函數的方程與零點-2025年高考數學一輪復習（天津專用）

第10講函數的方程與零點

（6類核心考點精講精練）

IN.考情探究?

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析

函數與方程的綜合應用，根據函數零點的個數求參數范圍，已知方程求雙曲

2024年天津卷，第15題,5分

線的漸近線

2023年天津卷，第15題,5分根據函數零點的個數求參數范圍

2022年天津卷，第15題,5分根據函數零點的個數求參數范圍，根據二次函數零點的分布求參數的范圍

2021年天津卷，第9題,5分根據函數零點的個數求參數范圍

2020年天津卷，第9題,5分函數與方程的綜合應用，根據函數零點的個數求參數范圍

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內容是天津高考卷的必考內容，設題靈活，難度較高，分值為5分

【備考策略】1.理解、掌握函數的零點，能夠理解函數的方程，函數的零點與交代你的含義

2.能掌握函數圖像與性質

3.具備數形結合的思想意識，會借助函數圖像解決零點問題

4.理解并掌握二分法思想，會用零點的存在性定理判斷零點的個數

【命題預測】本節(jié)內容是天津高考卷的必考內容，一般難度系數較高，通常為判斷零點的個數，或者已知

零點個數求取值范圍。

GA?考點梳理?

1

1.函數零點概念r

2.零點存在性定理考點四、函數零點及零點個數

r知識點一.零點乂3.零點存在唯一性定理乂考點五、復合函數的零點

4.函數零點、方程的根與函數圖像的關系考點六、二分法的應用

5.二次函數的零點I

函數的方程與零點

1.函數的圖像考點一、函數圖像的識別

2.描點法作圖考點二、函數的圖像變換

{3.圖象變換考點三、由函數圖象確定解析式

知識講解

知識點一.零點

1.函數零點概念

對函數y=/(%),把使/'(x)=0的實數久叫做函數y="久)的零點

2.零點存在性定理：

如果函數y=/(x)在區(qū)間口切上的圖象是連續(xù)不斷一條曲線，并且有f(a)f(b)<Of,那么，函數y=/(%)

在區(qū)間(a,b)內有零點.即存在ce(a,b),使得/(c)=0,這個c也就是方程/■(久)=0的根.

3.零點存在唯一性定理：

如果函數y=f(%)在區(qū)間a,0上的圖象是連續(xù)不斷一條曲線，并且有/'(a)f(b)<0,且在［a,句上單調，那么

函數y=/(%)在區(qū)間(4,6)內有唯一的零點.即存在唯一的。式氏6),使得/'(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0

的根.

4.函數零點、方程的根與函數圖像的關系

函數y=F(x)=/(%)-g(x)有零點

方程F(%)=/(%)-g(x)=0有實數根=>函數%=/(%),y2=g(x)圖像有交點

求函數y=/(久)零點的方法：

①直接解方程/0)=0;

②利用圖象求其與久軸的交點(交點的橫坐標即是零點)；

③將方程/(久)=0變?yōu)閮蓚€函數，通過圖象看它們的交點情況(同時可以知道零點的個數)；

④可通過二分法求函數的零點的近似值.

5.二次函數的零點：

二次函數y=ax2+bx+c(a豐0)

(1)A>0,方程a/+b久+c=0有兩不等實根，二次函數的圖象與x軸有兩個交點，二次函數有兩個零點

(2)△=0,方程a/+版+c=0有兩相等實根，二次函數的圖象與x軸有一個交點，二次函數有一個零點.

(3)△<0,方程ad+族+?=0無實根，二次函數的圖象與x軸無交點，二次函數無零點

知識點二.函數的圖象

1.函數的圖像

2

將自變量的一個值久0作為橫坐標，相應的函數值久0)作為縱坐標，就得到了坐標平面上的一個點的坐標，

當自變量取遍定義域/內的每一個值時，就得到一系列這樣的點，所有這些點組成的集合(點集)用符號表述為

{(x，y)僅=/(久)，x^A},所有這些點組成的圖形就是函數的圖象.

2.描點法作圖

方法步驟:

(1)確定函數的定義域；

(2)化簡函數的解析式；

(3)討論函數的性質即奇偶性、周期性、單調性、最值(甚至變化趨勢);

(4)描點連線，畫出函數的圖象.

