函數(shù)的單調性與最大（?。┲?（含新定義解答題）解析版-2025年高考數(shù)學一輪復習（新高考專用）

第02講函數(shù)的單調性與最大（?。┲担ǚ謱泳殻?/p>

A夯實基礎B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）

A夯實基礎

一、單選題

1.（2024上?廣東茂名?高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，在（0,+8）上為減函數(shù)的是（）

1（1Y+1

A.y=GB.y=--C.y=-D.y=log2x

x口

【答案】C

【分析】根據(jù)幕指對函數(shù)的增減性的判定即可得出答案.

【詳解】y=?=￡，因為:>°，所以y=4在（0，+◎上為增函數(shù)，故A錯誤；

產」在（0,+8）上為減函數(shù)，所以y=-工在（0,+⑹上為增函數(shù)，故B錯誤；

%X

0<|<1,所以y=g）在（0,+◎上為減函數(shù)，故C正確；

2>1,所以y=log2尤在（0，+⑹上為增函數(shù)，故D錯誤；

故選：C.

2.（2024上?四川涼山?高一統(tǒng)考期末）如果函數(shù)y=4/+質+8在區(qū)間［1,4］上單調遞減，那

么實數(shù)上的取值范圍是（）

A.）t>32B.k>-8

C.一32W無W-8D.左W-32

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用二次函數(shù)的單調性列式計算即得.

【詳解】函數(shù)>=4/+辰+8的單調遞減區(qū)間是（-8,-勺，依題意，［1,4仁（一巴-，，則

88

-1>4,解得左W—32,

8

所以實數(shù)%的取值范圍是左W-32.

故選：D

9T

3.（2024上?山東棗莊?高三棗莊八中?？茧A段練習）記函數(shù)/（x）=一在區(qū)間［3,町上的最

x-2

大值和最小值分別為M和m,則史等于（）

M

2338

A.-B.-C.一D.-

3823

【答案】D

【分析】將函數(shù)/(x)分離常數(shù)變形后，判斷出其單調性，根據(jù)單調性求出最值即可得解.

【詳解】因為/(x)=2d,+4=2+2，

x-2x-2

所以/(X)在［3,4］上是減函數(shù).

所以m=/(4)=4,M=f(3)=6.

所以貯=更=］.

M63

故選：D.

【點睛】本題考查了復合函數(shù)單調性的判斷，考查了利用函數(shù)單調性求函數(shù)最值，屬于基礎

題.

4.(2024上?浙江金華?高一統(tǒng)考期末)若對于任意xe［l,2］,不等式加+2-丁VO恒成立,

則實數(shù)機的取值范圍是()

A.m<—1B.m<Q

C.m￡lD.m<272

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)/(%)=機+2-V在口2］上的最大值即得.

【詳解】令函數(shù)f(%)=%+2-顯然/⑺在［1,2］上單調遞減，/(x)max=/(l)=rn+l,

因為任意%?1,2］,不等式機+2-￡<0恒成立，于是根+1<0,

所以加4-1.

故選：A

5.(2024上?江西九江?高一九江一中?？计谀?已知函數(shù)〃力=陰+國，則滿足

的x的取值范圍是()

(12、「12、(12、「121

【答案】C

【分析】先確定函數(shù)的奇偶性與單調性，然后由奇偶性和單調性解不等式.

【詳解】由已知/(—幻=尸+卜工卜陰+國=/(幻，/(X)是偶函數(shù),

又尤20時，f(x)=e*+x是增函數(shù)，

所以不等式〃2x-l)<U化為川21|)<嗎)，則|2x-l|<g,解得;<x<1,

故選：C.

6.(2024上?浙江湖州?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)”x)=e-er,貝U使/(|動<+4)成

立的實數(shù)X的取值范圍是()

A.(-1,0)B.(-1,+co)C.(-1,1)D.(L+00)

【答案】C

【分析】首先判斷函數(shù)的單調性，再根據(jù)函數(shù)的單調性轉化不等式國<-3/+4,再求

解不等式.

