)都有，其中，則的所有可能的取值有（

）A．2個 B．4個 C．6個 D．8個【答案】C【詳解】由已知得，∵對于任意實數(shù)都有成立，即對于任意實數(shù)都有成立，∴與的最值和最小正周期相同，∴，即．①當時，，又或；②當時，，又或；③當時，，又；④當時，，又．綜上所述，滿足條件的的值有6個．故選：C．3．（2023春·湖北恩施·高一利川市第一中學校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，且，都有，則的取值范圍可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，得，設，由于，且，時，可知在上單調(diào)遞減，由正弦函數(shù)性質可知，故當時，，即時，即時，已知不等式成立，故選項A正確，B錯誤；對于選項C，當時，，當時，，顯然此時的在上不是單調(diào)遞減，故選項C錯誤；對于選項D，當時，，顯然此時的在上不是單調(diào)遞減，故選項D錯誤；故選：A4．（2023春·河南駐馬店·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若對任意的，當時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】所以得，進而，故，由于對任意的，當時，，恒成立，不妨設，則問題轉化成在單調(diào)遞減，所以其中,解得，故選：B5．（2023·海南?？凇ば？寄M預測）已知定義在R上的奇函數(shù)與偶函數(shù)滿足，若，則的取值范圍是.【答案】【詳解】由已知①，用代換得，因為函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)為定義在R上的偶函數(shù)，所以②，①+②得，①-②得，則，當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，，所以化為，所以，所以，所以，解得或，又且，所以，所以，則的取值范圍是.故答案為：.6．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高一景德鎮(zhèn)一中?？计谀┮阎x在上的偶函數(shù)，當時滿足，關于的方程有且僅有6個不同實根，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】根據(jù)題意，當時，，因為，可得，所以在單調(diào)遞增，，又由時，為單調(diào)遞減函數(shù)，且，因為函數(shù)是上的偶函數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，

設，則方程可化為，由圖象可得：當時，方程有2個實數(shù)根；當時，方程有4個實數(shù)根；當時，方程有2個實數(shù)根；當時，方程有1個實數(shù)根；要使得有6個不同的根，設是方程的兩根，設，①，當時，可得，可得，此時方程為，解得，不滿足，所以無解.②，即，解得，綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.7．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)，若，對于任意的都有，且在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值為.【答案】18【詳解】由于，則的圖像關于直線對稱，則

