廣東省惠州市2025屆高三第一次調(diào)研考試暨惠州高二期末考試數(shù)學(xué)試卷

惠州市2025屆高三第一次調(diào)研考試試題

數(shù)學(xué)

2024.07

全卷滿分150分，時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng):

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)、學(xué)校、班級(jí)等考生信息填寫在答

題卡上.

2.作答單項(xiàng)及多項(xiàng)選擇題時(shí)，選出每個(gè)小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案

信息點(diǎn)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，寫在本試卷上無效.

3.非選擇題必須用黑色字跡簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題指定的位置上，寫在本

試卷上無效.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分.

=(xlx2-3x<0kJ5=(xllnx>0)/CA

1,已知集合r-J,則山15:()

A.1x|0<x<l}B.C.{x[0<x<3}D.1x|l<x<3}

2.若i(l—z)=l,則z+^=()

A.-2B.-1C.1D.2

3.在等差數(shù)列｛q〃｝中，已知。1=2,。2+。3=13,則〃4+。5+。6等于（

A.40B.42C.43D.45

4.〔2d—十］的展開式中常數(shù)項(xiàng)是（）

A.14B.-14C.42D.-42

5.在正三棱柱4SC-44G中，若48=2,44=1,則點(diǎn)4到平面/田。的距離為（）

百D.26

~T

6.在△45。中，內(nèi)角4瓦。所對(duì)的邊分別為。，仇。.向量萬=（〃+。/）4=3-%。一。）.若萬//，,

則角C的大小為（）

2兀

D.

T

7.設(shè)點(diǎn)45在曲線y=log2X上.若48的中點(diǎn)坐標(biāo)為(5,2),貝『AB|=()

A.6B.2麗C.4百D.4君

7T5兀

8.已知函數(shù)/(x)=sin(3ox——)sin(2ox+—)在區(qū)間(0,兀)恰有6個(gè)零點(diǎn)，若3>0,則。的取值范圍

46

為()

人(鋁)B.(*C.(置］D.暇曰

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.現(xiàn)有甲、乙兩家檢測(cè)機(jī)構(gòu)對(duì)某品牌的一款智能手機(jī)進(jìn)行拆解測(cè)評(píng)，具體打分如下表(滿分100分).設(shè)

事件〃表示“從甲機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)中任取3個(gè)，至多1個(gè)超過平均分”，事件N表示“從甲機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)中任

取3個(gè)，恰有2個(gè)超過平均分”.下列說法正確的是()

機(jī)構(gòu)名稱甲乙

分值90989092959395929194

A.甲機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的平均分小于乙機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的平均分

B.甲機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的方差大于乙機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的方差

C.乙機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為92.5

D.事件互為對(duì)立事件

10.設(shè)公比為q的等比數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)積為北，若％為=16,則()

A%=4B.當(dāng)q=1時(shí)，q=±41

C.log2|7^|=18D,a；+a；232

ii.在平面直角坐標(biāo)系xQv中，動(dòng)點(diǎn)尸(x,y)的軌跡為曲線c,且動(dòng)點(diǎn)尸(xj)到兩個(gè)定點(diǎn)

片(-1,0),乙(1,0)的距離之積等于3.則下列結(jié)論正確的是()

A.曲線。關(guān)于y軸對(duì)稱B.曲線C的方程為f+/+］="J+9

C.△片桃面積的最大值］D.|的取值范圍為［0,2］

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.雙曲線/―心？=i的一個(gè)焦點(diǎn)是(2,o),則左=.

13.若點(diǎn)4(cose,sin。)關(guān)于歹軸對(duì)稱點(diǎn)為5(cos(e+￡),sin(e+￡)),寫出。的一個(gè)取值為.

14.已知函數(shù)，(x)的定義域?yàn)閇0,1],對(duì)于0W項(xiàng)</<1，恒有/(占)〈/(%),且滿足

“X)+/(l-x)=l,/(|)=1/(x)，則/(*)=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(x)=》111%+<7》+2在點(diǎn)(1,7(1))處的切線與直線》-2>+2=0相互垂直.

(1)求實(shí)數(shù)。的值；

(2)求/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.

16.某企業(yè)舉行招聘考試，共有1000人參加，分為初試和復(fù)試，初試成績(jī)總分100分，初試通過后參加復(fù)

試.

