函數(shù)的單調(diào)性與最值（原卷版）-2025年天津高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第12講函數(shù)的單調(diào)性與最值

（6類核心考點(diǎn)精講精練）

12.考情探究?

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

2024年天津卷，第20題,16利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題由導(dǎo)數(shù)求求在曲

分線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）函數(shù)的最值（含參）

2023年天津卷，第20題,16求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)研究

分不等式恒成立問題

2022年天津卷，第20題,16求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題利

分用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零

2021年天津卷，第20題,16求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）

分利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題函數(shù)極值點(diǎn)的辨析

2020年天津卷，第20題,16

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

分

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較高，分值為16分

【備考策略】1.理解、掌握函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能夠判斷通過導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

2.能掌握集合函數(shù)最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識，會借助函數(shù)圖像求解函數(shù)的最值

4.會通過函數(shù)的單調(diào)性解抽象不等式.

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給定函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值。

?考點(diǎn)梳理

知識講解

知識點(diǎn)一.函數(shù)的單調(diào)性

1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

條件結(jié)論

rw>o式x）在（a,6）內(nèi)單調(diào)遞增

函數(shù)y=/U）在

/(x)<0人x）在（a,6）內(nèi)單調(diào)遞減

區(qū)間（〃，/?）上可導(dǎo)

rw=o兀0在（a,6）內(nèi)是常數(shù)函數(shù)

2.常用結(jié)論

（1）在某區(qū)間內(nèi)/（尤）＞O0（x）＜0）是函數(shù)木尤）在此區(qū)間上為增（減）函數(shù)的充分不必要條件.

（2）可導(dǎo)函數(shù)兀0在（a,加上是增（減）函數(shù)的充要條件是對Kre3，加,都有了（尤巨0（尸⑴go）且「（■在（小力

上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零.

知識點(diǎn)二.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)

1.函數(shù)兀0在［a,句上有最值的條件

如果在區(qū)間伍，加上函數(shù)v=/fa）的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那么它必有最大值和最小值.

2.求y=/（x）在［a,句上的最大（?。┲档牟襟E

（1）求函數(shù)y=/（x）在（a,b）內(nèi)的極值;

（2）將函數(shù)y=兀0的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值八°）,犬6）比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最

小值.

3.常用結(jié)論.

(1)若函數(shù)小)的圖象連續(xù)不斷，則危)在團(tuán)，切上一定有最值.

(2)若函數(shù)兀0在修，切上是單調(diào)函數(shù)，則式x)一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得最值.

(3)若函數(shù)/(x)在區(qū)間5，6)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則相應(yīng)的極值點(diǎn)一定是函數(shù)的最值點(diǎn).

考點(diǎn)一、不含參函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

典例引領(lǐng)

1.(廣東?高考真題)設(shè)函數(shù)f(x)=xlnx,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

2.(重慶?高考真題)設(shè)函數(shù)f(%)=%3+ax2一9%-l(a<0).若曲線y=/(%)的斜率最小的切線與直線12%+

y=6平行，求：

(I)。的值；

(II)函數(shù)y=f(%)的單調(diào)區(qū)間.

即時(shí)啊」

1.(2005?北京?高考真題)已知函數(shù)/(久)=—+3久2+9尤+a

(1)求/。)的單調(diào)減區(qū)間；

(2)若f(x)在區(qū)間［-2,刀上的最大值為20,求它在該區(qū)間上的最小值.

2.(2024.黑龍江.模擬預(yù)測)已知/(%)=ax+bcosx在點(diǎn)g,/?)處的切線方程為％+2y-兀=0.

(1)求a,b的值；

(2)求/0)在區(qū)間［0,兀］的單調(diào)區(qū)間和極值.

3.(2025?甘肅張掖?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(久)=ex-aln(x+1)的圖象在點(diǎn)(0,/(0))處的切線過點(diǎn)(2,1).

