廣東省東莞市八校聯考2024-2025學年九年級上學期期中數學試卷

九年級（上）期中數學試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.下列各曲線是在平面直角坐標系xOy中根據不同的方程繪制而成的，其中是中心對稱圖形的是（）

2.將等腰直角三角形按如圖所示放置，然后繞點。逆時針旋轉90。至△

A08'的位置，點8的橫坐標為2,則點4的坐標為（）

A.（1,1）

B.（72,AA2）

C.（-1,1）

D.(-72,72)

3.已知拋物線y=a/+bx和直線y=ax+b在同一坐標系內的圖象如圖，其中正確的是（）

4.將拋物線y=/向上平移3個單位后所得的解析式為（）

A.y=%2+3B.y=%2—3C.y=(x+3)2D.y=(久—3)2

5.拋物線y=2（久一5/+3的頂點坐標是（）

A.(5,3)B.(-5,3)C.(5,-3)D.(-5,-3)

6.某小區(qū)2018年綠化面積為3000平方米,計劃2020年綠化面積達到3880平方米，如果每年綠化面積的

增長率相同，設每年的增長率為x,下列方程正確的是（）

A.3000(1+x)2=3880B.3000(1+K)=3880

C.3000(1-2x)=3880D.3880(1-x)=3000

7.用配方法解方程/+4x=l,變形后結果正確的是()

A.(%-2>=2B.(%+2/=2C.(%-2)2=5D.(%+2)2=5

8.等腰三角形邊長分別為a,b,2,且6是關于x的一元二次方程/-6x+n-1=0的兩根，貝！I"的

值為()

A.9B.10C.9或10D.8或10

9.二次函數y=ax2+bx+c(a豐0)的圖象如圖所示，則下列關系式中正確的是(

A.ac>0

B.b+2a<0

C.b2—4ac>0

D.a—b+c<0

10.如圖，拋物線y=a/+bx+c的對稱軸為％=-1,且經過點(-3,0),下列結

論：

①abc<0；

②若(—4,月)和(3,%)是拋物線上兩點，則>先；

③a+6+c<0；

④對于任意實數”z,均有am?+人爪+cN—4a.

其中正確的結論的個數是()

A.1個

B.2個

C.3個

D.4個

二、填空題：本題共7小題，每小題4分，共28分。

11.在平面直角坐標系中，點P(-2,3)關于原點對稱的點的坐標為.

12.拋物線y=/—4尤+3與y軸的交點坐標是.

13.關于x的一元二次方程(m+3)x2+5x+m2+2m-3=0有一個根為0,則m=,

14.已知y=久+1)2-2,當x時，函數值隨x的增大而減小.

15.試寫出一個開口方向向上的拋物線解析式

16.如圖，直線y=for+b與拋物線y=-/+2x+3交于點4,B,且點A

在y軸上，點B在x軸上，則不等式一/+2x+3>kx+b的解集為

17.如圖，將矩形ABCD繞點8順時針旋轉90。至E2GP的位置，連接AC,EG,取AC,EG的中點M,N

連接MN,若4B=8,BC=6,則MN=.

三、計算題：本大題共3小題，共20分。

18.解方程：x(x-3)+x-3=0.

19.解方程：x2-3x-1=0.

20.已知打,孫是一元二次方程2--2x+m+l=0的兩個實數根.

(1)求實數機的取值范圍；

(2)如果尤1，冷滿足不等式7+4久1乂2>好+底，且加為整數,求機的值.

四、解答題：本題共5小題，共42分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

21.(本小題6分)

已知二次函數y=(x+2/—1.

(1)在給定的平面直角坐標系中，畫出這個函數的圖象(列表、描點、連線)；

X.??.??

???.??

y

(2)當_____時，函數y的值大于0.(填尤的取值范圍).

22.(本小題8分)

如圖，若籬笆(虛線部分)的長度為16口，當所圍成矩形ABC。的面積是60爪2時(墻足夠長).

