河南省許昌市某中學(xué)2025屆高三年級上冊10月檢測數(shù)學(xué)試題【含解析】

2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月檢測

數(shù)學(xué)

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡的相應(yīng)位置上.寫

在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一.選擇題(共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.)

1,已知集合”5={x|x>22-2}；若Nc8=0,則實數(shù)X的取值范圍是()

A.1一83]B-|>+00)C.(3,+oo)D.[3,+oo)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)Nc8=0,可求得2X—2>4,則得4>3,從而可求解.

【詳解】由題意可知Nc8=0,只需24—2>4,解得2>3,故C正確.

故選：C.

2.已知函數(shù)/(x)=tanNx+F]3〉0),若方程/(x)=1在區(qū)間(0,兀)上恰有3個實數(shù)根，則。的取

值范圍是()

A.(2,3]B.[2,3)C.(3,4]D.[3,4)

【答案】C

【解析】

【分析】借助正切型函數(shù)的圖象性質(zhì)計算即可得.

兀(71兀、

【詳解】當(dāng)久E(Oji)時，④r+兀+J，

則由題意可得y=tanx-l在+zJ上有3個實數(shù)根，

rr-rZES兀C7C7C.

即可得一+3兀<5+—4—+4兀，

444

解得3<0?4,即。的取值范圍是（3,4].

故選：C

3.在正四棱錐尸-4片。]。中，PB,1PD1.用一個平行于底面的平面去截該正四棱錐，得到幾何體

ABCD-ABiCQi，AB=T,=2,則幾何體NBC?！?81GA的體積為（）

.V2R472?7V2n17V2

6369

【答案】C

【解析】

【分析】由題可知，幾何體45CD-451GA為正四棱臺，求出正四棱臺高，再由臺體的體積公式即可得

出答案.

【詳解】設(shè)正四棱錐尸-4與GA的側(cè)棱長為。，

連接4G與8內(nèi)交于點。1，連接p。，則尸。平面48CD,

22

因為4男=2,所以用￡>1=A/2+2=2V2，

因為PBJPQ,所以在Rt!尸4A中，/+/=（2亞丁，

解得：a=2,所以PC\=《PB；—BQ?=,_（可=亞,

又因為用一個平行于底面的平面去截該正四棱錐，得到幾何體48C。-481cl48=1,

則幾何體ABCD-44G2為正四棱臺，

連接/C,8￡）交于點。，所以。為尸a的中點，

所以0Q=-=孚，所以幾何體ABCD-451GA的體積為：

]-.（22+12+4^]--=--

3\/26

p

'A\]

--,二M

B密

D\G

故選：c.

4.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：mg/L）與時間f（單位:

h）之間的關(guān)系式為尸=兄1"（心0）,其中片為初始污染物含量，兄"均為正的常數(shù)，已知過濾前后廢

氣的體積相等，且在前4h過濾掉了80%的污染物.如果廢氣中污染物的含量不超過0.041時達到排放標(biāo)

準(zhǔn)，那么該工廠產(chǎn)生的廢氣要達到排放標(biāo)準(zhǔn)，至少需要過濾的時間為（）

A.4hB.6hC.8hD.12h

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件求出X值，再由廢氣中的污染物含量不超過的0.041列出不等式求解即得.

【詳解】依題意得，當(dāng)t=0時，P=P0,

當(dāng)/=4時，尸=（1—80%）品=0.2片，則用eF0.2片,

1Eln5

可得6-，=0.2，即4=*1115,所以尸=片「丁，

Zln5

當(dāng)尸=々/丁三0.04片時，解得叱8,

故至少需要過濾8h才能達到排放標(biāo)準(zhǔn).

故選：C.

5,1

5.兩圓錐母線長均為3,體積分別為匕匕，側(cè)面展開圖面積分別記為S],S2,且芳=彳，側(cè)面展開圖圓心

V

角3%滿足4+d=2兀，則”=（）

A.2V2B.巫C.VlOD.

104

【答案】B

【解析】

271y

【分析】利用圓錐側(cè)面積公式S=m7推得r=l,再由側(cè)面展開圖的圓心角公式a=—廠推得/=3r,由此

得到兩圓錐高分別為2血與右，從而求得兩圓錐體積的比值.