(1)若所有考生的初試成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N(〃,cr2),其中〃=65,b=10,試估計(jì)初試成績(jī)不低

于75分的人數(shù)；(精確到個(gè)位數(shù))

(2)復(fù)試共三道題，每答對(duì)一題得10分，答錯(cuò)得0分，答完三道題后的得分之和為考生的復(fù)試成績(jī).已

33

知某考生進(jìn)入復(fù)試，他在復(fù)試中第一題答對(duì)的概率為一，后兩題答對(duì)的概率均為一，且每道題回答正確與

45

否互不影響.記該考生的復(fù)試成績(jī)?yōu)樨扒髖的分布列及期望.

附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(〃,cr2),則：尸(〃—b<X<〃+<T)=0.6827,

尸(〃一2cr<X<//+2cr)=0.9545,P(//-3a<X<〃+3。)=0.9973.

7T

17.在三棱錐尸—4SC中，尸C,平面A8C,尸C=3,NZC8=—.分別為線段4B,8C上的點(diǎn)，且

2

(I)證明：DE1平面PCD；

(2)求平面P4D與平面PCD夾角的余弦值.

2

18.如圖，已知橢圓6：3+/=1和拋物線G：/=2加(P>0),。2的焦點(diǎn)R是C的上頂點(diǎn)，過歹的

直線交。2于M、N兩點(diǎn)，連接N。、并延長(zhǎng)之，分別交G于A、B兩點(diǎn)，連接該&OMN、AOAB

的面積分別為k0腦心sdOAB?

(1)求。的值；

(2)求麗.麗的值；

S

(3)求黃”的取值范圍.

'△OAB

19.如果數(shù)列｛%｝對(duì)任意的"cN*，an+2-an+l>an+l-an,則稱｛%｝為“速增數(shù)列”.

(1)判斷數(shù)列｛2"｝是否為“速增數(shù)列”？說明理由；

(2)若數(shù)列｛4｝為“速增數(shù)列”.且任意項(xiàng)a“eZ,1=1,4=3,^=2023,求正整數(shù)左的最大值;

(3)已知項(xiàng)數(shù)為24(左N2,左GZ)的數(shù)列也｝是“速增數(shù)列”，且也｝的所有項(xiàng)的和等于匕若

cn=2"",〃=1,2,3,…,2左，證明：ckck+x<2.

惠州市2025屆高三第一次調(diào)研考試試題

數(shù)學(xué)

2024.07

全卷滿分150分，時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)、學(xué)校、班級(jí)等考生信息填寫在答

題卡上.

2.作答單項(xiàng)及多項(xiàng)選擇題時(shí)，選出每個(gè)小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案

信息點(diǎn)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，寫在本試卷上無效.

3.非選擇題必須用黑色字跡簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題指定的位置上，寫在本

試卷上無效.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分.

=jxlx2-3x<Oy,5=fxllnx>0)AC\U

1.已知集合J>11則山[3=()

A.{x[0<x<l}B,C.{x[0<x<3}D,{x[l<x<3}

【答案】D

【解析】

【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合4,B,再利用交集的定義求解即得.

【詳解】由-―3%<0,得0<x<3,即Z={x|0<x<3},由lnx>0,得光>1,即8={x|x〉l},

所以Nc3={x[l<x<3}.

故選：D

2.若i(l—z)=l,貝！12+亍=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求z,從而可求z+彳.

【詳解]由題設(shè)有l(wèi)_z=_=；=_i,故Z=l+i,故Z+彳=(l+i)+(l—i)=2,

11

故選：D

3.在等差數(shù)列｛?！埃?，己知。1=2,。2+。3=13,則%+的+恁等于（

A.40B.42C.43D.45

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)已知求出公差即可得出.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

因?yàn)椋?2,%+%=2%+3d=13,所以"=3,

則為+%+4=3al+12d=3x2+12x3=42.

故選：B.

4.12丁—十]的展開式中常數(shù)項(xiàng)是（）

A.14B.-14C.42D.-42

【答案】A

【解析】

【分析】

利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，即可容易求得結(jié)果.

【詳解】展開式的通項(xiàng)為&1=0（2//[—?。?C；27-r（-l）rx于,

由21—g=0,得r=6,那么展開式中常數(shù)項(xiàng)是C"7f（_球=]4.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查由二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求指定項(xiàng)，屬基礎(chǔ)題.