(1)求矩形的長是多少？

(2)當矩形的長是多少矩形的面積w有最大值？最大值是多少？

-----；-----------------------Q

B

23.(本小題8分)

如圖，將RtA/lBC(其中NB=28。，NC=90。)繞點A按順時針方向旋轉到AaBiCi的位置，使得點C、A、

當在同一條直線上，那么旋轉角多少？

24.(本小題10分)

已知二次函數y=-2x2+bx+c的圖象經過4(0,4)和B(l,-2).

(1)求該拋物線的解析式；

(2)求拋物線的頂點坐標.

25.(本小題10分)

如圖，已知拋物線y=-。/+6%+3與無軸交于A、8兩點，與y軸交于點C,若已知8點的坐標為

"4

5(6,0).

(1)求拋物線的解析式及其對稱軸；

(2)在此拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使得APAC的周長最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存

在，請說明理由.

(3)M為線段BC上方拋物線上一點，N為線段8C上的一點，若MN〃y軸，求MN的最大值.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：選項A、2、。均不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180度后和原圖形完全重合，

所以不是中心對稱圖形，

選項C能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180度后和原圖形完全重合，所以是中心對稱圖形，

故選：C.

根據中心對稱圖形的概念求解.在同一平面內，如果把一個圖形繞某一點旋轉180度，旋轉后的圖形能和

原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.這個旋轉點，就叫做圖形的對稱中心.

此題主要考查了中心對稱圖形的概念.中心對稱圖形是要尋找對稱中心，將其繞對稱中心旋轉180度后與

原圖重合.

2.【答案】C

【解析】解：如圖，過點A作/1C1OB于C,過點4作4C'1OB'于C',

是等腰直角三角形，點2的橫坐標為2,

OC=AC=^X2=1,

?■?ANOB，是A2。8繞點0逆時針旋轉90。得到，

0C=。。=1,A'C=AC=1,

???點A的坐標為

故選：C.

過點A作AC10B于C,過點4作AC'1OB'于C',根據等腰直角三角形的性質求出。C=AC,再根據旋轉

的性質可得。C'=。。，A'CAC,然后寫出點A的坐標即可.

本題考查了坐標與圖形變化-旋轉，主要利用了等腰直角三角形的性質，旋轉變換只改變圖形的位置不改變

圖形的形狀與大小的性質.

3.【答案】D

【解析】解：A、由二次函數的圖象可知a<0,由直線可知a>0,矛盾，故A可排除；

B、由二次函數的圖象可知a<0,對稱軸在y軸的右側，可知a、Z?異號，b>0,由直線y=aX+b應經

過二、三、四象限可知。<0,h<0,矛盾，故B可排除；

C、由二次函數的圖象可知。>0,由直線y=a%+b可知aV0,矛盾，故?？膳懦?；

D、由二次函數的圖象可知a>0,對稱軸在y軸的右側，可知〃、b異號，h<0,由直線y=ax+b應經

過一、三、四象限可知a>0,b<0,一致，故。符合題意.

故選：D.

本題可先由二次函數圖象得到字母系數的正負，再與一次函數的圖象相比較看是否一致.逐一排除.

此題主要考查了一次函數圖象與二次函數圖象，應該熟記一次函數y=kx+b在不同情況下所在的象限,

以及熟練掌握二次函數的有關性質：開口方向、對稱軸、頂點坐標等.

4.【答案】A

【解析】解：???拋物線y=/向上平移3個單位，

二平移后的解析式為：y=x2+3,

故選：A.

根據二次函數圖象變化規(guī)律：左加右減，上加下減，進而得出變化后的解析式.

此題考查了拋物線圖象的平移規(guī)律，熟練記憶二次函數圖象平移規(guī)律是解題關鍵.

5.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查了二次函數的性質.拋物線的頂點式丫=或%-%)2+鼠頂點坐標為(h,k),

已知拋物線解析式為頂點式，可直接求頂點坐標.

【解答】

解：由拋物線y=2。-5產+3可知，

拋物線頂點坐標為(5,3).

故選：A.

6.【答案】A

【解析】解：由題意得：3000(1+%)2=3880.

故選：A.

根據題意得2019年綠化面積為3000(1+久)平方米，則2020年的綠化面積為3000(1+%)(1+久)平方米,

然后可得方程.

本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程.

7.【答案】D

【解析】解：x2+4x=1,

則/+4%+4=1+4,即(x+2/=5,

故選：D.