【詳解】依題意，不妨設(shè)甲圓錐的底面半徑為廠，高為“，乙圓錐底面半徑為R,高為X,

則H=3Tlz,S2=3兀R,

3Tlzr1

嬴

故A=2r,因為側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀,

所以2?！?2KR=6兀，

故廠=1，所以〃=J/2—尸2_2,H=J/2_R2—^5，

所以上產(chǎn)=曄=巫

%-nR2H4指10

3

故選：B.

6.已知角尸的頂點均為坐標(biāo)原點，始邊均為x軸正半軸，終邊分別過點2(1,2),5(-2,1),則

,a+P

tan------二)

2

A.一3或一B.3或—C.-3D.

333

【答案】C

【解析】

【分析】先由三角函數(shù)的定義求得tana=2,tan〃=-g,根據(jù)角終邊經(jīng)過的點和正切值的范圍，縮小見，

的范圍，利用和角公式和倍角公式，求得tan空2的值并檢驗即得.

2

【詳解】依題意，tana=2,tan〃=—！，由tana=2〉G，可得巴+2機兀＜a＜代+2機兀,機eZ,

232

,1J3一,口5兀八?一「r\7it(、a+B3TI,、

由tanB=——>------可得一+2rm<B<n+2m1,〃eZ,貝！|----\-(m+n)n<--------<------\-(m+n)n,

22>612v724v7

m.neZ(*),

2

tana+tan0-l3a+02t3

因tan(a+分尸-＞不妨設(shè)tan=t,則有---T=—，解得，二一3或

1-tantan(3]_2x(_1)421-r4

1

t——,

3

由(*)知e+夕是第二或第四象限角，故tan"2=/=-3.

22

故選：C

。為坐標(biāo)原點，若cos/OMN=^~

7.已知動點拉在拋物線￡：/=2px(P〉0)上，點N1—go),

5

且直線2x+y+l=0與AMVO的外接圓相切，則夕=()

55-44-4-5

A.-B.一或一C.一或一D.2或一

445592

【答案】C

【解析】

【分析】利用正弦定理求得△<?〃乂外接圓半徑，結(jié)合幾何關(guān)系求得外接圓圓心，再根據(jù)直線和圓相切則圓

心到直線的距離等于半徑，列出方程，即可求得).

【詳解】由拋物線方程E：y2=2px(p>Q),設(shè)圓心C(x0，%),半徑為R,顯然%=—￡；

￡

在AMNO中,由正弦定理得=,=解得氏=字

5

又圓C與直線2x+.v+l=o相切，故圓心到直線的距離d=R,

p2x1—￡]+2+1廠4

當(dāng)先=與時，則圓心到直線的距離/I4J21DMp,解得夕==；

7F7F新45

p2x（—史]—史+14

當(dāng)為=一冬時,則圓心到直線的距離〃—I4J20一近夕,解得。=—或—4

2a=---/--=-7=—=K=-；-9

A/22+12V54

（舍），

44

綜上夕或

故選：C.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握正弦定理，直線與圓的位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化，屬綜合中檔題.

8.0和1是計算機中最基本的數(shù)字，被稱為二進制數(shù)字.若數(shù)列｛%｝滿足：所有項均是?；?,當(dāng)且僅當(dāng)

〃=5｛±1（其中左為正整數(shù)）時，。“=1,其余項為0.則滿足=q+%+…+%=2。的最小的正

Z=1

整數(shù)加=()

A.50B.51C.52D.53

【答案】B

【解析】

【分析】由題意可得r,則。5[=。54=1，。52=。53=。55=0,根據(jù)

口5k+1+054+2+%k+3+%左+4+a5k+5='

20=1+2x9+1即可求角臬

【詳解】由題意知，%=和=。3=。5=。，。4=1，

且。5左+1=a5M=1，。5左+2=a5k+3~05k+5=0,左￡N,

%+出+%+。4+。5=1

即《

、。5后+1+a5k+2+a5k+3+a5k+4+“5左+5=?

當(dāng)左=10時，。51=。54=1，。52=a53=。55=。，

_n

由于20=1+2x9+1,所以滿足=20的〃的最小值為51,

1=1

故選：B.