【詳解】函數(shù)y=e*單調遞增，函數(shù)y=e-、單調遞減，所以函數(shù)/("=爐-1工單調遞增，

所以/(國)<7(-3/+4)o岡<-3x2+4,

即31d<0,(|x|-l)(3|x|+4)<0,得國<1,

解得：-1<X<1

所以不等式的解集為(-1,1).

故選：C

7.(2024上?湖北?高一校聯(lián)考期末)若函數(shù)了(無)=loSi(一/+6x-5)在區(qū)間0加—2,〃?+2)內

2

單調遞增，則實數(shù)機的取值范圍為()

「51「5」「5J「5.I

L3)13」|_3」L3)

【答案】D

【分析】利用對數(shù)函數(shù)及復合函數(shù)的單調性計算即可.

【詳解】由已知得-X2+6X-5>0,解之得xe(L5),即/⑺的定義域為(1,5),

又“X)在區(qū)間(癡-2,m+2)內單調遞增，根據(jù)復合函數(shù)的單調性,

3m-2>3解得沁<2.

可得:

3m-2<m+2<5

故選：D

8.(2024下■全國?高二專題練習)若/(x)=-gx3+；x2+2無+］是區(qū)間(〃?_］,加，+4)上的單

調函數(shù)，則實數(shù)優(yōu)的取值范圍是()

A.m<-5B.m>3

C.m<-5^m>3D.-5<m<3

【答案】C

【分析】求導，分析導函數(shù)的正負得到原函數(shù)的單調性，再由已知建立關于機的不等式組，

解出即可.

［詳解］由題意，r(x)=-x2+x+2=-(%-2)(%+l),

令/曲)>0,解得一1<尤<2,令/'(x)<0,解得彳<一1或x>2,

所以/（X）在（-1,2）上單調遞減，在（9,-1）,（2,+◎上單調遞減，

若函數(shù)“X）=——X3+5Y+2x+l在區(qū)間（加—1,m+4）上單調，

、—\N_1、、_

則根+4工一1或加一1>2或〈/八，解得根4一5或機>3或根￡0,

[m+4<2

即機4—5或m）3.

故選：C.

二、多選題

%2—ox+5,x<l

9.（2024?全國?高一專題練習）已知函數(shù)/（%）=〃滿足對任意玉W9，都有

—,%>1

“%）一"/）<。成立，則實數(shù)。的取值可以是（）

玉-x2

A.-2B.1C.2D.3

【答案】CD

【分析】由題意可知函數(shù)/（%）在定義域上單調遞減，由分段函數(shù)的單調性可運算求得答案.

【詳解】由對任意占*%，"%）—）<0,可得函數(shù)F（x）在定義域上單調遞減，

昌1

2a>2

貝卜Q>0即<〃>0,可得2<〃<3,

1~—〃+5a<3

結合選項可知AB錯誤，CD正確.

故選：CD.

10.（2023上?湖北恩施?高二恩施市第一中學校聯(lián)考階段練習）已知〃x）=x+l,

g（x）=^^+a,若對任意占e[3,4],存在使/&）二（%）,則實數(shù)。的取值可

以是（）

A.-1B.2C.3D.4

【答案】ABC

【分析】結合函數(shù)單調性求得F（x）,g（x）的最小值，由題意可推出故得

到相應不等式，求出。的范圍，即可求得答案.

【詳解】由題意xe[3,4]時，f（x）=x+l^[4,5]即/⑺1nb=4；

2X+2+a,x>-2

而g(x)=2吟

2*~x<—2

故g（無）在［-3,-2］上單調遞減，在［-2,1］上單調遞增,

所以gGX=g（-2）=l+。，

由于對任意％e［3,4］,存在9e|-3,l］,使/（占）會（三），

過/（龍）minNgOLn，即421+<3，

結合選項，故實數(shù)。的取值可以是-1,2,3,

故選：ABC

三、填空題

11.（2024上?廣東茂名?高一高州市第四中學校考期末）已知函數(shù)/（力=31+?,若

/（3a+l）</（16-2?）,則實數(shù)。的取值范圍是—.