兩邊都加上一次項系數一半的平方配成完全平方式后即可得出答案.

本題主要考查解一元二次方程的方法-配方法，掌握配方法是解本題的關鍵.

8.【答案】B

【解析】解：???三角形是等腰三角形，

.,.①a=2,或b=2,②a=b兩種情況，

①當a=2,或6=2時，

a,b是關于x的一元二次方程比2-6x+n-1=0的兩根，

%-2,

把％=2代入/-6%+n-1=0得，22-6x2+71-1=0,

解得：n=9,

當n=9時，方程的兩根是2和4,而2,4,2不能組成三角形，

故71=9不合題意，

②當a=b時，方程/一6x+n-1=0有兩個相等的實數根，

；.△=(-6)2-4(n-1)=0

解得：n=10,

當n=10時，方程的兩根是3和3,

3,3,2能組成三角形，符合題意，

故選：B.

由三角形是等腰三角形，得到①a=2,或b=2,②a=6,①當a=2,或6=2時，得到方程的根x=

2,把x=2代入爐—6x+幾—1=0,即可得到結果；②當a=b時，方程產-6無+n-1=0有兩個相等

的實數根，由△=()可得結果.

本題考查了等腰三角形的性質，一元二次方程的根，一元二次方程的根的判別式，注意分類討論思想的應

用.

9.【答案】C

【解析】【分析】考查二次函數圖象與系數的關系；用到的知識點為：二次函數的開口向上，a>0；二

次函數與y軸交于負半軸，c<0；二次函數與無軸有2個交點，b2-4ac>0；a-b+c的符號用當x=

-1時，函數值的正負判斷.

由拋物線的開口方向判斷。與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據對稱軸及拋

物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷.

【解答】

解：A、由函數圖象可知二次函數y=a/+力％+。的開口向上，即。>o,交于y軸的負半軸c<0,ac<

0,故本選項錯誤；

B、由函數圖象可知對稱軸x=-*<1,所以一6<2a,即2a+b>0,故本選項錯誤；

C、由函數圖象可知二次函數y=。/+力%+。與1軸有兩個交點，則非-4ac>0.故本選項正確；

D、由函數圖象可知當％=-1時，y>0,a—b+c>0,故本選項錯誤.

故選：C.

10.【答案】B

【解析】解：???二次函數的圖象開口向上，

???a>0,

???二次函數的圖象交y軸的負半軸于一點，

???c<0,

??,對稱軸是直線％=-1,

b=2a>0,

??.abc<0,故①正確；

???（一4/1）關于直線％=-1的對稱點的坐標是（2,yi）,

又???當》>-1時，y隨x的增大而增大，2<3,

*,-71<72，故②錯誤；

???拋物線的對稱軸為久=一1,且過點（一3,0）,

???拋物線與I軸另一交點為（1,0）.

??.當％=1時，y=a+b+c=o,故③錯誤；

???當％=1時，y=a+b+c=0,b=2a,

???c=-3a,

???拋物線的對稱軸為直線％=-1,

?,?當％=-1時，y有最小值，

am2+bm+c>a—h+c（zn為任意實數），

???am2+bm+c>—4a,故④正確，

故結論正確有2個.

故選：B.

根據開口方向確定。的符號，根據拋物線與y軸的交點確定c的符號，根據對稱軸確定。的符號，判斷

①；利用二次函數的性質判斷②；利用圖象得出與x軸的另一交點，進而得出a+b+c=O,即可判斷

③，根據函數增減性，判斷④.

本題考查的是二次函數圖象與系數的關系，掌握二次函數的性質、靈活運用數形結合思想是解題的關

鍵.重點把握拋物線的對稱性.

11.【答案】(2,—3)

【解析】解：點P(-2,3)關于原點對稱的點的坐標為(2,-3),

故答案為：(2,-3).

根據關于原點對稱的點的橫坐標和縱坐標都互為相反數進行判斷即可.

本題考查了關于原點對稱的點的坐標，掌握關于原點對稱的點的橫坐標和縱坐標都互為相反數是解題的關

鍵.

12.【答案】(0,3)

【解析】解：令％=0,

得y=3,

???拋物線y=X2-4X+3與y軸的交點坐標是(0,3),

故答案為：(0,3).