3.圖象變換

(1)平移變換

(2)對稱變換y=/(x)+4

汗)“、關于x軸對稱.、

上k(k>0)

①y=fO)---------->y=-/(久)；

移個單位

偽、關于一軸對移左移右移

②y=f(%)---------->y=f-(x)y=f(x+h)*y=f(x)y=f(x-h)

九個單位九個單位

自〃、關于原點對稱,,、(A>0)下k(k>G)(力>0)

移個單位

@y=ax(a>0且存1)關于」——工對覿”=10且由心0且存］y=f(x)-k

(3)伸縮變換

①把函數y=八式)圖象的縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的一倍得y=/(69x)(0<(D<1)

w

②把函數y=/(x)圖象的縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的1倍得了=/(^X)(?>1)

③把函數y=/(%)圖象的橫坐標不變，縱坐標伸長到原來的w倍得y=G/(X)(刃>1)

④把函數y=/(%)圖象的橫坐標不變，縱坐標縮短到原來的w倍得y=cof(x)(0<6t)<l)

(4)翻折變換

保留》軸上方圖象

①y二"比)將x軸下方圖象翻折上去y=’(初L

保留了軸右邊圖象，并作其

②y=/(久)關于y軸對稱的圖象>y=/(|x1).

考點一、函數圖像的識別

典例引領

1.(2024?全國?高考真題)函數/(%)=-+(e*-ef)sin%在區(qū)間［—2.8,2.8］的圖象大致為()

3

【答案】B

【分析】利用函數的奇偶性可排除A、C,代入％=1可得f(l)>0,可排除D.

【詳解】/(—x)=—x2+(e-x—ex)sin(—%)=—x2+(ex—e-x)sinx=f(x),

又函數定義域為［-2,828］,故該函數為偶函數，可排除A、C,

又/⑴=-1+(e-3sinl>-1+(e-3sin”:一1一《>X>0,

故可排除D.

故選：B.

2.(2022?全國?高考真題)如圖是下列四個函數中的某個函數在區(qū)間［-3,3］的大致圖像，則該函數是()

D-.y=2s—inx

J%2+1

【答案】A

【分析】由函數圖像的特征結合函數的性質逐項排除即可得解.

【詳解】設/CO=寒，則/⑴=0,故排除B;

設/i(x)=今詈，當％e(°e)時，0<cosx<1，

所以h0)=鬻<含wi,故排除c；

設g(x)=鬻，則g(3)=等>0,故排除D-

故選：A.

4

即時凝I

1.(2024?安徽合肥?模擬預測)函數人幻=怨等(e為自然函數的底數)的圖象大致為()

e—1

【答案】A

【分析】由函數的奇偶性可排除B,C；再由x趨近0+,/(X)>0,排除D,即可得出答案.

【詳解】f(x)=學等的定義域為0},

"、_[e_xcos(—2ex)]-e2x_excos2ex_、

/(一力二(e-2x-l).e2x=l-e2x二一八%人

所以八%)為奇函數,故排除B,C；

當x趨近。+,e2x>1,所以e2x—1>0,ex>l,cos(2ex)>0,

所以f(x)>0,故排除D.

故選：A.

【答案】C

【分析】求出函數f(x)的定義域及奇偶性，再由奇偶性在(0,1)內函數值的正負判斷即可.

【詳解】依題意，函數/(%)=/，的定義域為{xeR|x1},

f(_x)==—=_f(x)，則/'(久)是奇函數，其圖象關于原點對稱，B不滿足;

當x6(0,1)時，ex-e-x>0,|l-x2|>0,則f(x)>0,AD不滿足，C滿足.

故選：C

考點二、函數的圖像變換

5

中典例引領

1.(2023?四川成都?模擬預測)要得到函數y=的圖象，只需將指數函數y=的圖象()

A.向左平移1個單位B.向右平移1個單位

C.向左平移g個單位D.向右平移g個單位

【答案】D

【分析】

根據指數函數解析式說明圖象平移過程即可.

【詳解】由y=G)"=6)2'向右平移，個單位，則y=6)2(x*)=

故選：D

2.(22-23高三?全國?對口高考)把函數y=log3(x-1)的圖象向右平移1個單位，再把橫坐標縮小為原來的最

所得圖象的函數解析式是

【答案】y=log3(2x-1)

【分析】根據函數圖象變換規(guī)律可得答案.