5.在正三棱柱ABC-481G中，若48=2,Z4=1，則點(diǎn)A到平面A.BC的距離為（

A.叵B.述C.V3D.2G

24

【答案】A

【解析】

【分析】利用七,Be=〃TBC結(jié)合已知條件求解即可.

【詳解】因?yàn)樵谡庵?8C-481G中，若48=2,24=1,

22x

所以A]B=A1C=V2+1=y/5，S&ABC——2x2sin—=V3,

所以y4BC=；8CJ（45）2—[BC]=gx2xg=2,

設(shè)點(diǎn)A到平面ABC的距離為d,

因?yàn)樨?4BC=%「ABC，

所以§S?4BC,d=§S“BC?AA\>

所以2d=gxl，得d=也.

2

故選：A

6.在△48C中，內(nèi)角43,C所對(duì)的邊分別為見仇c.向量萬=(a+c,b)后=(6—a,c—a).若萬//，,

則角C的大小為()

兀兀兀2兀

A.—B.一C.—D.—

6433

【答案】c

【解析】

【分析】利用共線向量的坐標(biāo)表示，結(jié)合余弦定理求解即得.

【詳解】在ANBC中，由/=(a+c,b)，4=(b—a,c-a),pl!q,(a+c)(c-a)=b(b-a),

272_21

整理得/+〃—02=46，由余弦定理得cosC="一°=人,而0＜。＜兀，

2ab2

71

所以。=；.

3

故選：C

7.設(shè)點(diǎn)45在曲線y=log2%上.若的中點(diǎn)坐標(biāo)為(5,2),貝力/切=()

A.6B.2V10C.4百D.475

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)幺（司,1。82占）,8（%,1。82%），根據(jù)題意，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算，求得再,％的值，結(jié)合兩點(diǎn)間的距

離公式，即可求解.

【詳解】設(shè)幺（西/082石）,5（》2』。82》2），

x+x

x2——D

2

因?yàn)?s的中點(diǎn)坐標(biāo)為（5,2）,可得〈

logXj+logx_

222—N

2

整理得玉+9=1。,西％2=16,解得石=2,/=8或玉=8,%=2,

不妨設(shè)^(2,1),5(8,3),所以以邳=7(2-8)2+(1-3)2=2V10.

故選：B.

71571

8.已知函數(shù)/（x）=sin（30x——）sin（2（ur+—）在區(qū)間（0,兀）恰有6個(gè)零點(diǎn)，若。>0,則。的取值范圍

46

為（）

/313、z197、

A-（了3B.D-GN

【答案】C

【解析】

jr5717兀97113兀17兀19兀

【分析】令/⑶=°'求得/⑴從左到右的零點(diǎn)依次為：市后，蕩市而后，尾，結(jié)合題

意，列出不等式，即可求解.

jrSjrTT

【詳解】函數(shù)f(x)=sin(3?x--)sin(2(yx+—),由/(x)=0,得sin(30x—2)=0或

464

5兀

sin(2?x+y)=0,

(1+4左)兀?(1+6左)兀

解得“X）的正零點(diǎn)為--------或---------，左￡N,

12G12G

715兀7兀9兀13兀17兀19兀

則函數(shù)從左到右的零點(diǎn)依次為:

12/12G’12G’12/12G’12G12G'

17兀19n1719

為了使得/（x）在區(qū)間（0,兀）恰有6個(gè)零點(diǎn)，只需——<7T<——，解得一<。三一,

12。12?1212

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為（3,《］.

故選：C

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.現(xiàn)有甲、乙兩家檢測(cè)機(jī)構(gòu)對(duì)某品牌的一款智能手機(jī)進(jìn)行拆解測(cè)評(píng)，具體打分如下表(滿分100分).設(shè)

事件”表示“從甲機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)中任取3個(gè)，至多1個(gè)超過平均分”，事件N表示“從甲機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)中任

取3個(gè)，恰有2個(gè)超過平均分”.下列說法正確的是()

機(jī)構(gòu)名稱甲乙

分值90989092959395929194

A.甲機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的平均分小于乙機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的平均分

B.甲機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的方差大于乙機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的方差

C.乙機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為92.5

D.事件V,N互為對(duì)立事件

【答案】BD

【解析】

【分析】直接由平均數(shù)、方差、百分位數(shù)及對(duì)立事件的概念，逐一對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分析判斷，即可得出結(jié)果.