二.多選題（共3小題，每題6分，共18分.在每題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對得6分，部分選對得3分，有選錯的得。分.）

9.“曼哈頓幾何”也叫“出租車幾何”，是在19世紀(jì)由赫爾曼?閔可夫斯基提出的.如圖是抽象的城市路網(wǎng)，其

中線段|4B|是歐式空間中定義的兩點最短距離，但在城市路網(wǎng)中，我們只能走有路的地方，不能，穿墻”而過，

所以在“曼哈頓幾何”中，這兩點最短距離用”48）表示，又稱“曼哈頓距離"，即"（48）=|/。+|。8|,

因此“曼哈頓兩點間距離公式”：若4（打,月）鳳尤2"2），則-再|(zhì)+|在平面直角坐標(biāo)系

x0v中，我們把到兩定點片（-。,0）,6（。,0）（。>0）的曼哈頓距離”之和為常數(shù)2a（a>c）的點的軌跡叫漸

橢圓”.設(shè)“新橢圓”上任意一點設(shè)為P（x,y）,則（）

A.已知點4（3,3）,3（6,7）,則"（43）=5

B.“新橢圓”關(guān)于x軸，歹軸，原點對稱

C.x的最大值為a

22

D.“新橢圓”圍成的面積為巴士

2

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)曼哈頓兩點間距離公式，可判定A錯誤；根據(jù)“新橢圓”的定義，求得其方程，畫出“新橢圓”

的圖象，結(jié)合圖象，可判定B、C正確；根據(jù)“新橢圓”的圖象，結(jié)合三角形和矩形的面積公式，可判定D

錯誤.

【詳解】對于A中，因為2（3,3）,8（6,7）,可得d（40=妝―3|+|7-3|=7,所以A不正確;

對于B中，設(shè)“新橢圓”上任意一點為P（x,y）,

根據(jù)“新橢圓”的定義，可得|x+c|+|H+|x-。|+同=2a,即|x+d+k-c|+2|V=2a,

當(dāng)x<—c,y<0時，可得—x-y=a；當(dāng)x<-c,y>0時，可得-x+y=a；

當(dāng)一c<x<c,y<0時，可得c-y=。；當(dāng)-c<x<c,y>0時，可得c+y=a；

當(dāng)x>c,y<0時，可得x-y=a；當(dāng)x>c,y>o時，可得x+y=a,

當(dāng)x=c時，可得y=±(a-c)；當(dāng)x=-c時，可得y=±(a-c)；

當(dāng)V=0時，可得x=±a,

作出“新橢圓”的圖象，如圖所示，

可得“新橢圓”關(guān)于x軸，丁軸，原點對稱，所以B正確；

對于C中，由“新橢圓”的圖象，可得x的最大值為。，所以C正確;

根據(jù)“新橢圓”的對稱性，可得：

“新橢圓”圍成的面積為S=2S“EF+Sn，BOE=2x；x|4EH"R|+|48HZ￡|

=2xgx(2a-2c)-(a-c)+2c-(2a-2c)=2(/-c2),所以D錯誤.

故選：BC.

10.已知數(shù)列｛4｝滿足對任意s,teN*，都有4+,=4外，且%=2,ay-a,.(l<z<j<?)的所有不

同的值按照從小到大構(gòu)成數(shù)列｛d｝,則下列結(jié)論正確的是()

A.4+1=%(2%+%+JB.4=10

C.｛%｝中任意3項不成等差數(shù)列D.｛々J的前15項的和為402

【答案】ACD

【解析】

【分析】令§=",/=1,據(jù)題意，可知｛%｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，對于A,代入通項公式

即可；對于BD,列舉數(shù)列的前幾項即可驗證；對于C,假設(shè)生，與，縱成等差數(shù)列，由通項公式可得

2，+I=2'+2"，方程兩邊同時除以2,，得21+1=1+2"'，偶數(shù)=奇數(shù)，出現(xiàn)矛盾，即可判斷.

【詳解】由題意，因為對任意s,feN*，都有4+,=4為，

令s=〃，t=l,貝！I%+i=anaA,

因為q=2,所以a“+]=2a“，

所以數(shù)列｛4｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，

所以。"=2”,

對于A,=（2n+1）2=2*+2,%（2%+。用）=2〃（2x2"+2角）=2"（2角+2用）=22?+2,

故a；+i=%（2%+%+J，A正確；

對于B,由題意，數(shù)列也｝的前5項為：2,4,6,8,12,

所以a=12,B錯誤；

對于C,假設(shè)為,%,%成等差數(shù)列，不妨設(shè)

因為g=2",所以2%=q+。…即2，+I=2'+23

方程兩邊同時除以2',得2fl=1+2?,，

由于方程左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，故上式不成立，故C正確;