【詳解】把函數y=log3(久—1)的圖象向右平移:個單位，得函數y=log3(X—g-1)=log3(X-'|)，再把橫

坐標縮小為原來的5得到函數y=log3(2x—|)的圖象.

故答案為：y=log3(2x-

1.(22-23高三?全國?對口高考)利用函數/。)=2方的圖象，作出下列各函數的圖象.

(i)y=/(一久)；

(2)y=/(|%|)

(3)y=/(%)-1；

(4)y=1/(%)-1|;

(5)y=-f(x)；

(6)y=/(x-l).

【答案】(1)圖象見詳解

(2)圖象見詳解

(3)圖象見詳解

(4)圖象見詳解

(5)圖象見詳解

6

(6)圖象見詳解

【分析】先作出函數人比)=2欠的圖象，

(1)把/(X)的圖象關于y軸對稱即可得到y(tǒng)=/(-X)的圖象；

(2)保留“龍)圖象在y軸右邊部分，去掉y軸左側的，并把y軸右側部分關于y軸對稱即可得到y(tǒng)=/(|x|)的

圖象；

(3)把f(x)圖象向下平移一個單位即可得到y(tǒng)=/(%)-1的圖象；

(4)結合(3),保留工上方部分，然后把x下方部分關于x軸翻折即可得到y(tǒng)=|f(x)-1］的圖象；

(5)把/'(%)圖象關于x軸對稱即可得到y(tǒng)=-f(x)的圖象；

(6)把/(x)的圖象向右平移一個單位得到y(tǒng)=/(%-1)的圖象.

【詳解】(1)把/(x)的圖象關于y軸對稱得到y(tǒng)=/(-x)的圖象，如圖，

(2)保留f(x)圖象在y軸右邊部分，去掉y軸左側的，并把y軸右側部分關于y軸對稱得到y(tǒng)=f(|x|)的圖象,

如圖，

(3)把/(x)圖象向下平移一個單位得到y(tǒng)=/(x)-1的圖象，如圖,

(4)結合(3),保留x上方部分，然后把x下方部分關于x軸翻折得到y(tǒng)=|f(x)-1|的圖象，如圖,

7

(5)把f(x)圖象關于x軸對稱得到y(tǒng)=-f(x)的圖象，如圖,

(6)把/(x)的圖象向右平移一個單位得到y(tǒng)=1)的圖象，如圖,

2.(2024?遼寧?三模)已知對數函數/(x)=log/,函數f(x)的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標擴大為原

來的3倍，得到函數g(x)的圖象，再將或久)的圖象向上平移2個單位長度，所得圖象恰好與函數/(久)的圖象

重合，貝必的值是()

*32萬遍c0

A.—Bo.—C.—D.v3

233

【答案】D

【分析】根據函數圖像變換法則求出函數的解析式，由條件列方程，解方程求解即可

【詳解】因為將函數f(x)的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標擴大為原來的3倍，得到函數g(x)的圖象,

所以g(x)=log/,即g(x)=logaxToga3,

將g(x)的圖象向上平移2個單位長度，所得圖象的函數解析式y(tǒng)=logM-10ga3+2,

因為所得圖象恰好與函數/(%)的圖象重合，

所以—loga3+2=0,

所以/=3,又a>0且a豐1,

解得a=V3,

故選：D

3.(2023?河北?模擬預測)已知函數/(久)=昔箸，則下列函數為奇函數的是()

8

A./(%)-1B./(x)-2C.f(x-2)D./(%+2)

【答案】B

【分析】根據對稱性分析可得函數/(x)有且僅有一個對稱中心(0,2),結合圖象變換分析判斷.

【詳解】由題意可得：/(久)=甘箸=3-a，

因為/(a+x)+/(a—x)=(3-7^)+(3-1^)=6—2(^^+蔡)

2葉2工+2、2工+2"

2axa，

2?+2%+(2+l)2+2

若/(a+久)+f(a—%)=6-2x蕭蒜精總為定值，

則22。+1=2,解得a=0,此時/(%)+/(—久)=4,

所以函數/(%)有且僅有一個對稱中心(0,2).

對于選項A：/(x)-l有且僅有一個對稱中心為(0,1),不合題意，故A錯誤；

對于選項B：/(無)-2有且僅有一個對稱中心為(0,0),符合題意，故B正確；

對于選項C：/(x-2)有且僅有一個對稱中心為(2,2),不合題意，故C錯誤；

對于選項D：f(x+2)有且僅有一個對稱中心為(-2,2),不合題意，故D錯誤；

故選：B.