【詳解】對(duì)于A,甲機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的平均分西=；~—=93,

—93+95+92+91+94

乙機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的平均分x2=§~—=93,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,甲機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的方差

s,=|[(90-93)2+(98-93)2+(90-93)2+(92-93)2+(95-93)2]=9.6,

乙機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的方差s；=g[(93—93)2+(95-93)2+(92-93)2+(91-93)2+(94-93)2]=2,B正

確；

對(duì)于C,乙機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)從小排到大為：91,92,93,94,95,乙機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為93,C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,由甲機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)中有且僅有2個(gè)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)超過平均分，事件不可能同時(shí)發(fā)生，

但必有一個(gè)發(fā)生，因此事件互為對(duì)立事件，D正確.

故選：BD

10.設(shè)公比為q的等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)積為北，若%%=16,則()

A.%=4B.當(dāng)％=1時(shí)，q=±4i

c.log2|7^|=18D,a；+a；三32

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)和應(yīng)用判斷ABC,根據(jù)基本不等式的應(yīng)用判斷D.

【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)閍；=%。9=16,所以％=±4,所以A不正確；

B選項(xiàng)：因?yàn)閝=1,aIa9=16,則a；q8=16,所以/=16,所以q=±C，所以B正確；

C選項(xiàng)：因?yàn)?=%的……?9=?5-所以園=|叫=2%所以log2圜=18,所以C正確；

D選項(xiàng)：a；+a；三2a3a7=2%。9=32,當(dāng)且僅當(dāng)生=%時(shí)，等號(hào)成立.所以D正確.

故選：BCD.

11.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，動(dòng)點(diǎn)尸(x,y)的軌跡為曲線c,且動(dòng)點(diǎn)尸(xj)到兩個(gè)定點(diǎn)

片(-1,0),乙(1,0)的距離之積等于3.則下列結(jié)論正確的是()

A.曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱B.曲線C的方程為爐+/+1=+9

a

C.△為隼面積的最大值：D.QP的取值范圍為[血,2]

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)給定的信息，列式求出曲線C的方程，再逐項(xiàng)分析判斷即可.

[詳解]對(duì)于B,依題意，J(x+l)2+y2小_1)2+「=3,整理得八/+1=J4/+9，

因此曲線C的方程為3+,2+1=，4》2+9,B正確；

對(duì)于A,方程中的X換成-x方程不變，因此曲線C關(guān)于了軸對(duì)稱，A正確；

對(duì)于C,顯然=岳帝―，+1)20，則――2/一840,解得：一2<xW2,

______產(chǎn)S]Q

22

令“晶+9=/e[3,5],則y=一~—+^+—=(^-2)+—G[0,2],即|y區(qū)V2,

△為PE的面積S=；|大乙||y|=|y|wJ5,C錯(cuò)誤；

222

對(duì)于D,|OP|=X+/=V4x+9-le[2,4]?因此QP的取值范圍為[、歷,2],D正確.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：曲線C的方程為尸(x,y)=0,①如果E(-x,y)=0,則曲線C關(guān)于>軸對(duì)稱；②如果

E（x,-歹）=0,則曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱；③如果尸（-x,-內(nèi)=0,則曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.雙曲線V—=i的一個(gè)焦點(diǎn)是（2,o）,貝1H=.

【答案】|

【解析】

【分析】化雙曲線方程為標(biāo)準(zhǔn)形式，再結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)求出左值.

2

x2y_111

【詳解】雙曲線-如2=1方程為X--依題意，1+—=4,所以左=一.

1k3

故答案為：—

13.若點(diǎn)N（cos，,sin，）關(guān)于歹軸對(duì)稱點(diǎn)為3（cos（e+m）,sin（0+g））,寫出，的一個(gè)取值為_.

66

【答案】—（滿足8=區(qū)+丘丘Z即可）

1212

【解析】

7FJT

【分析】根據(jù)43在單位圓上，可得/e+—關(guān)于〉軸對(duì)稱，得出e+—+。=〃+2左肛左EZ求解.

66

【詳解】N（cos，,sin。）與8cos|e+W：sin[e+g]關(guān)于V軸對(duì)稱，

7T

即46+—關(guān)于丁軸對(duì)稱，

6

7T

0+—+0-71+24肛keZ,

57r

則3=k兀+——,keZ,

12

5乃

當(dāng)％=0時(shí)，可取。的一個(gè)值為一.

12

S775萬

故答案為：—（滿足。=左"十二■，左￡Z即可）.