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)求/0)的單調(diào)區(qū)間和極值.

考點(diǎn)二、含參函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

典例引領(lǐng)

1.(?北京?高考真題)已知函數(shù)〃乃=棄貴，求導(dǎo)函數(shù)尸(久)，并確定〃久)的單調(diào)區(qū)間.

2.(全國?高考真題)已知aCR,求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間.

即時(shí)啰!)

1.(2025高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/'(%)=ax—(a+l)lnx(aW0),討論函數(shù)f(%)的單調(diào)性.

2.(23-24高三下?北京?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=2a%-In%+3a=A0.

(1)若a=1,求函數(shù)/(%)的極值；

⑵試討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性.

3.(北京?高考真題)已知函數(shù)/(%)=%3+ax2+3bx+c(bW0),且g(%)=/(%)—2是奇函數(shù).

(I)求a,c的值；

(II)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間.

考點(diǎn)三、已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

典例引領(lǐng)

1.(2023?全國?高考真題)已知函數(shù)f(x)=aex-ln久在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則a的最小值為().

A.e2B.eC.e-1D.e-2

2.(2023?全國?高考真題)設(shè)ae(0,1),若函數(shù)=必+(1+a尸在(0,+8)上單調(diào)遞增,則a的取值范圍

是.

??即時(shí)檢測

1.(2019北京?高考真題)設(shè)函數(shù)f(x)=ex+ae-x(a為常數(shù)).若f(x)為奇函數(shù)，則a=；若f(X)

是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是.

2.（2016?全國?高考真題）若函數(shù)/（%）=%-：sin2%+asin%在R上單調(diào)遞增，貝!ja的取值范圍是

A.[-1,1]B.[-1,|]C.[-|,|]D-

3.（上海?高考真題）已知函數(shù)/0）=久2+?（%7（）,常數(shù)aeR）.

（1）討論函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；

（2）若函數(shù)/（久）在[2,+8）上為增函數(shù)，求a的取值范圍.

4.（23-24高三上?海南海口?階段練習(xí)）已知函數(shù)f（x）=（2-x）e，—ax在（0,5）上為減函數(shù)，貝b的取值范圍

是（）

A.（―8,5e）B.[5e,+8）C.（l,+oo）D.[1,+oo）

5.（2023?寧夏銀川?三模）若函數(shù)f（%）=^■-In久在區(qū)間Qn,TH+｝上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）

22

A.0<爪<1B.-<m<l

2

C?=爪<1D.m>l

考點(diǎn)四、已知函數(shù)存在單調(diào)性求參數(shù)

典例引領(lǐng)

1.（23-24高三上?福建泉州?階段練習(xí)）若函數(shù)h（x）=lnx-|a%12-2久在[1,4]上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍為（）

A.[-l,+oo）B.（-l,+oo）C.（一8,一看]D.（_8,一看）

2.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模）在區(qū)間（0,兀）上，函數(shù)y存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（）

A.（-co,1）B.（一8,次

C.（-噌）D.（-CO,1]

即

1.（22-23高三上?陜西?期中）若函數(shù)/（X）=/+。/+3；（：在@,2）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則6的取值范圍是

（）

A.（—5,4-00）B.（-3,+8）C.（—8,—5）D.（—8,—3）

2.（21-22高三上?江蘇蘇州?期中）若函數(shù)/（均=In%+a/—2在區(qū)間2）內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍是（）

A.[—2,+oo）B.（—7+8）C.[—2，—D.（—2,+8）

3.（2024.全國.模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（%）=[——|/+梟2—對皿在卜,2]上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍為（）

A.（-8,攀]B.（—8,2]

C.（一8,§^）D.（-co,2）

4.（23-24高三上?陜西漢中?期末）若函數(shù)/（無）=1皿+a/-2在區(qū)間弓,1）內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍是.