4.(2023?新疆阿勒泰?三模)已知函數則函數/(%)=]1'](%)=/(-x),則函數g(%)的圖象大致是()

[一,%<u,

【答案】B

【分析】由gO)=A-%)可知gO)圖像與fO)的圖像關于y軸對稱，由/(尤)的圖像即可得出結果.

【詳解】因為g(x)=/(-%),所以g(x)圖像與f(x)的圖像關于y軸對稱，

由70)解析式，作出『0)的圖像如圖

從而可得g(x)圖像為B選項.

9

故選：B.

考點三、由函數圖象確定解析式

典例引領

1.(2024-內蒙古呼和浩特?二模)函數/(X)的部分圖象大致如圖所示，則/'(X)的解析式可能為()

【分析】結合圖象可知f(x)為奇函數且/(0)=0,在(0,+8)上先增后減.根據函數的奇偶性和f(0)=0,結

合導數判斷函數的單調性依次判斷選項即可.

【詳解】由圖可知，/(X)的圖象關于原點對稱，則f(x)為奇函數，

且-0)=0,在(0,+8)上先增后減.

A：券，函數的定義域為R，"一x)=言|=—=0,故A符合題意；

B：/(%)=ex—e~x—sin%,函數的定義域為R,

/(x)=ex+e-x—cos%,由％>0,得e%>!,—!<cosx<1,

則/'(%)=ex+e-x-cosx>2—1>0,/(%)在(0,+8)上單調遞增，故B不符合題意；

C：/(%)=e+e,當％=0時，sinx=0,函數顯然沒有意義，故C不符合題意；

smx

D：/(x)=ex-e~x+sinx,函數的定義域為R,

f(%)=QX+Q~X+cosx,由％>0,得e">1,—1<cosx<1,

則/'(%)=ex+e-x+cosx>2—1>0,/(%)在(0,+oo)上單調遞增，故D不符合題意.

故選：A

2.(23?24高三下?天津?階段練習)已知函數/(%)的部分圖象如下圖所示，則/(%)的解析式可能是()

10

A./(x)=

C.f(x)=D./(%)=——cosx

【答案】A

【分析】利用排除法，根據題意結合函數定義域以及函數值的符號分析判斷.

【詳解】由題意可知：/(%)的定義域為{%|%40},故B錯誤；

當%>。/(X)先正后負,則有:

對于C：因為ef<1<e"/+2>。，貝^^一^<0,

可知/0)=考3<0,故C錯誤；

對于D：因為眇>1,則券>0,但cosx的符號周期性變化，故D錯誤；

故選：A.

即時檢測

1.(2024?上海奉賢?二模)已知函數y=/(%),其中y=%2+i,y=g(%),其中g(%)=4sin%,則圖象如圖

所示的函數可能是().

2-

-7T\O!

-2

C.y=/(%)+g(x)-1D.y=/(%)-g(x)-1

【答案】A

【分析】根據函數圖象和/(%),9(%)的奇偶性判斷.

【詳解】易知/(%)=/+1是偶函數，g(%)=4sin久是奇函數，給出的函數圖象對應的是奇函數,

A.y=h(x)=黑=等，定義域為R,

又八(一乂)=鬻詈=一鬻=一八(久)，所以八0)是奇函數，符合題意，故正確；

B*=%手kn,keZ,不符合圖象，故錯誤；

g{x)4sinx

C.y=ft(x)=/(%)+g(x)—1=x2+1+4sinx-1=x2+4sinx,定義域為R,

但/i(f)WhQ),故函數是非奇非偶函數，故錯誤；

D.y=h(x)=/(%)—g(x)—1=%2+1—4sinx—1=x2—4sinx,定義域為R,

但%(-%)Hh(x),/i(-x)H—h(x),故函數是非奇非偶函數，故錯誤，

故選：A

11

2.（2024?湖南?二模）已知函數/（久）的部分圖象如圖所示，則函數/（久）的解析式可能為（）

【答案】A

【分析】根據函數的奇偶性和定義域，利用排除法即可得解.

【詳解】由圖可知，函數圖象對應的函數為偶函數，排除C；

由圖可知，函數的定義域不是實數集.故排除B；

由圖可知，當XT+8時，yr-8,

而對于D選項，當X—+8時，y->0,故排除D.