令x=0得出y的值，從而得出與y軸的交點坐標.

本題考查二次函數與坐標軸的交點問題，熟練掌握二次函數與y軸交點的求法是解題的關鍵.

13.【答案】1

【解析】解：,.?方程⑺+3)/+5x+m2+2m-3=。有一個根為0,

二將尤=0代入方程得：m2+2m-3=0,

即(TH—l)(m+3)=0,

解得：m1=1,m2=-3,

又原方程為關于x的一元二次方程，m+30,即rnK-3,

則m=1.

故答案為：1

由方程有一個解為0,故將x=0代入方程得到關于m的一元二次方程，求出方程的解得到m的值，再由

方程為關于尤的一元二次方程，得到二次項系數m+3不為0,即相不為-3,即可得到滿足題意的根的

值.

此題考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定義，其中方程的解為能使方程左右兩邊相等的未知

數的值；把形如a/+6久+c=0(a40)的方程稱為一元二次方程.

14.【答案】<一1

【解析】【分析】

由拋物線解析式可知，拋物線開口向上，對稱軸為x=-1,由此判斷增減性.

本題考查了二次函數的性質.關鍵是根據開口方向及對稱軸判斷函數的增減性.

【解答】

解：拋物線y=g(x+1)2—2,可知a=,>0,開口向上，

對稱軸％=-1,

.?.當X<-1時，函數值y隨尤的增大而減小.

故答案為：<-1.

15.【答案】丫=久2(答案不唯一，只要二次項系數為負數即可).

【解析】解：拋物線y=/的開口向下.

故答案為：y=/(答案不唯一，只要二次項系數為負數即可).

根據二次函數的性質，二次項系數大于0時，函數圖象的開口向上，寫出即可.

本題考查了二次函數圖象的性質，是開放型題目，答案不唯一.

16.【答案】0<久<3

【解析】解：?.?拋物線y=-/+2久+3交y軸于點A,交x軸正半軸于點8,

.??點4(0,3),

當y=0時，0=—/+2刀+3,

*,,%-￡=3,%2=—1，

???點8(3,0),

二等式—/+2x+3>kx+b的解集為0<x<3,

故答案為。<x<3.

先求出點4點3坐標，結合圖象可求解.

本題考查了二次函數與不等式的應用，利用數形結合思想解決問題是本題的關鍵.

17.【答案】5AA2

【解析】解:連接BM、BN,

在ABC中，利用勾股定理可得AC=10,

???M為AC中點，

1

BM=2A。=5.

???矩形ABCD繞點B順時針旋轉90。至EBGF的位置,

BM=BN,且NM8N=90。，

AMN=y[2BM=5A<2.

故答案為

連接BM、BN,在RtAABC中，利用勾股定理可得4c=10,利用矩形性質可知BM=5,根據旋轉的性質

得到ABMN是等腰直角三角形，利用勾股定理求出MN.

本題主要考查了矩形的性質、勾股定理、旋轉的性質，求線段長度，構造直角三角形利用勾股定理求解是

解決這類問題的方法思路.

18.【答案】解:分解因式得：Q—3)(%+1)=0,

可得％-3=0或乂+1=0,

解得：巧=3,久2=

【解析】方程利用因式分解法求出解即可.

此題考查了解一元二次方程-因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵.

19.【答案】解：a=1,b=—3,c=—1,

b2-4ac=(一3尸-4x1x(-1)=13,

、._-b±Jb2-4ac_3±/13

“"一2a-—2-'

_3+/13_3-/13

■,1*2=■

【解析】此題比較簡單，采用公式法即可求得，首先確定a,b,c的值，然后檢驗方程是否有解，若有解

代入公式即可求解.

此題考查了學生的計算能力，解題的關鍵是準確應用公式.

20.【答案】解：(1)根據題意得△=(—2尸—4x2x(m+1)20,

解得m<—1；

(2)根據題意得第1+久2=1，％1%2=—^，

???7+4/%2>?好+好,

?,?7+4%I%2>(%1+%2產—2%1%2，

即7+6%1久2>(%1+%2)2，

?**7+6,乎;1>1,解得ni>—3,

??—3<??2<——,

???整數力的值為-2,-1.