5.（24-25高三?上海?隨堂練習(xí)）設(shè)函數(shù)y=/1（￡）,其中/（x）=-In%（a>0）,

⑴求產(chǎn)⑺；

（2）若y=/（x）在口,+8）是嚴(yán)格增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）若y=f（x）在[2,4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

考點(diǎn)五、求已知函數(shù)的最值

典例引領(lǐng)

1.（2021?全國?高考真題）函數(shù)/（久）=|2x-1|-21n久的最小值為L

2.（2018?全國?高考真題）已知函數(shù)f（汽）=2sin%+sin2%,則/（%）的最小值是

即時(shí)

1.(2021?北京?高考真題)已知函數(shù)/(久)=急.

(1)若a=0,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(l,f(1))處的切線方程；

(2)若f(x)在久=-1處取得極值，求f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值.

2.(2020?北京?高考真題)已知函數(shù)f(x)=12—

(I)求曲線y=f(x)的斜率等于-2的切線方程；

(II)設(shè)曲線y=/(x)在點(diǎn)(tj(t))處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S(t),求S(t)的最小值.

3.(2017?北京?高考真題)已知函數(shù)/(久)=e'cosx-x.

(I)求曲線y=/(%)在點(diǎn)(0,7(0))處的切線方程;

(II)求函數(shù)在區(qū)間［0,習(xí)上的最大值和最小值.

4.(24-25高三?上海?隨堂練習(xí))函數(shù)y=|/+(口+4)%-21僦在區(qū)間(1,2)上存在最值，則實(shí)數(shù)a的取值范

圍為().

A.(5,9)B.(—5,9)C.(-9,5)D.(-9,-5)

5.(24-25高三?上海?隨堂練習(xí))函數(shù)y=%3-3%-a在區(qū)間［0,3］上的最大值、最小值分別為M,N,則M-N=

().

A.14B.16C.18D.20

考點(diǎn)六、利用單調(diào)性解抽象不等式

典例引領(lǐng)

1.(2007?陜西?高考真題)f(x)是定義在(0,+8)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足療'(%)+/(%)<0.對任意正數(shù)

a,b,若a<b,則必有()

A.<bf(a)B.bf(a)<af(b)

C.a/(a)</(6)D.bfW<f(a)

2.(2004.湖南.高考真題)設(shè)/(%)、g(%)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)1V0時(shí)，/(%%(%)+

/(%)"(%)>0.且g(-3)=0,則不等式f(%)g(%)<0的解集是()

A.(-3,0)U(3,+oo)B.(-3,0)U(0,3)

C.(-00,-3)U(3,+oo)D.(-oo,-3)U(0,3)

即0^11

1.(江西?高考真題)對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)/(%),若滿足(％-l)f(x)>0則必有

A.f(0)+f⑵<2/⑴B./(0)+/(2)<2/(1)

C./(0)+/(2)>2/(1)D./(0)+/(2)>2/(1)

2.(2024?山東濰坊.三模)已知函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)為/0),且/(l)=e,當(dāng)尤>0時(shí)，/(x)<：+e，，則不等

式色等>i的解集為()

ex

A.(0,1)B.(0,+oo)C.(l,+8)D.(0,1)U(l,+oo)

3.(2024?吉林?二模)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-8,0),其導(dǎo)函數(shù)尸(久)滿足工尸(x)-2/(%)>0,則不等式

f(x+2024)—(久+2024)7(-1)<。的解集為()

A.(-2025,-2024)B.(-2024,0)

C.(-oo,-2024)D.(-oo,-2025)

4.(2024.寧夏銀川.三模)已知定義在R上的奇函數(shù)〃尤)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，尸(x)是/(x)的導(dǎo)函

數(shù)，當(dāng)久>0時(shí)，3f(x)+xf'(久)>0,且/(2)=2,則不等式0+1)3/(久+1)>16的解集為()

A.(1,+oo)B.(-oo,-2)U(2,+oo)

C.(—co,1)D.(—8,—3)U(1,+8)

5.(2024.江西南昌?三模)已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,且/(2)=-1,對任意xeR,/(x)+x/,(x)<0,則

不等式(x+1)/(%+1)>一2的解集是()

A.(―oo,1)B.(—8,2)C.(1,+oo)D.(2,+8)

IN.好題沖關(guān)

基礎(chǔ)過關(guān)

1.(2020高三?山東?專題練習(xí))若函數(shù)y=%?+/+mx_|_1是R上的單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)nt的取值范圍是().