故選：A.

3.（2024?廣東江門?二模）若函數"%）的圖象與圓。爐+丫2=4恰有4個公共點，則f（x）的解析式可以為（）

A.f（x）=||x|-2|B./（x）=x2-2|x|

C.f（久）=|2X—2|D./（x）=|Igx21

【答案】D

【分析】利用絕對值函數的圖象特征，分別作出選項中的函數圖象，觀察即可判斷.

【詳解】作出y=|因一2|,y=|2X-2|的圖象，如圖1所示，

作出y=d一2|x|,y=|lg%2|的圖象，如圖2所示，由圖可知，八久）=|lg%2|滿足題意.

故選：D.

考點四、函數零點及零點個數

典例引領

12

1.(22-23高三上?江西鷹潭?階段練習)函數/(久)=⑶-27)lnQ—1)的零點為()

A.2,3B.2C.(2,0)D.(2,0),(3,0)

【答案】A

【分析】根據給定條件，解方程求出函數零點作答.

【詳解】由/(x)=0,得(3才一27)111(%—1)=0,即3、-27=?；騦n(x-1)=0,解得x=3或x=2,

所以函數f(x)=(3-27)ln(x-1)的零點為2,3.

故選：A

2.(2023高三?全國?專題練習)已知指數函數為人久)=4。則函數y=/(%)-2計1的零點為()

A.-1B.0

C.1D.2

【答案】C

【分析】根據給定條件，解指數方程即可作答.

【詳解】函數八>)=4，，由〃>)一2計1=0,即4久一2計1=0,整理得2%2力-2)=0,解得x=l,

所以函數y=/(x)-2計1的零點為1.

故選：C

即時檢測

(________L__________

1.(22-23高三?全國?對口高考)已知a=$方程a團=|log/|的實根個數為

【答案】2

【分析】分別作出/(X)=。㈤和90)=卜。g,]的圖象，結合圖象即可得到答案.

【詳解】由a=g，則(T)11=log”，

則令/'(%)=G)119(x)=logix,

分別作出它們的圖象如下圖所示,

由圖可知，有兩個交點，所以方程排百=|10ga%|的實根個數為2.

故答案為：2.

2.(2023?全國?模擬預測)已知函數/'(%)滿足/'(x+,)=/(%-1)?當％e[0,3)時，/(x)=2x3-llx2+14%,

13

則n>)在［-120,120］上的零點個數為.

【答案】161

【分析】由條件先得出函數的最小正周期為3,解方程/(x)=2始—11/+14X=0得xe［0,3)上的零點個

數，由周期即可確定在［-120,120］上的零點個數.

【詳解】因為函數/O)滿足/(久+|)

所以+3)=/(%),所以/(X)的最小正周期為3,

當％G［0,3)時，令/(%)=2x3—II%2+14%=0=>%(%—2)(2%-7)=0,

解得％=0或%=2,所以當％E［0,3)時，/(%)有兩個零點，

所以〃龍)在［—120,120］上的零點個數為2x等x2+1=161個.

故答案為：161.

考點五、復合函數的零點

典例引領

11g(—x)|+1,%V。

Z1V,'C，則函數丫=尸(久)一3/(久)+2

1匕)+20

的零點個數是()

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【分析】將函數y=f2(x)-3/(%)+2的零點個數轉化為方程f(x)=1和人久)=2根的個數，然后再轉化為

函數/(%)與y=1,y=2圖象交點個數，最后結合圖象判斷即可.

【詳解】函數y=/2(x)-3/(%)+2=［/(%)-l］［/(x)-2］的零點,

*|lg(-x)l+l,x<0

即方程y(x)=i和/(K)=2的根，函數*式)=］的圖象，如下圖所示：

-+1,%>0

由圖可得方程/(x)=l和f(x)=2的根，共有4個根，即函數y=2/2(x)-3/(%)+1有4個零點.

故選：C.

2_(%+工0則y=/(/(%))-1的零點個數為()

A.4B.5C.6D.7

14

【答案】c

【分析】畫出f(x)的大致圖象，由y=f(/(x))-1=0,逐層進行求解，從而求得正確答案.

【詳解】作出函數/(%)的大致圖象如圖所示，

由e"-3=1解得x=ln4,由2-(%+1)2=1解得x=-2或％=0,/(-I)=2.