【答案】,31

【分析】先由解析式的和式結構判斷函數(shù)的單調性，再利用函數(shù)單調性解抽象不等式.

【詳解】/（力=31+?的定義域為［0,+8）,

又y=3x2,y=&在［0,+動上單調遞增，

所以〃x）在［0,+動上單調遞增，

由/（3a+1）</（16—2a）,得043a+l<16—2a,解得—§Wa<3,

即實數(shù)。的取值范圍是-gj

故答案為：-；，3］

12.（2024上?云南昆明?高二?？计谀┮阎P于尤的不等式尤2一辦+1>。在［2,4］上有解,

則。的取值范圍為.

【答案】"彳17

4

【分析】由參變量分離法可知，。。+［在［2,4］有解，貝+口，利用雙勾函數(shù)的

X\Jmax

單調性求出函數(shù)y=x+：在［2,4］上的最大值，即可得出實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】原不等式等價于a<x+!在［2,4］有解，貝，

XV'/max

111717

又因為函數(shù)丫=*+上在［2,4］上單調遞增，貝打1mx=4+：=?,所以a〈一.

X444

17

故答案為：a<—~.

4

四、解答題

13.(2024上?天津?高一校聯(lián)考期末)若函數(shù)f(x)=(--3加+3)/+22為累函數(shù)，且在

(0,茁)單調遞減.

⑴求實數(shù)加的值；

⑵若函數(shù)g(尤)=%一/(無)，且尤e(0,+<?),

(I)寫出函數(shù)g(x)的單調性，無需證明；

(ii)求使不等式g(21-l)<g⑺成立的實數(shù)/的取值范圍.

【答案】(1)1

(2)(i)g(x)在區(qū)間(0,+8)單調遞增；(ii)

【分析】(1)根據(jù)幕函數(shù)的定義求出加的值再由題設條件取舍；

(2)(i)根據(jù)單調性相同的兩函數(shù)在公共區(qū)間上具有相同的單調性性質即得；

(ii)利用(i)的結論求解抽象不等式即得.

【詳解】(1)由題意知用-3〃?+3=1,解得：機=1或m=2,

當機=1時，塞函數(shù)y=此時塞函數(shù)在(0,+8)上單調遞減，符合題意；

當機=2時，幕函數(shù)y=/,此時幕函數(shù)在(0,+s)上單調遞增，不符合題意；

所以實數(shù)〃，的值為L

(2)(i)g{x}=x-f(x)=x--,g(x)在區(qū)間(0,+◎單調遞增.證明如下：

X

任取0<%<%2，則g(%)—g(%2)=(xi---)一(%2---)=(%—%)—(------)-(%—工2)(1H-----),

-X]x2玉x22

由。<斗<%2可得：玉一々<0，1+」一>。，貝!Jg(%)—g(X2)<。，即g(X)<g(%2)，

XxX2

故g(x)在區(qū)間(0,+8)單調遞增.

(ii)由(i)知，g(x)在區(qū)間(。,+8)單調遞增，又由g(2"l)vg知可得:

2r-l>0

則<t>Q,解得

14.(2024上?廣東茂名?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/'(；0=/+2辦-1.

(1)若/⑴=2,求實數(shù)。的值，并求此時函數(shù)“X)的最小值；

⑵若〃尤)為偶函數(shù)，求實數(shù)。的值；

⑶若/(X)在(-8,4]上是減函數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)。=1,/(XUL—2

(2)a=0

⑶(-00,-4]

【分析】(1)由/⑴=2求出。的值，再利用二次函數(shù)的性質可求出其最小值；

(2)根據(jù)偶函數(shù)的定義可求出。的值；

(3)先求出〃元)的減區(qū)間，再根據(jù)f(x)在(f,4)上是減函數(shù)，可求出實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】(1)由題可知，/(1)=1+2。-1=2,即。=1,

此時函數(shù)于(x)=/+2尤一1=(x+l)2—22—2,

故當尸-1時，函數(shù)/⑺.=-2.