對于D,由題意，數(shù)列｛4｝的前15項為：

2,4,6,8,12,14,16,24,28,30,32,48,56,60,62,

所以｛〃,｝的前15項的和為：

2+4+6+8+12+14+16+24+28+30+32+48+56+60+62=402,故D正確;

故選：ACD

11.定義函數(shù)y=/（x）的曲率函數(shù)—（＞“是V的導(dǎo)函數(shù)），函數(shù)y=/（》）在x=x（）

處的曲率半徑為該點處曲率K（/）的倒數(shù)，曲率半徑是函數(shù)圖象在該點處曲率圓的半徑，則下列說法正確

的是（）

A.若曲線在各點處的曲率均不為0,則曲率越大，曲率圓越小

7T

B.函數(shù)y=sinx在工二萬處的曲率半徑為1

C.若圓C為函數(shù)y=li?的一個曲率圓，則圓C半徑的最小值為2

D.若曲線y=向在石,X2（刀尸乙）處的彎曲程度相同，則巧工2<3

【答案】ABD

【解析】

【分析】直接根據(jù)倒數(shù)的性質(zhì)即知A正確；直接根據(jù)曲率半徑的定義計算函數(shù)y=situ在尤=g處的曲率,

再取倒數(shù)得到曲率半徑即可判斷B正確；使用三元均值不等式可以證明函數(shù)y=lnx的曲率圓的半徑一定大

于2,從而C錯誤；設(shè)xf=b,然后將條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于見6的等式，再使用基本不等式進行處理,

即可證明D正確.

【詳解】對于A,若曲線在各點處的曲率均不為0,顯然K（X）20,由K（X）H0知K（X）>0,

/、1

由于曲線在X=X0處的曲率為K（X0）,曲率圓的半徑為鳳

所以曲率圓的半徑等于曲率的倒數(shù).而曲率大于0,所以曲率越大，曲率圓越小，A正確；

K⑺一W|-sinx||sinx|

對于B,若^=5111%,直接計算知叼一/.3_,2\Z—/2在,所以

（"）2(l+(cosx)[2(1+cos-x)2

.兀

/、sm—

K]斗-----------r=-=i

⑵J2M1，

[i+cos2j

兀TT

從而函數(shù)^=sinx在x=3處的曲率為1,從而函數(shù)^==sinx在尤=萬處的曲率半徑為1的倒數(shù)，即1,B

正確；

⑴一網(wǎng)

K=丁=?=X

對于C,若y=liw,直接計算知'）（2在333；文申

（1+3））2MU：中

7

x>0.

3

x)=1_(1+W,

所以X處的曲率圓半徑尺(

K(x)X

從而我們有

3

3/?-----------------、—__

3

1(l+x2^

R(x[=---=--—-----W——；N

A⑴XXXX2

所以圓。的半徑一定大于2,不可能以2為最小值，C錯誤；

%

對于D,若y=hu,在C選項的過程中已經(jīng)計算得知K(“)—/

3

(1+X嚇’

現(xiàn)在如果曲線y=hu在玉,％2(西NX?)處的彎曲程度相同，則K(X])=K(%2),故

X]_x2

3—3

(1+片尸(1+期'

X：=￥(1+x"(1+熠3

所以/2\3-Xi2\3，即-------二-----—?

(1+%1)(1+%2)X；X；

設(shè)％；=〃，*=b,則QWb,a,b>0,(1+。)=(1+]，將。±f)_=(l+')兩邊展開,

abab

得到/+3。+3+工=/+36+3+:,從而(/—〃)+3(?！?---Vo.

ab)

故0=(“2-62)+3(〃-6)+(工一(]=(a-b)(a+b)+3(a-b)+':

—(ab\\(a+/))+3|,而

Iab)

a手b,

故(a+b)+3-0,這息味著-a+b+3>2Jab+3,從而

abab

2(V^)3+3(Va6)2<1=2^+3出■

定義函數(shù)g(x)=2d+3x2,則g(J^K)<g'),由于J^>0,

函數(shù)g(X)=2x3+3x2在(0,+8)上

遞增,

故4ab<；,所以XjX=

2=4ab<—D正確.

2

故選：ABD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：在適當(dāng)?shù)臅r候使用均值不等式是解決本題C,D選項的關(guān)鍵.