令/(f(x))-1=0,得=1，

得/(%)=-2或/(X)=0或/(尤)=ln4,

結合圖象可知：

當/(久)=—2時，有1個解；當/(無)=0時有2個解；

當/■(x)=ln4時，由于l<ln4<2,所以有3個解，

故y=/(/(x))-1的零點個數為6.

故選：C

即時性w

1.(23-24高三上?天津,期中)已知函數/(%)=%24-2%+m,meR,若函數/(/(%))有且只有一個零點，則()

A.m>1B.m<0

C.0<m<1D.—1<m<0

【答案】C

【分析】由/(%)=0有解得出mW1,同時否定m=l,THV1時/(%)=0有兩根一1土"1一一,由大根等

于/(%)的最小值可得血值，然后再判斷各選項.

【詳解】顯然/(嗎=0有解，因此A=4—4znN0,m<1,

若m=1,則f(X)=%2+2%+1只有一個零點％=-1,但此時/(%)=-1無實解，/(/(>))無零點，

2

所以血<1,/(%)=(x+I)+m-1,/(x)min=m-1,

由/(%)=0得%=-1±Vl-m,由題意—1+Vl-m=m-1,解得m==二(m=三更舍去)，所以m=

昔信時只有一個零點，它只滿足C,

故選：c.

—%2+2]x0

.,i二n，則函數y=f[/(X)—1]的零點個數

{inxj十~~fxu

15

是().

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】

令/(x)—1=3先求出使f(t)=0時的t的值，然后畫出函數f(x)和函數y=t+1,其中te{0,2,5}的圖象,

觀察其交點個數即可得答案.

【詳解】由已知—1]=0,

令f(x)—1=t,即f(t)=0,

當『=°時，得￡1=0或《2=2,

當+：=°時，明顯函數g(t)=]n(—t)+二在(―8,0)上單調遞減，且g(—1)=一1<0,g(—2)=ln2-

1t<0t

g=ln2—In^e>0,g(—l)g(—2)<0,

故存在t：36(—2,—1),使ln(—t)+—=0,

3「3

(—_i_7vx>0

畫出加=ln(f)+=二。的圖象如下,

即函數y=/[/(x)-1]的零點個數是5.

故選：D.

3.(23-24高三上?河北?階段練習)已知函數xMo則函數g(x)=[/(的產—f[/(%)]的所有

零點之和為()

A.2B.3C.0D.1

【答案】D

【分析】令￡=/(x)，得到g(t)=產一f(t)，令g(t)=o,可得產=y(t),列出方程求得t=±1,得到/(%)=±1,

在結合函數的解析式，列出方程，即可得到答案.

【詳解】由函數g(x)=[f(x)]2令t=/(x),則g(t)=鏟一y(t),

令g(t)—o,可得儼—f(t),

16

當t>0時，由脛=/?),可得產=?-2)2,即一4t+4=0,解得1=1；

當IV0時，由產=/?),可得產=2七+3,即12—21一3=0,解得力=-1或力=3(舍去)，

所以t=±l,BP/(x)=±1,

當%>0時，令(％-2)2=1或-2/=-1(舍去)，解得％=1或%=3；

當％V0時，令2汽+3=±1,解得％=—1或%=—2,

所以函數g(%)=[/(X)]2-/[/(%)]的零點之和為1+3—1-2=1.

故選：D.

4.(2024?全國?模擬預測)已知函數/(%)=j1?,X>1,若函數g(%)=[/(%)]2-有兩個不同的零點，

則實數a的取值范圍為()

A,[-e,0)U[pe)B.[0,2)U{e}

C-{V}u(0,9)U(e,+8)D.{-；}u(0,1)

【答案】C

【分析】根據題意，先判斷f(x)在(-8,1]和(L+8)上的單調性和最值，再作出函數7"(》)的大致圖象，將函

數的零點問題轉化為方程根的問題，從而數形結合得結果.

【詳解】當%W1時，/(x)=(x+l)ex,當％G(-co,—1)時,/(X)<0,

當％e(—1,1]時,/(%)>0,所以/⑺在(一8,—1)上單調遞減，在(-1,1]上單調遞增，且f(X)min=A-D=一5

當％V0時，/(x)=xex<0.