(2)若Ax)為偶函數(shù)，則有對任意xwR,

都有F(-x)=(-x)2+2a(-x)-1=/(x)=x2+lax-1,

即4ax=0,故。=0.

(3)函數(shù)f(x)=x2+2ax-l的單調減區(qū)間是(-co,-a],

而f(.x)在(-co,4]上是減函數(shù)，

4〈—a,即aW—4,

故實數(shù)。的取值范圍為(-8,-4].

15.(2024上?陜西安康?高一?？计谀?已知函數(shù)〃司=1082尹4(。為常數(shù))是奇函數(shù).

⑴求a的值與函數(shù)八刈的定義域；

(2)若/(x)+log2(l-x)<〃7恒成立，求實數(shù)加的取值范圍.

【答案】=函數(shù)的定義域為(-M)

(2)[1,+8)

【分析】(1)根據(jù)/(-x)=-/(x)求出參數(shù)的值，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質求出函數(shù)的定義

域；

(2)由(1)可得〃尤)+log2(l-尤)=log2(尤+1),則log2(x+l)<〃z對任意的xe(—1,1)恒成

立，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質計算可得.

【詳解】(1)因為函數(shù)〃元)=log2*(。為常數(shù))是奇函數(shù)，

所以=貝Hog2：^=Tog。產，

1+x1-x

-x+a]x+a八-x+ax+a1

REnPilog-——+log--=0,所以一；--------=1,

21+x21-x1+x1-x

即〃2=1,解得Q=±1,

當a=l時〃x)=log2與,則令部>0,解得一1<X<1,

1-x1-x

1

即函數(shù)的定義域為(-M),且f(-x)=log2=log2=-log2=-/(X),

所以/(X)為奇函數(shù)，符合題意，

當。=一1時/(x)=log,3=log,衛(wèi)⑹函數(shù)無意義，故舍去；

1-x1-x

綜上可得a=l,函數(shù)的定義域為(-M).

Y-1V*_1_1

(2)因為〃x)=log2——,貝lj/(x)+log2(l-x)=log2-;——+log(l-x)=log(^+1),

；1—X1—X22

因為/。)+1。82(1-》)<次恒成立，

所以log2(x+1)<m對任意的xe(-1,1)恒成立，

又y=log2(x+l)在(-1,1)上單調遞增，所以log2(x+l)<log?2=1,

所以m27,即"?的取值范圍是[1,+oo).

B能力提升

1.(2024下?四川成都?高三成都七中?？奸_學考試)已知函數(shù)/(力=2一工一2工，若不等式

〃依+l)+/(lnx)>0在(0,+s)上恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.1-1',+00]B.(-1,+co)C.^-oo,D.(-oo,-l)

【答案】D

【分析】判斷函數(shù)外力=2一一2'的奇偶性以及單調性，從而將不等式“依+1)+/(1時>0

在(0,+e)上恒成立，轉化為分+l<-lnx在(0,+8)上恒成立，參變分離，再結合構造函數(shù),

利用導數(shù)求得函數(shù)的最小值，即可得答案.

【詳解】由于函數(shù)〃x)=27—2"定義域為R,滿足『(r)=2-2-，=-=(x),

得了(X)是奇函數(shù)，且在R上為減函數(shù).

■：f(ax+l)+/(Inx)>0在(0,+8)上恒成立，/(依+1)>-/(Inx)=/(-Inx)在(0,+<?)上恒

成立，

:.ax+\<-Inx在(0,+(?)上恒成立，二a<-111匚11在(0,+動上恒成立.

令8(耳=一與^”(0,+功，貝i]g，(x)=?，

當0<xvl時，g'(x)<0,當x>l時，g'(x)>0,

故g(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,依)上單調遞增,

g(x)>g(1)=-1,a<-l,即a的取值范圍為(ro,-1),

故選：D.