三.填空題（共3小題，每題5分，共15分.）

12.已知a、b、c分別為V48c的三個內(nèi)角/、B、C的對邊，a=2,且

(?+Z))(sinA-sin5)=(c-b)sinC,則V45C面積的最大值為.

【答案】V3

【解析】

【分析】先求出角A的大小，由5=46。5由2,考慮余弦定理建立6,c的方程，再由基本不等式求防的

2

最大值.

【詳解】解析：因為（。+6）（5M4-5也8）=（。-6）5也。，

根據(jù)正弦定理可知（a+b）（a—b）=（c-b）c,即〃+°2一4=A,

171

由余弦定理可知cosZ=—，又4e（0,7t）,故/=一,

23

又因為。=2,所以/+02一4=bc，

4=b2+c2-bc>2bc-bc=bc（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號），即bc<4

所以S=!bcsinNvLx4x43=百，即V4SC面積的最大值為6,

222

故答案為：^3?

13.已知雙曲線E:二一二=1伍〉0,6〉0）的左、右焦點分別為大，心，離心率為2,過點大的直線/交

ab

￡的左支于48兩點.|。5|=|。叫（。為坐標(biāo)原點），記點。到直線/的距離為d,則4=.

a

［答案】

2

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，作出圖形，結(jié)合三角形中位線性質(zhì)可得即，再利用雙曲線定義及勾股定

理求解即得.

【詳解】令雙曲線￡的半焦距為c,由離心率為2,得c=2a,

取的中點￡),連接由|。同=|。周，得。。，片5,則|O￡?|=d,

連接￡3,由。為片片的中點，得即//。?！辜磡=2d,BFQBF-\FXB\=2d-2a,

11Q

因此|如F+|明|2=由不,，即(2d>+(2d-2a)2=(4a)2,整理得(一>------=0,

aa2

而&〉0,所以。=1±2四.

aa2

故答案為：

2

14.一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子，六個面上分別標(biāo)有點數(shù)1,2,3,4,5,6.現(xiàn)隨機地將骰子拋擲三次(各

次拋擲結(jié)果相互獨立)，其向上的點數(shù)依次為%”，的，則事件“1%-⑷+包-%l+E-%|=6”發(fā)生的

概率為.

【答案】J##0.25

【解析】

【分析】先計算事件總數(shù),因為，1-外|+包-%|+包-%|=6,得到max{%,&,4}-min{%,%,4}=3,

然后看不同的大小組合，最后排序計算符合條件的總數(shù)，然后計算概率即可.

【詳解】所有投擲結(jié)果共有63種，；

由同一2|+|。2—〃3|+|"3一%|=6

可得Zlmax,],%，%}-mingiMS}]=6

所以max{q,2，%}一min{%,2,%}二3

我們不妨設(shè)min1%,2，%}=%，則max,],%，％}=%+3，還有一個數(shù)為x+d

顯然xe{1,2,3},d￡{0」,2,3}

A3

當(dāng)d=0時，三個數(shù)為，x,x,x+3對應(yīng)%,2，生有鼠=3種方法；

A?

當(dāng)1=1時，三個數(shù)為，x,x+l,x+3對應(yīng)有A；=6種方法；

當(dāng)d=2時，三個數(shù)為，x,x+2,x+3對應(yīng)/,。2，。3有A；=6種方法;

A3

當(dāng)d=3時，三個數(shù)為，x,x+3,x+3對應(yīng)有工/=3種方法;

A]

所以一共有3x(3+6+6+3)=54種；

故事件“E-42|+|%-匈+包-=6”發(fā)生的概率為

64

故答案為：—

4

四.解答題(共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

15.如圖，四邊形48C。與四邊形/OE尸均為等腰梯形，BCHAD,EFHAD,AD=4,

AB=也,BC=EF=2,AF=麻，必，平面48C。，M為40上一點，且用蚊，40,連接

BD、BE、BM.

(1)證明：平面AEW；

(2)求平面ABF與平面DBE的夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見詳解

⑵亞

47

【解析】

【分析】(1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、平行線的性質(zhì)進行證明即可；

(2)作EN上AD,垂足為N,根據(jù)平行四邊形和矩形的判定定理，結(jié)合(1)的結(jié)論，利用勾股定理，

可以以BM,BC,即所在的直線分別為x軸、N軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式

進行求解即可.

【小問1詳解】

因為q_L平面ABCD，又4Du平面ABCD,

所以必.又棧，40,且四口四=/，

所以平面5四0.因為8C〃幺。，所以5CL平面瓦亞.