當%>1時f'(x)=,當％G(1,2)時,/(%)<0,

2

當X6(2,+8)時，/(%)>0,所以/(%)在(1,2)上單調遞減，在(2,+8)上單調遞增，且f(x)min=/(2)=》

作出函數f(x)的大致圖象，如圖所示，

由圖象可知，x=0是函數/'(X)的零點，要使函數9(久)=[/(X)]2-afO)有兩個不同的零點，則方程[/(久)]2-

af(x)=0有兩個不相等的實數根，等價于/(x)=a有1個非零實數根.

由圖可知a=_￡或0<a<亍或a>e,即a€{一3U(。,力U(e,+oo).

故選：C.

【點睛】此類問題的常用解法是將函數的零點問題轉化為方程根的問題，利用數形結合法得到結果，需要

會熟練應用導數判斷單調性、求最值并作出函數的大致圖象.

17

考點六、二分法的應用

中典例引領

1.(2023高三?全國?專題練習)用二分法求函數/(切=111(久+1)+%-1在區(qū)間(0,1)上的零點，要求精確度

為0.01時，所需二分區(qū)間的次數最少為()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】由于長度等于1區(qū)間，每經這一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，那么經過n(neN*)次操作后,

區(qū)間長度變?yōu)榫?，若要求精確度為0.01時則/<0。1,解不等式即可求出所需二分區(qū)間的最少次數.

【詳解】因為開區(qū)間(0,1)的長度等于1,每經這一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

所以經過n(JieN*)次操作后，區(qū)間長度變?yōu)椤叮?/p>

令焉<0.01,解得幾27,且n€N*,

故所需二分區(qū)間的次數最少為7.

故選：C.

2.(22-23高三?全國?對口高考)函數f(x)在(1,2)內有一個零點，要使零點的近似值滿足精確度為0.01,則對

區(qū)間(1,2)至少二等分()

A.5次B.6次C.7次D.8次

【答案】C

【分析】根據|a-b|<0.01以及二分法，確定至少需要的二等分的次數.

【詳解】區(qū)間(1,2)的長度為1,第1次二等分，區(qū)間長度變?yōu)椋海?/p>

第2次二等分，區(qū)間長度變?yōu)椤叮坏?次二等分，區(qū)間長度變?yōu)椤叮坏?次二等分，區(qū)間長度變?yōu)椤?；?

2“2，2’

次二等分，區(qū)間長度變?yōu)椤?；?次二等分，區(qū)間長度變?yōu)?>0.01,

2°2°

第7次二等分，區(qū)間長度變?yōu)?<0.01.

所以要使零點的近似值滿足精確度為0.01,則對區(qū)間(1,2)至少二等分7次.

故選：C

1.(2023?遼寧大連?一模)牛頓迭代法是我們求方程近似解的重要方法.對于非線性可導函數f(x)在勺附近

一點的函數值可用/(久)=f(xo)+f'(久0)(%-利)代替，該函數零點更逼近方程的解，以此法連續(xù)迭代，可快

速求得合適精度的方程近似解.利用這個方法，解方程比3-3x+l=0,選取初始值%o=g，在下面四個選

項中最佳近似解為()

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A.0.333B.0.335C.0.345D.0.347

【答案】D

【分析】求出迭代關系為刈+1=燈-華=簾(々^可)，結合&=｝逐項計算可得出結果.

J@k)5Xk—5L

【詳解】令/(%)=爐_3%+1,則/'(%)=3x2—3,

令fix)=0,即/'(配)+f,(xo)(x-x0)~0,可得生?x0-

迭代關系為力+1=繪一爆=打一與罟=窖3eN)，

2X-

取&=點則亞=需=12好-125

=五。0.34722,

3x(-31%2=許=3x^-3

故選：D.

2.(2023?廣西?模擬預測)人們很早以前就開始探索高次方程的數值求解問題.牛頓在《流數法》一書中，

給出了高次代數方程的一種數值解法一牛頓法.這種求方程根的方法，在科學界已被廣泛采用，例如求方

程爐+2/+3久+3=0的近似解，先用函數零點存在定理，令fO)=必+2/+3%+3,f(—2)=-3<0,

/(-I)=1>0,得(—2,-1)上存在零點，取出=—1，牛頓用公式/=/-1一手嗯反復迭代，以Q作為

/(久)=0的近似解，迭代兩次后計箕得到的近似解為；以(-2,-1)為初始區(qū)間，用二分法計算兩次

后，以最后一個區(qū)間的中點值作為方程的近似解，則近似解為.