2.(2024上?江蘇常州?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(幻=1嗎-的定義域為12,0],若

存在孫々e[-2,0],滿足|〃不)_/d)|23,則實數(shù)。的取值范圍是()

A.B.]|』

C[?4]D。M

【答案】D

【分析】由已知結合函數(shù)的單調性可求f(尤)的最大值與最小值，然后結合存在性問題與最

值關系的轉化即可求解.

【詳解】令=且“X)在-2,0]單調遞減，所以"(x)的最小值為"(0)=1-。>0,

可得a<1,Mi/(x)e[l-a,4-cz],

所以g(")=logz〃在口-a,4一句上單調遞增,所以g(”)e[log2(l-a),log2(4-a)]

因為存在占，％e|-2,0],滿足占)-〃彳2)性3,

則而一

所以g("Lx-g("U=log2(4-a)-log2(l-a)=log,-—>3

1—u

4

解得：

故選：D.

【點睛】結論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉化：

一般地，已知函數(shù)y=/(尤),y=g(^x),x&[c,d]

⑴若％e[a,司,網(wǎng)十,心，總有"M<g(x2)成立，故"X)1mx〈8伍)1n小

(2)若％e[a,b],玉24G司,有了⑷<g(w)成立,故/(》)1mx<g(%)厘;

(3)若叫e[a,句,叫e[c,d],有/&)<g伍)成立，故〃x)1n<g(%)1Mx;

(4)若%肉,上2c[c,d],有〃％)=8(々),則的值域是g(x)值域的子集.

3.(2024上?遼寧大連?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(尤)=2加-1,對于任意//目-3,-2]且

項4%，都有""2)一"占)<4,則實數(shù)。的取值范圍是()

々一玉

1

A.B.(-oo,2]C.2D.——,4-oo

4-3

【答案】D

【分析】由題意通過構造函數(shù)g（"=/（力—4x=2依2—4x—1,說明其在［-3,-2］上單調遞減，

對。分類討論即可得解.

【詳解】由題意不妨設g（x）=/（x）—4x=2依

又對于任意4％e［-3,-2］且x產毛,都有"6"不）＜4,

即對于任意和W目-3,-2］且x產尤＞都有''）-4尤2-（〃玉）-4玉）＜0,即

x2—xl

g（a）-g（西）＜0,

x2—x1

所以g（%）=2G;2—4%—i在上單調遞減，

當a=0時，則且（同=~^_1在［_3,-2］上單調遞減，滿足題意；

當awO時，g（x）=2辦2—4%—1在［―3,—2］上單調遞減，此時對稱軸為％=—,

若a＞0,貝（］—之一2,即—,故a＞0滿足題意；

a2

若a＜0,則一W—3,即—7＜。＜。滿足題意；

a3

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是-g+s］

故選：D.

4.（2024上?河北滄州?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/（尤）="+［（。＞1），若/（2a+3）＞/（2-4a）,

a

則實數(shù)a的取值范圍為.

【答案】6

【分析】定義法證明/（X）為偶函數(shù)，結合對勾函數(shù)的性質可得Ax）在Xe［0,+⑹上單調遞增，

不等式/（2a+3）＞〃2-4a）等價于川2。+3|"川2-4時,即閆2一4a「求解即可?

【詳解】因為/（X）的定義域為R,又/（-尤）=［+優(yōu)=/（無），所以/（X）為偶函數(shù).

a

設。=優(yōu)，當時，t＞l,則y=/+1QNl）,

t

由對勾函數(shù)性質知，y=f+l在上單調遞增,

所以/(元)="+1(a>1)在xe[0,-H?)上單調遞增,

a

則/(2a+3)2/(2—4。)等價于/(|2。+3|)2/(|2—44)，

\a>\,5

所以在+3印一4d解得』/，

故實數(shù)”的取值范圍為，1.

故答案為：[1，|,

5.(2024上?湖北武漢?高一華中師大一附中?？计谀?若幕函數(shù)〃x)=(療+加—5)-3"3

為偶函數(shù)，則不等式〃2x-l)>〃x+3)的解集為.

【答案】■1(4,+CO)

【分析】由幕函數(shù)的概念和性質確定加的值，再根據(jù)單調性求解不等式.