【解析】本題考查了■一元二次方程a/+bx+c=0(aK0)的根的判別式△=b2-4ac：當A>0,方程有

兩個不相等的實數根；當△=(),方程有兩個相等的實數根；當△<(),方程沒有實數根.也考查了一元二

次方程根與系數的關系.

(1)根據判別式的意義得到4=(—2)2-4x2x(m+l)>0,然后解不等式即可；

(2)根據根與系數的關系得到+不=1,=失乙再變形已知條件得到7+4%1亞>(%1+%2)2—

2的犯，于是有7+6?吟>1,解得m>-3,所以機的取值范圍為—3<mW一5然后找出此范圍內的

整數即可.

21.【答’案】x<—3或x>—1

【解析】解：(1)列表得：

.??

X-4-3-2-10???

……

y30-103

描點，連線.

(2)由圖象可知，當x<-3或x>-l時，函數y的值大于0.

故答案為：x<—3或x>—1.

(1))首先列表求出圖象上點的坐標，進而描點連線畫出圖象即可.

(2)根據圖象從而得出y>0時，x的取值范圍.

本題考查了二次函數的圖象和二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，要會利用數形結合的思想

把代數和幾何圖形結合起來，利用二次函數的圖象，從而求出y>0時，x的取值.

22.【答案】解：(1)設矩形的一條邊長為初7,則另一條邊長為(16-乃山，

由題意得：%(16—%)=60,

解得：尤1=6,久2=10,

16—x—10或6.

???6<10,

矩形的長為10皿

答：矩形的長是10皿

(2)根據題意，得：w=%(16—%)=—X2+16%=—(%—8)2+64,

a——1<0,

w有最大值，

二當x=8時，w取得最大值64,

答：當矩形的長是8相時，矩形的面積w有最大值，最大值是6462.

【解析】(1)設矩形的一條邊長為初:，則另一條邊長為(16-乃小，由矩形的面積公式結合矩形ABC。的

面積是60爪2,即可得出關于尤的一元二次方程，解之取其較大值即可得出結論.

(2)矩形4BCD的面積等于長乘以寬，列式得關于尤的二次函數，用配方法寫成頂點式，從而得解.

此題考查了二次函數的應用，以及一元二次方程的應用，弄清題意是解本題的關鍵.

23.【答案】解：v乙B=28°,ZC=90°,

.-./.BAC=180°-NB—NC=62°.

?.?點C、A、當在同一條直線上，

NB/C=180",

???LBABi=Z-B^AC-ABAC=118",

.??旋轉角為118。.

【解析】由題意得，ZSXC=180°-Z.B-zC=62°,z.BrAC=180°,則NB4BI=22人。一ABAC=

118°,結合旋轉的性質可得旋轉角為118。.

本題考查旋轉的性質，熟練掌握旋轉的性質是解答本題的關鍵.

24.【答案】解:(1)把力(0,4)和B(l,-2)代入y=-2x2+bx+c,

得｛-2X12+6+C=—2‘

解得｛，二支

所以此拋物線的解析式為y=-2X2-4X+4；

(2)vy=-2x2—4x+4

=-2(x2+2x)+4

=-2[(x+I)2-1]+4

=-2(x+1)2+6,

???此拋物線的頂點坐標為(-1,6>

【解析】(1)利用待定系數法把4(。,4)和B(l,—2)代入y=—2/+bx+c中，可以解得6,c的值，從而求

得函數解析式；

(2)利用配方法求出拋物線的頂點坐標.

本題考查了用待定系數法求二次函數的解析式，二次函數的性質，正確求出函數的解析式是解題的關鍵.

25.【答案】解：⑴???拋物線y=-^-x2+bx+3經過點B(6,0),

4

.-.一；x62+6b+3=0,

4

解得：b=l,

???拋物線的解析式為y=-Jx2+x+3,

???x=---=2,

2x(-6

???拋物線y=-7%2+x+3的對稱軸為直線I=2；

4

(2)存在.如圖1,設交拋物線的對稱軸直線久=2于點P,連接

PA,

則P4=PB,

圖1

二當點8、P、C三點共線時，△「4