【答案】"-v

【分析】由牛頓法公式結合二分法的定義求解即可.

【詳解】已知/(%)=%3+2x2+3%+3,則/'(%)=3%2+4%+3.

迭代1次后，久]=_1_*=_

迭代2次后，x2=-|-^-i=,|_^L=_Z,

用二分法計算第1次，區(qū)間(一2,-1)的中點為一|,<0,

用二分法計算第2次，區(qū)間一1)的中點為—:/(-1)=g>0,所以近似解在

(一|,-[)上，取其中點值一日，所求近似解為一半

故答案為：—L一曰.

3.(23-24高三下?北京?階段練習)函數f(x)=ln(2x)-1的一個零點所在的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【分析】先判斷f(x)的單調性，結合零點存在性定理分析判斷.

【詳解】因為/(%)的定義域為(0,+8),且y=ln(2x),y=-：在(0,+8)內單調遞增，

19

可知n>)在(0,+8)內單調遞增，

且/'(1)=ln2-1<0,f(2)=ln4-1>0,

所以函數f(x)的唯一一個零點所在的區(qū)間是(1,2).

故選：B.

12.好題沖關

A基礎過關

1.(2019高三?全國?專題練習)以下每個圖象表示的函數都有零點，但不能用二分法求函數零點的是()

【答案】C

【分析】根據零點的存在定理及二分法分析各選項的函數圖象，即可得到答案.

【詳解】根據二分法的思想，函數/(K)在區(qū)間口可上的圖象連續(xù)不斷，且/(a)?/")<(),即函數的零點是

變號零點，才能將區(qū)間(a,6)一分為二，逐步得到零點的近似值.

對各選項的函數圖象分析可知，A,B,D都符合條件，

而選項C不符合，因為圖象經過零點時函數值的符號沒有發(fā)生變化，因此不能用二分法求函數零點.

故選：C.

2.(23-24高三下?福建廈門?強基計劃)/(無)=tan比sin久-sin尤-tan比+1在[0,2同上的零點個數()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】借助因式分解的方法，結合特殊角的三角函數值求解即得.

【詳解】依題意，/(%)=tanxsinx—sinx—tanx+1—(tanx—l)(sinx—1),

而xe[0,2?t],顯然x片彳且％H半，因此sinx^l,

由/'(%)=0，得tanx=1,解得x=*或x=3兀，

所以/(%)在[0,2可上的零點個數是2.

故選:B

20

3.(2024?陜西安康?模擬預測)函數/(久)=111%+%2—2的零點所在區(qū)間是()

A.(o,y)B.(y,l)c.(1,V2)D.(V2.2)

【答案】C

【分析】由零點存在性定理可得答案.

【詳解】因為函數八%)的定義域為(0,+8),又/'(x)=1+2久>0,易知函數在(0,+8)上單調遞增，

又f(l)=—1<0/(2)=ln&=gln2>0,所以在(1,夜)內存在一個零點出,使/(&)=0.

故選：C.

4.(2024?江蘇鹽城?模擬預測)函數y=cos%與y=lg|%]的圖象的交點個數是()

A.2B.3C.4D.6

【答案】D

【分析】在同一坐標系中，作出兩個函數的圖象，根據圖象得到交點個數.

【詳解】函數y=cos%與y=lg|%|都是偶函數,其中COS2TI=cos4n=1,lg4n>IglO=1>lg2兀，

在同一坐標系中，作出函數丫=cos%與y=lg|%]的圖象，如下圖，

如

尸1g因尸COSXI

-4兀-2兀2n^3^4nx

由圖可知，兩函數的交點個數為6.

故選：D

5.(23-24高三下?江西?階段練習)設函數/(x)=sin(23x+g)(3>0)在(0,巳)上有且僅有1個極值點和1

個零點，=0,則3=()

A.-B.-C.-D.-

3366

【答案】A

【分析】由/《)=0求出3的表達式，再由極值點及零點個數求出3的范圍即可得解.

【詳解】當》E(0,：)時，23%+gE(g,卷+(),依題意，兀<券+(工半，解得2V34

由/(萬)=0,得3兀+g=k%kGN*,解得3=k-所以/C=3,3=*

故選：A

6.(22-23高三上?甘肅定西?階段練習)已知函數/(久)=