…①，）…②，①-②得，，令，則，的最小正周期，在區(qū)間上單調(diào)，，

，解得，當時，，則②式為，又，此時，當

時，，此時不單調(diào)，不符合題意，舍去；當時，，則②式為，又，當時，，當時，，此時

，當

時，，此時單調(diào)，符合題意，故答案為：18.8．（2023春·江西宜春·高一上高中學?？计谥校┮阎瘮?shù)在上有兩個不同的零點，則滿足條件的所有m的值組成的集合是．【答案】【詳解】解：，令，則，則當時，顯然無解；當時可化為.利用對勾函數(shù)的性質與圖象可知（如下圖所示）：①當時，即，此時或，符合題意；②當時，即或，此時或，符合題意；③當時，即，由可得，易知當時，只有一個解滿足，不符合題意；④當時，即，方程有兩根，不妨記為，其中，只有一個根，有兩個根，故方程有3個解，也不符合題意.∴滿足條件的所有m的值組成的集合是：.故答案為：②函數(shù)的圖象變換1．（2023春·四川綿陽·高一四川省綿陽南山中學校考期中）若把函數(shù)的圖象向左平移（）個單位長度后，得到的圖象，則m的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后為函數(shù)，所以，則又，所以m的最小值為.故選：C.2．（2023·福建寧德·校考模擬預測）已知函數(shù)圖象的相鄰的對稱軸之間的距離為2，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度﹐再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍﹐縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】，由題意知，最小正周期，又，所以，所以；將的圖象向右平移個個單位后，得到的圖象，再將所得圖象所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到的圖象，所以.故選：D3．（2023·陜西西安·西安市大明宮中學?？寄M預測）將的圖象向左平移個單位長度后與函數(shù)的圖象重合，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】將的圖象向左平移個單位長度后，得到，則，解得，所以當時，的最小值為.故選：C.4．（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預測）若將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，函數(shù)圖象關于原點對稱，則.【答案】/【詳解】因為，就函數(shù)圖象向右平移個單位后得到，又因為函數(shù)圖象關于原點對稱，所以，，因為，所以的值是.故答案為：.5．（2023春·江蘇南京·高二校考期末）已知函數(shù)的最小正周期為，，且的圖象關于點中心對稱，若將的圖象向右平移個單位長度后圖象關于軸對稱，則實數(shù)的最小值為.【答案】/【詳解】，，且，，即，的圖象關于點中心對稱，，且，即，解得，，取，，，將的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，此函數(shù)的圖象關于軸對稱，，解得，，當時，得.故答案為：.6．（2023春·上海普陀·高一上海市宜川中學?？计谥校⒑瘮?shù)的圖像向左平移個單位后得到函數(shù)，若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則．【答案】【詳解】因為將函數(shù)的圖像向左平移個單位后得到函數(shù)，所以，因為函數(shù)是上的偶函數(shù)，所以，得，且，即，所以.故答案為：.③三角函數(shù)零點問題（解答題）1．（2023春·四川綿陽·高一綿陽南山中學實驗學校?？茧A段練習）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，得到的圖象，若在區(qū)間上至少有2個零點.當取得最小值時，對，都有成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)或【詳解】（1）令，的增區(qū)間為，則，解得的增區(qū)間為（2）由題意得：，因為在區(qū)間上至少有2個零點，所以，解得，所以的最小值為，即，因為當時，，，所以的最大值為3，故，，解得：或.2．（2023春·四川成都·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，且的最小正周期為.(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若函數(shù)在有且僅有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）函數(shù)，因為，所以，解得所以.由得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由（1）可知，在上為增函數(shù)；在上為減函數(shù)由題意可知：，即解得，故實數(shù)的取值范圍為.3．（2023春·四川達州·高一四川省萬源中學?？计谥校┮阎?1)求以及的單調(diào)減區(qū)間；(2)若在上有唯一解，求的取值范圍.【答案】(1)；減區(qū)間為(2)【詳解】（1）因為所以由，得，所以的單調(diào)減區(qū)間，（2）由，得，則，由，得，因為在上有唯一解，所以，得.4．（2023春·四川遂寧·高一射洪中學校考階段練習）已知函數(shù)的最大值為，與直線的相鄰兩個交點的距離為.將的圖象先向右平移個單位，保持縱坐標不變，再將每個點的橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數(shù).(1)求的解析式.(2)若，且方程在上有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為函數(shù)的最大值為，所以，又與直線的相鄰兩個交點的距離為，所以，所以，則.將的圖象先向右平移個單位，保持縱坐標不變，得到，再將每個點的橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數(shù).（2），在上有實數(shù)解，即在上有實數(shù)解，即在上有實數(shù)解，令，所以，由，所以，所以，則，同時，所以，所以在上有實數(shù)解，等價于在上有解，即在上有解，①時，無解；②時，有解，即在有解，即在有解，令，，則，則，當且僅當，即時，等號成立，所以的值域為，所以在有解等價于.綜上：.5．（2023春·福建福州·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的對稱中心；(2)先將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度，再將所得圖像上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖像，設函數(shù)，試討論函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)．【答案】(1)(2)答案見詳解【詳解】（1），由得，所以的對稱中心為（2）將的圖像向右平移個單位長度，得的圖像，再將該圖像所有點的橫坐標縮短為原來的(縱坐標不變)，得到的圖像，故，作函數(shù)在區(qū)間的圖像如圖：