14.已知函數(shù)/（x）的定義域?yàn)閇0,1],對(duì)于04西＜/?1，恒有/（再）4/（%），且滿足

/（x）+/（I—x）=1/（%）,則/（*）=-

【答案】—##0.03125

32

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，可得當(dāng)時(shí)，/(x)=|,再借助變形/(焉)即可得解.

【詳解】函數(shù)"X)的定義域?yàn)閇0,1],由/(x)+/(l—x)=l,得/(g)+/(；)=l,即/(g)=；，

又/(0)+/(1)=1，由代)=y(x),得/(0)=5〃0),解得/(0)=0,則/⑴=1,

于是心=；"1)=；，由對(duì)于04再</<1，恒有/(亦/(》2)，得當(dāng)時(shí)，/(x)=1,

「”1、15、1-25、1人125、1625、

因止匕/(-----)——f(------)——5f(------)——Tf(------)——Tf(------)，

202422024222024232024242024

工16251口口一人625、1寸一-1、1

而一<-----<一，即有/(-----)——，所以/(-----)——

52024220242202432,

故答案為：—

32

111111

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵點(diǎn)是根據(jù)題意求得了(不)=5，/(—)=—,進(jìn)而求得當(dāng)X￡[—,申時(shí),

/叫?

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(x)=X111%+口工+2在點(diǎn)(1,7(1))處的切線與直線％-2〉+2=0相互垂直.

(1)求實(shí)數(shù)。的值;

(2)求/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.

【答案】(1)CL=—3;

(2)增區(qū)間為卜2,+00),減區(qū)間為(0遍2),極小值2—e2,無極大值.

【解析】

【分析】(1)根據(jù):x/'(l)=-1,代值計(jì)算即可求得參數(shù)值；

(2)根據(jù)(1)中所求參數(shù)值，求得了'(X),利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可判斷函數(shù)單調(diào)性和極值.

【小問1詳解】

因?yàn)?'(x)=lnx+l+a,在點(diǎn)(1，/⑴)處的切線斜率為左=/'⑴=1+。,

又/(x)在點(diǎn)處的切線與直線x-2>+2=0相互垂直，

所以;x/'(l)=-l,解得°=—3.

【小問2詳解】

由⑴得，/，(x)=lnx-2,XG(0,+oo),

令廣(力>0,得X*,令/(x)<0,#0<x<e2,

即/(X)的增區(qū)間為(e2,+8),減區(qū)間為(0述2).

又/(e?)=e?Ine2-3e2+2=2-e2,

所以/(x)在x=e2處取得極小值2-e2,無極大值.

【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，屬綜合中檔題.

16.某企業(yè)舉行招聘考試，共有1000人參加，分為初試和復(fù)試，初試成績(jī)總分100分，初試通過后參加復(fù)

試.

(1)若所有考生的初試成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N(〃,cr2),其中〃=65,(7=10,試估計(jì)初試成績(jī)不低

于75分的人數(shù)；(精確到個(gè)位數(shù))

(2)復(fù)試共三道題，每答對(duì)一題得10分，答錯(cuò)得0分，答完三道題后的得分之和為考生的復(fù)試成績(jī).已

33

知某考生進(jìn)入復(fù)試，他在復(fù)試中第一題答對(duì)的概率為一，后兩題答對(duì)的概率均為一，且每道題回答正確與

45

否互不影響.記該考生的復(fù)試成績(jī)?yōu)樨扒髖的分布列及期望.

附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(〃,b9,貝ij：尸(〃—b<X<〃+b)=0.6827,

尸(〃-2(y<X<ju+2cr)=0.9545,0(〃-3a<X<//+3cr)=0.9973.

【答案】(1)159；

(2)分布列見解析,期望為19.5.

【解析】

【分析】(1)分析可知75=〃+b,計(jì)算出尸(X275)的值，乘以1000可得結(jié)果；

(2)分析可知隨機(jī)變量y的取值分別為o、10、20、30,計(jì)算出隨機(jī)變量y在不同取值下的概率，可得

出隨機(jī)變量y的分布列，進(jìn)而可求得E(y)的值.

【小問1詳解】

由學(xué)生初試成績(jī)X服從正態(tài)分布"(〃,/),其中〃=65,(7=10,得75=65+10=〃+b,

因此尸(X275)=尸(X2〃+cr)=g[l—尸(〃一bVXV〃+b)]=^^^=0.15865,

所以估計(jì)初試成績(jī)不低于的人數(shù)為0.15865x1000”159人.