【詳解】因為"》)=(一+〃7-5)/d+3為嘉函數(shù)，

貝(J根2+m—5=1,解得m=—3,或m=2,

當帆=2時，/(x)=x3,為奇函數(shù)，不符合題意；

當帆=-3時，f(x)=/，為偶函數(shù)，符合題意，

且在(-*。)上單調遞減，在(0,+8)上單調遞增，

若〃21)>/(彳+3),則—+3(

解得x<-g或x>4,即不等式的解集為[巴-g]u(4,+s).

故答案為：18,_：卜(4,+00).

6.(2024上,云南,高一■統(tǒng)考期末)若不等式廠+(a-4)x+4-2a之。對任意ae[0/恒成立，

則x的取值范圍為.

【答案】(-=0,1]<->[2,+00)

【分析】將問題化為了⑷=5-2)a+(x-2)220對任意a恒成立，結合一次函數(shù)性質

求x的取值范圍.

[詳解]^/(a)=%2+(a-4)%+4-2a=(x-2)a+(x-2)2,

所以于(a)N0對任意ae[0』恒成立,

當x-220,即只需/(0)=(x-2)220,顯然滿足；

當無一2＜0,即x＜2,只需/(1)=。一2)+(無一2)2=(X-2)(X—1)N0,可得xWl；

綜上，XW(―00,1］。［2,+8).

故答案為：(-K＞,1］^［2,+CO)

C綜合素養(yǎng)

7.(2024上?江西撫州?高一統(tǒng)考期末)對于區(qū)間勿(。＜。)，若函數(shù)＞=/(x)同時滿足：

①在儂,句上是單調函數(shù)，②函數(shù)y=/(x)的定義域為儂,切時，值域也為則稱

區(qū)間團,句為函數(shù)"X)的"保值”區(qū)間.

⑴求函數(shù)f(x)=--x2+^的所有“保值"區(qū)間.

44

⑵函數(shù)y=Q±巫Z=的一個“保管，區(qū)間為［〃7,川，當/變化時，求"沉的最大值.

X

【答案】⑴［1,3］；

(2)噸.

3

【分析】(1)求出函數(shù)"X)的單調區(qū)間，利用"保值"區(qū)間的定義分類討論求解即得.

(2)分析函數(shù)的單調性，利用"保值"區(qū)間的定義建立方程，再轉化為一元二次方程求解即

可.

113

【詳解】(1)函數(shù)/(x)=-在(_*()］上單調遞增，在［0,+8)上單調遞減，

44

令區(qū)間為函數(shù)/(%)的〃保值〃區(qū)間,則〃%)在刈加上單調,即有"后。或0K”),

113

"/、—a2H=a

f(a)=a44

J,,即：：，

{“b)=b*+%

I44

i13

于是。、匕是方程-T/+—=X,即Y+4X-13=0的兩個不同的非正實根，

44

顯然出＞=—13＜0,方程兩根異號，與。＜640矛盾，即。＜640不符合題意；

1213

［f(a)=b4^+4-［fl=1

當時，Ax)在區(qū)間口,勿上單調遞減，則［二，即:：，則有1°，

〔/S)=a_%+?="口=3

144

所以函數(shù)“X)的"保值"區(qū)間為口,3］.

(2)令g(x)=(2+，)i=(2+力上,顯然函數(shù)g(x)在(-*0),(0,+?0上單調遞增，

XX

由阿，川是函數(shù)g(x)的一個"保值"區(qū)間,得［m,n］c(-oo,0)或［m,n］c(0,+8),且g(x)在［m,n］

上單調遞增，

則U（s（om）”=m即E是方程gd‘即."—c』的兩個同號的不等根'

cc2m+n=2+t

于是A=（2+%）—4?＞0,解得—q＜/＜2,且＜2，

3\mn=r

因此〃-機=7（?+m）2-4mw=J-3/+由+4=J-3（?-1）2+y＜殍，當且僅當t=1時取等

號

所以當時，-一根取得最大值逑.