由圖可知，當或時，在區(qū)間內(nèi)一個零點；當時，在區(qū)間內(nèi)兩個零點；當或時，在區(qū)間內(nèi)沒有零點.6．（2023春·福建福州·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)的圖象上相鄰兩個最高點的距離為．(1)求函數(shù)的圖象的對稱軸；(2)若函數(shù)在內(nèi)有兩個零點，求m的取值范圍及的值．【答案】(1)(2);【詳解】（1）由函數(shù)的圖象上相鄰兩個最高點的距離為，可得函數(shù)最小正周期為，故，令，則，即函數(shù)的圖象的對稱軸為；（2）由可知，則，函數(shù)在內(nèi)有兩個零點，則的圖象與直線有2個交點，結合在時的圖象可知需滿足，

令，則，故兩個零點關于對稱，則，故.7．（2023春·江西·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，且．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點，求的取值范圍和的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）．由知，的圖像關于點對稱，所以，得．因為，所以，即函數(shù)．（2），當時，．函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點，令，則在上有3個不相等的根．即與在的圖像上恰有3個交點，作出與的圖像，如圖所示，

由圖可知，，且，所以．故的取值范圍為的值為．8．（2023春·湖北咸寧·高一統(tǒng)考期末）已知的部分圖象如圖所示，兩點是與軸的交點，為該部分圖像上一點，且的最大值為4；

(1)求的解析式；(2)將圖像向左平移個單位得到的圖像，設在上有三個不同的實數(shù)根，求的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）依題意，，故，從而，而為對稱軸，故，則，根據(jù)可知，，設為的中點，則，則的最大值為2，因此，從而.（2）依題意，，則在存在三個實數(shù)根，設，的三個零點滿足，從而，故.④三角函數(shù)解答題綜合1．（2023春·四川成都·高一四川省成都列五中學?？茧A段練習）已知為坐標原點，對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的伴隨向量，同時稱函數(shù)為向量的伴隨函數(shù).(1)設函數(shù)，試求的伴隨向量；(2)記向量的伴隨函數(shù)為，求當且時，的值；(3)已知將（2）中的函數(shù)的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的倍，再把整個圖象向右平移個單位長度得到的圖象，若存在，使成立，求a的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1），所以.（2）依題意，由得，，所以，所以.（3）將圖象上各點的橫坐標縮短到原來的倍，得，再把整個圖象向右平移個單位長度，得，所以，若，則，所以令，則可化為，即，因為函數(shù)是開口向上，對稱軸為的二次函數(shù)，所以時，函數(shù)單調(diào)遞減；時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，又當時，；當時，，所以；因為存在，使成立，所以存在使成立，因此只需.

-2．（2023·全國·高一專題練習）已知為坐標原點，對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的聯(lián)合向量，同時稱函數(shù)為向量的聯(lián)合函數(shù)．(1)設函數(shù)，試求函數(shù)的聯(lián)合向量的坐標；(2)記向量的聯(lián)合函數(shù)為，當且時，求的值；(3)設向量，的聯(lián)合函數(shù)為，的聯(lián)合函數(shù)為，記函數(shù)，求在上的最大值．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）因為，所以函數(shù)的聯(lián)合向量的坐標為.（2）依題意，由，得，即，又因為，所以，所以.（3）由題知，，所以因為，，所以，，令，所以，問題轉化為函數(shù)上的最大值問題.因為函數(shù)的對稱軸為，所以，當，即時，的最大值在處取得，此時；當，即時，的最大值在處取得，此時；當，即時，的最大值在處取得，此時；綜上，在上的最大值為.3．（2023春·河南駐馬店·高一統(tǒng)考期末）已知向量.(1)當時，函數(shù)取得最大值，求的最小值及此時的解析式；(2)現(xiàn)將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象.已知是函數(shù)與圖象上連續(xù)相鄰的三個交點，若是銳角三角形，求的取值范圍.【答案】(1)，(2)【詳解】（1），當時，函數(shù)取得最大值，即，解得，且，則，此時；（2）由函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位，得到，由（1）知，作出兩個函數(shù)圖象，如圖：

為連續(xù)三交點，（不妨設在軸下方），為的中點，由對稱性可得是以為頂角的等腰三角形，根據(jù)圖像可得，即，由兩個