【小問2詳解】

y的可能取值為0,10,20,30,

2

貝UP（y=o）=（i—［）x（i—|）2=A，p（y=io）=|x（i-|）+（i-1）xc'x|x|=A

37Q33Q3377

p（y=20）=-XC'X-X-+（1--）X（-）2=—,P（y=30）=-x（-）2=—,

4255452045100

所以y的分布列為:

Y0102030

16927

P

252520Too

1ZfQ07

數(shù)學(xué)期望為￡（y）=0x——+10x——+20x——+30x——=19.5.

、）252520100

7T

17.在三棱錐尸—4SC中，尸。1平面48。,尸。=3,/2。8=—.分別為線段4B,8C上的點(diǎn)，且

2

CD=DE=42,CE=2EB=2.

(1)證明：￡>E/平面PCD；

(2)求平面P4D與平面PCD夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；

4

（2）

6-

【解析】

【分析】(1)根據(jù)尸C1平面A8C并結(jié)合ACDE的形狀，利用線面垂直的判定定理進(jìn)行證明；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求解出平面4P。、平面尸。C的法向量，再用面面角的向量求法求解即得..

【小問1詳解】

由PC,平面Z8C,DEu平面N8C,得PCLDE,

由CE=2,CQ=￡>E=J5得ACDE為等腰直角三角形，即CDLOE,

又PCcCD=C,且PCu面尸C￡>,C￡)u面尸C￡),

所以DE/平面PCD.

【小問2詳解】

在三棱錐尸—Z8C中，取CE中點(diǎn)口，連接。尸，由（1）知，DF=l,DF1BC,

DFBF23

而NCIBC,于是。尸///C,——=——=—,則NC=—

ACBC32

顯然直線C4c3CP兩兩垂直，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，直線C4C5,CP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

3—?—-—1

C(0,0,0),P(0,0,3),A(-,0,0),￡(0,2,0),^(1,1,0),ED=(1-1,0),DP=(-1-1,3),DA=(-,-1,0),

n-DP=-x-y+3z=0

設(shè)平面P4D的法向量為〃=（x,%z）,則＜—1八，令龍=2,得三(2,1,1).

n?DA=—x—y=0

2

由?！?平面尸CO,則平面尸CO的法向量為防，設(shè)平面P4D與平面尸CD夾角為8,

_____\n^DEI1J3

因止匕cos6=|cos〈n,DE)\=————產(chǎn)=——,

\n\\DE\V6xV26

所以平面PAD與平面PCD夾角的余弦值為由.

6

2

18.如圖，已知橢圓6：亍+必=1和拋物線G：f=2眇（夕〉0）,。2的焦點(diǎn)R是G的上頂點(diǎn)，過歹的

直線交。2于M、N兩點(diǎn)，連接NO、MO并延長(zhǎng)之，分別交G于A、8兩點(diǎn)，連接48,設(shè)△。1W、ACMB

（1）求P的值；

（2）求的.而的值;

s

(3)求節(jié)幽的取值范圍.

)△OAB

【答案】(1)p=2

(2)-3

(3)[2,+oo)

【解析】

【分析】(1)由拋物線。2的焦點(diǎn)坐標(biāo)求。的值；

(2)設(shè)直線的方程，與拋物線聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理求西.西的值；

S2\OM-1(9^1

(3)設(shè)直線N。、MO的方程，與橢圓聯(lián)立方程組表示出乙,馬，由鏟八」，化簡(jiǎn)并結(jié)合

TOABI。"

基本不等式求取值范圍.

【小問1詳解】

2

橢圓G：，+/=1的上頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0」)，

則拋物線。2的焦點(diǎn)為E(0,1),故夕=2.

【小問2詳解】

若直線與7軸重合，則該直線與拋物線。2只有一個(gè)公共點(diǎn)，不符合題意，

所以直線7W的斜率存在，設(shè)直線7W的方程為了=丘+1,點(diǎn)〃(項(xiàng),凹)、N(x2,y2),

y=kx+l

聯(lián)立＜2A可得x?-4Ax-4=0，△=16左之+16〉0恒成立，貝處%2=—4,

[x=4y-

___22

OM?ON=xxx2+yxy2=xxx2=-4+1=-3.

【小問3詳解】

設(shè)直線N。、的斜率分別為左、左2,其中左〉0，左2＜°，

聯(lián)立[；2”:=4可得(%+W=4,解