【小問2詳解】

作ENLAD,垂足為N廁FM//EN.又EFHAD,

所以四邊形EWE是平行四邊形，又ENLAD,

所以四邊形EWE是矩形，又四邊形么。￡尸為等腰梯形，且4D=4,EF=2,

所以⑷/=1.

由（1）知40,平面瓦加，所以BMLAD又AB=母,

所以即/=1.在中，F(xiàn)M=^AF2-AM2=V10-

在Rt△尸MB中，F(xiàn)B=4FM2-BM2=3-

由上可知，以BC,8尸所在的直線分別為x軸、N軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

則4(一1,一1,0),5(0,0,0),"0,0,3),。(―1,3,0),￡(0,2,3),

所以方=(1,1,0),麗=(0,0,3),麗=(—1,3,0),屜=(0,2,3),

設(shè)平面N8尸的法向量為成=（網(wǎng),%/1）,

m-AB-0再+%=0

由V，得《可取方=5一1,0）.

m?BF=0Z]=0

設(shè)平面DBE的法向量為H=（X2,J2,Z2）,

n-BD=0[-x2+3%=0

__.，得<可取為=（9,3,—2）

n-BE=Q[2J2+3Z2=0

9-33747

因此,

7171-781+9+447

依題意可知，平面/8E與平面D8E的夾角的余弦值為空7.

47

16.甲乙兩家公司要進行公開招聘，招聘分為筆試和面試，通過筆試后才能進入面試環(huán)節(jié).已知甲、乙兩家

公司的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨立，若小明報考甲公司，每門科目通過的

113

概率均為一；報考乙公司，每門科目通過的概率依次為一,一，m,其中0〈優(yōu)＜1.

235

2

（1）若機=^，分別求出小明報考甲、乙兩公司在筆試環(huán)節(jié)恰好通過一門科目的概率；

（2）招聘規(guī)則要求每人只能報考一家公司，若以筆試過程中通過科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)作決策，當(dāng)小

明更希望通過乙公司的筆試時，求機的取值范圍.

332

【答案】（1）—

875

【解析】

【分析】（1）利用獨立事件同時發(fā)生的概率公式即可求得小明報考甲、乙兩公司在筆試環(huán)節(jié)恰好通過一門

科目的概率；

（2）分別求得小明報考甲、乙兩公司通過科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望，列出關(guān)于機的不等式，進而求得機的取值

范圍.

【小問1詳解】

設(shè)小明報考甲公司恰好通過一門筆試科目為事件A,

小明報考乙公司恰好通過一門筆試科目為事件8,

根據(jù)題意可得尸（a）=c；gu=|,

…12323322232

MJo）=-x—x-H--x-x-H--x—x—=—

35535535575

【小問2詳解】

設(shè)小明報考甲公司通過的科目數(shù)為X,報考乙公司通過的科目數(shù)為y,

根據(jù)題意可知，X?8[3,可，則￡(X)=3x§二--,

224

p(y=0)=-x-(1-m)=—(1-m),

1223228-4m

P(Y=l)=jx—+—x—+=

"15

n”c、13八、12233+5機

P(Y=2)=—x—(l—m)+—x—m+—x—m=--------,

35353515

131

P(Y=3)=—x—m=—m,

則隨機變量y的分布列為

Y0123

8-4m3+5機1

P—(1—m)—m

1515155

8-4m3+5m_1_14+15m

￡(￥)=-----+-----x2+-mx3=-------

若￡（y）＞￡（x）,貝1九4+1喑Szj?7〉（3

故*加＜1,即機的取值范圍是層,1

22

17.已知雙曲線E：j—1=1（。〉0,6〉0）的左、右焦點分別為片，耳,￡的一條漸近線方程為＞=也》,

ab

過耳且與X軸垂直的直線與￡交于48兩點，且鳥的周長為16.

（1）求￡的方程；

（2）過月作直線/與E交于C、。兩點，若a=3豆萬，求直線CD的斜率.

【答案】（1）—二=1

3

（2）屈或_而

【解析】

*h2

【分析】⑴將X=Y代入曲線石得y=±￡L,故得以用=忸片|=幺，從而結(jié)合雙曲線定義以及題意得

上造

，解出即可得解.