A.(-00,|]B.曲+8)C.D,(|,+00)

2.(23-24高三上.天津東麗?期中)函數(shù)/(x)=之％2+cosx,則不等式f(lnx)>/(I)的解集為()

A.(0,e)B.(e,+8)C.(}e)D.(0,：)U(e,+8)

3.(22-23高三上?上海浦東新?期中)已知f(x)=2/-ax+lnx在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值

范圍是.

4.(23-24高三上?天津河?xùn)|?階段練習(xí))若函數(shù)f(x)=爐—3a/一2%+5在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取

值范圍是

5.(20-21高三下?天津靜海?階段練習(xí))已知函數(shù)/O)=1%2-2a\nx+(a-2)x.

(1)當(dāng)a=-l時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使函數(shù)g(x)=/(?-ax在(0,+8)上單調(diào)遞增？若存在，求出a的取值范圍；若不存

在，請說明理由.

6.(20-21高三上?天津?期中)設(shè)函數(shù)/(久)=，+771K+1,曲線y=/(久)在點(diǎn)處的切線與x軸平行.

(1)求實(shí)數(shù)m；

(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

7.(23-24高三上?天津河?xùn)|?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)f(X)=Inx+p

(1)當(dāng)血=2時(shí)，求f(x)在處的切線方程；

(2)討論/"(%)的單調(diào)性;

(3)若/(久)>3-x恒成立，求m的取值范圍.

能力提升

1.(23-24高三下?天津?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=ax—當(dāng)

COS\

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求f(x)在點(diǎn)(J)處的切線方程;

(2)當(dāng)a=8時(shí)，討論函數(shù)f(%)的單調(diào)性；

(3)若/(%)<sin2x,求a的取值范圍.

2.(2023?天津河北?一模)已知函數(shù)/(%)=

(1)求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明:/(%)<e-x-1；

(3)若a>0,b>0,且ab>1,求證：f(a)+/(b)<—2

3.(23-24高三上?天津?期末)已知函數(shù)/(%)=In天+1),g(x)—ex.

(1)求曲線y=/(%)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

(2)證明:g(x)>/(x)+1；

(3)當(dāng)％NO時(shí)，a%"(%)<g(%)一汽一1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

4.(23-24高三上.天津河北期末)已知函數(shù)/(切=照戶.

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=〃久)在點(diǎn)(0/(0))處的切線方程；

(2)當(dāng)a>0時(shí)，求函數(shù)y=/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)xe[1,3]時(shí)，|</(x)<1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

5.(23-24高三上?廣東深圳?階段練習(xí))已知函數(shù)〃久)=(久-Dd+a久2,ae/?.

(1)討論/(%)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)。<一1時(shí)，若/(%)的極小值點(diǎn)為%.,證明：/(%)存在唯一的零點(diǎn)九*且汽1一汽021112.

6.(23-24高三上?天津靜海?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=鏟+(a-1)%一1,其中。eR.

(1)當(dāng)Q=3時(shí)，求曲線y=/(%)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

⑵討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(3)當(dāng)a>1時(shí)，證明：/(x)>xlnx—acosx.

7.(23-24高三上?天津?期中)已知函數(shù)/(%)=In%+(a+1)%+1,aER,^(x)=xex.

⑴若曲線/(%)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線的斜率為3,求Q的值；

(2)當(dāng)工之一2時(shí)，函數(shù)y=g