------F4Q=16

、a

（2）由題意得直線/的斜率存在且不為0,設(shè)/:x=my+2（0）,接著與曲線￡聯(lián)立方程結(jié)合韋達定

理求得%+%和%%，由場=3月萬得必=-3%,與韋達定理結(jié)合即可求出〃/,進而即可得直線CD

的斜率.

【小問1詳解】

2

v22b

將％=一。代入￡：——Jv=l（Q>0]>0）,得y=±—,

aba

所以周=|兩|=",所以|傷|=忸閭=^+2a,

aa—\

所以由題得《，n

7b=g

---F4Q=16

、a

所以雙曲線E的方程為￡:/—匕=1.

3

【小問2詳解】

由（1）知￡（2,0）,顯然當(dāng)直線/的斜率不存在或/的斜率為。時，恒=3月萬不成立,

故直線/的斜率存在，且不為0,設(shè)/:x=my+2（mw0）,C（x1,j1）,Z）（x2,j2）,

x=my+2

2

聯(lián)立《2yn（3加之-1）/+12叼+9=0,

x---=1

3

,1

則A=36加2+36〉0，且3根2―1/0即機一

12m9

--①

__-2V

23m2-1

又函=3而，所以必=—3%,所以＜

一②

3m2-1

由I、1①24曰16m24砂，4曰_1

所以由rh—^―得—---二—，斛得m2=-故一—15,

②3m2-1315m

故直線CD的斜率為415或-.

18.甲、乙兩個口袋都裝有3個小球(1個黑球和2個白球).現(xiàn)從甲、乙口袋中各取1個小球交換放入另

外一個口袋(即甲口袋中的小球放入乙口袋，乙口袋中的小球放入甲口袋)，交換小球〃次后，甲口袋中

恰有2個黑球的概率為p?,恰有1個黑球的概率為%.

(1)求Pi，名；

(2)求夕2，%；

n31

(3)求數(shù)列應(yīng)｝的通項公式，并證明

z=i520

25

【答案】(1)p、=3,孫=5

,、1649

(2)Pp=—,q?——

281281

(3)qn,證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)古典概型概率及互斥事件的概率公式計算即可;

(2)根據(jù)條件概率與全概率公式計算即可;

(3)討論第22)次換球后甲口袋中黑球的個數(shù)為1的情況下的三種情形，構(gòu)造等比數(shù)列計算通項公式,

再由等比數(shù)列求和公式結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)證明即可.

【小問1詳解】

第1次換球后甲口袋中有2個黑球，即從甲口袋取出的為白球且從乙口袋取出的為黑球，則

212

1339

第1次換球后甲口袋中有1個黑球，即從甲、乙口袋取出的同為白球或同為黑球，得

22115

q,=—x—+—x—=—

133339

【小問2詳解】

若第2次換球后甲口袋中有2個黑球,

則當(dāng)?shù)?次換球后甲口袋中有1個黑球時，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球,

當(dāng)?shù)?次換球后甲口袋中有2個黑球時，第2次甲、乙口袋同取白球,

…211522116

所以22=^ixyxj+Axj=—X—+—X—

999381

若第2次換球后甲口袋中有1個黑球，

則當(dāng)?shù)?次換球后甲口袋中有0個黑球時，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球,

當(dāng)?shù)?次換球后甲口袋中有1個黑球時，第2次甲、乙口袋同取白球或同取黑球,

當(dāng)?shù)?次換球后甲口袋中有2個黑球時，第2次甲口袋取黑球且乙口袋取白球，

2(2211)249

所以%=(1—%一+

J\533JJ301

【小問3詳解】

第〃（〃之2）次換球后，甲口袋中的黑球個數(shù)為1的情形有：

①若第〃-1次換球后甲口袋中有2個黑球，則第〃次甲口袋取黑球且乙口袋取白球；

②若第次換球后甲口袋中有1個黑球，則第〃次甲、乙口袋同取黑球或同取白球;

③若第n-1次換球后甲口袋中有0個黑球，則第〃次甲口袋取白球且乙口袋取黑球.

2（1122、221

所以q”=P"Tx§+q“T義13乂§+§*3）+（1_p“_]）x§=5_gq“T.

設(shè)縱+'=—《（3+'）（〃"2）,

則/=一g/一"|縱—1，則——4=g，得2=_|.

32f3121

又價—三=—去，所以數(shù)列%—K是以-去為首項，為公比的等比數(shù)列

545[5J459

所以工3

bV